Martingalkonvergenzsatz

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Als Martingalkonvergenzsatz oder Doobscher Martingalkonvergenzsatz (benannt nach Joseph L. Doob) werden in der Wahrscheinlichkeitstheorie bestimmte Aussagen über die Konvergenz von Martingalen bezeichnet. Ein Martingal ist ein spezieller stochastischer Prozess, der als Formalisierung und Verallgemeinerung eines fairen Glücksspiels angesehen werden kann. Unter Zusatzvoraussetzungen an die Beschränktheit des Prozesses lässt sich dessen Konvergenz folgern. Dabei unterscheiden sich die verschiedenen Versionen des Satzes hinsichtlich der Art der Beschränktheit und der Art der Konvergenz.

Voraussetzungen[Bearbeiten]

Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega, \mathcal{A}, P) mit einer Filtrierung (\mathcal F_n)_{n\in\N_0} und \textstyle \mathcal{F}_{\infty} = \sigma\left(\bigcup_{n=0}^{\infty} \mathcal{F}_n\right) sei eine Folge (X_n)_{n\in\N_0} reeller Zufallsvariablen gegeben, die an die Filtrierung adaptiert ist und integrierbar ist. Das bedeutet, dass für alle n \in \N_0 die Zufallsvariable X_n messbar bezüglich \mathcal{F}_n ist und E(|X_n|) < \infty erfüllt.

Der Prozess (X_n)_{n\in\N_0} heißt Martingal, wenn für alle n \in \N_0 die Gleichung E(X_{n+1} \mid \mathcal F_n) = X_n gilt. Gilt stattdessen E(X_{n+1} \mid \mathcal F_n) \geq X_n für alle n\in\N_0, dann wird der Prozess ein Submartingal genannt. Im Fall E(X_{n+1} \mid \mathcal F_n) \leq X_n für alle n\in\N_0, heißt der Prozess Supermartingal. Jedes Martingal ist ein Sub- und ein Supermartingal. Ein Prozess (X_n)_{n\in\N_0} ist genau dann ein Supermartingal, wenn (-X_n)_{n\in\N_0} ein Submartingal ist.

Versionen des Martingalkonvergenzsatzes[Bearbeiten]

Fast sichere Konvergenz[Bearbeiten]

Es sei (X_n)_{n\in\N_0} ein Submartingal und es gebe eine Konstante M > 0 mit E(X_n^+) \leq M für alle n \in \N_0, das heißt, der Erwartungswert der Positivteile X_n^+ = \max(X_n, 0) ist beschränkt. Dann existiert eine \mathcal{F}_{\infty}-messbare Zufallsvariable X_{\infty} \in \mathcal{L}^1 mit X_n \xrightarrow{n \to \infty} X_{\infty} fast sicher.

Konvergenz in p-ten Mittel[Bearbeiten]

Sei p > 1 und es gebe eine Konstante M > 0 mit E(|X_n|^p) \leq M für alle n \in \N_0, das heißt, die Folge (X_n)_{n\in\N_0} ist beschränkt in im Raum \mathcal{L}^p. Dann existiert eine \mathcal{F}_{\infty}-messbare Zufallsvariable X_{\infty} \in \mathcal{L}^p mit X_n \xrightarrow{n \to \infty} X_{\infty} fast sicher und in \mathcal{L}^p.

Die Aussage ist für p = 1 im Allgemeinen falsch: Ein in \mathcal{L}^1 beschränktes Martingal muss nicht unbedingt in \mathcal{L}^1 konvergieren.

Konvergenz bei gleichgradiger Integrierbarkeit[Bearbeiten]

Ist (X_n)_{n\in\N_0} ein gleichgradig integrierbares Submartingal, dann existiert eine \mathcal{F}_{\infty}-messbare Zufallsvariable X_{\infty} \in \mathcal{L}^1 mit X_n \xrightarrow{n \to \infty} X_{\infty} fast sicher und in \mathcal{L}^1.

Weiter gilt X_n \leq E(X_{\infty} \mid \mathcal{F}_n) und, im Falle dass (X_n)_{n\in\N_0} ein Martingal ist, sogar X_n = E(X_{\infty} \mid \mathcal{F}_n). Man sagt, das Martingal wird durch X_{\infty} abgeschlossen.

Beispiel[Bearbeiten]

Der einfache symmetrische Random Walk X_n := \sum_{j=1}^n Z_j mit unabhängigen identisch verteilten Z_j und P(Z_j = 1) = P(Z_j = -1) = \frac{1}{2} ist ein Martingal. Wegen |X_{n+1} - X_n| = 1 ist kein Pfad konvergent.

Für a \in \N = \{1,2,\dotsc\} ist durch \tau := \inf \{n > 0 : X_n = a\} eine Stoppzeit gegeben und das gestoppte Martingal (M_n) mit M_n = X_{\min(n,\tau)} ist ebenfalls ein Martingal. Wegen M_n^{+} \leq a erfüllt es die Voraussetzungen des Martingalkonvergenzsatzes für fast sichere Konvergenz. Der einzig mögliche Grenzwert ist a, es gilt also

M_n \xrightarrow{n\to\infty} a fast sicher.

Insbesondere folgt, dass P(\tau < \infty) = 1 gilt.

Wegen E(|M_n|) = E(2 M_n^+ - M_n) = 2 E(M_n^+) - E(M_n) \leq 2a ist das Martingal (M_n) in \mathcal{L}^1 beschränkt. Es konvergiert jedoch nicht in \mathcal{L}^1 gegen a, denn in diesem Fall müsste auch E(M_n) gegen a > 0 konvergieren, im Widerspruch zu E(M_n) = E(M_0) = 0 für alle n.

Literatur[Bearbeiten]

  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, Abschnitt 11.2.