Pentachoron

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Regelmäßiger Pentachoron
(5-Zeller)
Schlegel wireframe 5-cell.png
Schlegeldiagramm
(Ecken und Kanten)
Typ Regelmäßiges Polychoron
Familie Simplex
Zellen 5 (3.3.3) Tetrahedron.png
Flächen 10 {3}
Kanten 10
Ecken 5
Eckfigur (3.3.3)
Schläfli-Symbol {3,3,3}
Coxeter-Dynkin-Diagramm CDW ring.pngCDW 3b.pngCDW dot.pngCDW 3b.pngCDW dot.pngCDW 3b.pngCDW dot.png
Symmetriegruppe A4, [3,3,3]
Eigenschaften konvex
Eckfigur: Tetraeder

Ein Pentachoron (auch 5-Zeller, Pentatop, Hyperpyramide oder Hypertetraeder genannt) ist ein 4-Simplex, das einfachste Polychoron (eine vierdimensionale Figur). Er besteht aus 5 tetraederförmigen Zellen und ist das Analog zum Dreieck (2-Simplex) und zum Tetraeder (3-Simplex).

Der regelmäßige Pentachoron ist einer der sechs regelmäßigen, konvexen Polychora und wird vom Schläfli-Symbol {3,3,3} repräsentiert. Der Pentachoron ist einer von sechs Platonischen Körpern im 4-dimensionalen Raum.

Geometrie[Bearbeiten]

Ein Pentachoron besteht aus fünf Zellen, die alle tetraederförmig sind. Seine Eckfigur ist ein Tetraeder. Seine maximale Durchschneidung mit dem dreidimensionalen Raum ist das Dreiecksprisma.

Bilder[Bearbeiten]

5-cell.gif
Eine 3D-Projektion eines 5-Zellers, der eine Doppelrotation um zwei orthogonale Ebenen ausführt.
Cell5-4dpolytope.png
Vier orthographische Projektionen.

Konstruktion[Bearbeiten]

Ein Pentachoron kann konstruiert werden, indem zu einem Tetraeder eine fünfte Ecke hinzugefügt wird, die die gleiche Entfernung von den anderen Ecken hat wie die anderen Ecken untereinander. (Im Wesentlichen ist ein Pentachoron eine vierdimensionale Pyramide mit einer tetraederförmigen Basis.)

Projektionen[Bearbeiten]

Eine mögliche Projektion des Pentachorons ist ein Pentagramm innerhalb eines Pentagons.

Beide, die Ecke-Zuerst- und die Zelle-Zuerst-Parallelprojektion des Pentachorons in drei Dimensionen, haben eine tetraederförmige Hülle. Das nächste bzw. die entfernteste Zelle wird auf den Tetraeder selbst projiziert, während die anderen vier Zellen auf die vier gestauchten tetraederförmigen Regionen, die das Zentrum umgeben, abgebildet werden.

Die Kante-Zuerst- und die Fläche-Zuerst-Projektion des Pentachorons in drei Dimensionen haben eine doppeldreieckspyramidenförmige Hülle. Zwei der Zellen werden auf die obere und untere Hälfte der Doppelpyramide während die übrigen drei auf drei nicht-regelmäßige tetraederförmige Körper um die zentrale Achse der Doppelpyramide mit Winkeln von jeweils 120° zueinander projiziert werden.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]