Pion

Pion (π+)
Klassifikation
Boson Hadron Meson
Eigenschaften
Ladung	1 e (+1,602 176 565 · 10−19As)
Masse	(139,57018±0,00035) MeV/c2
SpinParität	0−
Isospin	1 (z-Komponente +1)
mittlere Lebensdauer	(2,6033±0,0005) · 10−8 s
Quark-Zusammensetzung	1 Up und 1 Anti-Down

π0
Klassifikation
Boson Hadron Meson
Eigenschaften
Ladung	neutral
Masse	(134,9766±0,0006) MeV/c2
SpinParität	0−
Isospin	1 (z-Komponente 0)
mittlere Lebensdauer	(8,4±0,5) · 10−17 s
Quark-Zusammensetzung	Überlagerung aus uu und dd

Als Pionen, auch $\pi\!\,$-Mesonen, werden in der Teilchenphysik die leichtesten Mesonen bezeichnet. Da sie nach dem Standardmodell aus 2 Quarks aufgebaut sind, werden sie meist nicht mehr als Elementarteilchen bezeichnet. Aufgrund dieser Zusammensetzung sind Pionen wie alle Mesonen Bosonen mit ganzzahligem Spin. Weiterhin besitzen Pionen eine negative Parität.

Es gibt ein neutrales Pion $\pi^0\!\,$ und zwei geladene Pionen: $\pi^-\!\,$ und sein Antiteilchen $\pi^+\!\,$. Alle drei sind instabil und zerfallen unter der schwachen oder elektromagnetischen Kraft.

Aufbau

Das $\pi^+\!\,$ ist eine Kombination aus einem up-Quark $u\!\,$ und einem Anti-down-Quark $\bar d\!\,$ (Antiquarks überstrichen dargestellt):

$| \pi^+ \rangle = | u \bar d \rangle$,

sein Antiteilchen $\pi^-\!\,$ eine Kombination aus einem down-Quark $d\!\,$ und einem Anti-up-Quark $\bar u\!\,$:

$| \pi^- \rangle = | d \bar u \rangle$.

Beide haben eine Ruhemasse von 139,6 MeV/c². Die derzeit besten Massemessungen basieren auf Röntgenübergängen in exotischen Atomen, die statt eines Elektrons ein $\pi^-\!\,$ besitzen. Die Lebensdauer des $\pi^{\pm}\!\,$ beträgt 2,6 · 10⁻⁸ s.

Das $\pi^0\!\,$ ist ein quantenmechanischer Überlagerungszustand einer $u\bar u\!\,$- und einer $d\bar d\!\,$-Kombination, d.h. zweier Quarkonia. Da es sein eigenes Antiteilchen ist, muss gelten:

$| \pi^0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\Big[| u \bar u \rangle - | d \bar d \rangle \Big]$

Seine Ruhemasse ist mit 135,0 MeV/c² nur geringfügig kleiner als die der geladenen Pionen, hat aber eine deutlich kürzere Lebensdauer von nur 8,4 · 10⁻¹⁷ s.

Aufgrund einer frei wählbaren Phase können die drei Wellenfunktionen auch in der, seltener verwendeten, Form $| \pi^+ \rangle = | u \bar d \rangle$, $| \pi^- \rangle = -| \bar u d \rangle$ und $| \pi^0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\Big[| d \bar d \rangle - | u \bar u \rangle \Big]$ geschrieben werden. Dies entspricht dann der Condon-Shortley-Konvention.

Zerfälle

Die unterschiedlichen Lebensdauern sind durch die unterschiedlichen Zerfallsprozesse begründet:

die geladenen Pionen zerfallen zu (99,98770±0,00004) % durch die Schwache Wechselwirkung in ein Myon und ein Myon-Neutrino:

$\, \pi^+ \to \mu^+ + \nu_{\mu}$

$\, \pi^- \to \mu^- + \overline{\nu}_{\mu}$

(Der eigentlich energetisch günstigere Zerfall in ein Elektron und das dazugehörige Elektron-Neutrino ist aus Helizitätsgründen stark unterdrückt.)

Dagegen findet der Zerfall des neutralen Pions mittels der stärkeren und damit schnelleren elektromagnetischen Wechselwirkung statt. Endprodukte sind hier in der Regel zwei Photonen $\gamma\!\,$:

$\pi^0 \to 2 \gamma$ (Wahrscheinlichkeit (98,823 ± 0,034) %)

$\pi^0 \to e^+ + e^- + \gamma$ mit einem Positron $e^+\!\,$ (Wahrscheinlichkeit (1,174 ± 0,035) %).

Öffnungswinkel des Zerfalls $\, \pi^0 \to 2 \gamma$:

$\sin \tfrac{\theta}{2} = \frac{m_\pi}{2 \cdot\sqrt{E_1\cdot E_2}}$

Dabei sind $E_1$ und $E_2$ die jeweiligen Energien der beiden Photonen.

Herleitung

Annahme: c=1

Das Quadrat des Viererimpulses des Pions ist: (1):$(p^\mu)^2=m_\pi^2=(p_1^\mu+p_2^\mu)^2=(p_1^\mu)^2+(p_2^\mu)^2+2\cdot p_1^\mu\cdot p_{2\mu}$ (2):$(p_1^\mu)^2=E_1^2-\vec p_1^2$ analaog für $p_2^\mu$: (3):$(p_2^\mu)^2=E_2^2-\vec p_2^2$

Nach der Energie-Impulsbeziehung gilt:

$E^2-\vec p^2\, = m_0^2\,$

Da die Photonen keine Ruhemasse besitzen gilt weiterhin: $m_0^2=0$. Woraus folgt das $E^2=\vec p^2$(4).

Setzen wir nun die Beziehungen (2-4) in Gleichung (1) ein, erhalten wir:

$m_\pi^2=2 \cdot E_1 \cdot E_2- 2\cdot \vec p_1 \cdot \vec p_2=2 \cdot E_1 \cdot E_2 \cdot(1- \cos (\theta))$

Nun ist nach einem Additionstheorem $1- \cos (\theta)=2 \cdot \sin^2(\frac{\theta}{2})$. Diese Beziehung setzt man nun oben ein, formt nach $\sin$ um und erhält die Formel für den Öffnungswinkel der beiden Photonen.

Forschungsgeschichte

Das $\pi^-\!\,$ wurde 1947 von Donald H. Perkins in der Höhenstrahlung entdeckt. Den Zerfall des $\pi^0\!\,$ erklärte Richard Dalitz 1951.

Massenvergleich mit Nukleonen

Beim Vergleich der Massen der Pionen, die jeweils aus zwei Quarks bestehen (Mesonen), mit den Massen des Protons und des Neutrons (der Nukleonen), die beide aus jeweils drei Quarks bestehen (Baryonen), fällt auf, dass Proton und Neutron jeweils wesentlich mehr als 50% schwerer sind als die Pionen; so ist die Protonenmasse gut sechsmal so groß wie die Pionenmasse. Die Masse eines Protons oder eines Neutrons ergibt sich also nicht durch bloßes Addieren der Massen ihrer drei Quarks, sondern zusätzlich durch die Anwesenheit der für die Bindung der Quarks zuständigen Gluonen und der sogenannten Seequarks. Diese virtuellen Quark-Antiquark-Paare entstehen im Nukleon in den Grenzen der Heisenberg'schen Unschärferelation und tragen zur beobachteten Masse bei.

Das Pion-Austauschmodell

Die Pionen können die Rolle der Austauschteilchen übernehmen in einer so genannten effektiven Theorie der Starken Wechselwirkung (Sigma-Modell), die die Bindung der Nukleonen im Atomkern beschreibt. (Dies analog zu den Van-der-Waals-Kräften, die zwischen neutralen Molekülen wirken, jedoch selbst auch keine elementare Kraft sind; vielmehr liegt ihnen die elektromagnetische Wechselwirkung zu Grunde.)

Diese zuerst von Hideki Yukawa und Ernst Stueckelberg vorgeschlagene Theorie ist zwar nur innerhalb eines begrenzten Energiebereiches gültig, erlaubt darin aber einfachere Berechnungen und anschaulichere Darstellungen. Beispielsweise kann man die von den Pionen vermittelten Kernkräfte durch das Yukawa-Potential kompakt darstellen: dieses Potential hat bei kleinen Abständen abstoßenden Charakter (hauptsächlich über ω-Mesonen vermittelt), bei mittleren Abständen wirkt es stark anziehend (aufgrund von 2-Mesonen-Austausch, analog zum 2-Photonen-Austausch der Van-der-Waals-Kräfte), und bei großen Abständen zeigt es exponentiell abklingenden Charakter (Austausch einzelner Mesonen).

Reichweite

In diesem Austauschmodell folgt die endliche Reichweite der Wechselwirkung zwischen den Nukleonen aus der endlichen Masse der Pionen. Die maximale Reichweite $r_0$ der Wechselwirkung kann abgeschätzt werden über:

• die Beziehung $r_0 = c \cdot t$
• die Energie-Zeit-Unschärferelation $\Delta t \Delta E \ge \hbar (\Rightarrow r_0 = c \cdot \frac \hbar E)$
• und Einsteins berühmte Äquivalenz zwischen Energie und Masse $E=mc^2 (\Leftrightarrow \frac c E = \frac 1 {mc})\!\,$

zu $r_0 = \frac{\hbar}{mc}$.

Sie liegt in der Größenordnung der Compton-Wellenlänge des Austauschteilens. Im Fall der Pionen kommt man auf Werte von wenigen Fermi (10⁻¹⁵ m). Diese im Vergleich zur Kernausdehnung kurze Reichweite spiegelt sich in der konstanten Bindungsenergie pro Nukleon wider, die wiederum Grundlage für das Tröpfchenmodell darstellt.

Beispielprozess

Ein Proton und ein Neutron tauschen ein virtuelles Pion aus

Als Beispiel soll der Austausch eines geladenes Pions zwischen einem Proton und einem Neutron beschrieben werden:

1. Ein u-Quark löst sich aus dem Proton
2. Im Rahmen des Confinements dürfen keine freien Quarks existieren. Daher bildet sich ein d-d-Paar.
3. Das d-Quark verbleibt im ehemaligen Proton und macht aus ihm ein Neutron. Das u-Quark und das d-Quark bilden ein freies π⁺-Meson.
4. Dieses Meson trifft auf ein Neutron. Ein d-Quark des Neutrons annihiliert mit dem d-Quark des π⁺-Meson.
5. Die Ausgangssituation ist wieder hergestellt, es verbleiben ein Proton und ein Neutron.

Literatur

• Review of Particle Physics - W-M Yao et al 2006 J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 33 1-1232 doi:10.1088/0954-3899/33/1/001
• J. Steinberger, W. K. H. Panofsky and J. Steller (1950). Evidence for the production of neutral mesons by photons. Physical Review 78: 802. doi:10.1103/PhysRev.78.802. - Nachweis des neutralen Pion

Siehe auch

• Liste der Mesonen