Positives Element

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

In der Mathematik nennt man ein Element einer *-Algebra positiv, wenn es eine Summe von Elementen der Form ist.

Sei eine *-Algebra, so heißt ein Element positiv, falls endlich viele Elemente existieren, sodass gilt. Man schreibt dafür auch .

Die Menge der positiven Elemente wird mit bezeichnet.

Besonders interessant ist der Fall, bei dem eine vollständige normierte *-Algebra ist, die die C*-Eigenschaft () erfüllt, eine sogenannte C*-Algebra.

  • Das Einselement einer unitären *-Algebra ist positiv.
  • Für jedes Element sind und per Definition positiv.

Falls eine C*-Algebra ist, gilt:

  • Sei ein normales Element, dann definiert jede positive Funktion , die auf dem Spektrum von stetig ist, mittels stetigem Funktionalkalkül ein positives Element .
  • Jede Projektion, das heißt jedes Element für das gilt, ist positiv. Für das Spektrum eines solchen idempotenten Elements gilt nämlich , wie sich aus dem stetigen Funktionalkalkül ergibt.

Sei eine C*-Algebra und . Dann sind äquivalent:

  • Es gilt und ist ein normales Element.
  • Es existiert ein Element , sodass gilt.
  • Es existiert ein (eindeutiges) selbstadjungiertes Element , sodass gilt.

Ist eine unitäre *-Algebra mit Einselement , so sind dazu außerdem die folgenden Aussagen äquivalent:

  • Es gilt für jedes und ist selbstadjungiertes Element.
  • Es gilt für ein und ist selbstadjungiertes Element.

Sei eine *-Algebra. Dann gilt:

  • Ist ein positives Element, dann ist selbstadjungiert.
  • Die Menge der positiven Elemente ist ein konvexer Kegel im reellen Vektorraum der selbstadjungierten Elemente . Das heißt, für alle und gilt .
  • Ist ein positives Element, dann ist auch positiv für jedes Element .
  • Für die lineare Hülle von gilt und .

Sei eine C*-Algebra. Dann gilt:

  • Nach dem stetigen Funktionalkalkül existiert für jedes und ein eindeutig bestimmtes , das erfüllt, das heißt eine -te Wurzel. Insbesondere existiert für ein positives Element eine Quadratwurzel. Da für ein das Element positiv ist, ermöglicht dies die Definition eines eindeutigen Betrags: .
  • Für jede reelle Zahl gibt es ein positives Element für das für alle gilt. Dabei ist die Abbildung stetig. Für invertierbare sind auch negative Werte für möglich.
  • Produkte kommutierender positiver Elemente sind ebenfalls positiv. Gilt also für positive , so gilt .
  • Jedes Element lässt sich eindeutig als Linearkombination von vier positiven Elementen darstellen. Hierzu zerlegt man zunächst in den selbstadjungierten Real- und Imaginärteil und diese wiederum in Positiv- und Negativteil mittels stetigem Funktionalkalkül. Es gilt nämlich , da .
  • Es gilt , falls sowohl als auch positiv sind.
  • Ist eine C*-Unteralgebra von , so gilt .
  • Ist eine weitere C*-Algebra und ein *-Homomorphismus von nach , dann gilt .[1]
  • Seien positive Elemente für die gilt, so kommutieren diese und es gilt . Man nennt diese dann auch orthogonal und schreibt .

Partielle Ordnung

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine *-Algebra. Die Eigenschaft, positives Element zu sein, definiert eine translationsinvariante partielle Ordnung auf der Menge der selbstadjungierten Elemente . Wenn gilt für , schreibt man oder .

Diese partielle Ordnung erfüllt die Eigenschaften und für alle mit und .

Ist eine C*-Algebra, so besitzt die partielle Ordnung darüber hinaus für die folgenden Eigenschaften:

  • Gilt , so ist für jedes . Für ein , das mit und kommutiert, gilt sogar .
  • Gilt , so ist .
  • Gilt , so ist für alle reellen Zahlen .
  • Ist invertierbar und gilt , so ist invertierbar und für die Inversen gilt .

Einzelnachweise

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
  1. Jacques Dixmier: C*-algebras. Aus dem Französischen von Francis Jellett. North-Holland, Amsterdam/New York/Oxford 1977, ISBN 0-7204-0762-1, S. 18.