Potenzgesetz (Statistik)

Die Häufigkeit der Einwohnerzahlen deutscher Städte (gelb) kann durch ein Potenzgesetz: $y=380969 \cdot x^{-2,31}$ beschrieben werden (blau). Dem liegt eine Pareto-Verteilung zugrunde.

In der Mathematik sind Potenzgesetze (engl. power laws) Gesetzmäßigkeiten, die die Form eines Monoms haben: $y=a\cdot x^b$.

Sie gehören zu den Skalengesetzen und beschreiben die Skaleninvarianz vieler natürlicher Phänomene. Sie treten beispielsweise im Zusammenhang mit Worthäufigkeiten (Zipfsches Gesetz) oder menschlicher Wahrnehmung (Stevenssche Potenzfunktion) auf. Pareto-Verteilungen sind ebenfalls Potenzgesetze.

Mathematische Details

Potenzgesetze beschreiben polynomielle Abhängigkeiten zwischen zwei Größen $y$ und $x$ der Form

$y=a\cdot x^b + \dotsb$

Dabei ist $a$ der Vorfaktor und $b$ der Exponent des Potenzgesetzes, und die durch $+ \dotsb$ angedeuteten Zusatzterme werden als vernachlässigbar angenommen und weggelassen.

Der Wert von $a$ ist meist weniger relevant – man interessiert sich eher für den Exponenten des Potenzgesetzes, da dieser bestimmt, ob $y$ mit steigendem $x$ ab- oder zunimmt und mit welcher Geschwindigkeit. Insbesondere kann der Vorfaktor in den Exponenten integriert werden.  $y=a\cdot x^b\,$ wird dazu umgeformt zu $y=x^{b+\log_x a}$.

Beispiele

Ob eine gegebene Verteilung durch eine Potenzfunktion angenähert werden kann, zeigt sich bei einer doppelt-logarithmischen Auftragung. Ist der Graph der Funktion eine Gerade, so ist eine Näherung durch eine Potenzfunktion möglich. Die Steigung der Gerade ist dann ihr Exponent. Eine detaillierte Herleitung und Beispiel findet sich im Artikel Pareto-Verteilung.

Exponentielles Wachstum von Städten

Ein Potenzgesetz der Größenverteilung ergibt sich bei exponentiellem Wachstum, wenn sowohl die Anzahl als auch die Ausdehnung der zu messenden Objekte exponentiell wächst. Die Größenverteilung der Objekte zu einem beliebigen Zeitpunkt gehorcht dann einem Potenzgesetz:

Beispielsweise sei die Anzahl von Städten zum Zeitpunkt $t$ eine exponentiell wachsende Größe:

$n(t) = e^{\nu t}$

Die Ausdehnung einer zum Zeitpunkt $t_i$ gegründeten Stadt zum Zeitpunkt $t$ sei ebenso exponentiell wachsend:

$k_i=e^{\mu (t-t_i)} \;\;\; (\in {[1,\infty[})$

Für die Ausdehnung $k_i$ der Städte gilt folglich die Wahrscheinlichkeitsaussage

$P[k_i(t) < k] = P[e^{\mu (t-t_i)} < k].$

Durch Logarithmieren und Umformen ergibt sich daraus:

$P[k_i(t) < k] = P[\mu(t-t_i) < \ln{k}] = P[t-t_i < \ln{k^{1/\mu}}] = 1 - P[t_i \leq t - \ln{k^{1/\mu}}]$

Die Wahrscheinlichkeit zum Zeitpunkt $t$, dass eine zufällige Stadt $i$ vor einem gewählten Zeitpunkt $t_0$ gegründet worden ist, beträgt

$P_t[t_i < t_0]= \frac{n(t_0)}{n(t)} = \frac{e^{\nu t_0}}{e^{\nu t}}=e^{\nu (t_0-t)}.$

Verwendet man diese Formel für die Berechnung der Verteilungsfunktion (setze $t_0 = t - \ln{k^{1/\mu}}$), so ergibt sich die Verteilungsfunktion

$P[k_i(t) < k] = 1 - e^{\nu (t - \ln{k^{1/\mu}} - t)} = 1-e^{\ln{k^{-\nu/\mu}}} = 1 - \frac{1}{k^{\nu/\mu}}.$

Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte für die Ausdehnung (Ableitung der Verteilungsfunktion; „Größenverteilung“) ist folglich von der gesuchten Form:

$p(k) = a\cdot k^{-(1+\nu/\mu)} \;,\;\;\; k \in {[1,\infty[}$

das heißt mit $b=-1-\mu /\nu$.

Siehe auch

• Pareto-Verteilung
• Zipfsches Gesetz, Lotkas Gesetz
• Allometrie, Potenz
• Lewis Fry Richardson

Literatur

• Yule, G. U.: A mathematical theory of evolution based upon the conclusions of Dr J.C. Willis, FRS. Philos. Trans. R. Soc. Lond. B 213 (1924), 21-87
• Willis, J. C.: Age and area. Cambridge Univ Press, Cambridge 1922
• Fermi, Enrico: On the Origin of the Cosmic Radiation. Phys. Rev. 75 (1949), S. 1169–1174
• Zipf, George Kingsley (1949): Human Behavior and The Principles of Least Effort. Addison-Wesley, Cambridge, MA 1949