Lévy-Verteilung

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Die Familie der Lévy-Verteilungen (benannt nach dem französischen Mathematiker Paul Lévy) mit Parametern \gamma >0,\, \delta \in \mathbb R ist definiert durch die Dichte

 f(x)=\sqrt{\frac{\gamma}{2 \pi}} \frac{1}{(x-\delta)^{3/2}}\exp\left(-\frac{\gamma}{2(x-\delta)}\right),\quad x>\delta .

Die Verteilung, die entsteht, wenn als Parameter \gamma=1 und \delta=0 gewählt werden, wird auch als Standard-Lévy-Verteilung bezeichnet.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Standard-Lévy-Verteilung gehört (wie die Normalverteilung und die Cauchy-Verteilung) zur übergeordneten Familie der alpha-stabilen Verteilungen, d. h. sie erfüllt die Bedingung

 (X_1 + X_2 + \dotsb + X_n) \sim n^{1/\alpha}X ,

Wobei X_1, X_2, \ldots, X_n, X unabhängige Standard-Lévy-Variablen sind (hier ist \alpha=1/2). Da die Theorie der alpha-stabilen Verteilungen maßgeblich von Lévy mitgestaltet wurde, spricht man, um Verwechslungen vorzubeugen, auch oft von der eigentlichen Lévy-Verteilung.

Momente[Bearbeiten]

Dichten von einigen Lévy-verteilten Zufallsgrößen

Die Lévy-Verteilung besitzt weder endlichen Erwartungswert noch endliche Varianz, denn E(|X|)=\infty. Die Lévy-Verteilung gehört somit zu den sogenannten heavy-tailed distributions, die vor allem dazu verwendet werden, extreme Ereignisse (z.B. einen Börsencrash in der Finanzmathematik) zu modellieren.