Lévy-Verteilung

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Lévy-Verteilungen (benannt nach dem französischen Mathematiker Paul Lévy) sind eine Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit der besonderen Eigenschaft, dass deren Erwartungswert im Unendlichen liegt.

Definition[Bearbeiten]

Lévy-Verteilungen verschiedener Skalierung (μ=0)
 f(x)=\sqrt{\frac{\gamma}{2 \pi}} \cdot \frac{1}{(x-\mu)^{3/2}} \cdot \exp\left(-\frac{\gamma}{2(x-\mu)}\right),\quad x>\mu ., mit den beiden Parametern \gamma >0,\, \mu \in \mathbb R.
\mu ist der Lageparameter und definiert die Position auf der x-Achse
\gamma ist der Skalierungsparameter (Stauchung falls <1; Streckung falls >1)

Standard-Lévy-Verteilung[Bearbeiten]

Bei der Standard-Lévy-Verteilung entfallen die beiden Parameter (d. h. \gamma =1,\, \mu=0 )

 f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \cdot x^3}} \cdot e^{-\frac{1}{2x}},\quad x>0.

Sie ähnelt einer Normalverteilung, bei der die Standardabweichung nicht konstant ist, sondern mit zunehmendem x steigt: \sigma = x^{3/2}

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Standard-Lévy-Verteilung gehört (wie die Normalverteilung und die Cauchy-Verteilung) zur übergeordneten Familie der alpha-stabilen Verteilungen, d. h. sie erfüllt die Bedingung

 (X_1 + X_2 + \dotsb + X_n) \sim n^{1/\alpha}X ,

Wobei X_1, X_2, \ldots, X_n, X unabhängige Standard-Lévy-Variablen sind (hier ist \alpha=1/2). Da die Theorie der alpha-stabilen Verteilungen maßgeblich von Lévy mitgestaltet wurde, spricht man, um Verwechslungen vorzubeugen, auch oft von der eigentlichen Lévy-Verteilung.

Momente[Bearbeiten]

Dichten von einigen Lévy-verteilten Zufallsgrößen

Die Lévy-Verteilung besitzt weder endlichen Erwartungswert noch endliche Varianz, denn E(|X|)=\infty. Die Lévy-Verteilung gehört somit zu den sogenannten heavy-tailed distributions, die vor allem dazu verwendet werden, extreme Ereignisse (z.B. einen Börsencrash in der Finanzmathematik) zu modellieren.

Anwendung[Bearbeiten]

Mit der Lévy-Verteilung lassen sich verschiedene Phänomene, insbesondere in der Natur beschreiben:

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b Applebaum, D.: Lectures on Lévy processes and Stochastic calculus, Braunschweig; Lecture 2: Lévy processes (PDF; 14 S., 282 KB). University of Sheffield. S. 37–53. 22. Juli 2010. Abgerufen am 13. Juni 2014.
  2. Belle Dumé: Geomagnetic flip may not be random after all. In: physicsworld.com. 21. März 2006. Abgerufen am 13. Juni 2014.