Zipfsches Gesetz

Das Zipfsche Gesetz (nach George Kingsley Zipf, der dieses Gesetz in den 1930er Jahren aufstellte) ist ein Modell, mit dessen Hilfe man bei bestimmten Größen, die in eine Rangfolge gebracht werden, deren Wert aus ihrem Rang abschätzen kann. Häufige Verwendung findet das Gesetz in der Linguistik, speziell in der Korpuslinguistik und Quantitativen Linguistik, wo es zum Beispiel die Häufigkeit von Wörtern in einem Text zur Rangfolge in Beziehung setzt. Das Zipfsche Gesetz markierte den Beginn der Quantitativen Linguistik.

Ihm liegt ein Potenzgesetz zugrunde, das von der Pareto-Verteilung mathematisch beschrieben wird.

Einfache Zipfverteilung

Die vereinfachte Aussage des Zipfschen Gesetzes lautet: Wenn die Elemente einer Menge – beispielsweise die Wörter eines Textes – nach ihrer Häufigkeit geordnet werden, ist die Wahrscheinlichkeit $p$ ihres Auftretens umgekehrt proportional zur Position $n$ innerhalb der Reihenfolge:

$p(n) \sim \tfrac{1}{n}.$

Der Normierungsfaktor bei $N$ Elementen ist durch die harmonische Reihe

$H_N = \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} \approx \ln(N) + 0{,}577 \approx \ln(1{,}78 \cdot N)$

gegeben und lässt sich nur für endliche Mengen angeben. Damit folgt:

$p(n) = \frac{1}{H_N} \cdot \frac{1}{n} \approx \frac{1}{n \cdot \ln(1{,}78 \cdot N)}$

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Das Zipfsche Gesetz hat seinen Ursprung in der Linguistik. Es besagt, dass bestimmte Wörter viel häufiger auftreten als andere und die Verteilung einer Hyperbel $\tfrac 1 n$ ähnelt. Beispielsweise treten bei den meisten Sprachen Wörter umso seltener auf, je länger sie sind. Der Ordnungsparameter Rang n lässt sich als kumulative Größe beschreiben: Der Rang n ist gleichbedeutend mit der Anzahl aller Elemente, die genauso groß oder größer sind als n. Für Rang 1 gibt es genau ein Element, nämlich das größte. Für Rang 2 sind es zwei, nämlich das erste und das zweite Element, für 3 drei usw.

Zipf nimmt einen einfachen reziproken Zusammenhang zum Rang an: ${}~y(Rang) \sim Rang^{-a}$. In der ursprünglichen Form ist das Zipfsche Gesetz frei von Parametern, es ist $a=1$.

Die Zipfsche Verteilung entspricht genau der Pareto-Verteilung, unter Vertauschung von Ordinate und Abszisse:

$y(x) \sim x^{-a} \mbox{ (Zipf) } \Leftrightarrow x(y) \sim y^{\frac{-1}{a}} \mbox{ (Pareto)}$

Sie ist die Umkehrfunktion der Pareto-Verteilung. Wie diese ist sie eine kumulative Verteilungsfunktion, die einem Potenzgesetz gehorcht. Der Exponent $e$ der Verteilungsdichtefunktion lautet entsprechend:

$e = 1 + \frac{1}{a}$

und für den einfachen Fall $a=1$:

$e = 2$

Beispiele

Zipf-Verteilung der Worthäufigkeiten anhand von Effi Briest

Zipf-Buchstabenhäufigkeit eines deutschen Textes

Die Verteilung der Worthäufigkeiten in einem Text, linke Grafik, gehorcht qualitativ einer einfachen Zipfschen Verteilung.

Das Zipfsche Gesetz gibt den Exponenten a der kumulativen Verteilungsfunktion vor: a=1.

Der Fitwert für die Worthäufigkeiten beträgt jedoch a=0,83, gleichbedeutend mit dem Exponenten a_pareto=1,20 einer Paretoverteilung und dem Exponenten e einer Potenz-Verteilungsdichtefunktion von e=2,20.

Auch die Verteilung der Buchstabenhäufigkeiten ähnelt einer Zipfschen Verteilung. Die Statistik mit 20–30 Buchstaben ist aber zu schlecht, um den Verlauf mit einer Potenzfunktion anzupassen.

Zipf-Verteilung und Messung der Größenverteilung von Städten

Ein weiteres Beispiel aus dem Artikel Pareto-Verteilung behandelt die Größenverteilung von Städten. Auch hier findet man eine Abhängigkeit, die einem Potenzgesetz gehorcht. Die Grafik rechts stellt die Zipf-Näherung den Messwerten gegenüber. Der lineare Verlauf in der doppeltlogarithmischen Verteilung stützt die Annahme eines Potenzgesetzes. Anders als die Vermutung von Zipf hat der Exponent nicht den Wert 1, sondern den Wert 0,77, entsprechend einem Exponenten einer Potenzdichteverteilung von e=2,3.

Die Bedeutung der Zipf-Verteilung liegt in der schnellen qualitativen Beschreibung von Verteilungen aus den unterschiedlichsten Bereichen, während die Pareto-Verteilung den Exponenten der Verteilung verfeinert.

Beispielsweise ist die Datenbasis für einen Fit bei der Angabe der Einwohnerzahl von nur sieben Städten zu klein. Das Zipfsche Gesetz liefert eine gute Näherung:

Rang n	Stadt	Einwohner	1/Rang	p(n)	p(N)*Menschen	Abweichung in %
1	Berlin	3522896	1	0,39	3531136,31	-0,23
2	Hamburg	1626220	0,5	0,19	1765568,15	-8,57
3	München	1206683	0,33	0,13	1177045,44	2,46
4	Köln	946280	0,25	0,1	882784,08	6,71
5	Frankfurt	635150	0,2	0,08	706227,26	-11,19
6	Dortmund	594058	0,17	0,06	588522,72	0,93
7	Essen	624445	0,14	0,06	504448,04	19,22

Die Schlagworte Potenzgesetz, Skalengesetz oder Selbstorganisation suchen nach Antworten für das Auftreten von Potenzverteilungen.

Siehe auch

• Yule-Verteilung (nach George Udny Yule)
• Bradfordsches Gesetz
• Zeta- oder Zipf-Verteilung

Literatur

• Helmut Birkhan: Das „Zipfsche Gesetz“, das schwache Präteritum und die germanische Lautverschiebung, Verl. d. Österr. Akad. d. Wiss., 1979 ISBN 3-700-10285-2
• David Crystal: Die Cambridge-Enzyklopädie der Sprache. Campus, Frankfurt/New York 1993, ISBN 3-593-34824-1
• X. Gabaix: Zipf's law for cities: An explanation. In: Quarterly Journal of Economics 114 (3): 739–767 AUG 1999
• Henry Guiter, M. V. Arapov (eds.): Studies on Zipfs Law. Brockmeyer, Bochum 1982, ISBN 3-88339-244-8
• M. Marsili, Y. C. Zhang: Interacting individuals leading to Zipf's law. In: Physical Review Letters 80 (12): 2741–2744 MAR 23 1998
• George Kingsley Zipf: The Psycho-Biology of Language. An Introduction to Dynamic Philology. The M.I.T. Press, Cambridge, Mass. 1935/1968
• George Kingsley Zipf: Human Behavior and the Principle of Least Effort. An Introduction to Human Ecology. Addison-Wesley Press, Cambridge, Mass. 1949

Weblinks

 Wiktionary: Zipfsches Gesetz – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• http://www.nslij-genetics.org/wli/zipf/ – Umfangreiche Bibliografie
• http://arxiv.org/abs/cs.CL/0406015 – Zipf's law and the creation of musical context
• http://wortschatz.uni-leipzig.de/html/faq/hkl.html – Zipfsches Gesetz am Beispiel Deutscher Wortschatz
• Zipf, Power-laws and Pareto
• Use of Hermetic Word Frequency Counter to Illustrate Zipf's Law
• B. McCOWAN et al.: The appropriate use of Zipf’s law in animal communication studies. ANIMAL BEHAVIOUR, 2005, 69, F1–F7 (PDF-Datei; 167 kB)
• Das Zipfsche Gesetz in den Primfaktoren der Fibonacci-Zahlen
• Das Zipfsche Gesetz in der logistischen Gleichung
• Tobias Just und Patrick Stephan: Das Zipfsche Gesetz und seine Implikationen für urbane Regionen (PDF; 283 kB)

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | kategorial | hypergeometrisch | Rademacher | Zipf | Zipf-Mandelbrot

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | negativ binomial | erweitert negativ binomial | Compound-Poisson | diskret uniform | discrete-Phase-Type | Gauss-Kuzmin | geometrisch | logarithmisch | parabolisch-fraktal | Poisson | Poisson-Gamma | Skellam | Yule-Simon | Zeta

Kontinuierliche univariate Verteilungen

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
Beta | Cantor | Kumaraswamy | raised Cosine | Dreieck | U-quadratisch | stetig uniform | Wigner-Halbkreis

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:
Beta prime | Bose-Einstein | Burr | Chi-Quadrat | Coxian | Erlang | Exponential | F | Fermi-Dirac | Folded normal | Fréchet | Gamma | Gamma-Gamma | Extremwert | verallgemeinert invers Gauß | halblogistisch | halbnormal | Hotellings T-Quadrat | hyper-exponentiale | hypoexponential | invers Chi-Quadrat | scale-invers Chi-Quadrat | Invers Normal | Invers Gamma | Lévy | log-normal | log-logistisch | Maxwell-Boltzmann | Maxwell-Speed | Nakagami | nichtzentriert Chi-Quadrat | Pareto | Phase-Type | Rayleigh | relativistisch Breit-Wigner | Rice | Rosin-Rammler | shifted Gompertz | truncated normal | Type-2-Gumbel | Weibull | Wilks’ Lambda

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | exponential Power | Fishers z | Fisher-Tippett (Gumbel) | generalized hyperbolic | Hyperbolic-secant | Landau | Laplace | alpha-stabil | logistisch | normal (Gauß) | normal-invers Gauß’sch | Skew-normal | Studentsche t | Type-1-Gumbel | Variance-Gamma | Voigt

Multivariate Verteilungen

Diskrete multivariate Verteilungen:
Ewen | multinomial | Dirichlet compound multinomial

Kontinuierliche multivariate Verteilungen:
Dirichlet | generalized Dirichlet | multivariat normal | multivariat Student | normalskaliert invers Gamma | Normal-Gamma

Multivariate Matrixverteilungen:
Invers Wishart | Matrix-normal | Wishart