Primorial

Mit Primorial (von engl. primorial) und der Primfakultät bezeichnet man das Produkt aller Primzahlen, die eine bestimmte Zahl nicht übersteigen. Die Begriffe sind eng mit der Fakultät verwandt und kommen vor allem in dem mathematischen Gebiet der Zahlentheorie zum Einsatz.

Der Name Primorial ist das eingedeutschte englische Wort primorial. Das Produkt der Primzahlen kleinergleich $n$ wird allerdings im Deutschen selten Primorial, noch seltener Primfakultät genannt. Meist wird es umschrieben als „Produkt der Primzahlen kleinergleich n“.

Definition [Bearbeiten]

Für eine natürliche Zahl $n$ ist die Primfakultät $n\#$ definiert als das Produkt aller Primzahlen kleinergleich $n$ :

$n\# = \prod_{p \ \mathrm{prim}}^{p \leq n} p$ .

Manchmal unterscheidet man den Spezialfall, in dem $n$ Primzahl ist und definiert nur für diesen analog das Primorial, das für nicht-prime $n$ undefiniert bleibt.

Im Fall $n\leq 1$ liegt das leere Produkt vor, der Wert der Primfakultät und des Primorials beträgt dann 1. Für Argumente $n$ , die keine Primzahlen sind, besitzt das Primorial keine Werte. Die Primfakultät liefert für diese $n$ den Wert, den die nächstkleinere Primzahl liefern würde. Im praktischen Gebrauch werden jedoch beide Begriffe meist als Synonym verwendet.

Beispiel [Bearbeiten]

Um den Wert des Primorials $7\#$ zu berechnen, bestimmt man zunächst alle Primzahlen kleinergleich 7. Diese sind 2, 3, 5 und 7. Das Produkt dieser vier Primzahlen liefert $7\# = 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 = 210$ . Für 9 könnte man dagegen kein Primorial, wohl aber die Primfakultät berechnen - da 9 keine Primzahl ist und die nächstkleinere Primzahl die 7 und die nächstgrößere Primzahl die 11 ist, gilt $7\# = 8\# = 9\# = 10\# = 210$ .

Eigenschaften [Bearbeiten]

Vergleich der Fakultät (gelb) und der Primfakultät (rot)

Es seien $p$ und $q$ zwei benachbarte Primzahlen. Dann gilt für jede natürliche Zahl $n$ mit $p\leq n<q$ :

$n\#=p\#$

Für das Primorial kennt man folgende Abschätzung^[1]

$n\#\leq 4^n$ .

Ferner gilt:

$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n\#} = e$

Für $n<10^{11}$ sind die Werte kleiner als $e$ ,^[2] aber mit größeren $n$ überschreiten die Werte der Funktion die Schranke $e$ und oszillieren später unendlich oft um $e$ .

Die Anzahl an Teilern der Primorials richtet sich nach der Funktion $2^x$ , d. h. die Zahl 2# hat 2 Teiler, 3# hat 4 Teiler, 5# hat 8, und 97# hat bereits $2^{25}$ Teiler usw.

Die Summe der Kehrwerte der Primfakultät konvergiert gegen eine Konstante

$\sum_{p\text{ prim}} {1 \over p\#} = {1 \over 2} + {1 \over 6} + {1 \over 30} + ... = 0{,}7052301717918...$

Die Engel-Entwicklung (Stammbruch-Entwicklung) dieser Zahl bildet die Folge der Primzahlen (Siehe Folge A064648 in OEIS)

Tabelle mit Beispielwerten [Bearbeiten]

n	n#	Anzahl der Teiler
2	2	2
3	6	4
5	30	8
7	210	16
11	2310	32
13	30030	64
17	510510	128
19	9699690	256
23	223092870	512
29	6469693230	1024
31	200560490130	2048
37	7420738134810	4096
41	304250263527210	8192
43	13082761331670030	16384
47	614889782588491410	32768
53	32589158477190044730	65536
59	1922760350154212639070	131072
61	117288381359406970983270	262144
67	7858321551080267055879090	524288
71	557940830126698960967415390	2²⁰
73	40729680599249024150621323470	2²¹
79	3217644767340672907899084554130	2²²
83	267064515689275851355624017992790	2²³
89	23768741896345550770650537601358310	2²⁴
97	2305567963945518424753102147331756070	2²⁵

Quellen [Bearbeiten]

↑ G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1.
Theorem 415, S. 341
↑ L. Schoenfeld: Sharper bounds for the Chebyshev functions $\theta(x)$ and $\psi(x)$ . II. Math. Comp. Bd. 34, Nr. 134 (1976) 337–360; dort S. 359.
Zitiert in: G. Robin: Estimation de la fonction de Tchebychef $\theta$ sur le $k$ -ieme nombre premier et grandes valeurs de la fonction $\omega(n)$ , nombre de diviseurs premiers de $n$ . Acta Arithm. XLII (1983) 367–389 (PDF 731KB); dort S. 371