Primorial

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Mit Primorial (von engl. primorial) und der Primfakultät bezeichnet man das Produkt aller Primzahlen, die eine bestimmte Zahl nicht übersteigen. Die Begriffe sind eng mit der Fakultät verwandt und kommen vor allem in dem mathematischen Gebiet der Zahlentheorie zum Einsatz.

Der Name Primorial ist das eingedeutschte englische Wort primorial. Das Produkt der Primzahlen kleinergleich n wird allerdings im Deutschen selten Primorial, noch seltener Primfakultät genannt. Meist wird es umschrieben als „Produkt der Primzahlen kleinergleich n“.

Definition[Bearbeiten]

Für eine natürliche Zahl n ist die Primfakultät n\# definiert als das Produkt aller Primzahlen kleinergleich n:

 n\# = \prod_{p \ \mathrm{prim}}^{p \leq n} p .

Manchmal unterscheidet man den Spezialfall, in dem n Primzahl ist und definiert nur für diesen analog das Primorial, das für nicht-prime n undefiniert bleibt.

Im Fall n\leq 1 liegt das leere Produkt vor, der Wert der Primfakultät und des Primorials beträgt dann 1. Für Argumente n, die keine Primzahlen sind, besitzt das Primorial keine Werte. Die Primfakultät liefert für diese n den Wert, den die nächstkleinere Primzahl liefern würde. Im praktischen Gebrauch werden jedoch beide Begriffe meist als Synonym verwendet.

Beispiel[Bearbeiten]

Um den Wert des Primorials 7\# zu berechnen, bestimmt man zunächst alle Primzahlen kleinergleich 7. Diese sind 2, 3, 5 und 7. Das Produkt dieser vier Primzahlen liefert 7\# = 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 = 210. Für 9 könnte man dagegen kein Primorial, wohl aber die Primfakultät berechnen - da 9 keine Primzahl ist und die nächstkleinere Primzahl die 7 und die nächstgrößere Primzahl die 11 ist, gilt 7\# = 8\# = 9\# = 10\# = 210.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Vergleich der Fakultät (gelb) und der Primfakultät (rot)
  • Es seien p und q zwei benachbarte Primzahlen. Dann gilt für jede natürliche Zahl n mit p\leq n<q:
n\#=p\#
  • Für das Primorial kennt man folgende Abschätzung[1]
n\#\leq 4^n.
  • Ferner gilt:
\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n\#} = e
Für n<10^{11} sind die Werte kleiner als e,[2] aber mit größeren n überschreiten die Werte der Funktion die Schranke e und oszillieren später unendlich oft um e.
  • Die Anzahl an Teilern der Primorials richtet sich nach der Funktion 2^x, d. h. die Zahl 2# hat 2 Teiler, 3# hat 4 Teiler, 5# hat 8, und 97# hat bereits 2^{25} Teiler usw.
\sum_{p\text{ prim}}  {1 \over p\#} = {1 \over 2} + {1 \over 6} + {1 \over 30} + ... = 0{,}7052301717918...
Die Engel-Entwicklung (Stammbruch-Entwicklung) dieser Zahl bildet die Folge der Primzahlen (Siehe Folge A064648 in OEIS)

Tabelle mit Beispielwerten[Bearbeiten]

n n# Anzahl der Teiler
2 2 2
3 6 4
5 30 8
7 210 16
11 2310 32
13 30030 64
17 510510 128
19 9699690 256
23 223092870 512
29 6469693230 1024
31 200560490130 2048
37 7420738134810 4096
41 304250263527210 8192
43 13082761331670030 16384
47 614889782588491410 32768
53 32589158477190044730 65536
59 1922760350154212639070 131072
61 117288381359406970983270 262144
67 7858321551080267055879090 524288
71 557940830126698960967415390 220
73 40729680599249024150621323470 221
79 3217644767340672907899084554130 222
83 267064515689275851355624017992790 223
89 23768741896345550770650537601358310 224
97 2305567963945518424753102147331756070 225

Quellen[Bearbeiten]

  1. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1.
    Theorem 415, S. 341
  2. L. Schoenfeld: Sharper bounds for the Chebyshev functions \theta(x) and \psi(x). II. Math. Comp. Bd. 34, Nr. 134 (1976) 337–360; dort S. 359.
    Zitiert in: G. Robin: Estimation de la fonction de Tchebychef \theta sur le k-ieme nombre premier et grandes valeurs de la fonction \omega(n), nombre de diviseurs premiers de n. Acta Arithm. XLII (1983) 367–389 (PDF 731KB); dort S. 371

Weblinks[Bearbeiten]