Punktsymmetrie

Punktsymmetrische Objekte in der Ebene

Die Punktsymmetrie, auch Zentralsymmetrie, ist in der Geometrie eine Eigenschaft einer Figur. Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie durch die Spiegelung an einem Symmetriepunkt auf sich selbst abgebildet wird.

Definition

Eine (ebene) geometrische Figur (zum Beispiel ein Viereck) heißt punktsymmetrisch, wenn es eine Punktspiegelung gibt, die diese Figur auf sich abbildet. Der Punkt, an dem diese Spiegelung erfolgt, wird als Symmetriezentrum bezeichnet.

Punktspiegelung als Drehung

In der Ebene (zweidimensionaler Raum) entspricht die Punktspiegelung einer Drehung der geometrischen Figur um 180°. Hier ist die Punktsymmetrie ein Spezialfall der Drehsymmetrie.

Beispiele

• Bei einem Viereck liegt Punktsymmetrie (in sich) genau dann vor, wenn es sich um ein Parallelogramm handelt. Das Symmetriezentrum ist dann der Schnittpunkt der Diagonalen. Als Spezialfälle des Parallelogramms sind Rechteck, Raute und Quadrat punktsymmetrisch.
• Jeder Kreis ist (in sich) punktsymmetrisch bezüglich seines Mittelpunkts.
• Zwei Kreise mit gleichem Radius sind zueinander punktsymmetrisch. Das Symmetriezentrum ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der beiden Kreismittelpunkte.
• Mehrere Symmetriezentren kann es nur geben, wenn die Figur nicht beschränkt ist. Das einfachste Beispiel ist die Gerade. Sie hat sogar unendlich viele Symmetriezentren.
• Ein Dreieck ist niemals punktsymmetrisch. Es können aber zwei Dreiecke zueinander punktsymmetrisch sein.

Punktsymmetrie von Funktionsgraphen

Überblick

Punktsymmetrischer Funktionsgraph

Eine in der Schulmathematik häufige Aufgabenstellung besteht darin nachzuweisen, dass der Graph einer gegebenen Funktion $f\colon D\to \mathbb {R}$ mit dem Definitionsbereich $D\subset \mathbb {R}$ und den reellen Zahlen als Wertebereich punktsymmetrisch ist.

Existiert ein Punkt $(a,b),$ sodass für die Funktion $f$ die Gleichung

$f(a+x)-b=-f(a-x)+b$

für alle $x\in D$ gilt, dann ist die Funktion punktsymmetrisch zum Punkt $(a,b).$ Die genannte Bedingung ist mit

$f(x)=2b-f(2a-x)$

gleichwertig, wie die Substitution $x\to x-a$ zeigt. Im Spezialfall von Punktsymmetrie um dem Ursprung $(0,0)$ vereinfacht sich diese Gleichung zu

$f(-x)=-f(x).$

Ist sie für alle x gültig, liegt Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung vor. Dann nennt man die Funktion $f$ ungerade Funktion.

Beispiele

Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung

Kurve von f(x) = 2x⁵

Gegeben sei die Funktion $f(x)=2x^{5}.$ Dann gilt:

$f(-x)=2(-x)^{5}=2(-1)^{5}x^{5}=2(-1)x^{5}=-2x^{5}=-f(x)$

Also ist der Funktionsgraph punktsymmetrisch zum Ursprung (0,0).

Punktsymmetrie zum Punkt (0,2)

Kurve von f(x) = 2x⁵ + 2

Gegeben sei die Funktion $f(x)=2x^{5}+2.$ Wähle $a=0$ und $b=2.$ Dann gilt:

$2b-f(2a-x)=4-f(-x)=4-(2(-x)^{5}+2)=$

$=4-(-2x^{5}+2)=4+2x^{5}-2=2x^{5}+2=f(x)$

Folglich ist der Funktionsgraph punktsymmetrisch zum Punkt $(0,2)$ und es gilt

$-f(x)+2=f(-x)-2.$

Um den Symmetriepunkt $(0,2)$ zu bestimmen, hilft dieses Verfahren nicht. Meist reicht es jedoch, den Funktionsgraphen zu zeichen und daraus eine Vermutung bezüglich des Symmetriepunktes abzuleiten.