Randelementmethode

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Die Randelementmethode (REM, englisch boundary element method, BEM, v. a. in der Elektrotechnik auch Momentenmethode, englisch MoM , method of moments) ist ein Diskretisierungsverfahren zur Berechnung von Anfangs- und Randwertproblemen mit partiellen Differentialgleichungen und ein numerisches Berechnungsverfahren in den Ingenieurwissenschaften. Als Vater der Randelementmethode wird Carl Friedrich Gauß genannt.

Anwendungsbereiche[Bearbeiten]

Die Randelementmethode lässt sich auf vielen Gebieten anwenden, zum Beispiel in der Strömungsmechanik, Akustik, Wärmetransport, Elektromagnetismus, Festkörpermechanik, Bruchmechanik, Plastizität usw. Die REM hat sich etwa parallel mit der Finite-Elemente-Methode (FEM) entwickelt. Bei den meisten Fragestellungen ist jedoch die FEM weiter verbreitet, weil sie weniger Restriktionen bezüglich der Eigenschaften des zu beschreibenden Gebietes aufweist (im Falle der Elastitiztätstheorie von Kontinua sind das zum Beispiel kleine Verformungen/Verzerrungen und linear-elastisches Verhalten).

Weil sie für das Beispiel der elastischen Kontinua auf den Green'schen Einflussfunktionen basiert, stellt sie gegenüber der FE-Methode eine verbesserte Lösung dar. Die Randelementemethode kann wiederum sehr effizient und elegant mit der Methode der finiten Elemente gekoppelt (REM-FEM-Kopplung) werden.

Die Randelementmethode wird weniger oft im Bereich Numerische Strömungsmechanik (CFD) verwendet, sondern eher für elektrische Feldprobleme (Elektrostatik), thermische Feldprobleme (stationäre und transiente Wärmeleitung), sowie mechanische Feldprobleme (Elastomechanik) und Akustik im Frequenz- und Zeitbereich.

Funktionsweise[Bearbeiten]

Bei der Randelementmethode wird, im Gegensatz zur Finite-Elemente-Methode, nur der Rand bzw. die Oberfläche eines Gebietes oder einer Struktur diskretisiert betrachtet, nicht jedoch deren Fläche bzw. Volumen. Die unbekannten Zustandsgrößen befinden sich nur auf dem Rand. Mit Hilfe von Sprungrelationen werden die partiellen Differentialgleichungen zu Integralgleichungen umgewandelt, die Eigenschaften des gesamten Gebietes abbilden. Diese Integralgleichungen werden dann mit einer Technik, die der FEM ähnelt, diskretisiert und numerisch gelöst.

Die Randelementmethode nutzt die Zusammenhänge aus den Integralsätzen nach Green, Gauss und Stokes. Für die Lösung von Problemen, die mit der Randelementmethode gelöst werden sollen, ist es nicht nötig, die Greensche Funktion (oder Greensche Fundamentallösung) zu kennen, da sich die Sprungrelationen und der Ansatz der Lösung als Einschicht-, Doppelschicht- oder Volumenpotential ohne Kenntnis dieser Greenschen Funktion aufstellen lassen.

Numerische Eigenschaften[Bearbeiten]

Bei der REM ist die Anzahl der diskreten Stützstellen (Knoten) und damit der Freiheitsgrade (FHG) wesentlich niedriger als bei der FEM und auch bei der Finite-Differenzen-Methode (FDM). Man erhält allerdings ein vollbesetztes, asymmetrisches lineares Gleichungssystem, was die Wahl des Lösungsalgorithmus einschränkt oder erschwert und den Vorteil der geringeren Anzahl der FHG (teilweise) kompensiert. Die REM wird vorteilhaft in Fällen eingesetzt, bei denen die FEM zu hohem numerischen Aufwand führt: beispielsweise bei Halbraum-Kontaktproblemen, bei denen sich der Halbraum bis ins Unendliche erstreckt, oder der Lösung von Differentialgleichungen auf Außengebieten. Ein Beispiel für ersteres ist ein elastisch gebettetes Fundament. Ein eher akademisches Problem wäre die Lösung des Laplaceoperators in einem Außengebiet. Bei FEM müssten zusätzliche künstliche Randbedingungen eingeführt werden.

Weblinks[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • L. C. Wrobel, M. H. Aliabadi: The Boundary Element Method, April 2002, ISBN 0-470-84139-7
  • L. Gaul und C. Fiedler: Methode der Randelemente in Statik und Dynamik, Vieweg ISBN 3528067810
  • F. Hartmann: C. Katz: Structural Analysis with Finite Elements, Springer-Verlag ISBN 3-540-40416-3
  • C. Pozrikidis: A practical guide to boundary element methods with the software library, BEMLIB, ISBN 1-58488-323-5
  • W. McLean: Strongly Elliptic Systems and Boundary Integral Equations, Cambridge University Press
  • S. Sauter, C. Schwab: Randelementmethoden. Analyse, Numerik und Implementierung schneller Algorithmen, Vieweg+Teubner
  • Reza Sabbagh Amirkhizi: EMV-Analyse von mehrlagigen Leiterplatten mit der Momentenmethode und Hybridansätzen Shaker Verlag 2006, ISBN 978-3-8322-5450-6

Zeitschriften[Bearbeiten]

Engineering Analysis with Boundary Elements, Elsevier ISSN: 0955-7997