Finite-Differenzen-Methode

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Finite-Differenzen-Methoden sind eine Klasse numerischer Verfahren zur Lösung gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen.

Zunächst wird das Gebiet, für das die Gleichung gelten soll, durch eine endliche Zahl von Gitterpunkten diskretisiert. Eindimensionale Intervalle werden dazu in gleich lange Teilintervalle zerlegt, mehrdimensionale Gebiete in Rechteckgitter. Die Ableitungen der gesuchten Funktion an den Gitterpunkten werden dann durch Differenzenquotienten approximiert (siehe dazu Numerische Differentiation). Die Differentialgleichung wird auf diese Weise durch ein System von Differenzengleichungen angenähert, die mittels verschiedener Algorithmen zur numerischen Lösung von Gleichungssystemen gelöst werden können.

Verfahren dieser Art finden verbreitete Anwendung unter anderem bei fluiddynamischen Simulationen, zum Beispiel in der Meteorologie und der Astrophysik. Eine spezielle Finite-Differenzen-Methode zur numerischen Lösung der Wärmeleitungsgleichung ist das Crank-Nicolson-Verfahren.

Zu den Pionieren des Finite-Differenzen-Verfahrens für partielle Differentialgleichungen zählen Lewis Fry Richardson, Richard Southwell, Richard Courant, Kurt Friedrichs, Hans Lewy, Peter Lax und John von Neumann.

Beispiel[Bearbeiten]

Gegeben sei das Randwertproblem

u''(x) = 2  für  \quad x \in [0;1]\,,
u(0) = u(1) = 3\,.

Die Lösungsfunktion u\colon [0;1] \to \R lässt sich hier exakt berechnen zu u(x) = 3 + x(x-1).

Zur Lösung mit der Differenzenmethode wird das Intervall [0;1] diskretisiert durch die Gitterpunkte x_i = i \cdot h für i = 0,\ldots,n+1 mit der Maschenweite  h = \tfrac{1}{n+1} . Die Diskretisierung der zweiten Ableitung erfolgt mit den zentralen Differenzenquotienten der zweiten Ableitung

u''(x) \approx \frac{u(x - h) - 2u(x) + u(x + h)}{h^2}\ .

Dies ergibt an den inneren Gitterpunkten die Differenzengleichungen

 \frac{1}{h^2}(u_{i-1} - 2u_i + u_{i+1}) = 2   für  i = 1,\ldots,n

für die numerischen Näherungswerte u_i der Lösungswerte u(x_i). Unter Verwendung der gegebenen Randwerte u_0 = u(0) = 3 und u_{n+1} = u(1) = 3 ist dies ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen für die n Unbekannten u_1,\ldots,u_n.

In Matrixform lautet das zu lösende System hier:


\frac{1}{h^2}
\begin{pmatrix}
-2 & 1 & 0 & \dots & 0\\
1 & -2 & 1 & \ddots  & \vdots \\
0 & 1 & \ddots & \ddots & 0\\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1\\
0 & \dots & 0 &  1 & -2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ \vdots \\ u_n
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
2 - \frac{3}{h^2} \\ 2 \\ 2 \\ \vdots \\ 2 - \frac{3}{h^2}
\end{pmatrix}\

Da in jeder Zeile maximal nur drei Unbekannte vorkommen, handelt es sich um ein System mit dünnbesetzter Koeffizientenmatrix, genauer um ein System mit Tridiagonal-Toeplitz-Matrix.

Literatur[Bearbeiten]

  • Christian Großmann, Hans-Görg Roos: Numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen. 3. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-519-22089-X.
  • Stig Larsson, Vidar Thomée: Partielle Differentialgleichungen und numerische Methoden. Springer-Verlag, Berlin 2005, ISBN 3-540-20823-2.

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Finite-Differenzen-Methode – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien