Rationale Abbildung

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Sind X und Y zwei irreduzible algebraischen Varietäten oder Schemata, so ist eine rationale Abbildung eine Funktion von einer offenen Teilmenge von X nach Y. Ähnlich wie Abbildungen von Varietäten Homomorphismen der Koordinatenringe entsprechen, entsprechen rationale Abbildungen Körperhomomorphismen der Funktionenkörper der Varietäten.

Rationale Abbildungen werden benötigt zur Definition der birationalen Äquivalenz, ein wichtiger Begriff zur Klassifikation von Varietäten.

Definitionen[Bearbeiten]

Reguläre Funktionen algebraischer Varietäten[Bearbeiten]

Im Folgenden sei V eine irreduzible affine Variätet mit Koordinatenring K[V]. Der Koordinatenring ist ein Integritätsbereich, K(V) bezeichne seinen Quotientenkörper. Die Elemente aus K(V) werden als rationale Funktionen auf V bezeichnet.

Ist f \in K(V) und x \in V, so wird f regulär in x genannt, wenn g,h \in K[V] existieren mit:

h(x) \ne 0
f=\frac g h

Ist f \in K(V), so wird die Menge der Elemente, in denen f regulär ist, als Definitionsbereich von f, als \mathrm{dom}(f), bezeichnet.

Rationale Abbildungen von Varietäten[Bearbeiten]

\mathbb A^n_k bezeichne den n-dimensionalen affinen Raum über einem Körper k.

Seien V \subset \mathbb A^l_k und W \subset \mathbb A^n_k Varietäten über einem Körper k. Eine rationale Abbildung von V nach W ist ein Tupel

f=(f_1, \dots ,f_n)

mit f_i \in K(V) und (f_1(x), \dots , f_n(x)) \in W für alle x \in \bigcap_{i=1}^n \mathrm{dom}(f_i) \subset V

Die Abbildung heißt in x \in V regulär, falls alle f_i in x regulär sind. Der Definitionsbereich von f ist

\mathrm{dom}(f)=\bigcap_{i=1}^n \mathrm{dom}(f_i)

Eine rationale Abbildung von V nach W ist also nicht auf ganz V definiert, sondern nur auf einer offenen Teilmenge U \subset V.

Daher werden sie auch mit einem gestrichelten Pfeil notiert:

f \colon V \ - \to W

Dominante rationale Abbildungen[Bearbeiten]

Rationale Abbildungen können nicht immer miteinander verkettet werden, wie das folgende Beispiel zeigt:

f \colon \mathbb A^1_k \ - \to \mathbb A^2_k
f \colon x \mapsto (x,0)
g \colon \mathbb A^2_k \ - \to \mathbb A^1_k
g \colon (x,y) \mapsto (\frac x y) also \mathrm{dom}(g) = \{(x,y) \in \mathbb A^2_k | y \ne 0\}

denn

f(\mathbb A^1_k) \cap \mathrm{dom}(g) = \emptyset

Eine Verkettung ist hingegen immer bei dominanten rationalen Abbildungen möglich:

Eine rationale Abbildung

f \colon V \ - \to W

heißt dominant, wenn f(\mathrm{dom}(f)) eine in W dichte Menge ist.

Birationale Abbildungen[Bearbeiten]

Eine birationale Abbildung

\phi \colon X \ - \to Y

ist eine rationale Abbildung, zu der es eine rationale Abbildung

\psi \colon Y \ - \to X

gibt mit

\psi \circ \phi = id_X

und

\phi \circ \psi = id_Y

Die Varietäten werden dann als birational äquivalent genannt.

Zusammenhang mit Körperhomomorphismen[Bearbeiten]

Sei

f \colon V \ - \to W
f = (f_1, \dots ,f_n)

eine rationale Abbildung. W \subset \mathbb A^l_k sei durch das Ideal I definiert. Wegen

f(x) \in W

gilt für alle h \in I

h(f_1(x), \dots ,f_n(x))=0

Ist also

h \in k[x_1, \dots,x_n] also \bar h \in K[W]=k[x_1, \dots,x_n]/I

so ist f^*(\bar h):=h(f_1, \dots, f_n) wohldefiniert. Eine rationale Abbildung f induziert daher eine Abbildung

f^* \colon k[W] \to K(V)

Ist

f^*(g)=0

so ist das äquivalent zu

f(\mathrm{dom}(f)) \subset V(g)

Ist f dominant, so muss in diesem Fall g=0 sein, da keine Funktion auf einer dichten Menge verschwinden kann. Es gilt daher:

f^* \colon K[W] \to K[V] ist injektiv \Leftrightarrow f ist dominant.

In diesem Fall induziert f einen k-linearen Körperhomomorphismus

f^*:k(W) \to k(V)

Umgekehrt lässt sich zu jedem k-linearen Körperhomomorphismus

\phi \colon k(W) \to k(V)

eine (dadurch eindeutig bestimmte) dominante rationale Abbildung

f \colon V \ - \to W

finden mit

\phi = f^*

Es lässt sich sogar zeigen, dass die Sternabbildung ^* ein kontravarianter Funktor ist, der eine Äquivalenz zwischen bestimmten Kategorien herstellt.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Obige Definition lässt sich auf quasiaffine, quasiprojektive und projektive Varietäten durch Äquivalenzklassen verallgemeinern. Seien nun X und Y affine, quasiaffine, quasiprojektive oder projektive Varietäten.

Sind U,V \subset X offene Mengen und \phi_U und \phi_V Morphismen von U beziehungsweise V nach W.

Die Äquivalenzrelation wird folgendermaßen definiert: (U,\phi_U) ist äquivalent zu (V,\phi_V), wenn \phi_U und \phi_V auf U \cap V übereinstimmen.

Eine rationale Abbildung

\phi \colon V \ - \rightarrow W

ist nun eine Äquivalenzklasse bezüglich dieser Äquivalenzrelation.

Eine rationale Abbildung wird dominant genannt, wenn ein (und damit jeder) Repräsentant (U,\phi_U) ein dichtes Bild hat.

Beispiele[Bearbeiten]

Neilsche Parabel[Bearbeiten]

Sei V \subset \mathbb A^2_k die Neilsche Parabel, die durch das Polynom

y^2=x^3

definiert ist. Der Morphismus

\phi \colon A^1_k \to V
x \mapsto (x^2,x^3)

ist bijektiv, aber kein Isomorphismus, da die Umkehrabbildung kein Morphismus ist. Auf V lässt sich durch

\psi\colon (x,y) \mapsto (\frac y x)

eine rationale Abbildung definieren mit

\mathrm{dom}(\psi)=V\setminus(0,0)

für die gilt:

\psi \circ \phi = id_{A^1_k} und \phi \circ \psi = id_V.

Die beiden Varietäten sind daher birational äquivalent.

Projektion im projektiven Raum[Bearbeiten]

Die Projektion

p \colon \mathbb P^n_k \ - \to \mathbb P^{n-1}_k
p \colon (a_0: \ldots :a_n) \mapsto (a_1: \ldots :a_n)

ist eine rationale Abbildung. Sie ist für n > 1 nur im Punkt

(1:0: \ldots :0)

nicht regulär.

Ist n = 1, so scheint die Abbildung im Punkt

(1:0)

nicht regulär zu sein, denn nach Definition ist

p \colon (a_0:a_1) \mapsto (a_1),

und

(0) \notin P^0_k

Aber die Abbildung lässt sich in diesem Punkt fortsetzen, die Abbildung kann nämlich auch geschrieben werden als

p \colon (a_0:a_1) \mapsto (1),

Allgemein ist jede rationale Abbildung von einer glatten Kurve in einen projektiven Raum ein Morphismus.

Literatur[Bearbeiten]