Satz von Hartman-Grobman

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Der Satz von Hartman-Grobman, auch bekannt als Linearisierungssatz, besagt, dass das Verhalten eines dynamischen Systems in der Umgebung eines hyperbolischen Fixpunkts dem Verhalten des um diesen Punkt linearisierten Systems gleicht.

Benannt ist der Satz nach dem US-Amerikaner Philip Hartman und dem Russen David Grobman, die den Satz unabhängig voneinander 1960 bzw. 1959 veröffentlichten.

Satz[Bearbeiten]

Sei

T: (x,y) \to (\dot x,\dot y)

eine Abbildung der Form

T:\dot x = Ax + X(x,y), \dot y = By + Y(x,y), mit X, Y \in C^1

und

X, Y = o(\left| x\right| + \left| y\right|) für (x,y) \to 0.

Dabei sind A und B konstante Matrizen mit den Eigenwerten a_1, ..., a_\mu bzw. b_1, ..., b_\nu, für deren Realteile gilt:

Re( a_m ) < 0 < Re( b_n ) für 1 \leqq m \leqq \mu bzw. 1 \leqq n \leqq \nu.

Dann gibt es einen Homöomorphismus

R: u = U(x,y), v = V(x,y)

zwischen einer Umgebung von (x,y) = 0 auf eine Umgebung von (u,v) = 0 so, dass

RTR^{-1} = L

mit

L: \dot u = Au, \dot v = Bv.

Etwas allgemeiner lässt sich ein System der Form \dot x = Cx + Z(x) mit Z = o(\left| x\right|) durch eine lineare Koordinatentransformation immer auf obige Form bringen falls alle Eigenwerte von C nichtverschwindenen Realteil haben.

Beispiel[Bearbeiten]

Sei

T: \dot x = -x, \dot y = y + x^2.

Der einzige Fixpunkt des Systems ist (0,0). Dann ist

J_{T}((0,0)) = \begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}

die Jacobi-Matrix an dieser Stelle, mit r = (u,v) die Linearisierung des Systems entsprechend

\dot r = \begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}r,

also

\tilde T: \dot u = -u, \dot v = v.

Die Eigenwerte von J_{T}((0,0)),

\lambda_{1} = 1, \lambda_{2} = -1,

haben Realteile verschieden von null, somit ist (0,0) ein hyperbolischer Fixpunkt und die Voraussetzungen des Satzes von Hartman-Grobman sind erfüllt. Da die Eigenwerte unterschiedliches Vorzeichen aufweisen, handelt es sich um einen Sattelpunkt und damit einen instabilen Fixpunkt. Nach Satz gilt dies nun nicht nur für das linearisierte, sondern auch für das ursprüngliche System.

Literatur[Bearbeiten]