Sorgenfrey-Ebene

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Die Sorgenfrey-Ebene ist ein nach dem Mathematiker Robert Henry Sorgenfrey benanntes Beispiel aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie.

Definition[Bearbeiten]

Ist R die Sorgenfrey-Gerade, so heißt das kartesische Produkt R^2 = R\times R mit der Produkttopologie die Sorgenfrey-Ebene. Dabei ist die Sorgenfrey-Gerade R derjenige topologische Raum, der auf der Menge \R von allen halboffenen Intervallen [a,b) als Basis erzeugt wird, das heißt die offenen Mengen dieses Raums sind die als beliebige Vereinigung halboffener Intervalle [a,b) darstellbaren Mengen.

Die der Sorgenfrey-Ebene zugrundeliegende Menge ist also \R^2 und die Topologie der Sorgenfrey-Ebene wird demnach von der Menge aller halboffenen Rechtecke der Form [a,b)\times [c,d) als Basis erzeugt.

Beispiele offener Mengen[Bearbeiten]

Da die Mengen [a,b) in der Sorgenfrey-Geraden offen und abgeschlossen sind, gilt das auch für [a,b)\times [c,d) \subset R^2. Die Sorgenfrey-Ebene besitzt daher eine Basis aus offen-abgeschlossenen Mengen.

Jedes bezüglich der euklidischen Topologie offene Rechteck (a,b)\times(c,d) ist auch offen bezüglich der Topologie der Sorgenfrey-Ebene, denn

(a,b)\times (c,d) =  \bigcup_{n=1}^\infty[a+\frac{1}{n},b)\times [c+\frac{1}{n},d).

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Sorgenfrey-Ebene R^2 hat folgende Eigenschaften:

Gegenbeispiele[Bearbeiten]

Der Unterraum D trägt die diskrete Topologie.

Die Menge D:=\{(x,-x); x\in R\}\subset R^2 trägt als Teilraumtopologie die diskrete Topologie, denn für jeden Punkt (x,-x)\in D gilt \{(x,-x)\} = D\cap [x,x+1)\times [-x,-x+1), wie nebenstehende Zeichnung verdeutlicht.

Insbesondere ist D mit der Teilraumtopologie nicht separabel. Die Sorgenfrey-Ebene ist daher ein Beispiel dafür, dass sich Separabilität im Allgemeinen nicht auf Teilräume vererbt. Ein weiteres Beispiel für diesen Sachverhalt ist der Niemytzki-Raum.

D als Teilmenge von R^2 ist abgeschlossen, da D schon bezüglich der euklidischen Topologie abgeschlossen ist. Wegen der Diskretheit von D ist dann jede Teilmenge von D abgeschlossen in R^2. Setzt man E:=\{(x,-x); x\in \Q\}\subset R^2, so sind E und D\setminus E zwei disjunkte, abgeschlossene Mengen, die sich nicht durch offene Mengen trennen lassen. R^2 ist daher nicht normal. Da die Sorgenfrey-Gerade normal ist, zeigt die Sorgenfrey-Ebene, dass ein Produkt normaler Räume im Allgemeinen nicht normal ist. Da die Sorgenfrey-Gerade sogar parakompakt ist, ist die Sorgenfrey-Ebene auch ein Beispiel dafür, dass Produkte parakompakter Räume im Allgemeinen nicht wieder parakompakt sind.

Quellen[Bearbeiten]