Universelles Koeffiziententheorem

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Das universelle Koeffiziententheorem ist eine Aussage eher technischen Charakters aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie. Es erlaubt, die Homologie bzw. Kohomologie eines Raumes mit Koeffizienten in einer beliebigen abelschen Gruppe aus der Homologie bzw. Kohomologie mit Koeffizienten in den ganzen Zahlen auszurechnen.

Homologische Fassung[Bearbeiten]

Es seien X ein topologischer Raum, A eine abelsche Gruppe und n eine natürliche Zahl. Dann gibt es eine natürliche kurze exakte Folge

0\to H_n(X)\otimes A\to H_n(X;A)\to\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(H_{n-1}(X),A)\to 0.

Dabei steht H_n(X) abkürzend für H_n(X;\mathbb Z), und Tor ist das Torsionsprodukt.

Die Folge spaltet, aber nicht natürlich.

Kohomologische Fassung[Bearbeiten]

Es seien X ein topologischer Raum, A eine abelsche Gruppe und n eine natürliche Zahl. Dann gibt es eine natürliche kurze exakte Folge

0\to\operatorname{Ext}_\mathbb Z^1(H_{n-1}(X),A)\to H^n(X;A)\to\operatorname{Hom}(H_n(X),A)\to0.

Dabei steht wieder H_n(X) abkürzend für H_n(X;\mathbb Z), und Ext ist der abgeleitete Funktor Ext.

Im Unterschied zur homologischen Fassung ist diese Aussage selbst für A=\mathbb Z nicht trivial.

Wie oben spaltet die Folge, aber nicht natürlich.

Anwendungsbeispiele[Bearbeiten]

  • Zusammen mit der Aussage H_1(X)=\pi_1(X)^\mathrm{ab} folgt
H^1(X;\mathbb R)=\operatorname{Hom}(\pi_1(X),\mathbb R).
\operatorname{Ext}^1(\mathbb Z/2\mathbb Z,A)=A/2A
isomorphe Untergruppe.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten]

  • J. P. May, A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, Chicago 1999. ISBN 0-226-51183-9, Kapitel 17.