WKB-Näherung

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Die semiklassische WKB-Näherung aus der Quantenmechanik, die nach Gregor Wentzel, Hendrik Anthony Kramers und Léon Brillouin benannt ist, liefert eine Näherung der Lösung der eindimensionalen, stationären Schrödingergleichung. Die Näherung basiert auf der Annahme, dass sich das Potential V(x) 'langsam' mit der Position ändert und sich daher eine Lösung aus dem konstanten Potential V(x)= V_0 finden lässt.

Die Lösung der Schrödingergleichung lautet in dieser Näherung

\psi(x) = \left( \frac{\mbox{const}}{2m[E-V(x)]} \right)^{1/4} \exp\left(\pm \frac{i}{\hbar} \int \mathrm dx' \sqrt{2m(E-V(x'))}\right).

Die beiden Vorzeichen stehen für zwei unabhängige Lösungen. Sie sind nur dann eine gute Näherung, wenn sich das Potential über die Ausdehnung einer Wellenlänge nur langsam ändert.

Geschichte[Bearbeiten]

Die Näherung wurde 1926 fast gleichzeitig und unabhängig voneinander von den Physikern Gregor Wentzel, Hendrik Anthony Kramers und Leon Brillouin im Rahmen der Quantenmechanik publiziert, deren Initialen ihr den Namen gaben. Sie findet sich aber auch schon vorher in den Arbeiten verschiedener Mathematiker und Physiker wie Francesco Carlini (1817, in der Himmelsmechanik), George Green (1837), Joseph Liouville (1837), John William Strutt, 3. Baron Rayleigh (1912), Richard Gans (1915), Harold Jeffreys[1] (1923)[2][3] verwendet. Sie wird deshalb auch manchmal WKBJ (zusätzlich nach Jeffreys) oder Liouville-Green-Methode genannt. Auch Werner Heisenberg benutzte das Verfahren 1924 in seiner Dissertation über Hydrodynamik.[4]

Herleitung[Bearbeiten]

Aus der eindimensionalen stationären Schrödinger-Gleichung


-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psi (x) + V(x) \psi(x)= E\psi(x)

ergibt sich bei konstantem Potential  V(x)=V_0 als Lösung die ebene Welle


\psi(x)= A \exp\left( \pm \frac{i}{\hbar} p_0 x \right)

mit  p_0= \sqrt{2m(E-V_0)} . Bei langsamer Änderung des Potentials, also einem Potential, das in der Größenordnung der deBroglie-Wellenlänge als konstant angesehen werden kann, kann man p(x)= \sqrt{2m(E-V(x))} annehmen und daraus einen zum Problem mit konstantem Potential analogen Lösungsansatz folgendermaßen wählen.


\psi(x)= A \exp \left(\frac{i}{\hbar} S(x) \right)

Eingesetzt in die Schrödinger-Gleichung erhält man


-\frac{i\hbar}{2m} \frac{d^2S(x)}{dx^2} + \frac 1 {2m} \left[ \frac {dS(x)}{dx}\right]^2 + V(x) -E=0

Soweit wurde keine Näherung gemacht. Wir können nun S(x) folgendermaßen in Potenzen von \hbar entwickeln 
S(x)= S_0(x) + \hbar S_1(x) + \frac{\hbar^2}{2} S_2(x)+...

Das setzt man in die Schrödingergleichung ein:


-\frac{i\hbar}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \left(S_0(x) + \hbar S_1(x) + ...\right) + \frac 1 {2m} \left[ \frac {d}{dx}\left( S_0(x) + \hbar S_1(x) + ...\right)\right]^2 + V(x) -E=0

Nun kann man diese Terme bis zur gewünschten Ordnung berechnen und nach der Potenz von  \hbar sammeln.

Jeder zu einer Potenz von \hbar zugehörige Term muss dann einzeln verschwinden.

Für die zweite Ordnung lautet die Schrödingergleichung:


-\frac{i\hbar}{2m} \left[ \frac{d^2}{dx^2} S_0(x) + \hbar \frac{d^2}{dx^2} S_1(x)\right] + \frac 1 {2m} \left[ \frac {d}{dx} S_0(x) + \hbar \frac {d}{dx} S_1(x) \right]^2 + V(x) -E=0


\Leftrightarrow \hbar^0 \left[\frac 1 {2m} \left(\frac {dS_0(x)}{dx}\right)^2 +V(x) -E\right] + \hbar^1 \left[-\frac{i}{2m}  \frac{d^2S_0(x)}{dx^2}+ \frac {1}{m} \frac{d S_0(x)}{dx} \frac {d S_1(x)}{dx} \right] + \hbar^2 \left[\frac 1 {2m} \left( \frac {dS_1(x)}{dx} \right)^2 - \frac{i}{2m} \frac{d^2S_1(x)}{dx^2}  \right] =0

Für die Differentialgleichung im Glied nullter Ordnung in  \hbar


\frac{1}{2m}\left[\frac{dS_0(x)}{dx}\right]^2 + V(x)-E=0

findet man eine Lösung durch


S_0(x)= \pm \int\sqrt{2m(E-V(x'))}dx'

und es folgt


\psi(x)= A \exp \left( \pm \frac i \hbar \int \sqrt{2m(E-V(x'))}dx'\right).

Folgerungen für die Transmission durch eine Barriere[Bearbeiten]

Die WKB-Approximation wird benutzt, um nichtrechteckige Barrieren zu nähern. Dazu wird die Barriere in viele dünne rechteckige Teilbarrieren zerlegt.

Für die Tunnelwahrscheinlichkeit \left| T \right| ^2 durch diese Potentialbarriere werden die einzelnen Tunnelwahrscheinlichkeiten für jedes Segment multipliziert. Damit ergibt sich


ln \left| T \right| ^2 \approx -2 \int\limits_{\mathrm {barrier}} \kappa(x) \mathrm dx,

wobei

 \kappa(x) = \sqrt{\frac{2m(V(x)-E)}{\hbar^2}}.

Siehe auch[Bearbeiten]

Referenzen[Bearbeiten]

  • Brillouin, Léon: La mécanique ondulatoire de Schrödinger: une méthode générale de resolution par approximations successives. In: Comptes Rendus de l'Academie des Sciences. 183, 1926, S. 24–26.
  •  Hendrik Anthony Kramers: Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung. In: Zeitschrift für Physik. Ausgabe 39, Nr. 10, Springer, Berlin / Heidelberg 1926, ISSN 0939-7922, S. 828–840, doi:10.1007/BF01451751.
  • Wentzel, Gregor: Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik. In: Zeitschrift für Physik. 38, Nr. 6–7, 1926, S. 518–529. Bibcode: 1926ZPhy...38..518W. doi:10.1007/BF01397171.
  • Die WKB-Näherung wird in den meisten Lehrbüchern der Quantenmechanik behandelt, z.B. Nolting Grundkurs Theoretische Physik 5/2 - Quantenmechanik - Methoden und Anwendungen, Springer Verlag 2001, Kapitel 7.4 (Quasiklassische Näherung), S. 190ff

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Jeffreys On certain approximate solutions of linear differential equations of the second order, Proc. London Math. Soc. 23, 1923, S. 428
  2. J. Calvert History of the WKB approximation
  3. N. Fröman, P. O. Fröman On the history of the so called WKB method from 1817 to 1926, in J. Bang, J. De Boer Semiclassical descriptions of atomic and nuclear collisions, Amsterdam 1985
  4. Walter Blum, Helmut Rechenberg, Hans-Peter Dürr (Herausgeber): Heisenberg, Gesammelte Werke, A/1, Springer Verlag 1985, S. 19, Kommentar von Subrahmanyan Chandrasekhar Hydrodynamic stability and turbulence (1922-1948), Abstract