Weierstraß-Funktion

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Dieser Artikel behandelt eine Funktion auf den reellen Zahlen; zur Weierstraßschen ℘-Funktion siehe elliptische Funktion.
Graph einer reellen Weierstraß-Funktion im Intervall [-2,2]. Sie ist stetig, aber nirgends differenzierbar.

In der Mathematik bezeichnet man als Weierstraß-Funktion ein pathologisches Beispiel einer reellwertigen Funktion der reellen Zahlengeraden. Diese Funktion hat die Eigenschaft, dass sie überall stetig, aber nirgends differenzierbar ist. Sie ist nach ihrem Entdecker[1] Karl Weierstraß benannt. Historisch gesehen liegt ihre Bedeutung darin, dass sie das erste befriedigende Beispiel für eine nirgends differenzierbare Funktion ist. Weierstraß war allerdings nicht der erste, der eine solche Funktion konstruierte. Bereits mehr als 30 Jahre zuvor hat Bernard Bolzano eine Funktion angegeben, die Bolzanofunktion, die nirgends differenzierbar aber überall stetig ist.[2] Allerdings ist sein Beweis unvollständig und die Konstruktion wurde einer breiteren Fachöffentlichkeit nicht bekannt. Die überraschende Konstruierbarkeit einer solchen Funktion änderte die übliche Meinung, dass jede stetige Funktion, bis auf eine Menge isolierter Punkte, differenzierbar sei. Die Überraschung der damaligen Fachgemeinde drückt sich unter anderem darin aus, dass zu Beginn der Rezension der Weierstraßschen Arbeit fast ausschließlich vom Weierstraßschen-Monster die Rede ist. (siehe zur Geschichte dieser Funktion auch [3] )

Seinerzeit wurde intuitiv angenommen, dass eine stetige Funktion eine Ableitung besitzt oder dass die Menge der Punkte, in denen sie nicht differenzierbar ist, „klein“ in irgendeinem Sinne ist. Frühere Mathematiker, einschließlich Carl Friedrich Gauß, haben oft angenommen, dass das wahr ist, wie Weierstraß in seiner Arbeit ausführt. Das rührt aus der Schwierigkeit, eine stetige Funktion zu zeichnen oder darzustellen, deren Menge nicht differenzierbarer Punkte etwas anderes ist als eine endliche Menge von Punkten. Es gibt jedoch Klassen stetiger Funktionen, die sich besser verhalten, zum Beispiel die Lipschitz-stetigen Funktionen, deren Menge nicht-differenzierbarer Punkte eine Lebesgue-Nullmenge sein muss. Wenn man eine stetige Funktion zeichnet, dann entsteht üblicherweise der Graph einer Funktion, die Lipschitz-stetig ist und andere gutartige Eigenschaften besitzt, die nicht auf allgemeine, stetige Funktionen zutreffen.

Auch die weierstraßsche elliptische Funktion \wp und die weierstraßsche sigma-, zeta- oder eta-Funktion werden manchmal als Weierstraß-Funktion bezeichnet.

Weierstraß-Funktionen[Bearbeiten]

Für festes a=0.5 steigt b linear von 0,1 nach 5.

Es gibt verschiedene, ähnliche Definitionen einer Weierstraß-Funktion, die alle Reihen mit Winkelfunktionen sind.

Definition nach Weierstraß[Bearbeiten]

In Weierstraß' Originalarbeit wurde die Funktion durch

f(x) := \sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x)

mit 0 < a < 1 und b \in \mathbb{N} ungerade definiert, wobei zusätzlich

 ab > 1+\frac{3}{2} \pi

erfüllt sein muss. Diese Arbeit, welche diese Definition und den Beweis, dass die Funktion nirgends differenzierbar ist, enthält, wurde am 18. Juli 1872 bei der Königlichen Akademie der Wissenschaften eingereicht.[4]

Definition nach Hardy[Bearbeiten]

Godfrey Harold Hardy zeigte 1916, dass die Funktion

f(x) := \sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x)

unter den Annahmen 0<a<1, ab\geq 1 nirgends differenzierbar ist.[5]

Beispiele[Bearbeiten]

Eine oft verwendete Weierstraß-Funktion ist

f(x) := \sum_{k=1}^\infty \frac{2^k\sin(2^kx)}{3^k}.

Anschaulich ist die Weierstraß-Funktion

f(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{\sin(101^n\cdot x)}{100^n} = \sin(x) + \frac{\sin(101x)}{100} + \frac{\sin(101^2x)}{10000} + \frac{\sin(101^3x)}{1000000}+\cdots\, .

Ihr Graph sieht „fast“ so wie der der (differenzierbaren) Sinusfunktion aus. Sie wäre auch differenzierbar, wenn nur noch endlich viele Summanden hinzukämen. Durch jeweils den nächsten (viel kleineren) Summanden wird der Graph um ein ganz kleines Stück verändert. Sie ist überall konvergent, stetig, aber man kann keine Tangenten zu ihr konstruieren, ist also nicht differenzierbar.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Beweis der Stetigkeit[Bearbeiten]

Für alle n\in\mathbb{N}_0 und x \in \mathbb{R} gilt |a^n\cos{(b^n\pi x)}| \leq a^n. Zudem ist die Reihe \textstyle \sum_{n=0}^\infty a^n wegen 0<a<1 konvergent. Dann folgt aus dem weierstraßschem Majorantenkriterium die (bezüglich x \in \mathbb{R}) gleichmäßige Konvergenz von \textstyle \sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x). Weil jeder einzelne Summand eine stetige Funktion ist und die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktionen wieder stetig sein muss, folgt daraus die behauptete Stetigkeit von f.

Fraktale Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Weierstraß-Funktion kann vielleicht als eins der ersten Fraktale bezeichnet werden, obwohl dieser Begriff damals noch nicht verwendet wurde. Die Funktion ist auf jedem Niveau detailliert, so dass, wenn man ein Stück der Kurve vergrößert, es sich nicht fortschreitend einer geraden Linie nähert. Unabhängig davon, wie dicht man zwischen zwei Punkte geht, die Funktion ist auf keinem noch so kleinen Intervall monoton. In seinem Buch Die Geometrie der fraktalen Mengen beobachtet Kenneth Falconer, dass die Hausdorff-Dimension der klassischen Weierstraß-Funktion nach oben durch \textstyle \frac{\ln a}{\ln b} + 2 beschränkt ist, wobei a und b die Konstanten in der obigen Konstruktion sind, und es wird allgemein angenommen, dass die Hausdorff-Dimension exakt dieser Wert ist, aber dies konnte bisher noch nicht bewiesen werden. Der Ausdruck Weierstraß-Funktion wird in der reellen Analysis oft verwendet, um irgendeine Funktion mit ähnlichen Eigenschaften und einer ähnlichen Konstruktion wie Weierstraß’ Originalbeispiel zu bezeichnen. Zum Beispiel kann die Kosinusfunktion in den unendlichen Reihen durch eine stückweise lineare „Zick-Zack-Funktion“ ersetzt werden.

Dichtheit nirgends differenzierbarer Funktionen[Bearbeiten]

Es gibt unendlich viele stetige, nirgends differenzierbare Funktionen; die Weierstraß-Funktion ist nur das klassische Beispiel, bei dem eine explizite Darstellung bekannt ist. Generell gilt:

  • In der Topologie kann gezeigt werden, dass die Menge der nirgends differenzierbaren Funktionen auf dem Intervall [0,1] dicht liegt im Vektorraum C([0,1]; \R) aller stetigen reellwertigen Funktionen auf dem Intervall [0,1] mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz.
  • In der Maßtheorie zeigt sich zudem: Wenn der Raum C( [0,1]; \R) mit dem klassischen Wiener-Maß \gamma ausgestattet ist, dann hat die Menge der Funktionen, die sogar in einem Punkt in [0,1] differenzierbar sind, \gamma-Maß null. Dasselbe gilt, wenn man nur endlichdimensionale Teilmengen von C([0,1]; \mathbb{R}) betrachtet: Die nirgends differenzierbaren Funktionen bilden damit eine prävalente Untermenge von C([0,1]; \R).

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Karl Weierstraß: Abhandlungen aus der Functionenlehre. Julius Springer, Berlin 1886.
  2.  Bernard Bolzano, K. Rychlik (Hrsg.): Funktionenlehre. Prag 1831.
  3.  Klaus Volkert: Die Geschichte der pathologischen Funktionen - Ein Beitrag zur Entstehung der mathematischen Methodologie. In: Archive for History of Exact Sciences. Bd. 37, Nr. 3, doi:10.1007/BF00329901.
  4.  Karl Weierstraß: Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen.. In: Mathematische Werke. Bd. 2, Mayer & Müller, Berlin 1895, S. 71-74.
  5.  Godfrey Harold Hardy: Weierstrass's non-differentiable function. In: Trans. Amer. Math. Soc.. Bd. 17, Nr. 3, 1916, S. 301-325, doi:10.1090/S0002-9947-1916-1501044-1.