Reissner-Nordström-Metrik

Vorlage:Metriken schwarzer Löcher Die Reissner-Nordström-Metrik (nach Hans Reissner und Gunnar Nordström) beschreibt elektrisch geladene, nicht-rotierende Schwarze Löcher. Mathematisch gesprochen ist sie eine exakte Lösung der Einstein-Gleichungen, die eindeutig durch folgende Eigenschaften bestimmt ist:

• asymptotisch flach
• statisch
• sphärisch-symmetrisch

Linienelement

Das Linienelement der Reissner-Nordström-Metrik hat die Form:

$\mathrm {d} s^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}+{\frac {Q^{2}G}{c^{4}r^{2}}}\right)c^{2}\mathrm {d} t^{2}-\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}+{\frac {Q^{2}G}{c^{4}r^{2}}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}-r^{2}(\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \varphi ^{2}+\mathrm {d} \theta ^{2})$

wobei $M$ die Masse und $Q$ die elektrische Ladung (in CGS-Einheiten) des Objektes sind. In den sogenannten natürlichen Einheiten wird $c=G=1$ gesetzt, sodass die Metrik auch in der Form

$\mathrm {d} s^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)\mathrm {d} t^{2}-\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}-r^{2}(\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \varphi ^{2}+\mathrm {d} \theta ^{2})$

geschrieben werden kann (so auch im folgenden Abschnitt). Der Einfachheit halber wird eine elektrische Punktladung im Koordinatenursprung angenommen. Magnetische Felder und Kreisströme werden vernachlässigt. Das elektromagnetische Viererpotential ist somit ein Coulomb-Potential:

$A_{\alpha }=\left({\frac {Q}{r}},0,0,0\right)$

Da $+2M/r$ und $-Q^{2}/r^{2}$ mit umgekehrten Vorzeichen in das Linienelement einfließen überwiegt ab einer gewissen Entfernung die Anziehung (nimmt mit $r^{2}$ ab), und ab einer bestimmten Nähe die Abstoßung (diese nimmt mit $r^{3}$ ab), was als die "Reissner Nordström Repulsion" bezeichnet wird.

Horizonte und Singularitäten

Wie bei der Schwarzschild-Metrik liegt der Ereignishorizont bei demjenigen Radius, wo die Metrik singulär wird. Das bedeutet

$1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}=0$

Aufgrund der quadratischen Abhängigkeit vom Radius r finden sich jedoch zwei Lösungen dieser Gleichung. Daher gibt es einen Ereignishorizont bei $r_{+}$ und einen zusätzlichen Cauchy-Horizont bei $r_{-}$, der weiter innen liegt.

$r_{\pm }=M\pm {\sqrt {M^{2}-Q^{2}}}$

Für den Fall

$|Q|=M$

verschwindet die Wurzel in $r_{\pm }$ und die beiden Horizonte fallen zu einem einzelnen zusammen. Ist hingegen

$|Q|>M$,

so ist die Wurzel imaginär, womit es keinen Horizont gibt. Man spricht in diesem Fall von einer nackten Singularität, die nach heutiger Auffassung allerdings nicht existieren kann ("Cosmic Censorship" Hypothese). Moderne supersymmetrische Theorien verbieten sie in der Regel für Schwarze Löcher. Elementarteilchen wie Protonen und Elektronen haben hingegen eine Ladung die sehr viel größer als ihre Masse ist, sind jedoch auch keine Schwarzen Löcher.

Für $Q=0$ geht die Reissner-Nordström-Metrik in die Schwarzschild-Metrik über. Ihre Singularitäten liegen dann bei $r=0$ und $r=2M$.

In der Astrophysik spielen elektrisch geladene Schwarze Löcher (also auch die Kerr-Newman-Metrik) eine untergeordnete Rolle, weil man annimmt, dass jede Ladung des Loches recht schnell durch elektrische Ströme, nämlich die Akkretionsflüsse, neutralisiert wird.

Weblinks

• Andreas Müller - Lexikon der Astrophysik - Reissner-Nordstrøm-Lösung
• Charged Black Holes: The Reissner-Nordström Geometry