Kugelschicht

Kugelschicht

Eine Kugelschicht, auch Kugelscheibe genannt, ist ein Teil einer Kugel, der von zwei parallelen Ebenen ausgeschnitten wird. Der gekrümmte Flächenteil wird Kugelzone genannt.

Formeln

Für die Berechnung von Volumen, Mantelfläche und Oberfläche einer Kugelschicht gelten die folgenden Formeln. Dabei bezeichnet $r$ den Radius der Kugel, $a_{1},a_{2}$ die Radien der Begrenzungskreise und $h$ die Höhe der Kugelschicht.

Diese drei Größen sind nicht unabhängig voneinander. Die Kugelschicht ist durch drei beliebige dieser vier Größen bestimmt. Aus drei der vier Größen lässt sich die vierte berechnen.

Größen eines Kugelsegments mit dem Radius r der Kugel, den Radien a1, a2 der Begrenzungskreise und den Höhen h, h1, h2
Volumen	$V={\frac {\pi }{3}}\cdot (h_{1}-h_{2})\cdot (3\cdot (h_{1}+h_{2})\cdot r-(h_{1}^{2}+h_{1}\cdot h_{2}+h_{2}^{2}))$
	$V={\frac {\pi }{6}}\cdot h\cdot (3\cdot a_{1}^{2}+3\cdot a_{2}^{2}+h^{2})$
Flächeninhalt der Mantelfläche	$M=2\cdot \pi \cdot r\cdot h$
	$M=2\cdot \pi \cdot h\cdot \left(a_{1}^{2}+\left({\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2\cdot h}}\right)^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$
Oberflächeninhalt	$O=\pi \cdot (2\cdot r\cdot h+a_{1}^{2}+a_{2}^{2})$
	$O=\pi \cdot (2\cdot h\cdot \left(a_{1}^{2}+\left({\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2\cdot h}}\right)^{2}\right)^{\frac {1}{2}}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2})$

Herleitung

Die Kugelschicht kann man sich entstanden denken als das Kugelsegment ${\mathcal {S}}_{1}$ mit dem unteren Kreis als Basiskreis, dem das Kugelsegment ${\mathcal {S}}_{2}$ mit dem oberen Kreis als Basiskreis weggenommen wird. Es sei $h_{1}$ die Höhe von ${\mathcal {S}}_{1}$ und $h_{2}$ die Höhe von ${\mathcal {S}}_{2}$. Die Volumina der beiden Kugelsegmente sind $V_{1}={\frac {\pi }{3}}\cdot h_{1}^{2}\cdot (3\cdot r-h_{1}),\ V_{2}={\frac {\pi }{3}}\cdot h_{2}^{2}\cdot (3\cdot r-h_{2})$ (siehe Kugelsegment). Also ist

${\begin{aligned}V&=V_{1}-V_{2}={\frac {\pi }{3}}\cdot (3\cdot (h_{1}^{2}-h_{2}^{2})\cdot r-(h_{1}^{3}-h_{2}^{3}))\\&={\frac {\pi }{3}}\cdot (h_{1}-h_{2})\cdot (3\cdot (h_{1}+h_{2})\cdot r-(h_{1}^{2}+h_{1}\cdot h_{2}+h_{2}^{2}))\end{aligned}}$

Mit den Beziehungen $2\cdot r\cdot h_{1}=a_{1}^{2}+h_{1}^{2},\ 2\cdot r\cdot h_{2}=a_{2}^{2}+h_{2}^{2}$ (siehe Kugelsegment) ergibt sich

${\begin{aligned}V&={\frac {\pi }{3}}\cdot (h_{1}-h_{2})\cdot \left({\frac {3}{2}}\cdot (a_{1}^{2}+h_{1}^{2}+a_{2}^{2}+h_{2}^{2})-h_{1}^{2}-h_{1}\cdot h_{2}-h_{2}^{2}\right)\\&={\frac {\pi }{6}}\cdot (h_{1}-h_{2})\cdot (3\cdot (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})+(h_{1}-h_{2})^{2})\end{aligned}}$

Da $h=h_{1}-h_{2}$ ist, folgt die obige Formel: $V={\frac {\pi }{6}}\cdot h\cdot (3\cdot a_{1}^{2}+3\cdot a_{2}^{2}+h^{2})$

Für die Mantelfläche ergibt sich analog

$M=M_{1}-M_{2}=2\cdot \pi \cdot r\cdot h_{1}-2\cdot \pi \cdot r\cdot h_{2}=2\cdot \pi \cdot r\cdot (h_{1}-h_{2})=2\cdot \pi \cdot r\cdot h$

Beziehung der Parameter

Für den Beweis der Beziehung zwischen $r,a_{1},a_{2},h$ sei $d$ der Abstand der unteren Ebene zum Kugelmittelpunkt $M$. Dann gilt

$r^{2}=d^{2}+a_{1}^{2},\ r^{2}=(d+h)^{2}+a_{2}^{2}$

Setzt man die beiden Gleichungen gleich und löst nach $d$ auf, so erhält man $d={\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2\cdot h}}$ und mit der ersten Gleichung folgt

$r^{2}=a_{1}^{2}+\left({\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2\cdot h}}\right)^{2}$

Siehe auch

• Kugelsegment
• Kugelausschnitt
• Kugelring
• Kugelkeil

Literatur

• I. Bronstein u. a.: Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch, Frankfurt 2001, ISBN 3-8171-2005-2.
• Kleine Enzyklopädie Mathematik, Harri Deutsch-Verlag, 1977, S. 215.
• L. Kusch u. a.: Mathematik, Teil 4 Integralrechnung. Cornelsen, Berlin 2000, ISBN 3-464-41304-7.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Spherical Segment. In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: Spherical zone. In: MathWorld (englisch).