Die
K
{\displaystyle K}
Mathematik eine spezielle Funktion, die üblicherweise mit
K
(
z
)
{\displaystyle K(z)}
Hyperfakultät
H
(
n
)
{\displaystyle H(n)}
komplexen Zahlen ; analog der komplexen Erweiterung der Fakultätsfunktion zur Gammafunktion .
Die Hyperfakultät einer natürlichen Zahl
n
{\displaystyle n}
H
(
n
)
=
∏
i
=
1
n
i
i
=
1
1
2
2
3
3
4
4
⋯
n
n
,
n
∈
N
.
{\displaystyle H(n)=\prod _{i=1}^{n}i^{i}=1^{1}2^{2}3^{3}4^{4}\cdots n^{n},\qquad n\in \mathbb {N} .}
[ 1] Für die
K
{\displaystyle K}
K
(
n
+
1
)
=
H
(
n
)
,
n
∈
N
,
{\displaystyle K(n+1)=H(n),\qquad n\in \mathbb {N} ,}
und sie soll auf den Zahlenbereich der komplexen Zahlen erweitert werden.
Definitionen
Eine mögliche Definition der
K
{\displaystyle K}
K
(
z
)
=
(
2
π
)
(
−
z
+
1
)
/
2
exp
[
(
z
2
)
+
∫
0
z
−
1
ln
(
Γ
(
t
+
1
)
)
d
t
]
,
{\displaystyle K(z)=(2\pi )^{(-z+1)/2}\exp \left[{\binom {z}{2}}+\int \limits _{0}^{z-1}\ln(\Gamma (t+1))\;\mathrm {d} t\right],}
wobei
(
z
2
)
{\displaystyle {\tbinom {z}{2}}}
komplexe Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten und Γ für die Gammafunktion steht.
Eine andere Möglichkeit bietet
K
(
z
)
=
exp
[
ζ
′
(
−
1
,
z
)
−
ζ
′
(
−
1
)
]
,
{\displaystyle K(z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right],}
wobei
ζ
(
z
)
{\displaystyle \zeta (z)}
riemannsche Zetafunktion und
ζ
(
a
,
z
)
{\displaystyle \zeta (a,z)}
hurwitzsche Zeta-Funktion stehen (es werden jeweils die Ableitungen gebraucht.)
Die Verwandtschaft der
K
{\displaystyle K}
Gammafunktion und der barnesschen
G
{\displaystyle G}
wird durch die Formel
K
(
n
)
=
(
Γ
(
n
)
)
n
−
1
G
(
n
)
{\displaystyle K(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{G(n)}}}
zum Ausdruck gebracht.
Werte
Für natürliche
n
{\displaystyle n}
K
(
n
)
{\displaystyle K(n)}
H
(
n
−
1
)
{\displaystyle H(n-1)}
Hyperfakultätsfunktion überein. Die ersten dieser Werte sind
1, 1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, … (Folge A002109 in OEIS ). Der Wert
K
(
1
2
)
{\displaystyle K({\tfrac {1}{2}})}
K
(
1
2
)
=
A
3
/
2
2
1
/
24
⋅
e
1
/
8
{\displaystyle K({\tfrac {1}{2}})={\frac {A^{3/2}}{2^{1/24}\cdot e^{1/8}}}}
[ 1] [ 2] wobei
A
{\displaystyle A}
Konstante von Glaisher-Kinkelin steht.
Mit der barnesschen G-Funktion
G
(
z
)
{\displaystyle G(z)}
gilt
K
(
z
)
⋅
G
(
z
)
=
exp
{
(
z
−
1
)
⋅
log
[
Γ
(
z
)
]
}
,
{\displaystyle K(z)\cdot G(z)=\exp \left\{(z-1)\cdot \log[\Gamma (z)]\right\},}
[ 1] für alle
z
∈
C
.
{\displaystyle z\in \mathbb {C} .}
Benoit Cloitre zeigte 2003 folgende Formel:
1
K
(
n
)
=
(
−
1
)
n
det
|
−
1
−
1
−
1
⋯
−
1
1
2
1
4
1
8
⋯
1
2
n
−
1
3
−
1
9
−
1
27
⋯
−
1
3
n
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
(
−
1
)
n
n
(
−
1
)
n
n
2
(
−
1
)
n
n
3
⋯
(
−
1
)
n
n
n
|
{\displaystyle {\frac {1}{K(n)}}=(-1)^{n}\operatorname {det} {\begin{vmatrix}-1&-1&-1&\cdots &-1\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{8}}&\cdots &{\frac {1}{2^{n}}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{9}}&-{\frac {1}{27}}&\cdots &-{\frac {1}{3^{n}}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {(-1)^{n}}{n}}&{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}&{\frac {(-1)^{n}}{n^{3}}}&\cdots &{\frac {(-1)^{n}}{n^{n}}}\\\end{vmatrix}}}
Einzelnachweise
↑ a b c
Eric W. Weisstein : Hyperfactorial .MathWorld
↑
http://www.wolframalpha.com/input/?i=K-Function(1/2)
Literatur
Hermann Kinkelin : Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung , Journal für die reine und angewandte Mathematik 57, 1860, 18, S. 122–138 (online )
Weblinks
![{\displaystyle K(z)=(2\pi )^{(-z+1)/2}\exp \left[{\binom {z}{2}}+\int \limits _{0}^{z-1}\ln(\Gamma (t+1))\;\mathrm {d} t\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c48fb66519e552abd93ea823cd22b7164f039d74)
![{\displaystyle K(z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bacd35a6b7e43825ce5b72cf5a86332b9337711)
![{\displaystyle K(z)\cdot G(z)=\exp \left\{(z-1)\cdot \log[\Gamma (z)]\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f29479bd5699cf45b746c54a8c7065170583ba02)
