K-Funktion

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Die -Funktion ist in der Mathematik eine spezielle Funktion, die üblicherweise mit bezeichnet wird. Sie verallgemeinert die Hyperfakultät auf die komplexen Zahlen; analog der komplexen Erweiterung der Fakultätsfunktion zur Gammafunktion.

Die Hyperfakultät einer natürlichen Zahl ist definiert durch

[1]

Für die -Funktion soll nun gelten

und sie soll auf den Zahlenbereich der komplexen Zahlen erweitert werden.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine mögliche Definition der -Funktion lautet:

wobei für die komplexe Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten und Γ für die Gammafunktion steht.

Eine andere Möglichkeit bietet

wobei für die riemannsche Zetafunktion und für die hurwitzsche Zeta-Funktion stehen (es werden jeweils die Ableitungen gebraucht.)

Die Verwandtschaft der -Funktion zur Gammafunktion und der barnesschen -Funktion wird durch die Formel

zum Ausdruck gebracht.

Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für natürliche stimmen die Werte der K-Funktion definitionsgemäß mit dem Wert der Hyperfakultätsfunktion überein. Die ersten dieser Werte sind

1, 1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, … (Folge A002109 in OEIS).

Der Wert ist explizit gegeben durch

[1] = 1,2451432494…[2]

wobei für die Konstante von Glaisher-Kinkelin steht.

Weitere Zusammenhänge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit der barnesschen G-Funktion gilt

[1]

für alle

Benoit Cloitre zeigte 2003 folgende Formel:

.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b c Eric W. Weisstein: Hyperfactorial. In: MathWorld (englisch).
  2. http://www.wolframalpha.com/input/?i=K-Function(1/2)

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Hermann Kinkelin: Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung, Journal für die reine und angewandte Mathematik 57, 1860, 18, S. 122–138 (online)

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]