K-Funktion

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Die K-Funktion ist in der Mathematik eine spezielle Funktion, die üblicherweise mit K(z) bezeichnet wird. Sie verallgemeinert die Hyperfakultät H(n) auf die komplexen Zahlen.

Die Hyperfakultät einer natürlichen Zahl n ist definiert durch

H(n)=\prod_{i=1}^n i^i = 1^12^23^34^4\cdots n^n, \qquad n\in\N.[1]

Für die K-Funktion soll nun gelten

K(n+1)=H(n), \qquad n\in\N,

und sie soll auf den Zahlenbereich der komplexen Zahlen erweitert werden.

Definitionen[Bearbeiten]

Eine mögliche Definition der K-Funktion lautet:

K(z)=(2\pi)^{(-z+1)/2} \exp\left[\binom z2+\int\limits_0^{z-1} \ln(\Gamma(t+1))\;\mathrm dt\right],

wobei \tbinom z2 für die komplexe Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten und Γ für die Gammafunktion steht.

Eine andere Möglichkeit bietet

K(z)=\exp\left[\zeta^\prime(-1,z)-\zeta^\prime(-1)\right],

wobei \zeta (z) für die riemannsche Zetafunktion und \zeta (a,z) für die hurwitzsche Zeta-Funktion stehen (es werden jeweils die Ableitungen gebraucht.)

Die Verwandtschaft der K-Funktion zur Gammafunktion und der barnesschen G-Funktion wird durch die Formel

K(n)=\frac{(\Gamma(n))^{n-1}}{G(n)}

zum Ausdruck gebracht.

Werte[Bearbeiten]

Für natürliche n stimmen die Werte K(n) der K-Funktion definitionsgemäß mit dem Wert H(n-1) der Hyperfakultätsfunktion überein. Die ersten dieser Werte sind

1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, ... (Folge A002109 in OEIS).

Der Wert K(\tfrac12 ) ist explizit gegeben durch

K(\tfrac12 )=\frac{A^{3/2}}{2^{1/24}\cdot e^{1/8}}[1]

wobei A für die Konstante von Glaisher-Kinkelin steht.

Weitere Zusammenhänge[Bearbeiten]

Mit der barnesschen G-Funktion G(z) gilt

K(z)\cdot G(z)=\exp\{(z-1)\cdot \log [\Gamma (z)]\},[1]

für alle z\in\C.

Benoit Cloitre zeigte 2003 folgende Formel:

\frac{1}{K(n)} = (-1)^n \mbox{det}
\begin{vmatrix}
-1&-1&-1&\cdots&-1\\
{1\over 2}&{1\over 4}&{1\over 8}&\cdots&{1\over 2^n}\\
-{1\over 3}&-{1\over 9}&-{1\over 27}&\cdots&-{1\over 3^n}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
{(-1)^n\over n}&{(-1)^n\over n^2}&{(-1)^n\over n^3}&\cdots&{(-1)^n\over n^n}\\
\end{vmatrix}.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b c Eric W. Weisstein: Hyperfactorial. In: MathWorld (englisch).

Literatur[Bearbeiten]

  • Hermann Kinkelin: Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung, Journal für die reine und angewandte Mathematik 57, 1860, 18, S. 122–138 (online)

Weblinks[Bearbeiten]