Achterknoten (Mathematik)

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Achterknoten

Der Achterknoten (oder Achtknoten) spielt in der Mathematik, speziell in der Knotentheorie, eine Rolle. Er ist das mathematische Gegenstück der Endacht, welche unter anderem beim Segeln gebraucht wird.

Parameterdarstellung und Invarianten[Bearbeiten]

Eine einfache Parameterdarstellung des Achterknoten ist:[1]

 \begin{align}
          x & = \left(2 + \cos{(2t)} \right) \cos{(3t)} \\
          y & = \left(2 + \cos{(2t)} \right) \sin{(3t)} \\
          z & = \sin{(4t)}
        \end{align}

Das Alexander-Polynom des Achterknoten ist

\Delta(t) = -t + 3 - t^{-1},

sein Jones-Polynom

V(q) = q^2 - q + 1 - q^{-1} + q^{-2}.

Die Knotengruppe des Achterknotens hat die Präsentierung

\Gamma=\langle a,b | \left[a^{-1},b\right]a=b\left[a^{-1},b\right]\rangle.

Ihre Charaktervarietät X(\Gamma) ist die elliptische Kurve[2]

z^2=u^3-2u+1,

das A-Polynom ist

-M^4+L(1-M^2-2M^4-M^6=M^8)-L^2M^4.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Der Achterknoten ist achiral (auch amphichiral genannt), das heißt, er ist in sein Spiegelbild deformierbar. Er ist kein Torusknoten.[3]

Der Achterknoten ist ein hyperbolischer Knoten, sein hyperbolisches Volumen beträgt

vol(S^3-K)=2D_2(\omega)=2,02.....

Hierbei ist D_2 der Bloch-Wigner-Dilogarithmus und \omega=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i.

Die hyperbolische Struktur ist gegeben durch die treue und diskrete Darstellung \rho\colon \Gamma\to PSL(2,\Z\left[\omega\right])\subset PSL(2,\C)=Isom^+(H^3)

\rho(a)=(\begin{array}{cc}1&1\\
0&1\end{array}), \rho(b)=(\begin{array}{cc}1&0\\
-\omega&1\end{array}).

Die hyperbolische Struktur auf dem Komplement des Achterknotens wurde 1975 von Riley entdeckt[4]. Dieses Beispiel motivierte Thurston zur Suche nach hyperbolischen Strukturen auf weiteren Knotenkomplementen, was letztlich in die Geometrisierungsvermutung mündete.

Der Achterknoten ist der einzige arithmetische hyperbolische Knoten.[5]

Cao und Meyerhoff haben 2001 bewiesen, dass der Achterknoten der hyperbolische Knoten kleinsten Volumens ist.[6]

Schwestermannigfaltigkeit[Bearbeiten]

Als Schwestermannigfaltigkeit des Achterknoten-Komplements wird die 3-Mannigfaltigkeit bezeichnet, die man durch (-5,1)-Dehn-Chirurgie an der Whitehead-Verschlingung erhält. Sie läßt sich ebenso wie das Achterknoten-Komplement aus zwei idealen Tetrahedra zusammensetzen und ist gemeinsam mit dem Achterknoten-Komplement die nichtkompakte, orientiebare, hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit kleinsten Volumens.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Figure Eight Knot. mathworld.wolfram.com. Abgerufen am 19. Mai 2012.
  2. Mehmet Haluk Șengün: An introduction to A-polynomials and their Mahler measures
  3. Johannes Diemke: Torus-Knoten (PDF; 2,0 MB) informatik.uni-oldenburg.de. Abgerufen am 19. Mai 2012.
  4. Robert Riley: A quadratic parabolic group. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 77 (1975), 281–288.
  5. Alan Reid: Arithmeticity of knot complements. J. London Math. Soc. (2) 43 (1991), no. 1, 171–184.
  6. Chun Cao, Robert Meyerhoff: The orientable cusped hyperbolic 3-manifolds of minimum volume. Invent. Math. 146 (2001), no. 3, 451–478.