Achterknoten (Mathematik)

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Achterknoten

Der Achterknoten (oder Achtknoten) spielt in der Mathematik, speziell in der Knotentheorie, eine Rolle. Er ist das mathematische Gegenstück der Endacht, die unter anderem beim Segeln gebraucht wird.

Parameterdarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine einfache Parameterdarstellung des Achterknoten ist:[1]

Der Achterknoten ist der Abschluss des Zopfes .

Invarianten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Alexander-Polynom des Achterknotens ist

sein Jones-Polynom

Das Kauffman-Polynom ist , das HOMFLY-Polynom , das Klammerpolynom , das Conway-Polynom und das BLM-Polynom .

Die Kreuzungszahl des Achterknotens ist 4, sein Geschlecht ist 1 und seine Seifert-Matrix .

Die Knotengruppe des Achterknotens hat die Präsentierung

.

Ihre Charaktervarietät ist die elliptische Kurve[2]

das A-Polynom ist

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Achterknoten ist achiral (auch amphichiral genannt), das heißt, er ist in sein Spiegelbild deformierbar. Er ist kein Torusknoten.[3]

Der Achterknoten ist ein hyperbolischer Knoten, sein hyperbolisches Volumen beträgt

Hierbei ist der Bloch-Wigner-Dilogarithmus und .

Die hyperbolische Struktur ist gegeben durch die treue und diskrete Darstellung

.

Die hyperbolische Struktur auf dem Komplement des Achterknotens wurde 1975 von Riley entdeckt.[4] Dieses Beispiel motivierte Thurston zur Suche nach hyperbolischen Strukturen auf weiteren Knotenkomplementen, was letztlich in die Geometrisierungsvermutung mündete.

Der Achterknoten ist der einzige arithmetische hyperbolische Knoten.[5]

Cao und Meyerhoff haben 2001 bewiesen, dass der Achterknoten der hyperbolische Knoten kleinsten Volumens ist.[6]

Schwestermannigfaltigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Schwestermannigfaltigkeit des Achterknoten-Komplements wird die 3-Mannigfaltigkeit bezeichnet, die man durch -Dehn-Chirurgie an der Whitehead-Verschlingung erhält. Sie lässt sich ebenso wie das Achterknoten-Komplement aus zwei idealen Tetrahedra zusammensetzen und ist gemeinsam mit dem Achterknoten-Komplement die nichtkompakte, orientierbare, hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit kleinsten Volumens.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Figure-eight knots (knot theory) – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Eric W. Weisstein: Figure Eight Knot. In: MathWorld (englisch).
  2. Mehmet Haluk Șengün: An introduction to A-polynomials and their Mahler measures.
  3. Johannes Diemke: Torus-Knoten (PDF; 2,0 MB) informatik.uni-oldenburg.de. Abgerufen am 19. Mai 2012.
  4. Robert Riley: A quadratic parabolic group. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 77 (1975), 281–288.
  5. Alan Reid: Arithmeticity of Knot Complements. J. London Math. Soc. (2) 43 (1991), no. 1, 171–184.
  6. Chun Cao, Robert Meyerhoff: The orientable cusped hyperbolic 3-manifolds of minimum volume. Invent. Math. 146 (2001), no. 3, 451–478.