Adischer Raum

Ein adischer Raum ist in der algebraischen Geometrie eine Verallgemeinerung von formalen Schemata und rigid-analytischen Räumen. Adische Räume wurden 1993 von Roland Huber eingeführt. Seit 2012 rückten adische Räume durch die Entwicklung perfektoider Räume von Peter Scholze ins Zentrum aktueller Forschung.

Formale Definition

Wir fassen zuerst die umfangreiche Definition von adischen Räumen in Einzelschritten zusammen. Sie läuft im Wesentlichen analog zur Definition von Schemata.

• Die Grundbausteine von adischen Räumen sind durch Huber-Paare gegeben. Das sind bestimmte Paare topologischer Ringe $(A,A^{+})$, wobei $A^{+}\subseteq A$ ein mit der Teilraumtopologie ausgestatteter Teilring ist.
• Jedem Huber-Paar $(A,A^{+})$ wird ein adisches Spektrum $\mathrm {Spa} (A,A^{+})=(X,{\mathcal {O}}_{X},(v_{x})_{x\in X})$ zugeordnet. Es besteht aus einem topologischen Raum $X$, einer Prägarbe topologischer Ringe ${\mathcal {O}}_{X}$, deren Halme lokale Ringe sind, und einer Familie $(v_{x})_{x\in X}$ von Äquivalenzklassen von Bewertungen auf ${\mathcal {O}}_{X,x}$.
• Wir definieren eine Kategorie von Tripeln $(X,{\mathcal {O}}_{X},(v_{x})_{x\in X})$, die wir mit ${\mathcal {V}}$ bezeichnen. In diesem Kontext definieren wir Einschränkung auf offene Teilmengen von $X$.
• Ein adischer Raum ist schließlich ein Objekt aus ${\mathcal {V}}$, das eine Überdeckung durch adische Spektren hat.

Bewertungstheorie

Eine nicht-archimedische Bewertung $v$ eines topologischen Ringes $A$ mit Bewertungsgruppe $\Gamma$ ist stetig, wenn für alle $\gamma \in \Gamma$ die Teilmenge $\{a\in A\mid v(a)<\gamma \}$ offen in $A$ ist.

Huber-Paare

Ein Huber-Paar ist ein Paar $(A,A^{+})$, wobei $A$ ein topologischer Ring und $A^{+}\subseteq A$ ein Teilring ist, sodass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

• $A$ ist ein Huber-Ring.
• $A^{+}$ ist offen in $A$.
• $A^{+}$ ist ganzabgeschlossen in $A$.
• Jedes Element von $A^{+}$ ist potenzbeschränkt (in $A$).

Lokalisierungen

Sei $A$ ein Huber-Ring. Wir definieren nun eine Art von topologischer Lokalisierung von $A$, mithilfe derer später eine Strukturprägarbe definiert werden kann.

Sei dazu $s\in A$ und sei $T=\{t_{1},\dots ,t_{n}\}$, sodass $T\cdot A:=\{t_{1}a_{1}+\dots +t_{n}a_{n}\mid a_{1},\dots ,a_{n}\in A\}$ offen in $A$ ist.

Auf der algebraischen Lokalisierung $A_{s}:=A[s^{-1}]$ definieren wir eine Topologie wie folgt.

Sei $(A_{0},I)$ ein Definitionspaar für $A$. Definiere einen Teilring

$D:=A_{0}[{\tfrac {t_{1}}{s}},\dots ,{\tfrac {t_{n}}{s}}]\subseteq A_{s}$

Die Familie $(I^{n}\cdot D)_{n\geq 0}$ definiert eine Topologie auf $A_{s}$. Der resultierende topologische Ring werde mit $A({\tfrac {T}{s}})$ bezeichnet. Die Vervollständigung von $A({\tfrac {T}{s}})$ werde mit $A\langle {\tfrac {T}{s}}\rangle$ notiert.

Sei nun $(A,A^{+})$ ein Huber-Paar. Wir bezeichnen mit $A({\tfrac {T}{s}})^{+}$ den ganzen Abschluss von $A^{+}[{\tfrac {t_{1}}{s}},\dots ,{\tfrac {t_{n}}{s}}]$ in $A_{s}$ ausgestattet mit der Teilraumtopologie von $A({\tfrac {T}{s}})$. Wir bezeichnen die Vervollständigung von $A({\tfrac {T}{s}})^{+}$ mit $A\langle {\tfrac {T}{s}}\rangle ^{+}$. Das Paar $(A\langle {\tfrac {T}{s}}\rangle ,A\langle {\tfrac {T}{s}}\rangle ^{+})$ ist wieder ein Huber-Paar und wird auch Vervollständigung von $(A({\tfrac {T}{s}}),A({\tfrac {T}{s}})^{+})$ genannt.

Adisches Spektrum

Sei $(A,A^{+})$ ein Huber-Paar.

Wir definieren eine Menge

$X:=\{v\in \mathrm {Cont} (A)\mid \forall f\in A^{+}:v(f)\leq 1\}$

wobei $\mathrm {Cont} (A)$ die Menge der stetigen Bewertungen von $A$ ist.

Für $s\in A$ und eine endliche Teilmenge $T\subset A$, sodass $T\cdot A$ offen ist, sei

$R({\tfrac {T}{s}}):=\{v\in X\mid \forall t\in T:v(t)\leq v(s)\neq 0\}$

die zugehörige rationale Teilmenge. Von den rationalen Teilmengen werde eine Topologie auf $X$ erzeugt.

Durch

${\mathcal {O}}_{X}(R({\tfrac {T}{s}})):=A\langle {\tfrac {T}{s}}\rangle$

ist eine Prägarbe vollständiger topologischer Ringe auf den rationalen Teilmengen von $X$ definiert.

Für eine beliebige offene Teilmenge $V\subseteq X$ definieren wir

${\mathcal {O}}_{X}(V):=\lim \limits _{U\subseteq V}{\mathcal {O}}_{X}(U)$

Hierbei durchläuft $U$ alle rationalen Teilmengen von $V$ und der Limes werde mit der Limes-Topologie ausgestattet. Das definiert eine Prägarbe ${\mathcal {O}}_{X}$ vollständiger topologischer Ringe auf $X$.

Jede Bewertung $x:A\to \Gamma _{x}\cup \{0\}$ mit $x\in X$ lässt sich auf eindeutige Weise auf die abstrakte Lokalisierung ${\mathcal {O}}_{X,x}$ zu einer Bewertung $v_{x}:{\mathcal {O}}_{X,x}\to \Gamma _{x}\cup \{0\}$ fortsetzen.

Das adische Spektrum von $(A,A^{+})$ ist das Tripel $(X,{\mathcal {O}}_{X},(v_{x})_{x\in X})$ und wird mit $\mathrm {Spa} (A,A^{+})$ bezeichnet.

Ist ${\mathcal {O}}_{X}$ eine Garbe topologischer Ringe, so nennen wir $(A,A^{+})$ garbig.

Die Kategorie von Tripeln

Die Kategorie adischer Räume wird als volle Unterkategorie einer Kategorie ${\mathcal {V}}$ definiert.

Die Objekte von ${\mathcal {V}}$ sind Tripel $(X,{\mathcal {O}}_{X},(v_{x})_{x\in X})$, sodass folgendes gilt:

• $X$ ist ein topologischer Raum.
• ${\mathcal {O}}_{X}$ ist eine Garbe vollständiger topologischer Ringe auf $X$.
• Für alle $x\in X$ ist der Halm ${\mathcal {O}}_{X,x}$ von ${\mathcal {O}}_{X}$ in $x$ ein lokaler Ring.
• Für alle $x\in X$ ist $v_{x}$ ist eine Äquivalenzklasse von Bewertungen von ${\mathcal {O}}_{X,x}$, sodass der Träger $\mathrm {supp} (v_{x})$ das maximale Ideal von ${\mathcal {O}}_{X,x}$ ist.

Ein Morphismus $(X,{\mathcal {O}}_{X},(v_{x})_{x\in X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y},(v_{y})_{y\in Y})$ ist ein Paar $(f,f^{\sharp })$, sodass:

• $f:X\to Y$ ist eine stetige Abbildung.
• $f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}$ ist ein Morphismus von Prägarben topologischer Ringe. Das bedeutet, dass für alle offenen Teilmengen $U\subseteq Y$ der Ringhomomorphismus ${\mathcal {O}}_{Y}(U)\to {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(U))$ stetig ist.
• Für alle $x\in X$ gilt $v_{f(x)}=v_{x}\circ f_{x}^{\flat }$ für den von $f^{\flat }:f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}\to {\mathcal {O}}_{X}$ induzierten Ringhomomorphismus $f_{x}^{\flat }:{\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}_{X,x}$. Beachte, dass die Gleichheit sinnvoll ist, da $v_{x}\circ f_{x}^{\flat }$ eine eindeutige Äquivalenzklasse von Bewertungen auf ${\mathcal {O}}_{Y,f(x)}$ bezeichnet.

Aus der letzten Bedingung folgt, dass $f_{x}^{\flat }$ ein lokaler Homomorphismus ist.

Die Verkettung zweier Morphismen $(g,g^{\sharp })$ und $(f,f^{\sharp })$ ist durch $(g\circ f,g_{*}f^{\sharp }\circ g^{\sharp })$ gegeben.

Sei $U\subseteq X$ eine offene Teilmenge. Dann definieren wir die Einschränkung $(X,{\mathcal {O}}_{X},(v_{x})_{x\in X})|_{U}$ durch $(U,{\mathcal {O}}_{X}|_{U},(v_{x})_{x\in U})$.

Adische Räume

Ein affinoider adischer Raum ist ein Objekt von ${\mathcal {V}}$, das isomorph zu $\mathrm {Spa} (A,A^{+})$ für ein garbiges Huber-Paar $(A,A^{+})$ ist.

Ein adischer Raum ist ein Objekt $(X,{\mathcal {O}}_{X},(v_{x})_{x\in X})$ von ${\mathcal {V}}$, das eine offene Überdeckung $(U_{i})_{i\in I}$ besitzt, sodass $(U_{i},{\mathcal {O}}_{X}|_{U_{i}},(v_{x})_{x\in U_{i}})$ für alle $i\in I$ ein affinoider adischer Raum ist.

Übergangsfunktoren

Formale Schemata als adische Räume

Es gibt einen kanonischen Funktor $(-)^{\mathrm {ad} }$ von der Kategorie der garbigen formalen Schemata in die Kategorie der adischen Räume. Dieser ist volltreu auf der vollen Unterkategorie lokal noetherscher formaler Schemata.

Literatur

• Roland Huber: A generalization of formal schemes and rigid analytic varieties, Springer-Verlag 1994, Math. Z. 217, 513–551 (1994).
• Torsten Wedhorn: Adic Spaces, Arxiv, 2019