Arithmetisch-geometrisches Mittel

In der Mathematik bezeichnet man als arithmetisch-geometrisches Mittel zweier positiver reeller Zahlen eine gewisse Zahl, die zwischen dem arithmetischen Mittel und dem geometrischen Mittel liegt.

Definition

Es seien $a$$a$ und $b$$b$ zwei nichtnegative reelle Zahlen. Ausgehend von ihnen werden induktiv zwei Folgen $a_{n}$$a_{n}$ und $b_{n}$$b_{n}$ mit

$a_{0}=a$$a_{0}=a$

(1a)

$b_{0}=b$$b_{0}=b$

(1b)

definiert:

$a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}$$a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}$

(2)

(arithmetisches Mittel)

$b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}$$b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}$

(3)

(geometrisches Mittel)

Die Folgen $a_{n}$$a_{n}$ und $b_{n}$$b_{n}$ konvergieren gegen einen gemeinsamen Grenzwert $M(a,b)$$M(a,b)$, der als arithmetisch-geometrisches Mittel von $a$$a$ und $b$$b$ bezeichnet wird.

Dass die beiden Grenzwerte tatsächlich existieren und darüber hinaus sogar noch gleich sind, wird weiter unten in „Wichtige Eigenschaften“ gezeigt.

Einfaches Beispiel

Sei

$a_{0}=4$$a_{0}=4$ und $b_{0}=9$$b_{0}=9$

(4a,b)

Dann ist

$a_{1}={\frac {4+9}{2}}=6{,}5$$a_{1}={\frac {4+9}{2}}=6{,}5$ und $b_{1}={\sqrt {4\cdot 9}}=6$$b_{1}={\sqrt {4\cdot 9}}=6$

(5)

$a_{2}=6{,}25\,$$a_{2}=6{,}25\,$ und $b_{2}\approx 6{,}245\,$$b_{2}\approx 6{,}245\,$

(6)

$a_{3}\approx b_{3}\approx M(a,b)\approx 6{,}2475\,$$a_{3}\approx b_{3}\approx M(a,b)\approx 6{,}2475\,$

(7)

Einfache Eigenschaften

Für zwei nichtnegative Werte $a$$a$ und $b$$b$ gilt:

$M(a,b)=M(b,a)\,$$M(a,b)=M(b,a)\,$

(10)

$M(ta,tb)=t\cdot M(a,b)$$M(ta,tb)=t\cdot M(a,b)$ für $t\geq 0$$t\geq 0$

(11)

Das heißt, das arithmetisch-geometrische Mittel ist − wie jede Mittelwertfunktion − symmetrisch und homogen vom Grad 1 in seinen beiden Variablen $a$$a$ und $b$$b$.

$\min\{a,b\}\leq {\sqrt {ab}}\leq M(a,b)\leq {\frac {a+b}{2}}\leq \max\{a,b\}$$\min\{a,b\}\leq {\sqrt {ab}}\leq M(a,b)\leq {\frac {a+b}{2}}\leq \max\{a,b\}$

(12)

Gleichheit gilt dabei genau für $a=b$$a=b$

$M(a,b)=M\left({\frac {a+b}{2}},{\sqrt {ab}}\right)$$M(a,b)=M\left({\frac {a+b}{2}},{\sqrt {ab}}\right)$

(13)

Wichtige Eigenschaften

• Monotonie: Für zwei positive Startwerte $0<b_{0}<a_{0}$$0<b_{0}<a_{0}$ gilt nach der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel stets auch $b_{n}<a_{n}$$b_{n}<a_{n}$. Die Folge $b_{0},b_{1},b_{2},\dotsc$$b_{0},b_{1},b_{2},\dotsc$ ist also monoton wachsend und durch $a_{0}$$a_{0}$ nach oben beschränkt, deshalb konvergiert sie gegen einen Grenzwert $\beta$$\beta$. Andererseits ist die Folge $a_{0},a_{1},a_{2},\dotsc$$a_{0},a_{1},a_{2},\dotsc$ monoton fallend und nach unten beschränkt, das heißt, sie konvergiert gegen einen Grenzwert $\alpha$$\alpha$. Oder anders geschrieben:

$b_{0}<b_{1}<\dotsb <b_{n}<b_{n+1}<\dotsb <\beta \leq \alpha <\dotsb <a_{n+1}<a_{n}<\dotsb <a_{1}<a_{0}.$$b_{0}<b_{1}<\dotsb <b_{n}<b_{n+1}<\dotsb <\beta \leq \alpha <\dotsb <a_{n+1}<a_{n}<\dotsb <a_{1}<a_{0}.$

(14)

Geht man nun in der Definitionsgleichung $a_{n+1}=(a_{n}+b_{n})/2$$a_{n+1}=(a_{n}+b_{n})/2$ zum Grenzwert über (das ist erlaubt, weil alle Grenzwerte existieren), dann erhält man $\alpha =(\alpha +\beta )/2$$\alpha =(\alpha +\beta )/2$, woraus $\alpha =\beta$$\alpha =\beta$ folgt. Somit sind die beiden Grenzwerte gleich und es ist $\alpha =\beta =M(a,b)$$\alpha =\beta =M(a,b)$ das arithmetisch-geometrische Mittel.

• Konvergenzgeschwindigkeit: Sei

$c_{n}:={\sqrt {{a}_{n}^{2}-{b}_{n}^{2}}}$$c_{n}:={\sqrt {{a}_{n}^{2}-{b}_{n}^{2}}}$

(15)

Wegen der Abschätzung

$c_{n+1}={\frac {1}{2}}(a_{n}-b_{n})={\frac {{c}_{n}^{2}}{4{a}_{n+1}}}\leq {\frac {{c}_{n}^{2}}{M(a,b)}}$$c_{n+1}={\frac {1}{2}}(a_{n}-b_{n})={\frac {{c}_{n}^{2}}{4{a}_{n+1}}}\leq {\frac {{c}_{n}^{2}}{M(a,b)}}$

(16)

liegt ein Verfahren mit quadratischer Konvergenz vor.

Alternative Darstellung

Man kann beide Folgen auch voneinander "entkoppeln": Sei

$a_{0}=a$$a_{0}=a$, $b_{0}=b$$b_{0}=b$, $a_{1}={\frac {a_{0}+b_{0}}{2}}$$a_{1}={\frac {a_{0}+b_{0}}{2}}$ und $b_{1}={\sqrt {a_{0}b_{0}}}$$b_{1}={\sqrt {a_{0}b_{0}}}$.

(21)

Dann kann man die obigen Gleichungen umformen zu:

$a_{n}={\frac {a_{n-1}\;+{\sqrt {(2a_{n-1}-a_{n-2})\cdot a_{n-2}}}}{2}}$$a_{n}={\frac {a_{n-1}\;+{\sqrt {(2a_{n-1}-a_{n-2})\cdot a_{n-2}}}}{2}}$

(22)

$b_{n}={\sqrt {\frac {b_{n-1}\cdot (b_{n-1}^{2}+b_{n-2}^{2})}{2b_{n-2}}}}$$b_{n}={\sqrt {\frac {b_{n-1}\cdot (b_{n-1}^{2}+b_{n-2}^{2})}{2b_{n-2}}}}$

(23)

Historisches

Das arithmetisch-geometrische Mittel wurde unabhängig voneinander von den Mathematikern Carl Friedrich Gauß und zuvor schon von Adrien-Marie Legendre entdeckt. Sie nutzten es, um die Bogenlänge von Ellipsen, also elliptische Integrale, näherungsweise zu berechnen. Gauß etwa notierte zum Zusammenhang zwischen dem arithmetisch-geometrischen Mittel und dem elliptischen Integral 1. Gattung (Bogenlänge einer Lemniskate) die Gleichung

${\frac {\pi }{2M(1,{\sqrt {2}})}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}$${\frac {\pi }{2M(1,{\sqrt {2}})}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}$

(24)

in sein Mathematisches Tagebuch.

Verfahren von Salamin und Brent

Das nachfolgende Verfahren zur Berechnung der Kreiszahl $\pi$$\pi$ wurde 1976 unabhängig voneinander von Richard P. Brent und Eugene Salamin publiziert. Es nutzt wesentlich die Erkenntnisse von Gauß über das arithmetisch-geometrische Mittel. Gauß bemerkte zu seiner Zeit allerdings nicht, dass sich damit auch ein schneller Algorithmus zur Berechnung der Zahl $\pi$$\pi$ konstruieren lässt. Dennoch wird das Verfahren oft auch als Methode von Gauß, Brent und Salamin bezeichnet.

Die Schritte des Verfahrens können folgendermaßen beschrieben werden:

• Initialisierung: Man verwendet als Startwerte

$a_{0}=1\qquad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\qquad s_{0}={\frac {1}{2}}\qquad$$a_{0}=1\qquad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\qquad s_{0}={\frac {1}{2}}\qquad$

(31)

• Schleife: Für

$n=1,2,...$$n=1,2,...$

berechnet man

$a_{n}={\frac {a_{n-1}+b_{n-1}}{2}}\,$$a_{n}={\frac {a_{n-1}+b_{n-1}}{2}}\,$

(32)

$b_{n}={\sqrt {a_{n-1}b_{n-1}}}\,$$b_{n}={\sqrt {a_{n-1}b_{n-1}}}\,$

(33)

$c_{n}=a_{n}^{2}-b_{n}^{2}\,$$c_{n}=a_{n}^{2}-b_{n}^{2}\,$

(34)

$s_{n}=s_{n-1}-2^{n}c_{n}\,$$s_{n}=s_{n-1}-2^{n}c_{n}\,$

(35)

$p_{n}={\frac {2a_{n}^{2}}{s_{n}}}\,$$p_{n}={\frac {2a_{n}^{2}}{s_{n}}}\,$

(36)

Die Folge der $(p_{n})$$(p_{n})$ konvergiert quadratisch gegen $\pi$$\pi$, das heißt, dass mit jedem Durchlaufen der Schleife sich die Zahl der korrekt berechneten Ziffern etwa verdoppelt. Damit konvergiert dieser Algorithmus deutlich schneller gegen $\pi$$\pi$ als viele klassische Verfahren.

Zahlenbeispiel

Mit den Startwerten

$a_{0}=1\qquad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\approx 0{,}707106781186547\qquad s_{0}={\frac {1}{2}}=0{,}5\qquad$$a_{0}=1\qquad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\approx 0{,}707106781186547\qquad s_{0}={\frac {1}{2}}=0{,}5\qquad$

(37)

berechnet man iterativ:

Index $n$$n$	$a_{n}$$a_{n}$	$b_{n}$$b_{n}$	$c_{n}$$c_{n}$	$s_{n}$$s_{n}$	$p_{n}$$p_{n}$
$n=0$$n=0$	1	0,70710 67811 86547		0,5
$n=1$$n=1$	0,85355 33905 93274	0,84089 64152 53715	0,02144 66094 06726	0,45710 67811 86547	3,18767 26427 12110
$n=2$$n=2$	0,84722 49029 23494	0,84720 12667 46891	0,00004 00497 56187	0,45694 65821 61801	3,14168 02932 97660
$n=3$$n=3$	0,84721 30848 35193	0,84721 30847 52765	0,00000 00001 39667	0,45694 65810 44462	3,14159 26538 95460

Nach drei Iterationen erhält man für das arithmetisch-geometrische Mittel den Näherungswert $M(1,1/{\sqrt {2}})\approx a_{3}\approx 0{,}847213084.$$M(1,1/{\sqrt {2}})\approx a_{3}\approx 0{,}847213084.$

Für die Zahl $\pi$$\pi$ ergibt sich die Näherung $\pi \approx p_{3}\approx 3{,}141592653.\,$$\pi \approx p_{3}\approx 3{,}141592653.\,$

Beziehung zu elliptischen Integralen

Es gilt:

${\frac {\pi /4}{M(a,b)}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})((a+b)^{2}-(a-b)^{2}t^{2})}}}$${\frac {\pi /4}{M(a,b)}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})((a+b)^{2}-(a-b)^{2}t^{2})}}}$

(41)

Die rechte Seite ist ein vollständiges elliptisches Integral erster Art.

Literatur

• Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM, A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. John Wiley, New York 1987, ISBN 0-471-31515-X.
• Louis Vessot King: On the direct numerical calculation of elliptic functions and integrals. Cambridge University Press 1924, https://archive.org/details/ondirectnumerica00kinguoft

Weblinks

• David H. Bailey et al. The Quest for Pi (PDF-Datei; 119 kB)
• Eric W. Weisstein: Arithmetic-Geometric Mean. In: MathWorld (englisch).