Arithmetisch-geometrisches Mittel

In der Mathematik bezeichnet man als arithmetisch-geometrisches Mittel zweier positiver reeller Zahlen eine gewisse Zahl, die zwischen dem arithmetischen Mittel und dem geometrischen Mittel liegt.

Definition

Es seien $a$ und $b$ zwei nichtnegative reelle Zahlen. Ausgehend von ihnen werden induktiv zwei Folgen $a_{n}$ und $b_{n}$ mit

$a_{0}=a$

(1a)

$b_{0}=b$

(1b)

definiert:

$a_{{n+1}}={\frac {a_{n}+b_{n}}2}$

(2)

(arithmetisches Mittel)

$b_{{n+1}}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}$

(3)

(geometrisches Mittel)

Die Folgen $a_{n}$ und $b_{n}$ konvergieren gegen einen gemeinsamen Grenzwert $M(a,b)$, der als arithmetisch-geometrisches Mittel von $a$ und $b$ bezeichnet wird.

Dass die beiden Grenzwerte tatsächlich existieren und darüber hinaus sogar noch gleich sind, wird weiter unten in „Wichtige Eigenschaften“ gezeigt.

Einfaches Beispiel

Sei

$a_{{0}}=4$ und $b_{{0}}=9$

(4a,b)

Dann ist

$a_{{1}}={\frac {4+9}2}=6{,}5$ und $b_{{1}}={\sqrt {4\cdot 9}}=6$

(5)

$a_{{2}}=6{,}25\,$ und $b_{{2}}\approx 6{,}245\,$

(6)

$a_{{3}}\approx b_{{3}}\approx M(a,b)\approx 6{,}2475\,$

(7)

Einfache Eigenschaften

Für zwei nichtnegative Werte $a$ und $b$ gilt:

$M(a,b)=M(b,a)\,$

(10)

$M(ta,tb)=t\cdot M(a,b)$ für $t\geq 0$

(11)

Das heißt, das arithmetisch-geometrische Mittel ist − wie jede Mittelwertfunktion − symmetrisch und homogen vom Grad 1 in seinen beiden Variablen $a$ und $b$.

$\min\{a,b\}\leq {\sqrt {ab}}\leq M(a,b)\leq {\frac {a+b}2}\leq \max\{a,b\}$

(12)

Gleichheit gilt dabei genau für $a=b$

$M(a,b)=M\left({\frac {a+b}2},{\sqrt {ab}}\right)$

(13)

Wichtige Eigenschaften

• Monotonie: Für zwei positive Startwerte $0<b_{0}<a_{0}$ gilt nach der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel stets auch $b_{n}<a_{n}$. Die Folge $b_{0},b_{1},b_{2},\dotsc$ ist also monoton wachsend und durch $a_{0}$ nach oben beschränkt, deshalb konvergiert sie gegen einen Grenzwert $\beta$. Andererseits ist die Folge $a_{0},a_{1},a_{2},\dotsc$ monoton fallend und nach unten beschränkt, das heißt, sie konvergiert gegen einen Grenzwert $\alpha$. Oder anders geschrieben:

$b_{0}<b_{1}<\dotsb <b_{n}<b_{{n+1}}<\dotsb <\beta \leq \alpha <\dotsb <a_{{n+1}}<a_{n}<\dotsb <a_{1}<a_{0}.$

(14)

Geht man nun in der Definitionsgleichung $a_{{n+1}}=(a_{n}+b_{n})/2$ zum Grenzwert über (das ist erlaubt, weil alle Grenzwerte existieren), dann erhält man $\alpha =(\alpha +\beta )/2$, woraus $\alpha =\beta$ folgt. Somit sind die beiden Grenzwerte gleich und es ist $\alpha =\beta =M(a,b)$ das arithmetisch-geometrische Mittel.

• Konvergenzgeschwindigkeit: Sei

$c_{n}:={\sqrt {{a}_{{n}}^{{2}}-{b}_{{n}}^{{2}}}}$

(15)

Wegen der Abschätzung

$c_{{n+1}}={\frac {1}{2}}(a_{n}-b_{n})={\frac {{c}_{{n}}^{{2}}}{4{a}_{{n+1}}}}\leq {\frac {{c}_{{n}}^{{2}}}{M(a,b)}}$

(16)

liegt ein Verfahren mit quadratischer Konvergenz vor.

Alternative Darstellung

Man kann beide Folgen auch voneinander "entkoppeln": Sei

$a_{0}=a$, $b_{0}=b$, $a_{1}={\frac {a_{0}+b_{0}}2}$ und $b_{1}={\sqrt {a_{0}b_{0}}}$.

(21)

Dann kann man die obigen Gleichungen umformen zu:

$a_{n}={\frac {a_{{n-1}}\;+{\sqrt {(2a_{{n-1}}-a_{{n-2}})\cdot a_{{n-2}}}}}{2}}$

(22)

$b_{n}={\sqrt {{\frac {b_{{n-1}}\cdot (b_{{n-1}}^{2}+b_{{n-2}}^{2})}{2b_{{n-2}}}}}}$

(23)

Historisches

Das arithmetisch-geometrische Mittel wurde unabhängig voneinander von den Mathematikern Carl Friedrich Gauß und zuvor schon von Adrien-Marie Legendre entdeckt. Sie nutzten es, um die Bogenlänge von Ellipsen, also elliptische Integrale, näherungsweise zu berechnen. Gauß etwa notierte zum Zusammenhang zwischen dem arithmetisch-geometrischen Mittel und dem elliptischen Integral 1. Gattung (Bogenlänge einer Lemniskate) die Gleichung

${\frac {\pi }{2M(1,{\sqrt {2}})}}=\int _{0}^{1}{\frac {{\mathrm d}t}{{\sqrt {1-t^{4}}}}}$

(24)

in sein Mathematisches Tagebuch.

Verfahren von Salamin und Brent

Das nachfolgende Verfahren zur Berechnung der Kreiszahl $\pi$ wurde 1976 unabhängig voneinander von Richard P. Brent und Eugene Salamin publiziert. Es nutzt wesentlich die Erkenntnisse von Gauß über das arithmetisch-geometrische Mittel. Gauß bemerkte zu seiner Zeit allerdings nicht, dass sich damit auch ein schneller Algorithmus zur Berechnung der Zahl $\pi$ konstruieren lässt. Dennoch wird das Verfahren oft auch als Methode von Gauß, Brent und Salamin bezeichnet.

Die Schritte des Verfahrens können folgendermaßen beschrieben werden:

• Initialisierung: Man verwendet als Startwerte

$a_{0}=1\qquad b_{0}={\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\qquad s_{0}={\frac {1}{2}}\qquad$

(31)

• Schleife: Für

$n=1,2,...$

berechnet man

$a_{{n}}={\frac {a_{{n-1}}+b_{{n-1}}}{2}}\,$

(32)

$b_{{n}}={\sqrt {a_{{n-1}}b_{{n-1}}}}\,$

(33)

$c_{{n}}=a_{{n}}^{2}-b_{{n}}^{2}\,$

(34)

$s_{{n}}=s_{{n-1}}-2^{{n}}c_{{n}}\,$

(35)

$p_{{n}}={\frac {2a_{{n}}^{2}}{s_{{n}}}}\,$

(36)

Die Folge der $(p_{n})$ konvergiert quadratisch gegen $\pi$, das heißt, dass mit jedem Durchlaufen der Schleife sich die Zahl der korrekt berechneten Ziffern etwa verdoppelt. Damit konvergiert dieser Algorithmus deutlich schneller gegen $\pi$ als viele klassische Verfahren.

Zahlenbeispiel

Mit den Startwerten

$a_{0}=1\qquad b_{0}={\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\approx 0{,}707106781186547\qquad s_{0}={\frac {1}{2}}=0{,}5\qquad$

(37)

berechnet man iterativ:

Index $n$	$a_{{n}}$	$b_{{n}}$	$c_{{n}}$	$s_{{n}}$	$p_{{n}}$
$n=0$	1	0,70710 67811 86547		0,5
$n=1$	0,85355 33905 93274	0,84089 64152 53715	0,02144 66094 06726	0,45710 67811 86547	3,18767 26427 12110
$n=2$	0,84722 49029 23494	0,84720 12667 46891	0,00004 00497 56187	0,45694 65821 61801	3,14168 02932 97660
$n=3$	0,84721 30848 35193	0,84721 30847 52765	0,00000 00001 39667	0,45694 65810 44462	3,14159 26538 95460

Nach drei Iterationen erhält man für das arithmetisch-geometrische Mittel den Näherungswert $M(1,1/{\sqrt {2}})\approx a_{3}\approx 0{,}847213084.$

Für die Zahl $\pi$ ergibt sich die Näherung $\pi \approx p_{3}\approx 3{,}141592653.\,$

Beziehung zu elliptischen Integralen

Es gilt:

${\frac {\pi /4}{M(a,b)}}=\int _{0}^{1}{\frac {{\mathrm d}t}{{\sqrt {(1-t^{2})((a+b)^{2}-(a-b)^{2}t^{2})}}}}$

(41)

Die rechte Seite ist ein vollständiges elliptisches Integral erster Art.

Literatur

• Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM, A Study in Analytic Number Theory an Computational Complexity. John Wiley, New York 1987, ISBN 0-471-31515-X.

Weblinks

• David H. Bailey et al. The Quest for Pi (PDF-Datei; 119 kB)
• Eric W. Weisstein: Arithmetic-Geometric Mean. In: MathWorld (englisch).