Das heißt, das arithmetisch-geometrische Mittel ist – wie jede Mittelwertfunktion – symmetrisch und homogen vom Grad 1 in seinen beiden Variablen und .
Monotonie: Für zwei positive Startwerte gilt nach der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel stets auch . Die Folge ist also monoton wachsend und durch nach oben beschränkt, deshalb konvergiert sie gegen einen Grenzwert . Andererseits ist die Folge monoton fallend und nach unten beschränkt, das heißt, sie konvergiert gegen einen Grenzwert . Oder anders geschrieben:
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Geht man nun in der Definitionsgleichung zum Grenzwert über (das ist erlaubt, weil alle Grenzwerte existieren), dann erhält man , woraus folgt. Somit sind die beiden Grenzwerte gleich und es ist das arithmetisch-geometrische Mittel.
Das arithmetisch-geometrische Mittel wurde unabhängig voneinander von den Mathematikern Carl Friedrich Gauß und zuvor schon von Adrien-Marie Legendre entdeckt. Sie nutzten es, um die Bogenlänge von Ellipsen, also elliptische Integrale, näherungsweise zu berechnen. Gauß etwa notierte zum Zusammenhang zwischen dem arithmetisch-geometrischen Mittel und dem elliptischen Integral 1. Gattung (Bogenlänge einer Lemniskate) die Gleichung
Das nachfolgende Verfahren zur Berechnung der Kreiszahl wurde 1976 unabhängig voneinander von Richard P. Brent und Eugene Salamin publiziert. Es nutzt wesentlich die Erkenntnisse von Gauß über das arithmetisch-geometrische Mittel. Gauß bemerkte zu seiner Zeit allerdings nicht, dass sich damit auch ein schneller Algorithmus zur Berechnung der Zahl konstruieren lässt. Dennoch wird das Verfahren oft auch als Methode von Gauß, Brent und Salamin bezeichnet.
Die Schritte des Verfahrens können folgendermaßen beschrieben werden:
Initialisierung: Man verwendet als Startwerte
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Schleife: Für
berechnet man
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Die Folge der konvergiert quadratisch gegen , das heißt, dass mit jedem Durchlaufen der Schleife sich die Zahl der korrekt berechneten Ziffern etwa verdoppelt. Damit konvergiert dieser Algorithmus deutlich schneller gegen als viele klassische Verfahren.
↑Vgl. Carl Friedrich Gauß: Mathematisches Tagebuch 1796–1814. Mit einer historischen Einführung von Kurt-R. Biermann. Durchgesehen und mit Anmerkungen versehen von Hans Wußing und Olaf Neumann. 5. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2005. (Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Band 256.), Nr. 98 (Braunschweig, 30. Mai 1798): „Terminum medium arithmetico-geometricum inter 1 etesseusque ad figuram undecimam comprobavimus, qua re demonstrata prorsus novus campus in analysi certo aperietur.“ „Wir haben bis zur elften Stelle nachgewiesen, daß der Wert des arithmetisch-geometrischen Mittels zwischen 1 und ist; durch diesen Beweis wird uns ganz gewiß ein völlig neues Feld in der Analysis eröffnet werden.“ Dabei ist die von Gauß eingeführte lemniskatische Konstante.