Lemniskatische Konstante

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Die lemniskatische Konstante ist eine 1798 von Carl Friedrich Gauß eingeführte mathematische Konstante. Sie ist definiert als der Wert des elliptischen Integrals

= 2,62205 75542 92119 81046 48395 89891 11941 36827 54951 43162 … (Folge A062539 in OEIS)

und tritt bei der Berechnung der Bogenlänge der gesamten Lemniskate auf.

Bezeichnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gauß wählte für die lemniskatische Konstante bewusst die griechische Minuskel (gesprochen: Skript-Pi oder Varpi), eine alternative Schreibweise von π, um an die Analogie zum Kreis mit seinem halben Umfang

zu erinnern. Den Ursprung dieser Bezeichnung bei Gauß klärte vermutlich zuerst Ludwig Schlesinger auf: Zunächst verwendete Gauß zur Bezeichnung der lemniskatischen Periode das Zeichen , und ab Juli 1798 verwendete er für diese Größe konsequent .

Im Englischen findet sich für die Minuskel auch die (irreführende) Bezeichnung pomega.

Im englischen Sprachraum wird

= 0,83462 68416 74073 18628 14297 32799 04680 89939 93013 49034 … (Folge A014549 in OEIS)

als Gaußkonstante bezeichnet.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit der Betafunktion und der Gammafunktion gilt

Gauß fand die Beziehung

mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel und gab auch eine schnell konvergierende Reihe

mit Summanden der Größenordnung an. Die Auswertung

des elliptischen Integrals ergibt eine ähnliche Reihe, die jedoch sehr viel langsamer konvergiert, da die Glieder von der Größenordnung sind. Sehr schnell konvergiert die Reihe in

mit Summanden der Größenordnung .

Niels Nielsen stellte 1906 mit Hilfe der Kummerschen Reihe der Gammafunktion einen Zusammenhang mit der Eulerschen Konstante her:[1]

Theodor Schneider bewies 1937 die Transzendenz von .[2] Gregory Chudnovsky zeigte 1975, dass und somit auch algebraisch unabhängig von ist.[3][4]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Theodor Schneider: Einführung in die transzendenten Zahlen. Springer-Verlag, Berlin 1957, S. 64.
  • Carl Ludwig Siegel: Transzendente Zahlen. Bibliographisches Institut, Mannheim 1967, S. 81–84.
  • A. I. Markuschewitsch: Analytic Functions. Kapitel 2 in: A. N. Kolmogorov, A. P. Juschkewitsch (Hrsg.): Mathematics of the 19th Century. Geometry, analytic function theory. Birkhäuser, Basel 1996, ISBN 3-7643-5048-2, S. 133–136.
  • Jörg Arndt, Christoph Haenel: π. Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2. Auflage, Springer, 2000, S. 94–96 (hier ist die griechische Minuskel ϖ typographisch korrekt wiedergegeben)
  • Steven R. Finch: Gauss’ Lemniscate constant, Kapitel 6.1 in Mathematical constants, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 420–423 (englisch)
  • Hans Wußing, Olaf Neumann: Mathematisches Tagebuch 1796–1814 von Carl Friedrich Gauß. Mit einer historischen Einführung von Kurt-R. Biermann. Ins Deutsche übertragen von Elisabeth Schuhmann. Durchgesehen und mit Anmerkungen versehen von Hans Wußing und Olaf Neumann. 5. Auflage, 2005, Eintrag [91a].

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Niels Nielsen: Handbuch der Theorie der Gammafunktion. Teubner, Leipzig 1906, S. 201 (der korrekte Faktor vor der Summe ist 2/π statt 2)
  2. Theodor Schneider: Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale (11. März 1936), Mathematische Annalen 113, 1937, S. 1–13
  3. G. V. Choodnovsky: Algebraic independence of constants connected with the functions of analysis, Notices of the AMS 22, 1975, S. A-486 (englisch; vorläufiger Bericht)
  4. Gregory V. Chudnovsky: Contributions to the theory of transcendental numbers, American Mathematical Society, 1984, ISBN 0-8218-1500-8, S. 8 (englisch)