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Thetafunktion

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In der Funktionentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, bilden die Thetafunktionen eine spezielle Klasse von Funktionen mehrerer komplexer Variablen. Systematisch untersucht wurden sie zuerst von Carl Gustav Jakob Jacobi.

Thetafunktionen spielen eine Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und der quadratischen Formen. Eingeführt wurden sie 1829 von Jacobi in seinem Buch Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum. Jacobi verwendete für sie den griechischen Buchstaben und gab ihr den Namen Thetafunktion. Sie ist bei Jacobi die Grundlage seiner Behandlung elliptischer Funktionen, systematisch entwickelt in seinen Vorlesungen.[1] Die Bedeutung der Thetafunktion für die Theorie elliptischer Funktionen erkannte schon Carl Friedrich Gauß, veröffentlichte dies aber nicht. Die Thetafunktion selbst war in Spezialfällen schon Leonhard Euler und Johann I Bernoulli bekannt.[2] Weitere Beiträge zur Theorie der Thetafunktion stammten im 19. Jahrhundert insbesondere von Karl Weierstrass, Bernhard Riemann, Frobenius und Henri Poincaré.

Thetafunktionen tauchen zum Beispiel bei der Lösung der Wärmeleitungsgleichung auf.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Klassische Thetafunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die klassische Jacobische Thetafunktion ist definiert durch

Somit ist die klassische Thetafunktion nach Jacobi als infinitesimale Aufsummierung unendlich vieler Potenzen zur Basis der Eulerschen Zahl und in Abhängigkeit vom Kreisbogenmaß z und vom imaginären Halbperiodenverhältnis definiert. Dabei verhält sich der Exponent in Beziehung zum Summenindex quadratisch. Die Reihe ist in normal konvergent, dabei bedeutet die obere Halbebene. Für festes ist also eine ganze Funktion, für festes ist eine auf holomorphe Funktion.

Weitere Thetafunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Funktion ϴ₁ mit Nomen 0,1*exp(0,1*i*π)

Verallgemeinert wird die Thetafunktion so definiert:

Neben der klassischen Thetafunktion findet man in der Literatur vor allem drei weitere Thetafunktionen, welche als Spezialfälle der klassischen Thetafunktion aufgestellt werden können. Diese drei weiteren Thetafunktionen entstehen, wenn die Parameter a und b spezielle Werte erhalten:

Die jacobische Thetafunktion wird in dieser Schreibweise als Θ₃(z,𝜏) bzw. Θ₀,₀(z,𝜏) bezeichnet.

Definition nach Whittaker und Watson[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Mathematiker Edmund Taylor Whittaker und George Neville Watson definierten folgende Thetafunktionen:[3][4]

Das Theta-Symbol trägt bei diesen Definitionen unten rechts von sich zwei Indizes, welche stets die Werte Null und Eins sind. Der linke Theta-Index bewirkt die Verschiebung des Exponentenindex n um den Wert 1/2. Der rechte Theta-Index kündigt die Periodenverschibung des Kreisbogenmaßes v um den Wert π/2 an. Bei diesen unendlichen Produkten verlaufen bezüglich des Produktindex alle Potenzsummanden in exponentieller Abnahme, sodass alle drei gezeigten Produkte für alle reellen Werte v und für alle Werte −1 < w < 1 konvergieren. Das elliptische Nomen in Abhängigkeit zum imaginären Halbperiodenverhältnis erfüllt die Gleichung und stellt als rechter Klammereintrag in der Thetafunktion nach Whittaker und Watson die Beziehung zu den großen Thetafunktionen her. Dabei gilt dieser Zusammenhang:

Im Folgenden werden die Funktionen aus jeweils zwei Abszissen und einer Ordinate graphisch abgebildet:

An diesen dreidimensionalen Graphenbildern ist die Tatsache erkennbar, dass die Funktionen ϑ₀₀ und ϑ₀₁ für Nomina 0 ≤ q < 1 stets positive Ordinatenwerte ergeben.

Definition vom Theta-Nullwert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Unter dem Theta-Nullwert versteht man jeweils die Thetafunktion für den Wert , also beispielsweise für die jacobische Thetafunktion die Reihe:

Analog gilt mit der Definition nach Whittaker und Watson:

Durch Annullierung des Kreisbogenmaßes im linken Klammereintrag der allgemeinen Thetafunktion entstehen die drei sogenannten standardisierten Theta-Nullwertfunktionen. Bei diesen drei Funktionen hängt die Thetafunktion nur noch vom Nomen ab und somit zählen sie zu den Funktionen aus jeweils nur einer Variablen. Wenn der linke Klammereintrag auf Null gesetzt wird, so wied dieser bei den so entstehenden Theta-Nullwertfunktionen nicht mitgeschrieben und nur der rechte Klammereintrag wird als einziger Eintrag in der Klammer genannt.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nullstellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für festes hat die Thetafunktion einfache Nullstellen an den Stellen

.

Transformationsformel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Thetafunktion ist periodisch in beiden Variablen, es gilt:

Darüber hinaus gilt die wichtige Transformationsformel

Speziell für den Theta-Nullwert reduziert sich dies auf

Bei der Wurzel ist dabei jeweils der Hauptzweig zu nehmen.

Produktdarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Thetafunktion lässt sich mit Hilfe des jacobischen Tripelproduktes auch als unendliches Produkt darstellen, es gilt:

Speziell für den Theta-Nullwert reduziert sich dies auf

Aus dieser Darstellung folgt insbesondere, dass keine Nullstellen in der oberen Halbebene hat.

Integraldarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Thetafunktion besitzt eine Integraldarstellung:

Die zugehörige Theta-Nullwertfunktion hat für positive x-Werte diese Integraldarstellung:

Diese Formel wurde im Aufsatz Square series generating function transformations von der Mathematikerin Maxie Schmidt aus Georgia behandelt.

Jacobische Identität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Theta-Nullwerte erfüllen die sogenannte Jacobi-Identität:

Für die analogen Klein-Thetafunktionen gilt dieselbe Identität:

Verallgemeinert kann die Jacobi-Identität auf folgende Theoreme erweitert werden:

Grenzwertbildung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Graph des Sekans Hyperbolicus
Gaußsche Glockenkurvenfunktion exp(-x²) mit Stammfunktion

Für alle Werte y des Definitionsbereichs gilt:

Und für Werte |y| < 1 gilt:

Und es gilt für den Sekans Hyperbolicus:

Daraus resultiert diese Formel:

Die Definition des Riemannschen Integrals beschreibt die Umwandlung zwischen Grenzwert und Integral.

Danach kann jene Umformung durchgeführt werden:

Außerdem gilt:

Daraus folgt über die Gaußsche Glockenkurve dieses Resultat:

Zusammenhang mit Modulformen und elliptischen Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zusammenhang mit der dedekindschen Etafunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Thetafunktion hängt eng zusammen mit der dedekindschen Etafunktion, es gilt:

Die Thetafunktion als Modulform zu einer Untergruppe der Modulgruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mittels der Thetafunktion lassen sich Modulformen definieren. Setzt man , so gilt aufgrund des Transformationsverhaltens:

Die Funktion ist also eine Modulform vom Gewicht 4 zu der von den beiden Transformationen und erzeugten Untergruppe der Modulgruppe .

Quotienten von Thetafunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Thetafunktion lässt sich zur Definition elliptischer Funktionen heranziehen. Setzt man etwa für festes

,

so ist eine elliptische Funktion zum Gitter .

Auf ähnliche Weise lässt sich auch die Weierstraßsche ℘-Funktion konstruieren. Erfüllt nämlich eine holomorphe Funktion die beiden Bedingungen

für ein festes , so ist die zweite logarithmische Ableitung eine elliptische Funktion zum Gitter . Beispielsweise gilt für die Weierstraßsche ℘-Funktion:

mit einer passenden Konstanten .

Summen und Produkte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Darstellungen der Theta-Nullwerte als Summen und Produkte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Folgende Identitäten gelten für die Theta-Nullwerte der Thetafunktionen[5] in ihren reellen Formen:

Bei dieser Schreibweise gibt die erste tiefgestellte Zahl nach dem Theta die Verschiebung der Exponentenbasis um 1/2 in der Summendarstellung an.

Die zweite tiefgestellte Zahl entscheidet über die Alternierung der Vorzeichen in der Summendarstellung.

Oberpartitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Summenreihe für den Kehrwert der Funktion ϑ₀₁ hat als Koeffizienten der Maclaurinschen Reihe die Zahlen der Oberpartitionsfolge mit stets positivem Vorzeichen:

Wenn zu einer gegebenen Zahl k alle Partitionen so aufgestellt werden, dass die Summandengröße niemals steigt, und bei jeder so beschaffenen Partition all diejenigen Summanden markiert werden dürfen, welche keinen gleich großen Summanden links von sich haben, dann wird die sich dadurch ergebende Anzahl der markierten Partitionen in Abhängigkeit von k durch die Oberpartitionsfunktion beschrieben.

Erstes Beispiel:

Diese 14 Möglichkeiten der Partitionsmarkierungen existieren für die Summe 4:

(4), (4), (3+1), (3+1), (3+1), (3+1), (2+2), (2+2), (2+1+1), (2+1+1), (2+1+1), (2+1+1), (1+1+1+1), (1+1+1+1)

Zweites Beispiel:

Diese 24 Möglichkeiten der Partitionsmarkierungen existieren für die Summe 5:

(5), (5), (4+1), (4+1), (4+1), (4+1), (3+2), (3+2), (3+2), (3+2), (3+1+1), (3+1+1), (3+1+1), (3+1+1), (2+2+1), (2+2+1), (2+2+1), (2+2+1),

(2+1+1+1), (2+1+1+1), (2+1+1+1), (2+1+1+1), (1+1+1+1+1), (1+1+1+1+1)

Die Folge der Oberpartitionen kann mit der normalen Partitionsfolge P[6] und der strikten Partitionsfolge Q[7] so erzeugt werden:

Die normale Partitionsfolge P(n) selbst gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, auf wie viele Weisen eine positive, ganze Zahl n in positive, ganze Summanden zerlegt werden kann. Und die strikte Partitionsfolge Q(n) gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, auf wie viele Weisen eine solche Zahl n so in positive ganze Summanden zerlegt werden kann, dass jeder Summand höchstens einmal auftaucht beziehungsweise kein Summandenwert wiederholt vorkommt. Der in der zuletzt genannten Formel beschriebene Zusammenhang zwischen normalen Partitionen, strikten Partitionen und Oberpartitionen wird in folgender Tabelle exemplarisch erläutert.

Halblogarithmische Darstellung der Partitionsfunktion P(n)

Tabelle der Zahlenfolgen:

n P(n) Q(n)
0 1 1 1 = 1*1
1 1 1 2 = 1*1 + 1*1
2 2 1 4 = 2*1 + 1*1 +1*1
3 3 2 8 = 3*1 + 2*1 + 1*1 + 1*2
4 5 2 14 = 5*1 + 3*1 + 2*1 + 1*2 + 1*2
5 7 3 24 = 7*1 + 5*1 + 3*1 + 2*2 + 1*2 + 1*3
6 11 4 40 = 11*1 + 7*1 + 5*1 + 3*2 + 2*2 + 1*3 + 1*4
7 15 5 64 = 15*1 + 11*1 + 7*1 + 5*2 + 3*2 + 2*3 + 1*4 + 1*5
8 22 6 100 = 22*1 + 15*1 + 11*1 + 7*2 + 5*2 + 3*3 + 2*4 + 1*5 + 1*6
9 30 8 154 = 30*1 + 22*1 + 15*1 + 11*2 + 7*2 + 5*3 + 3*4 + 2*5 + 1*6 + 1*8
10 42 10 232 = 42*1 + 30*1 + 22*1 + 15*2 + 11*2 + 7*3 + 5*4 + 3*5 + 2*6 + 1*8 + 1*10

Pochhammer-Produkte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Srinivasa Ramanujan (श्रीनिवास रामानुजन)
Julius Wilhelm Richard Dedekind

Für folgendes unendliche Produkt in Darstellung mit dem Pochhammer-Symbol gilt diese Identität:

Srinivasa Ramanujan entdeckte diese Identität und schrieb sie in seinem berühmten Werk Modular Equations and Approximations to π nieder.[8]

Ebenso wurde dieser Zusammenhang von Julius Wilhelm Richard Dedekind erkannt[9] und in seiner Theorie über die Etafunktion behandelt.

Für das Eulersche Produkt gilt folgende Identität:[10]

Durch Hinzunahme der Ramanujanschen Psifunktion können die beiden genannten Pochhammer-Produkte auch so dargestellt werden:

Jene beiden Identitäten sind sowohl für positive Werte als auch für negative Werte x gültig.

Es gilt für die beiden zuletzt genannten Formeln der Gültigkeitsbereich −1 < x < 1 für alle reellen Werte x.

Die erwähnte Ramanujansche Psifunktion hat dabei diese zwei miteinander übereinstimmenden Definitionen:

Auch der Rogers-Ramanujan-Kettenbruch ist mit den Thetafunktionen darstellbar:

Dabei wird mit die Kettenbruchfunktion[11] ausgedrückt.

Sie dient zum Lösen der allgemeinen quintischen Gleichungen in Bring-Jerrard-Form.

Zusammenhang mit zahlentheoretischen Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Hilfe der Thetafunktion und deren Produktdarstellung lässt sich der Pentagonalzahlensatz beweisen.

Als weitere Anwendung erhält man eine Formel für die dritte Potenz des Euler-Produktes:

Werte der Theta-Nullwertfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Berechnung der Theta-Nullwerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Thetafunktionen ϑ₁₀ und ϑ₀₀ in reeller Form gelten folgende Formeln:

Dabei steht λ*(x) für die elliptische Lambda-Funktion und K(x) für das vollständige elliptische Integral erster Art:

Mit der Abkürzung agm wird das arithmetisch geometrische Mittel zum Ausdrück gebracht.

Von diesen beiden Thetafunktionen werden im Folgenden einige Theta-Nullwerte aufgelistet.

Lemniskatische Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der folgenden Tabelle werden die lemniskatisch beschaffenen Werte[12] von den Funktionen ϑ₁₀(x) und ϑ₀₀(x) genannt:

x ϑ₁₀(x) ϑ₀₀(x)

Hierbei steht für die Gauß-Konstante, die der Quotient lemniskatischen Konstante dividiert durch die Kreiszahl ist. Die soeben abgebildeten Werte wurden durch den südkoreanischen Mathematiker Jinhee Yi erforscht. Seine Resultate wurden anschließend im Journal of Mathematical Analysis and Applications veröffentlicht.

Außerdem gilt:

Für die Funktion ϑ₀₀ gilt folgende Identität:

Auf der Poissonschen Summenformel basiert die soeben gezeigte Identität.

Für alle natürlichen Zahlen n gilt diese Beziehung:

Dabei ist die Jacobische elliptische Funktion Delta amplitudinis. Beispielsweise gilt somit:

Folgende Beziehungen gelten zwischen ϑ₁₀ und ϑ₀₀:

Äquianharmonische Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Äquianharmonische Werte von ϑ₀₀:

Dabei ist ω₂ die Omega-2-Konstante des äquianharmonischen Falls.

Äquianharmonische Werte von ϑ₁₀:

Einige äquianharmonischen Thetafunktionswerte[13] wurden insbesondere durch die Mathematiker Bruce Berndt und Örs Rebák erforscht.

Thetafunktionswerte über die Gammafunktionswerte der Achtel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Funktionswerte der Form ϑ₀₁:

Wichtige Konstante g(50) und zugehörige Rechenhinweise:

Wert dieser Konstante:

Kehrwert dieser Konstante:

Zugehörige Gleichungen:

Mit dieser Konstante wird hierbei der Ramanujansche g-Funktionswert g(50) ausgedrückt.

Und mit dem griechischen Buchstaben wird die goldene Zahl dargestellt.

Funktionswerte der Form ϑ₀₀:

Bezug zur Ramanujanschen g-Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definitionen der Ramanujanschen g-Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sehr effizient können die Werte der Theta-Nullwertfunktionen mit Hilfe der Ramanujanschen g-Funktion berechnet werden.

Zu dieser Funktion stehen die Thetafunktionen in diesem Zusammenhang:

Mit der Elliptischen Lambdafunktion steht die Ramanujansche g-Funktion in folgender Beziehung:

Mit den zuvor genannten Formeln können anschließend die Thetafunktionswerte aus den Lambda-Stern-Werten berechnet werden.

Beziehung zwischen g-Funktion und Thetafunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Theoreme für die Kubizierung und die kubische Radizierung bei ϑ₀₁ können sogar direkt mit der Ramanujanschen g-Funktion in Beziehung gesetzt werden:

Mit der Ramanujanschen kleinen g-Funktion und großen G-Funktion sind auch die Theoreme für die Potenzierung mit 5 so darstellbar:

Dabei kann G(x) auf folgende Weise definiert werden:

Werte der Nicht-Nullwertfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Identitäten zur Berechnung einzelner Theta-Nicht-Nullwerte von ϑ₀₀[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn der linke Eintrag in der Klammer der Thetafunktion einen Wert des Musters π*t mit t ∈ ℚ annimmt, dann können alle Werte der Funktionen ϑ₀₀, ϑ₀₁ und ϑ₁₀ mit dem hier abgebildeten elliptischen Nomen mit den Jacobifunktionen sn, cn und dn ausgedrückt werden:

Für alle 0 < k < 1 sind folgende Identitäten gültig:

Identitäten zur Berechnung der Produkte von Theta-Nicht-Nullwerten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Produktkombinationen von Theta-Nicht-Nullwertfunktionswerten gilt:

In der Ausdrucksweise mit der Lambdafunktion und der g-Funktion gilt somit:

Diese Thetaprodukte dienen auch zum Lösen der quintischen Gleichungen.

Zur Ermittlung der Werte von ϑ₀₁ aus den Werten von ϑ₀₀ dient diese Symmetriebeziehung:

Zur Ermittlung der Werte von ϑ₁₀ gereichen jene Theoreme:

Explizite Beispiele lemniskatischer Art[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diese Werte entstehen durch Einsatz von

Auch hier steht für die Gauß-Konstante:

Explizite Beispiele nicht lemniskatischer Art[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden Werte entstehen durch Einsatz von

Folgende Werte[14] entstehen durch Einsatz von

Und diese Werte entstehen durch Einsatz von

Der gezeigte Kotangens nimmt den Wert vom Ramanujanschen g-Funktionsquotienten g(150)/g(6)⁵ an.

Mit wird die Eulersche Betafunktion dargestellt.

Symmetrieformeln der Theta-Nicht-Nullwertfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Funktionen ϑ₀₀, ϑ₀₁ und ϑ₁₀ gelten diese Symmetriebeziehungen:

Der Allgemeinfall der Theta-Nicht-Nullwertfunktionen ϑ₀₀[x;q(k)], ϑ₀₁[x;q(k)] und ϑ₁₀[x;q(k)] kann weder mit den Jacobi-Funktionen sn, cn und dn noch mit den Theta-Nullwertfunktionen noch mit den Kombinationen beider zuletzt genannten Funktionsklassen ausgedrückt werden. Jedoch können sowohl die Jacobi-Funktionen als auch die Theta-Nullwertfunktionen sehr wohl alleine durch den Allgemeinfall der Theta-Nicht-Nullwertfunktionen dargestellt werden. Basierend auf diesen Tatsachen bilden die Thetafunktionen zusammen mit den elliptischen Integralen die Grundlage für alle elliptischen Jacobi-Funktionen und Modulfunktionen.

Nomentransformationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Transformationen bei den Theta-Nullwertfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu den Transformationen des Elliptischen Nomens[15] bei den Theta-Nullwertfunktionen dienen diese Formeln:

Nach der Jacobi-Identität werden somit auch durch die Quadrate der drei Theta-Nullwertfunktionen von der Quadratfunktion als innere Funktion Pythagoräische Tripel gebildet.

Außerdem gelten jene Transformationen:

Transformationen bei den Theta-Nicht-Nullwertfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu den Transformationen des Elliptischen Nomens bei den Nicht-Nullwertfunktionen dienen jene Formeln:

Ableitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ableitungen der Theta-Nicht-Nullwertfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die partiellen Ableitungen der Theta-Nicht-Nullwertfunktionen nach dem linken Klammereintrag lauten wie folgt:

Für diese Theta-Ableitungsfunktionen in der so definierten Form etablierte sich die Bezeichnung „Elliptic Theta Prime“ im englischen Sprachraum.

Durch den Zusatz der elliptischen Nomenfunktion im rechten Klammereintrag können die Ableitungen so formuliert werden:

Definitionen der Jacobischen Amplitudenfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Carl Gustav Jacobi
Adrien-Marie Legendre

Mit dem Kürzel zn wird die Jacobische Zetafunktion dargestellt:

Hierbei ist E(ε) das vollständige elliptische Integral zweiter Art:

Und E(α;ε) ist das unvollständige elliptische Integral zweiter Art:

Dieses Integral E(ε) nennt das Verhältnis des Viertelumfangs zur größeren Halbachse bei der Ellipse mit dem Wert ε als spezifische Exzentrizität.

Mit dem Kürzel am wird die Jacobi-Amplitude dargestellt:

Und für das Delta Amplitudinis ist diese Formel gültig:

Die Jacobi-Amplitude ist die Umkehrfunktion zum unvollständigen elliptischen Integral erster Art:

Der Ausdruck F(α;ε) nennt das unvollständige elliptische Integral erster Art:

Diese Definition und die zugehörige Klassifizierung wurden insbesondere durch den Mathematiker Adrien-Marie Legendre aufgestellt.

Wärmeleitungsgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Lösungen der Wärmeleitungsgleichung erfüllen die Thetafunktionen diese Differentialgleichungen:

Die Thetafunktion spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der Wärmeleitung und der Diffusion, für reelle und ist sie eine Lösung dieser partiellen Differentialgleichung:

Dies ist durch das Einsetzen von folgender Formel ersichtlich:

Der Formalismus entspricht einer Fourierentwicklung im Ortsraum mit Koeffizienten mit exponentiell abfallender Zeitabhängigkeit. Somit bildet die Jacobische Thetafunktion den Wärmeleitungskern der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung[16] mit der räumlichen Periodizität als Randbedingung.

Ableitungen der Theta-Nullwertfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ableitungen der Theta-Nullwertfunktionen[17] lauten wie folgt:

Die Ableitungen der Quotienten aus jeweils zwei der drei hier genannten Thetafunktionen haben immer eine rationale Beziehung zu jenen drei Funktionen:

Für die Herleitungen dieser Ableitungsformeln siehe die Artikel Elliptisches Nomen und Elliptische Lambda-Funktion!

Integrale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bestimmte Integrale der Theta-Nullwertfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Leonhard Euler
Carl Friedrich Gauss

Für die Theta-Nullwertfunktionen ϑ₀₀(x), ϑ₀₁(x) und ϑ₁₀(x) sind diese Integrale gültig:

Zusammenhang mit der Riemannschen Zetafunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bernhard Riemann benutzte in seiner berühmten Arbeit Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe die Transformationsformel der Thetafunktion für einen Beweis der Funktionalgleichung der Riemannschen Zetafunktion, es gilt nämlich folgende Identität:

Dieses Integral ist für alle Werte n > −½ gültig und konvergent.

Beispielsweise hat die Apéry-Konstante folgende Integraldarstellung:

Aus dem genannten Zusammenhang zwischen Jacobischer Thetafunktion und Riemannscher Zetafunktion resultiert die nun folgende Formel:

Dabei wird mit γ die Euler-Mascheroni-Konstante und mit erfc(x) die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion dargestellt.

Diese Formel basiert auf folgender Summenreihe:

Anwendungsbeispiele bei Reihenentwicklungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Reihen mit Fibonacci-Zahlen und Pell-Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Leonardo Fibonacci
John Pell

Unendliche Summe der Kehrwerte ungeradstelliger Fibonacci-Zahlen:

Dabei ist die goldene Zahl.

Unendliche Summe der Kehrwerte von den Quadraten der Fibonacci-Zahlen:

Unendliche Summe der Kehrwerte ungeradstelliger Pell-Zahlen:

Reihen mit Potenzen als Summanden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Summenreihen mit einer bezüglich des Summenindex konstanten Basis und einem bezüglich des Summenindex quadratischen Exponenten können stets als elementare Linearkombinationen der Funktion ϑ₀₀ ausgedrückt werden:

Dabei muss einen positiven Wert annehmen.

Beispielsweise ergibt jene unendliche Summe folgenden Wert:

Rogers-Ramanujan-Kettenbruch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definierende Identitäten der Rogers-Ramanujan-Funktionen R und S[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Rogers-Ramanujan-Kettenbruchfunktion hat folgende Identitäten zu den Thetafunktionen:

Die alternierende Rogers-Ramanujan-Kettenbruchfunktion S(y) hat die nachfolgenden beiden Identitäten:

Diese Identitäten wurden von den Mathematikern Soon Yi Kang, Nikolaos Bagis und Julius Wilhelm Richard Dedekind erforscht.

Thetafunktionswerte von fünften Wurzeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Thetafunktionswerte von der fünften Wurzel des Nomens können als rationale Kombination der Kettenbrüche R und S und der Thetafunktionswerte von der fünften Potenz des Nomens und vom Nomen selbst dargestellt werden:

Alle acht nun genannten Gleichungen sind für alle y-Werte von 0 bis 1 gültig.

Bringsches Radikal[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Thetafunktionsidentität des Bringschen Radikals[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit der Thetafunktion und dem Rogers-Ramanujan-Kettenbruch kann auch das Bringsche Radikal beschrieben werden. Dieses ist als Umkehrfunktion von der Summe der fünften Potenzfunktion und der identischen Abbildungsfunktion definiert:

Das Bringsche Radikal hat diese für alle reellen Werte gültige Beziehung zu den elliptischen Funktionen:

Rechenhinweise:

Die Funktionsbezeichnung ctlh steht für den Cotangens Lemniscatus Hyperbolicus und die Bezeichnung aclh für den Areacosinus Lemniscatus Hyperbolicus. Mit sl wird der Lemniskatische Sinus zum Ausdruck gebracht.

Entdeckung der Modulformel durch Hermite[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Charles Hermite
Erland Samuel Bring

Die Tatsache, dass für die Darstellung des Bringschen Radikals über Modulfunktionen der Modul genau dem gezeigten Cotangens-Lemniscatus-Hyperbolicus-Quadrat entspricht, wurde bereits durch den französischen Mathematiker Charles Hermite erkannt. Er schrieb diesen Zusammenhang in seiner Arbeit Sur la résolution de l’Équation du cinquiéme degré Comptes rendus nieder. Die italienische Version seiner Arbeit Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado enthält auf der Seite 258 diejenige Formel, aus welcher der hier genannte Modul hervorgeht. Mit der elliptischen Identität des Bringschen Radikals beschäftigten sich außerdem die russischen Mathematiker Viktor Prasolov und Yuri Solovyev in ihrem Werk Elliptic Functions and Elliptic Integrals aus dem Jahre 1991. Generell dient das Bringsche Radikal zum Lösen der verallgemeinerten Gleichung fünften Grades und wurde vom schwedischen Mathematiker Erland Samuel Bring erforscht.

Beispielrechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden wird ein nicht elementar darstellbarer aber algebraischer Beispielwert behandelt:

Genähert ergibt sich:

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Tafelwerke:

Aufsätze und Buchbeiträge, die im Artikel benutzt wurden:

  • Jonathan Borwein, Peter Borwein: π and the AGM: A study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. Wiley-Interscience, 1987. S. 94–97.
  • Soon Yi Kang: Ramanujan’s Formulas For Explicit Evaluation Of The Rogers-Ramanujan Continued Fraction And Theta-Functions. Acta Arithmetica, Band 90, 1999, S. 49–68.
  • Nickos Papadatos: The characteristic function of the discrete Cauchy distribution. Kapodistrias-Universität Athen, 2018, Arxiv.
  • Srinivasa Ramanujan: Modular Equations and Approximations to π. Quart. J. Pure. Appl. Math. Auflage 45, 350–372, 1913–1914.
  • Maxie D. Schmidt: Square series generating function transformations. Journal of Inequalities and Special Functions, Band 8, 2017, Heft 2, Arxiv 2016.
  • Nikolaos Bagis: On the complete solution of the general quintic using the Rogers-Ramanujan continued fraction. Arxiv 2015.
  • Michael Trott: Modular Equations of the Rogers-Ramanujan Continued Fraction, Mathematica, Band 9, 2004, S. 314–333.
  • Sylvie Corteel und Jeremy Lovejoy: Overpartitions. Versailles/Talence, Frankreich 2004, S. 1–13.
  • Jinhee Yi: Theta-function identities and the explicit formulas for theta-function and their applications. Journal of Mathematical Analysis and Applications, Band 292, Nr. 2, 2004, S. 381–400.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Carl Gustav Jacobi: Theorie der elliptischen Funktionen aus den Eigenschaften der Thetareihe abgeleitet. Vorlesungsausarbeitung von Karl Wilhelm Borchardt 1838. In: Jacobi: Werke, Band 1, 1881 (Herausgeber Borchardt, Karl Weierstrass), S. 497–538.