Basiswechsel (Vektorraum)

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Der Basiswechsel oder die Basistransformation ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Man bezeichnet damit den Übergang zwischen zwei verschiedenen Basen eines endlichdimensionalen Vektorraums über einem Körper . Dadurch ändern sich im Allgemeinen die Koordinaten der Vektoren und die Abbildungsmatrizen von linearen Abbildungen. Ein Basiswechsel ist somit ein Spezialfall einer Koordinatentransformation.

Der Basiswechsel kann durch eine Matrix beschrieben werden, die Basiswechselmatrix, Transformationsmatrix oder Übergangsmatrix genannt wird. Mit dieser lassen sich auch die Koordinaten bezüglich der neuen Basis ausrechnen. Stellt man die Basisvektoren der alten Basis als Linearkombinationen der Vektoren der neuen Basis dar, so bilden die Koeffizienten dieser Linearkombinationen die Einträge der Basiswechselmatrix.

Basiswechselmatrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kommutatives Diagramm

Es sei ein -dimensionaler Vektorraum über dem Körper (zum Beispiel dem Körper der reellen Zahlen). In seien zwei geordnete Basen gegeben, und . Die Basiswechselmatrix für den Basiswechsel von nach ist eine -Matrix. Es handelt sich um die Abbildungsmatrix der Identitätsabbildung auf bezüglich der Basen im Urbild und im Bild:

Man erhält sie, indem man die Vektoren der alten Basis als Linearkombinationen der Vektoren der neuen Basis darstellt:

Die Koeffizienten bilden die -te Spalte der Basiswechselmatrix

Diese Matrix ist quadratisch und invertierbar und somit ein Element der allgemeinen linearen Gruppe . Ihre Inverse beschreibt den Basiswechsel von zurück nach .

Spezialfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein wichtiger Spezialfall ist der Fall , der Vektorraum stimmt also mit dem Koordinatenraum überein. In diesem Fall sind die Basisvektoren Spaltenvektoren

die sich zu Matrizen

zusammenfassen lassen, die hier der Einfachheit halber mit den gleichen Buchstaben wie die zugehörigen Basen bezeichnet werden. Die Bedingung

übersetzt sich dann zu

das heißt,

Die Transformationsmatrix lässt sich somit durch

berechnen, wobei die inverse Matrix der Matrix ist.

Insbesondere gilt: Ist die Standardbasis, so gilt . Ist die Standardbasis, so gilt . Wie im Vorangehenden wird hier die Basis mit der Matrix identifiziert, die man erhält, indem man die Basisvektoren als Spaltenvektoren schreibt und diese zu einer Matrix zusammenfasst.

Koordinatentransformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Vektor habe bezüglich der Basis die Koordinaten , d. h.

und bezüglich der neuen Basis die Koordinaten , also

Stellt man wie oben die Vektoren der alten Basis als Linearkombination der neuen Basis dar, so erhält man

Dabei sind die die oben definierten Einträge der Basiswechselmatrix . Durch Koeffizientenvergleich erhält man

bzw. in Matrizenschreibweise:

oder kurz:

Basiswechsel bei Abbildungsmatrizen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung hängt von der Wahl der Basen im Urbild- und im Zielraum ab. Wählt man andere Basen, so erhält man auch andere Abbildungsmatrizen.

Kommutatives Diagramm der beteiligten Abbildungen. Mit wird hier die lineare Abbildung von nach bezeichnet, die auf abbildet, etc.

Seien ein -dimensionaler und ein -dimensionaler Vektorraum über und eine lineare Abbildung. In seien die geordneten Basen und gegeben, in die geordneten Basen und . Dann gilt für die Darstellungsmatrizen von bezüglich und bzw. bezüglich und :

Man erhält diese Darstellung, indem man

schreibt. Die Abbildungsmatrix der Verkettung ist dann das Matrizenprodukt der einzelnen Abbildungsmatrizen, wenn die Basen passend gewählt sind, das heißt: die Basis im Urbild von , die Basis im Bild von und im Urbild von , die Basis im Bild von und im Urbild von , und die Basis im Bild von . Man erhält also:

Ein wichtiger Spezialfall ist, wenn ein Endomorphismus ist und im Urbild und Bild jeweils dieselbe Basis bzw. benutzt wird. Dann gilt:

Setzt man , so gilt also

Die Abbildungsmatrizen und sind also ähnlich.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir betrachten zwei Basen und des mit

und

wobei die Koordinatendarstellung der Vektoren die Vektoren bezüglich der Standardbasis beschreibt.

Die Transformation der Koordinaten eines Vektors

ergibt sich durch die Darstellung der alten Basisvektoren bezüglich der neuen Basis und deren Gewichtung mit .

Um die Matrix der Basistransformation von nach zu berechnen, müssen wir die drei linearen Gleichungssysteme

nach den 9 Unbekannten auflösen.

Dies kann mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus für alle drei Gleichungssysteme simultan erfolgen. Dazu wird folgendes lineares Gleichungssystem aufgestellt:

Durch Umformen mit elementaren Zeilenoperationen lässt sich die linke Seite auf die Einheitsmatrix bringen und auf der rechten Seite erhält man als Lösung des Systems die Transformationsmatrix

.

Wir betrachten den Vektor , also den Vektor der bezüglich der Basis die Koordinaten

besitzt. Um nun die Koordinaten bezüglich zu berechnen, müssen wir die Transformationsmatrix mit diesem Spaltenvektor multiplizieren:

.

Also ist .

In der Tat rechnet man als Probe leicht nach, dass

gilt.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Basiswechselmatrizen besitzen vielfältige Anwendungsmöglichkeiten in der Mathematik und Physik.

In der Mathematik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Anwendung von Basiswechselmatrizen in der Mathematik ist die Veränderung der Gestalt der Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung, um die Rechnung zu vereinfachen.

Möchte man zum Beispiel die Potenz einer -Matrix mit einem Exponent berechnen, so ist die Zahl der benötigten Matrizenmultiplikationen von der Größenordnung . Ist diagonalisierbar, so existieren eine Diagonalmatrix und eine Basiswechselmatrix , sodass und somit

Die Zahl der für die Berechnung der rechten Seite benötigten Multiplikationen ist nur von der Größenordnung:

  • zur Berechnung von ,
  • zur Berechnung des Produkts
  • sowie einer Matrixmultiplikation für das Produkt

Da die Matrixmultiplikation von der Größenordnung ist, erhalten wir eine Komplexität von anstelle von .

In der Physik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Anwendung von Basiswechselmatrizen in der Physik findet bspw. in der Ähnlichkeitstheorie statt, um dimensionslose Kennzahlen zu ermitteln. Hierbei werden durch einen Basiswechsel einer physikalischen Größe neue Basisdimensionen zugeordnet. Die dimensionslosen Kennzahlen stellen dann genau das Verhältnis der physikalischen Größe zu seiner Dimensionsvorschrift dar.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Gerd Fischer: Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger. 13. Auflage. Vieweg, 2002, ISBN 3-528-97217-3.

Weblink[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]