Begleitmatrix

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Die Begleitmatrix ist eine spezielle Matrix, die einem normierten Polynom zugeordnet werden kann. Somit ist eine Begleitmatrix ein Objekt aus der linearen Algebra.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Begleitmatrix eines normierten Polynoms -ten Grades über einem Körper ist die quadratische -Matrix[1]

Manchmal wird auch die Transponierte Matrix von verwendet, was aber nichts Wesentliches ändert. Man nennt diese spezielle Form der Matrix dann auch Kardinalform.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom von ist gerade . Andererseits ist eine Matrix ähnlich zu der Begleitmatrix des charakteristischen Polynoms von genau dann, wenn das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom von identisch sind.[2]

Hat das Polynom genau verschiedene Nullstellen , dann ist diagonalisierbar: für die Vandermonde-Matrix .

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Begleitmatrizen treten in der Normalformtheorie auf. Die Existenz der Frobenius-Normalform besagt, dass jede Matrix ähnlich zu einer Blockdiagonalmatrix ist, deren Blöcke Begleitmatrizen sind.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler: Lineare Algebra. de Gruyter, Berlin 2003, ISBN 3-11-017963-6, S. 349.
  2. Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1990, ISBN 978-0-521-38632-6, S. 147 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 5. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-55259-5, Kapitel 6.5.