Benutzerin:Argetula/geordnetes Paar

Geordnete Paare stehen im Zentrum der mathematischen Begriffswelt, sie sind die Basisbausteine vieler mathematischer Objekte (siehe unten Kapitel Verwendung). Ein geordnetes Paar, manchmal auch 2-Tupel genannt, besteht aus zwei Angaben nicht notwendig voneinander verschiedener mathematischer Objekte, wobei eines der beiden ausgezeichnet ist, dieses wird seine erste, vordere oder linke Komponente genannt, das andere seine zweite, hintere oder rechte.  Notiert wird ein geordnetes Paar, indem man seine Komponenten, von einem Komma getrennt, hintereinander schreibt, die linke zuerst, und das Ganze in ein geeignetes Klammerpaar, meist dem runden, einschließt.  Mit den Projektionsoperatoren  $\mathrm {pr} _{1},\,\mathrm {pr} _{2}$, erhält man die erste/zweite Komponente eines geordneter Paars:   $\mathrm {pr} _{1}(p)\!=\!a,\;\mathrm {pr} _{1}(p)\!=\!b$  für $p\!:=\!(a,b)$.

Gleichheit geordneter Paare

Der Begriff des geordneten Paars ist durch Peanos Paaraxiom charakterisiert:  Zwei geordnete Paare gelten genau dann als gleich, wenn sowohl ihre ersten als auch ihre zweiten Komponenten gleich sind ,   formal:   $p\!=\!q\iff \mathrm {pr} _{1}(p)\!=\!\mathrm {pr} _{1}(q)\;{\boldsymbol {\wedge }}\;\mathrm {pr} _{2}(p)\!=\!\mathrm {pr} _{2}(q)$.

Darstellung geordneter Paare als Mengen

In der Literatur finden sich unter anderen für das geordnete Paar $(a,b)$ folgende Darstellungen als Mengen:

• $\{\{\emptyset ,\{a\}\},\{b\}\}$  zum Tupel-Begriff generalisierbare Darstellung

• $\{\{\emptyset ,\{a\}\},\{\{b\}\}\}$  (nach Norbert Wiener (1914))

• $\{\{a\},\{a,b\}\}\,$  (nach Kazimierz Kuratowski (1921)) gängigste Darstellung. Eine Variante gibt die Definition $(a,b):=\{\{b\},\{a,b\}\}\,$

• $\{a,\{a,b\}\}\,$   so genannte kurze Darstellung

• $\{\{a,{\boldsymbol {1}}\},\{b,{\boldsymbol {2}}\}\},$  wobei ${\boldsymbol {1}}$ und ${\boldsymbol {2}}$ voneinander verschiedene Objekte sind, beide auch verschieden von $a$ und $b$   (nach Felix Hausdorff (1914))

• $\{\{\{x\}\}\,{\boldsymbol {\mid }}\,x\in a\}\;{\boldsymbol {\cup }}\;\{\{\emptyset ,\{x\}\}\,{\boldsymbol {\mid }}\,x\in b\}$  (nach Jürgen Schmidt (1966) in Anlehnung an Quine) $a,b$ können hier auch echte Klassen sein

Verwendungen geordneter Paare

Geordnete Paare sind die elementaren Bausteine vieler mathematischer Strukturen. Beispielsweise werden

• in der Mengenlehre kartesische Produkte, Relationen, Funktionen, Folgen, als Mengen geordneter Paare definiert,
• in der Analysis komplexe Zahlen als geordnete Paare mit reellen Zahlen als Komponenten, reelle Zahlen als Mengen (Äquivalenzklassen) unendlicher Folgen (Cauchy-Folgen rationaler Zahlen), rationale Zahlen als Äquivalenzklassen geordneter Paare, deren Komponenten ganze Zahlen sind, ganze Zahlen als Äquivalenzklassen geordneter Paare, deren Komponenten natürliche Zahlen sind, definiert,
• in der Algebra die algebraischen Strukturen, zum Beispiel Gruppen, Ringe, Körper im Wesentlichen als Funktionen (binäre Verknüpfungen) definiert.

Literatur

• Felix Hausdorff: Gesammelte Werke. Band 2: Grundzüge der Mengenlehre. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-42224-2.
• Herbert B. Enderton: Elements of Set Theory. Academic Press, New York 1977, ISBN 0-12-238440-7.
• Paul R. Halmos: Naive Mengenlehre. 5. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1994, ISBN 3-525-40527-8.
• Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. 4. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg/Berlin 2003, ISBN 3-8274-1411-3.
• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. 2. verbesserte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u.a. 2004, ISBN 3-540-20401-6.

Weblinks

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Geordnetes Paar – Lern- und Lehrmaterialien

Literatur

• Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. 4. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1411-3 (HochschulTaschenbuch).
• Roger Godement: Algebra. Hermann, Paris 1968.

Weblinks

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Tupel – Lern- und Lehrmaterialien

• V.N. Grishin: Tuple. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 
• Raymond Puzio u. a.: Ordered tuplet. In: PlanetMath. (englisch)
• Eric W. Weisstein: n-Tuple. In: MathWorld (englisch).