Benutzer:Johannes Schneider/Statische Lichtstreuung

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Die statische Lichtstreuung (SLS) ist eine Methode der Physikalischen Chemie zur Bestimmung des Gewichtsmittels ${\overline {M}}_{\rm {w}}$ einer polydispersen Lösung von Makromolekülen. Hierzu wird der zeitliche Mittelwert der Intensität des gestreuten Lichts in Abhängigkeit des Beobachtungswinkels untersucht.

Gyrationsradius $\langle R_{\rm {G}}^{2}\rangle$

Theorie

Licht ist eine elektromagnetische Welle.

Streuung elektromagnetischer Strahlung

Hertzscher Dipol

Dielektrische Polarisation

Arten von Polarisation

Clausius-Mossotti-Gleichung

$E=E_{0}\cdot \cos(2\pi \nu t)$

$I_{0}=c\cdot \varepsilon _{0}\cdot \langle E^{2}\rangle =c\cdot \varepsilon _{0}\cdot E_{0}^{2}\langle \cos ^{2}(2\pi \nu t)\rangle =c\cdot \varepsilon _{0}\cdot {\frac {E_{0}^{2}}{2}}$

$\mu =\alpha \cdot E$

$\mu =\alpha \cdot E_{0}\cdot \cos(2\pi \nu t)$

${\frac {I}{I_{0}}}={\frac {\pi ^{2}\alpha ^{2}}{\varepsilon _{0}^{2}\lambda _{0}^{4}}}\cdot {\frac {1}{r^{2}}}\cdot {\frac {1+\cos(\theta )^{2}}{2}}$

Brechungsindexinkrement

$\left({\frac {\partial n}{\partial c_{2}}}\right)_{\rm {p,T}}^{2}$

Konzentrationsfluktuationen

Gesucht ist die momentane Konzentration ${\tilde {c}}_{2}$ eines gelösten Stoffes (hier beschrieben durch Index 2) in einem bestimmten Volumen der Probe:

${\tilde {c}}_{2}=c_{2}+\delta c_{2}$

Als Varianz der Abweichung der Konzentration von der mittleren Konzentration $\langle \delta c_{2}^{2}\rangle$ erhält man:

$\displaystyle \langle \delta c_{2}^{2}\rangle ={\frac {k_{\rm {B}}T}{\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}G(c_{2})}{\partial {\tilde {c}}_{2}^{2}}}\right)_{\rm {p,T}}}}$

Folglich reduziert sich das Problem der Beschreibung von Konzentrationsfluktiationen auf die zweite Ableitung der freien Enthalpie $G(c_{2})$ nach der Konzentration des gelösten Stoffes $c_{2}$.

Boltzmann-Statistik

Gibbs-Duhem-Gleichung

Optische Konstante

$K={\frac {4\pi ^{2}n_{0}^{2}}{\lambda _{0}^{4}N_{\rm {A}}}}\left({\frac {\partial n}{\partial c}}\right)_{\rm {p,T}}^{2}$

Rayleigh-Verhältnis

$R(\theta )={\frac {I}{I_{0}}}\left({\frac {r^{2}}{1+\cos ^{2}(\theta )}}\right){\frac {1}{V}}$

Trägheitsradius

${\frac {I}{I_{0}}}={\frac {\pi ^{2}\alpha ^{2}}{\varepsilon _{0}^{2}\lambda _{0}^{4}}}\cdot {\frac {1}{r^{2}}}\cdot {\frac {1+\cos ^{2}(\theta )}{2}}$

Bei $N$ Streuzentren gilt entsprechend:

${\frac {I}{I_{0}}}=N\left({\frac {\pi ^{2}\alpha ^{2}}{\varepsilon _{0}^{2}\lambda _{0}^{4}}}\cdot {\frac {1}{r^{2}}}\cdot {\frac {1+\cos ^{2}(\theta )}{2}}\right)$

Herleitung des Guinier-Gesetzes

Ausgehend von der Debye-Gleichung kann für kleine Streuwinkel $\theta$ durch eine Taylorreihenentwicklung ein Zusammenhang zwischen dem Streufaktor $\langle P(q)\rangle$ und dem Gyrationsradius $\langle R_{\rm {G}}^{2}\rangle$ hergeleitet werden.

Diese Herleitung wird als Guinier-Gesetz bezeichnet und stammt von André Guinier aus dem Jahr 1939.

Schließlich erhält man folgenden Zusammenhang zwischen dem Streufaktor und dem Trägheitsradius, das Guinier-Gesetz:

$\langle P(q)\rangle \approx 1-{\frac {q^{2}\langle R_{\rm {G}}^{2}\rangle }{3}}$

Zimm-Gleichung

${\overline {M}}_{\rm {w}}={\frac {\sum _{i}N_{\rm {i}}M_{\rm {i}}^{2}}{\sum _{i}N_{\rm {i}}M_{\rm {i}}}}={\frac {\sum _{i}c_{\rm {i}}M_{\rm {i}}}{\sum c_{\rm {i}}}}$

${\frac {Kc_{2}}{R(\theta )}}={\frac {1}{M_{\rm {w}}}}$

${\frac {Kc_{2}}{R(\theta )}}={\frac {1}{{\overline {M}}_{\rm {w}}P(\theta )}}+2A_{2}c_{2}+\ ...$

Partikelformfaktor

${\frac {1}{P(\theta )}}=1+{\frac {16\pi ^{2}\langle R_{\rm {G}}^{2}\rangle }{3\lambda ^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)$

${\frac {Kc_{2}}{R(\theta )}}={\frac {1}{{\overline {M}}_{\rm {w}}}}\left(1+{\frac {16\pi ^{2}}{3\lambda ^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)+2A_{2}c_{2}+...$

Siehe auch

Dynamische Lichtstreuung

Rayleigh-Streuung

Raman-Streuung

Mie-Streuung

Clausius-Mossotti-Gleichung

Literatur

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