Benutzer:Norbert Dragon/Masse(Physik)

Physikalische Größe
Name	Masse
Formelzeichen	'm'
Größen- und Einheitensystem Einheit Dimension SI Kilogramm (kg) M cgs Gramm (g) M esE (cgs) Gramm (g) M emE (cgs) Gramm (g) M Planck Planck-Masse ħ1/2·G−1/2·c1/2
Anmerkungen

Die Masse ist Eigenschaft jeder Materie und als eine Grundgröße der Physik festgelegt. Ihre SI-Einheit ist das Kilogramm. Sie ist eine Ursache von Gravitation („schwere Masse“) und ein Maß für die Trägheit eines Körpers, das heißt seinen Widerstand gegenüber Änderungen seines Bewegungszustands („träge Masse“).

Die experimentell bestätigte Gleichheit von träger und schwerer Masse ist in der klassischen Mechanik unerklärt und wird erst in der Allgemeinen Relativitätstheorie verstanden. Nach der Relativitätstheorie bestimmt die Masse die Energie des ruhenden Teilchens. Nicht nur diese Ruheenergie sondern allgemeiner jede Form von Energie und Impuls bewirkt Gravitation.

In Newtons Mechanik und in der Chemie gilt der Massenerhaltungssatz. Dort ist die Masse eines Teilchens eine für das Teilchen charakteristische, unveränderliche Größe, die nicht mit Größen zusammenhängt, die sich wie sein Ort und seine Geschwindigkeit mit der Zeit ändern können.

Die Ruheenergie, die sich in relativistischer Physik an der Masse des Teilchens zeigt, kann bei Teilchenumwandlungen in andere Energieformen umgewandelt werden, wie dies zum Beispiel bei radioaktiven Zerfällen geschieht. Dabei nimmt die Masse ab: die Summe der Massen der Zerfallsprodukte ist geringer als die Masse des Ausgangsteilchens.

Definition

Masse ist Eigenschaft aller Körper, die sich in zwei Erscheinungen manifestiert:

1. der Körper setzt jeder Bewegungsänderung einen Widerstand entgegen – er ist träge.
2. zwei ungeladene Körper ziehen sich gegenseitig an. Diese gravitative Anziehung nennt man bei extremem Unterschied der Körpermassen „Gewicht“, der kleinere Körper ist „schwer“.

Die Trägheit und das Gewicht eines Körpers werden durch seine träge und schwere Masse bestimmt.

Die SI-Basiseinheit der Masse Kilogramm (kg) wird über eine Referenzmasse definiert: Das Kilogramm ist gleich der Masse des internationalen Kilogrammprototyps.

Messung

Die Messung der schweren Masse eines ruhenden Körpers erfolgt durch Vergleich mit einer Referenzmasse. Zwei Massen sind gleich, wenn sie in einem homogenen Gravitationsfeld die gleiche Gewichtskraft erfahren. Dies kann man mit einer Balkenwaage überprüfen. Dabei ist die Stärke des Gravitationsfeldes unerheblich, es muss nur an den Orten der beiden Massen gleich und von Null verschieden sein.

Die schwere Masse kann auch mit der Kraft ${\vec {F}}$ gemessen werden, die in einem Gravitationsfeld erforderlich ist, damit das Teilchen ruhen bleibt und nicht fällt. Dabei ist, anders als beim Vergleich zweier Gewichtskräfte, die Kenntnis des Gravitionsbeschleunigung (durch Beobachtung der Bahnen frei fallender Teilchen) am Ort der Messung notwendig.

Wie jede Kraft misst man das Gewicht in Newton.

Die träge Masse lässt sich zum Beispiel durch die Kraft messen, die erforderlich ist, damit ein Teilchen mit gleichmäßiger Geschwindigkeit eine Kreisbahn durchläuft. Bei einem geladenen Teilchen im Magnetfeld kann man bei bekannter Geschwindigkeit und Magnetfeldstärke am Kreisradius das Verhältnis von Ladung zu träger Masse ablesen.

Entwicklung des Massenbegriffs

Newtonsche Mechanik

Die newtonsche Mechanik erklärt die Äquivalenz von schwerer und träger Masse nicht. Sie tritt als empirische Tatsache auf, ebenso wie die Massenerhaltung.

Als schwere Masse $m_{\mathrm {s} }$ bezeichnet man die Quelle der Gravitationskraft. Die von der Masse $M_{\mathrm {s} }$ auf die Masse $m_{\mathrm {s} }$ ausgeübte Kraft ist

${\vec {F}}=G{\frac {m_{\mathrm {s} }M_{\mathrm {s} }}{|{\vec {r}}|^{2}}}\cdot {\frac {\vec {r}}{|{\vec {r}}|}}$

wobei die Massen punkt- oder kugelförmig gedacht sind und ${\vec {r}}$ der Vektor von $m_{\mathrm {s} }$ nach $M_{\mathrm {s} }$ ist. $G$ ist die Gravitationskonstante, eine Naturkonstante.

Die träge Masse $m$ ist in der newtonschen Mechanik der Proportionalitätsfaktor zwischen Impuls ${\vec {p}}$ und Geschwindigkeit ${\vec {v}}\,.$

${\vec {p}}=m{\vec {v}}\,.$

Da der Impuls erhalten ist, benötigt jede Geschwindigkeitsänderung einen Impulsübertrag. Der Impulsübertrag pro Zeit ist die Kraft ${\vec {F}}\,.$ Da sich der Impuls mit der Zeit um den übertragenen Impuls ändert, lautet die Bewegungsgleichung

${\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}\,.$

Sie gilt allgemein, auch in relativistischer Physik, allerdings ist dort der Impuls nicht einfach Masse mal Geschwindigkeit, sondern hängt nichtlinear von der Geschwindigkeit ab.

Normalerweise ändert sich die Masse nicht mit der Zeit, dann vereinfacht sich die Bewegungsgleichung zu "Kraft ist Masse mal Beschleunigung"

${\vec {F}}=m{\vec {a}}\,.$

Dies gilt aber nicht in relativistischer Physik oder für Körper mit zeitlich veränderlichen Massen, wie etwa eine Rakete.

Spezielle Relativitätstheorie

Der Begriff der schweren Masse tritt in der speziellen Relativitätstheorie nicht auf. Sie befasst sich mit der Dynamik von Körpern unter Vernachlässigung von Gravitation.

In der speziellen Relativitätstheorie ist der Impuls $\mathbf {p}$ nicht mehr Masse $m$ mal Geschwindigkeit $\mathbf {v}$, sondern beträgt bei Teilchen, die langsamer sind als Licht,

$\mathbf {p} ={\frac {m\,\mathbf {v} }{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}}\,.$

Ein heute noch in der Experimentalphysik und der populären Literatur häufig verwendeter Begriff ist die relativistische Masse

$M(\mathbf {v} )={\frac {m}{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}}\,.$

Diese Bezeichnung wird jedoch in der theoretischen Physik gemieden, da die relativistische Masse, in das newtonsche Gravitationspotential oder Kraftgesetz $\mathbf {F} =m\,\mathbf {a}$ eingesetzt, zu unzutreffenden Gleichungen führt.

Die Kraft $\mathbf {F}$ bewirkt in der speziellen Relativitätstheorie die zeitliche Änderung des Impulses

$\mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}={\frac {m\,\mathbf {a} }{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m\,\mathbf {v} \,(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} )}{c^{2}\,({\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}})^{3}}}$

oder, nach der Beschleunigung $\mathbf {a}$ aufgelöst,

$\mathbf {a} ={\frac {1}{\sqrt {m^{2}+\mathbf {p} ^{2}/c^{2}}}}{\bigl (}\mathbf {F} -\mathbf {v} (\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} )/c^{2}{\bigr )}\,.$

Man sieht, dass die Beschleunigung $\mathbf {a}$ nicht immer in die Richtung der Kraft zeigt, sondern auch einen Anteil in Richtung der Geschwindigkeit hat. Eine ausweislich ihres Rückstoßes gleiche Kraft $\mathbf {F}$ bewirkt bei unterschiedlicher Geschwindigkeit des Teilchens eine unterschiedliche Beschleunigung.

Die träge Masse ist also kein Proportionalitätsfaktor von Kraft und Beschleunigung. Die unterschiedliche Trägheit in Bewegungsrichtung und quer dazu hatte man zunächst mit den Begriffen der longitudinalen und transversalen Masse zu erfassen versucht, die aber heute nicht mehr verwendet werden.

So wie in Newtons Mechanik nennt man den geschwindigkeitsunabhängigen Parameter $m$ in der Relation, die den Impuls eines Teilchens als Funktion seiner Geschwindigkeit angibt, die träge Masse. Sie wird historisch Ruhemasse, in moderner Sprechweise auch invariante Masse oder einfach Masse genannt.

Die Masse verknüpft die Energie $E$ und den Impuls über die Energie-Impuls-Beziehung

$\left(m\,c^{2}\right)^{2}=E^{2}-\mathbf {p} \,^{2}c^{2}.$

Für einen ruhenden Körper ($\mathbf {p} =0$) wird daraus Einsteins berühmte Gleichung $E_{\text{Ruhe}}=m\,c^{2}$, welche die Äquivalenz von Masse und Energie ausdrückt.

Lichtschnelle Teilchen sind masselos. Ihr Impuls ist nicht durch die obige Funktion der Geschwindigkeit gegeben, sondern genügt der Energie-Impuls-Beziehung $E=|\mathbf {p} |c\,.$ Auch masselose, lichtschnelle Teilchen sind träge und benötigen zur Beschleunigung Kraft. In Bewegungsrichtung sind sie sogar unendlich träge: durch keine Kraft in Bewegungsrichtung können sie (auf einer differenzierbaren Bahn) beschleunigt werden.

Massenvielfache

Weil die Energie eines ruhenden Teilchens durch seine Masse festgelegt ist, stimmt die Masse zusammengesetzter Teilchen nicht mit der Summe der Massen der Bestandteile überein.

Nur wenn die Bindungsenergie, die beim Zusammensetzen frei wird, so klein ist, dass sie sich nicht messbar auf die Gesamtmasse auswirkt, ist die Gesamtmasse die Summe der Massen der Bestandteile. Das ist bei chemisch gebundenen Molekülen der Fall: die Masse eines Moleküls ist die Summe der Massen der gebundenen Atome.

Bei Atomkernen ist das messbar falsch: die Bindungsenergie zeigt sich dort als Massendefekt, dass nämlich die Massensumme der Protonen und Neutronen, die den Kern ausmachen, (um etwa ein Prozent) größer als die Kernmasse ist.

Allgemeine Relativitätstheorie

In der allgemeinen Relativitätstheorie wird der freie Fall von Teilchen im Gravitationsfeld als kräftefrei verstanden. Kräfte bewirken, dass die Bahnkurven vom freien Fall abweichen. An der Größe der Kraft, mit der Teilchen vom freien Fall abgehalten werden, zeigt sich ihre träge Masse.

Die Weltlinien frei fallender Teilchen sind die Geraden (genauer: Geodäten) der Raumzeit. Sie sind in Übereinstimmung mit allen Beobachtungen vollständig durch den anfänglichen Ort und die anfängliche Geschwindigkeit festgelegt und hängen nicht von anderen Eigenschaften, Größe oder Masse, des frei fallenden Teilchens ab (Äquivalenzprinzip). Da die Raumzeit gekrümmt ist, ergibt die Projektion der Geodäten auf den dreidimensionalen Ortsraum normalerweise keine Geraden, sondern beispielsweise Wurfparabeln.

Quelle der Gravitation ist in der Grundgleichung der Allgemeinen Relativitätstheorie der Energie-Impuls-Tensor, das heißt, Energiedichte, Impulsdichten, Energieströme und Impulsströme. Da die Energie ruhender Teilchen durch ihre Masse bestimmt ist, bewirkt die Masse ruhender Teilchen Gravitation. Kann man die Bewegung der gravitationserzeugenden Körper vernachlässigen und ist die Geschwindigkeit der frei fallenden Teilchen klein gegen die Lichtgeschwindigkeit, so wirkt sich die Masse der gravitationserzeugenden Körper wie in Newtons Gravitationstheorie aus. Für Licht als Testteilchen trifft diese Einschränkung nicht zu: es wird an der Sonne doppelt so stark abgelenkt wie nach Newton zu erwarten.

An ihrer gravitativen Auswirkung kann man in großen Abständen von den gravitationserzeugenden Energie- und Impulsdichten die ADM-Masse ablesen. Sie verändert sich nicht im Laufe der Zeit, da Strahlung nicht in endlicher Zeit unendliche räumliche Entfernungen durchläuft. Die Bondi-Masse wird in der Allgemeinen Relativitätstheorie für große Zeiten und dabei mit Lichtgeschwindigkeit zunehmenden Abständen abgelesen. Sie vermindert sich durch Abstrahlung und ist nicht negativ, das heißt, in der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die Energie, die abgestrahlt werden kann, nach unten beschränkt.

Ursprung der Massen der Elementarteilchen

Im Standardmodell der Elementarteilchenphysik wird der Ursprung der Massen der Elementarteilchen durch den Higgs-Mechanismus erklärt. Durch Wechselwirkung mit dem Higgs-Boson, einem bisher noch unbeobachteten skalaren Elementarteilchen, erhalten sie eine Masse, wenn das Higgsfeld auch im Vakuum nicht verschwindet.

Die Massen der Baryonen, wozu auch Proton und Neutron gehören, sind viel größer als die Massen der Quarks, aus denen sie bestehen und werden dynamisch erklärt (das heißt aus der Wechselwirkung der Quarks). Ansätze zur Berechnung liefern Gitterrechnungen in der QCD.

Die Baryonen machen den größten Teil der Masse sichtbarer Materie aus.

Sprachgebrauch: Masse und Gewicht

Vielfach werden im alltäglichen Sprachgebrauch die Begriffe Masse und Gewicht vermischt. Dadurch entsteht vielfach ein falscher Eindruck von Masse, der eine Veränderlichkeit der Masse und eine Konstanz des Gewichtes vortäuscht. Als Beispiele für diese beiden Sinnentstellungen sollen hier zwei verbreitete Annahmen dargestellt und die Fehler in der Begrifflichkeit aufgezeigt werden.

„Auf dem Mond ist die Anziehungskraft nur ein Sechstel so groß, das heißt, ein 90 kg schwerer Mensch würde dort nur 15 kg wiegen.“ Der Fehler ist, dass die Masseneinheit Kilogramm als Einheit des Gewichts, also einer Kraft verwendet wird, die korrekt durch die Einheit Newton beschrieben werden müsste. Dadurch, dass die Einheit der Masse verwendet wird, entsteht der falsche Eindruck, die Masse sei ortsabhängig.

„Was ist schwerer, ein Kilogramm Federn oder ein Kilogramm Eisen?“ Diese verbreitete Scherzfrage wirft durch ihre unpräzise Formulierung Probleme auf. Kilogramm ist die Einheit der Masse, der Ausdruck "Was ist schwerer" bezeichnet jedoch die Frage nach dem Gewicht (wie viel eine Waage anzeigt). Man kann natürlich das Kilogramm Federn auf dem Mond wiegen und das Kilogramm Eisen auf der Raumstation ISS. Dann wäre ein Kilogramm Eisen „leichter“, hätte also ein kleineres Gewicht, nämlich gar keines. Geht man davon aus, dass der Fragesteller meint, dass das Gewicht beider Massen am selben Ort auf der Erde gemessen wird, hat man noch immer nicht alle Probleme umgangen.

Wenn man nämlich das Gewicht dieser Massen mit einer Waage in ganz normaler Luft zu messen versucht, misst man nicht nur das reine Gewicht, sondern auch alle anderen Kräfte, die auf die beiden Massen wirken. Dabei sorgt die Auftriebskraft der Luft dafür, dass die Federn wegen des größeren Volumens (mehr Luft) „leichter“ sind, also die Waage ein kleineres Gewicht anzeigt. Wenn man annimmt, dass der Fragesteller nicht voraussetzt, dass die Messung im Vakuum stattfindet, ist die Antwort "gleich schwer" auf diese Scherzfrage falsch. Ein Kilogramm Federn ist leichter als ein Kilogramm Eisen, wenn man sie auf der Erde in Luft wiegt.

Der Denkfehler liegt darin, dass man Mengen Eisen und Federn meint, bei denen eine Waage denselben Messwert für die (Gewichts-)Kraft anzeigt. Da Waagen jedoch die Kraft meist nicht in Newton angeben, sondern fälschlicherweise in Kilogramm, entsteht der falsche Eindruck, sie würden Massen messen. Das „Kilogramm“, das der Fragesteller meint, entspricht also nicht der Masse von einem Kilogramm, sondern einer Kraft in Richtung Erdmitte von 9,81 Newton. Die Annahme, die die Grundlage der Scherzfrage darstellt, diese Mengen müssten die gleiche Masse haben, weil sie das gleiche Gewicht haben, und die von einer Waage gemessene Kraft sei also gewissermaßen eine konstante Größe, ist also falsch.

Siehe auch

• Äquivalenz von Masse und Energie
• Kraft (Physik)
• Masse hat als Begriff außerhalb der Physik auch noch andere Bedeutungen.
• Liste mit Größenordnungen von Massen
• Äquivalenzprinzip (Physik)

Literatur

• Max Jammer Das Konzept der Masse in der Physik, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1964
• Gordon Kane: Das Geheimnis der Masse. In: Spektrum der Wissenschaft. Nr. 2. Spektrum der Wissenschaft Verlag, 2006, ISSN 0170-2971, S. 36–43. 

Weblinks

• Seite der PTB zum Kilogramm (mit Hinweisen auf Projekte zur Neudefinition)
• Versuche und Aufgaben zur Masse