Dirichletsche Betafunktion

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Die dirichletsche Beta-Funktion, geschrieben mit dem griechischen Buchstaben , ist eine spezielle mathematische Funktion, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine Rolle spielt. Sie ist verwandt mit der riemannschen Zeta-Funktion.

Benannt wurde sie nach dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805−1859).

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine komplexe Zahl , deren Realteil größer als 0 ist, ist die Beta-Funktion definiert über die Dirichletreihe:

Obwohl dieser Ausdruck nur auf der rechten Halbebene konvergiert, stellt er die Basis für alle weiteren Darstellungen der Beta-Funktion dar. Zur Berechnung der Beta-Funktion für alle Zahlen der komplexen Ebene bedient man sich ihrer analytischen Fortsetzung.

Produktdarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Betafunktion existiert eine Produktdarstellung, die für alle komplexen , deren Realteil größer als 1 ist, konvergiert.

Hierbei impliziert , dass über alle Primzahlen der Form (also ) multipliziert wird. Analog bedeutet , dass über alle Primzahlen, welche die Form besitzen (also ), multipliziert wird.

Funktionalgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für alle gilt die Funktionalgleichung:

Hierbei ist die Gammafunktion.

Sie dehnt den Definitionsbereich der Beta-Funktion auf die gesamte komplexe Zahlenebene aus.

Weitere Darstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Über die Mellin-Transformation der Funktion erhält man die Integraldarstellung:

wobei wieder die Gammafunktion bezeichnet.

Zusammen mit der hurwitzschen Zetafunktion erhält man für alle komplexen die Relation:

Eine andere gleichwertige Darstellung für alle komplexen schließt die transzendente lerchsche Zeta-Funktion ein und lautet:

Spezielle Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einige spezielle Werte der -Funktion sind

Hierbei bezeichnet die catalansche Konstante und ist die dritte Polygamma-Funktion.

Allgemein gilt für positive ganze Zahlen die Darstellung:

wobei die -te Euler-Zahl ist. Im Fall gilt

Insbesondere gilt für natürliche :

Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Ableitungsausdruck für alle ist gegeben durch:

Spezielle Werte der Ableitungsfunktion sind:

(vgl. Folge A113847 in OEIS und Folge A078127 in OEIS mit der Euler-Mascheroni-Konstante ).

Außerdem gilt für positive ganze Zahlen :

Weiteres[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rivoal and Zudilin bewiesen 2003[1], dass mindestens einer der Werte , , , , und irrational ist.

Außerdem bewiesen Guillera und Sondow 2005[2] folgende Formel:

Referenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Tanguy Rivoal, Wadim Zudilin: Diophantine properties of numbers related to Catalan's constant. In: Mathematische Annalen, Bd. 326 (2003), Nummer 4, Seiten 705–721, ISSN 0025-5831; vgl. PDF des mathematischen Instituts der Universität Köln
  2. Jesús Guillera, Jonathan Sondow: Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent. In: Ramanujan Journal. An international Journal devoted to the areas of mathematics, Bd. 16 (2008), Nummer 3, Seiten 247–270, ISSN 1382-4090; vgl. in arxiv

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]