Ein Mittlerer Binomialkoeffizient oder auch Zentralbinomialkoeffizient ist ein in der mittigsten Spalte des Pascalschen Dreieckes vorhandener Binomialkoeffizient . Somit sind die Mittleren Binomialkoeffizienten exakt diejenigen Binomialkoeffizienten, die auf der Symmetrieachse dieses Dreiecks liegen. Zugleich ist der Mittlere Binomialkoeffizient eine nicht elementare mathematische Funktion, die als Quotient der Fakultät der Verdopplungsfunktion dividiert durch das Quadrat der Fakultät der identischen Abbildungsfunktion definiert ist.
In der Mathematik ist der
n
{\displaystyle n}
mittlere Binomialkoeffizient für eine nichtnegative ganze Zahl
n
{\displaystyle n}
CBC
(
n
)
=
(
2
n
n
)
=
(
2
n
)
!
(
n
!
)
2
=
Π
(
2
n
)
Π
(
n
)
2
{\displaystyle \operatorname {CBC} (n)={2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}={\frac {\Pi (2n)}{\Pi (n)^{2}}}}
Verallgemeinert hat ein Binomialkoeffizient generell diese Definition:
(
a
b
)
=
a
!
b
!
(
a
−
b
)
!
=
Π
(
a
)
Π
(
b
)
Π
(
a
−
b
)
{\displaystyle {a \choose b}={\frac {a!}{b!(a-b)!}}={\frac {\Pi (a)}{\Pi (b)\,\Pi (a-b)}}}
Die Gaußsche Pifunktion, definiert als Gammafunktion der Nachfolgerfunktion, bringt somit eine Definition des mittleren Binomialkoeffizienten für alle komplexen Zahlen hervor.
Das Kürzel CBC[ 1] [ 2] Central Binomial Coefficient und wurde unter anderem durch die Mathematiker David Kessler and Jeremy Schiff eingeführt.
Die Fakultätsfunktion beziehungsweise Gaußsche Pifunktion ist nach Weierstraß für alle komplexen Werte
x
∈
C
{\displaystyle x\in \mathbb {C} }
[ 3]
x
!
=
Π
(
x
)
=
Γ
(
x
+
1
)
=
exp
(
−
γ
x
)
∏
n
=
1
∞
[
(
1
+
x
n
)
−
1
exp
(
x
n
)
]
{\displaystyle x!=\Pi (x)=\Gamma (x+1)=\exp(-\,\gamma \,x)\prod _{n=1}^{\infty }{\bigl [}{\bigl (}1+{\frac {x}{n}}{\bigr )}^{-1}\exp {\bigl (}{\frac {x}{n}}{\bigr )}{\bigr ]}}
Dieser Ausdruck für die Fakultätsfunktion wird Weierstraßsches Produkt genannt.
Dabei stellt der kleine griechische Gammabuchstabe die Euler-Mascheroni-Konstante dar.
Somit kann der Zentralbinomialkoeffizient auch direkt als unendliches Produkt definiert werden:
CBC
(
x
)
=
∏
n
=
1
∞
[
(
1
+
x
n
)
2
(
1
+
2
x
n
)
−
1
]
{\displaystyle \operatorname {CBC} (x)=\prod _{n=1}^{\infty }{\bigl [}{\bigl (}1+{\frac {x}{n}}{\bigr )}^{2}{\bigl (}1+{\frac {2x}{n}}{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}}
Ebenso kann für x jenseits von den ungeraden Vielfachen der Zahl Einhalb auch folgende Definition aufgestellt werden:
CBC
(
x
)
=
(
2
x
x
)
=
4
x
sec
(
π
x
)
π
Γ
(
1
2
−
x
)
Γ
(
1
+
x
)
{\displaystyle \operatorname {CBC} (x)={\binom {2x}{x}}={\frac {4^{x}\sec(\pi \,x){\sqrt {\pi }}}{\Gamma ({\frac {1}{2}}-x)\,\Gamma (1+x)}}}
Diese Definition ergibt sich mit dem Eulerschen Ergänzungssatz.
Der Name „mittlerer Binomialkoeffizient“ kommt daher, dass diese Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck genau in der Zeilenmitte liegen:
1
{\displaystyle \mathbf {1} }
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
2
{\displaystyle \mathbf {2} }
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
3
{\displaystyle 3}
3
{\displaystyle 3}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
4
{\displaystyle 4}
6
{\displaystyle \mathbf {6} }
4
{\displaystyle 4}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
5
{\displaystyle 5}
10
{\displaystyle 10}
10
{\displaystyle 10}
5
{\displaystyle 5}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
6
{\displaystyle 6}
15
{\displaystyle 15}
20
{\displaystyle \mathbf {20} }
15
{\displaystyle 15}
6
{\displaystyle 6}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
7
{\displaystyle 7}
21
{\displaystyle 21}
35
{\displaystyle 35}
35
{\displaystyle 35}
21
{\displaystyle 21}
7
{\displaystyle 7}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
8
{\displaystyle 8}
28
{\displaystyle 28}
56
{\displaystyle 56}
70
{\displaystyle \mathbf {70} }
56
{\displaystyle 56}
28
{\displaystyle 28}
8
{\displaystyle 8}
1
{\displaystyle 1}
Die ersten mittleren Binomialkoeffizienten sind also (Folge A000984 in OEIS ):
1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, … Es gilt
(
2
n
n
)
=
2
2
n
⋅
1
⋅
3
⋅
5
⋯
(
2
n
−
1
)
2
⋅
4
⋅
6
⋯
(
2
n
)
.
{\displaystyle {2n \choose n}=2^{2n}\cdot {\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)}}.}
Der Bruch ist verwandt mit dem Wallis-Produkt .
Nach der Vandermonde-Faltung gilt
(
2
n
n
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
2
.
{\displaystyle {2n \choose n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}.}
Für den Mittleren Binomialkoeffizienten gelten diese Formeln:
CBC
(
x
+
1
)
=
4
x
+
2
x
+
1
CBC
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {CBC} (x+1)={\frac {4x+2}{x+1}}\operatorname {CBC} (x)}
Deswegen gilt:
lim
x
→
+
∞
CBC
(
x
+
1
)
CBC
(
x
)
=
4
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }{\frac {\operatorname {CBC} (x+1)}{\operatorname {CBC} (x)}}=4}
Basierend auf dem Eulerschen Ergänzungssatz kann folgende Formel hervorgerufen werden:
π
x
(
1
−
x
)
CBC
(
x
)
CBC
(
1
−
x
)
=
(
2
−
4
x
)
tan
(
π
x
)
{\displaystyle \pi \,x\,(1-x)\operatorname {CBC} (x)\operatorname {CBC} (1-x)=(2-4\,x)\tan(\pi \,x)}
Der Zentralbinomialkoeffizient erfüllt außerdem folgenden weiteren Grenzwert:
lim
x
→
+
∞
1
4
x
CBC
(
x
)
π
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }{\frac {1}{4^{x}}}\operatorname {CBC} (x){\sqrt {\pi x}}=1}
Dieser Grenzwert geht direkt aus der Stirlingschen Formel hervor.
Mit Hilfe dieser Formel erhält man die für alle Werte
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
1
2
4
n
π
n
<
(
2
n
n
)
<
4
n
π
n
{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}<{2n \choose n}<{\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}}
Also gilt (zur Notation siehe Landau-Symbol ):
(
2
n
n
)
∈
Θ
(
4
n
n
)
{\displaystyle {2n \choose n}\in \Theta \left({\frac {4^{n}}{\sqrt {n}}}\right)}
Funktionswerte für ganze Abszissenwerte:
CBC
(
0
)
=
0
!
(
0
!
)
2
=
1
1
=
1
{\displaystyle \operatorname {CBC} (0)={\frac {0!}{(0!)^{2}}}={\frac {1}{1}}=1}
CBC
(
1
)
=
2
!
(
1
!
)
2
=
2
1
=
2
{\displaystyle \operatorname {CBC} (1)={\frac {2!}{(1!)^{2}}}={\frac {2}{1}}=2}
CBC
(
2
)
=
4
!
(
2
!
)
2
=
24
4
=
6
{\displaystyle \operatorname {CBC} (2)={\frac {4!}{(2!)^{2}}}={\frac {24}{4}}=6}
CBC
(
3
)
=
6
!
(
3
!
)
2
=
720
36
=
20
{\displaystyle \operatorname {CBC} (3)={\frac {6!}{(3!)^{2}}}={\frac {720}{36}}=20}
CBC
(
4
)
=
8
!
(
4
!
)
2
=
40320
576
=
70
{\displaystyle \operatorname {CBC} (4)={\frac {8!}{(4!)^{2}}}={\frac {40320}{576}}=70}
CBC
(
5
)
=
10
!
(
5
!
)
2
=
3628800
14400
=
252
{\displaystyle \operatorname {CBC} (5)={\frac {10!}{(5!)^{2}}}={\frac {3628800}{14400}}=252}
CBC
(
6
)
=
12
!
(
6
!
)
2
=
479001600
518400
=
924
{\displaystyle \operatorname {CBC} (6)={\frac {12!}{(6!)^{2}}}={\frac {479001600}{518400}}=924}
Elementare und lemniskatische Funktionswerte für Bruch-Abszissenwerte:
CBC
(
1
2
)
=
4
π
{\displaystyle \operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}={\frac {4}{\pi }}}
CBC
(
1
4
)
=
2
2
ϖ
{\displaystyle \operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {1}{4}}{\bigr )}={\frac {2\,{\sqrt {2}}}{\varpi }}}
CBC
(
3
4
)
=
4
2
ϖ
3
π
{\displaystyle \operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {3}{4}}{\bigr )}={\frac {4\,{\sqrt {2}}\,\varpi }{3\,\pi }}}
Äquianharmonische Funktionswerte für Bruch-Abszissenwerte:
CBC
(
1
3
)
=
∏
m
=
1
∞
(
3
m
+
1
)
2
3
m
(
3
m
+
2
)
=
1
2
4
3
27
4
K
[
sin
(
1
12
π
)
]
−
1
{\displaystyle \operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {1}{3}}{\bigr )}=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(3m+1)^{2}}{3m(3m+2)}}={\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{4}}\,{\sqrt[{4}]{27}}\,K{\bigl [}\sin {\bigl (}{\frac {1}{12}}\pi {\bigr )}{\bigr ]}^{-1}}
CBC
(
2
3
)
=
∏
m
=
1
∞
(
3
m
+
2
)
2
3
m
(
3
m
+
4
)
=
1
π
2
3
27
4
K
[
sin
(
1
12
π
)
]
{\displaystyle \operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {2}{3}}{\bigr )}=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(3m+2)^{2}}{3m(3m+4)}}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt[{3}]{2}}\,{\sqrt[{4}]{27}}\,K{\bigl [}\sin {\bigl (}{\frac {1}{12}}\pi {\bigr )}{\bigr ]}}
CBC
(
1
6
)
=
∏
m
=
1
∞
(
6
m
+
1
)
2
12
m
(
3
m
+
1
)
=
2
3
3
4
K
[
sin
(
1
12
π
)
]
−
1
{\displaystyle \operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {1}{6}}{\bigr )}=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(6m+1)^{2}}{12m(3m+1)}}={\sqrt[{3}]{2}}\,{\sqrt[{4}]{3}}\,K{\bigl [}\sin {\bigl (}{\frac {1}{12}}\pi {\bigr )}{\bigr ]}^{-1}}
CBC
(
5
6
)
=
∏
m
=
1
∞
(
6
m
+
5
)
2
12
m
(
3
m
+
5
)
=
8
5
π
4
3
3
4
K
[
sin
(
1
12
π
)
]
{\displaystyle \operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {5}{6}}{\bigr )}=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(6m+5)^{2}}{12m(3m+5)}}={\frac {8}{5\pi }}{\sqrt[{3}]{4}}\,{\sqrt[{4}]{3}}\,K{\bigl [}\sin {\bigl (}{\frac {1}{12}}\pi {\bigr )}{\bigr ]}}
Weitere mit elliptischen Integralen erster Art darstellbare CBC-Werte von rationalen Abszissenwerten:
CBC
(
1
8
)
=
∏
m
=
1
∞
(
8
m
+
1
)
2
16
m
(
4
m
+
1
)
=
8
4
K
(
2
−
1
)
−
1
{\displaystyle \operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {1}{8}}{\bigr )}=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(8m+1)^{2}}{16m(4m+1)}}={\sqrt[{4}]{8}}\,K{\bigl (}{\sqrt {2}}-1{\bigr )}^{-1}}
CBC
(
3
8
)
=
∏
m
=
1
∞
(
8
m
+
3
)
2
16
m
(
4
m
+
3
)
=
2
3
2
4
K
(
2
−
1
)
−
1
{\displaystyle \operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {3}{8}}{\bigr )}=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(8m+3)^{2}}{16m(4m+3)}}={\frac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{2}}\,K{\bigl (}{\sqrt {2}}-1{\bigr )}^{-1}}
CBC
(
1
20
)
=
∏
m
=
1
∞
(
20
m
+
1
)
2
40
m
(
10
m
+
1
)
=
2
10
5
4
cos
(
1
10
π
)
1
/
2
sec
(
1
20
π
)
K
{
sin
[
1
2
arcsin
(
5
−
2
)
]
}
−
1
{\displaystyle \operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {1}{20}}{\bigr )}=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(20m+1)^{2}}{40m(10m+1)}}={\sqrt[{10}]{2}}\,{\sqrt[{4}]{5}}\,\cos {\bigl (}{\frac {1}{10}}\pi {\bigr )}^{1/2}\sec {\bigl (}{\frac {1}{20}}\pi {\bigr )}\,K{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\frac {1}{2}}\arcsin {\bigl (}{\sqrt {5}}-2{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}^{-1}}
CBC
(
3
20
)
=
∏
m
=
1
∞
(
20
m
+
3
)
2
40
m
(
10
m
+
3
)
=
4
3
8
10
5
cos
(
1
10
π
)
1
/
2
sin
(
3
20
π
)
K
{
sin
[
1
2
arcsin
(
5
−
2
)
]
}
−
1
{\displaystyle \operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {3}{20}}{\bigr )}=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(20m+3)^{2}}{40m(10m+3)}}={\frac {4}{3}}\,{\sqrt[{10}]{8}}\,{\sqrt {5}}\,\cos {\bigl (}{\frac {1}{10}}\pi {\bigr )}^{1/2}\sin {\bigl (}{\frac {3}{20}}\pi {\bigr )}\,K{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\frac {1}{2}}\arcsin {\bigl (}{\sqrt {5}}-2{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}^{-1}}
CBC
(
1
24
)
=
∏
m
=
1
∞
(
24
m
+
1
)
2
48
m
(
12
m
+
1
)
=
2
12
3
4
(
2
−
1
)
(
3
+
1
)
K
[
(
2
−
3
)
(
3
−
2
)
]
−
1
{\displaystyle \operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {1}{24}}{\bigr )}=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(24m+1)^{2}}{48m(12m+1)}}={\sqrt[{12}]{2}}\,{\sqrt[{4}]{3}}\,({\sqrt {2}}-1)({\sqrt {3}}+1)\,K{\bigl [}{\bigl (}2-{\sqrt {3}}{\bigr )}{\bigl (}{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigr ]}^{-1}}
CBC
(
5
24
)
=
∏
m
=
1
∞
(
24
m
+
5
)
2
48
m
(
12
m
+
5
)
=
1
5
32
12
27
4
(
3
+
1
)
K
[
(
2
−
3
)
(
3
−
2
)
]
−
1
{\displaystyle \operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {5}{24}}{\bigr )}=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(24m+5)^{2}}{48m(12m+5)}}={\frac {1}{5}}\,{\sqrt[{12}]{32}}\,{\sqrt[{4}]{27}}\,({\sqrt {3}}+1)\,K{\bigl [}{\bigl (}2-{\sqrt {3}}{\bigr )}{\bigl (}{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigr ]}^{-1}}
Dabei steht der Buchstabe K für das vollständige Elliptische Integral erster Art:
K
(
ε
)
=
∫
0
π
/
2
1
1
−
ε
2
sin
(
φ
)
2
d
φ
=
∫
0
1
2
(
x
2
+
1
)
2
−
4
ε
2
x
2
d
x
{\displaystyle K(\varepsilon )=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\sin(\varphi )^{2}}}}\,\mathrm {d} \varphi =\int _{0}^{1}{\frac {2}{\sqrt {(x^{2}+1)^{2}-4\,\varepsilon ^{2}x^{2}}}}\,\mathrm {d} x}
Siehe hierzu auch den Artikel Wallissches Produkt !
Nach dem Satz von Wolstenholme gilt für Primzahlen
p
≥
5
{\displaystyle p\geq 5}
(
2
p
p
)
≡
2
mod
p
3
{\displaystyle {2p \choose p}\equiv 2\mod p^{3}}
(für die Symbolik siehe Kongruenz (Zahlentheorie) ).
Außerdem kommen keine ungeraden Zahlen außer
1
{\displaystyle 1}
Weiterhin gilt, dass die Zahlen für
n
>
4
{\displaystyle n>4}
quadratfrei sind, siehe Satz von Sárkőzy .
Eine Integraldarstellung lautet wie folgt:
CBC
(
n
)
=
(
2
n
n
)
=
2
2
n
+
1
π
∫
0
∞
d
x
(
x
2
+
1
)
n
+
1
{\displaystyle \operatorname {CBC} (n)={\binom {2n}{n}}={\frac {2^{2n+1}}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{(x^{2}+1)^{n+1}}}}
[ 4] Auch für die Kehrwerte der Zentralbinomialkoeffizienten gibt es eine kurze gültige Formel:
1
CBC
(
n
)
=
∫
0
1
n
x
n
−
1
(
x
+
1
)
2
n
d
x
{\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {CBC} (n)}}=\int _{0}^{1}{\frac {n\,x^{n-1}}{(x+1)^{2n}}}\,\mathrm {d} x}
Mit diesem Ausdruck kann man auch Summenreihen mit dem Kehrwert des mittleren binomialen Koeffizienten bezüglich des Summenindex beweisen.
Unendliche Summe von den Kehrwerten der Mittleren Binomialen Koeffizienten :
∑
n
=
1
∞
1
CBC
(
n
)
=
∑
n
=
1
∞
∫
0
1
n
x
n
−
1
(
x
+
1
)
2
n
d
x
=
∫
0
1
∑
n
=
1
∞
n
x
n
−
1
(
x
+
1
)
2
n
d
x
=
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\operatorname {CBC} (n)}}=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {n\,x^{n-1}}{(x+1)^{2n}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n\,x^{n-1}}{(x+1)^{2n}}}\,\mathrm {d} x=}
=
∫
0
1
(
x
+
1
)
2
(
x
2
+
x
+
1
)
2
d
x
=
{
4
9
3
arctan
[
1
3
3
(
2
x
+
1
)
]
−
x
+
2
3
(
x
2
+
x
+
1
)
}
x
=
0
x
=
1
=
2
27
3
π
+
1
3
{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {(x+1)^{2}}{(x^{2}+x+1)^{2}}}\,\mathrm {d} x={\biggl \{}{\frac {4}{9}}{\sqrt {3}}\arctan {\bigl [}{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}{\bigl (}2x+1{\bigr )}{\bigr ]}-{\frac {x+2}{3(x^{2}+x+1)}}{\biggr \}}_{x=0}^{x=1}={\frac {2}{27}}{\sqrt {3}}\,\pi +{\frac {1}{3}}}
Eine weitere unendliche Summe mit einem elementar darstellbaren Wert:
∑
n
=
1
∞
1
n
CBC
(
n
)
=
∑
n
=
1
∞
∫
0
1
x
n
−
1
(
x
+
1
)
2
n
d
x
=
∫
0
1
∑
n
=
1
∞
x
n
−
1
(
x
+
1
)
2
n
d
x
=
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\operatorname {CBC} (n)}}=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {x^{n-1}}{(x+1)^{2n}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{(x+1)^{2n}}}\,\mathrm {d} x=}
=
∫
0
1
1
x
2
+
x
+
1
d
x
=
{
2
3
3
arctan
[
1
3
3
(
2
x
+
1
)
]
}
x
=
0
x
=
1
=
1
9
3
π
{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{2}+x+1}}\,\mathrm {d} x={\biggl \{}{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\arctan {\bigl [}{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}{\bigl (}2x+1{\bigr )}{\bigr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=1}={\frac {1}{9}}{\sqrt {3}}\,\pi }
Eine unendliche Summe mit einem nicht elementar darstellbaren Wert:
∑
n
=
1
∞
1
n
2
CBC
(
n
)
=
∑
n
=
1
∞
∫
0
1
x
n
−
1
n
(
x
+
1
)
2
n
d
x
=
∫
0
1
∑
n
=
1
∞
x
n
−
1
n
(
x
+
1
)
2
n
d
x
=
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}\operatorname {CBC} (n)}}=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {x^{n-1}}{n(x+1)^{2n}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{n(x+1)^{2n}}}\,\mathrm {d} x=}
=
∫
0
1
1
x
ln
[
(
x
+
1
)
2
x
2
+
x
+
1
]
d
x
=
1
3
Li
2
(
1
)
=
π
2
18
{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\ln {\biggl [}{\frac {(x+1)^{2}}{x^{2}+x+1}}{\biggr ]}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{3}}\operatorname {Li} _{2}(1)={\frac {\pi ^{2}}{18}}}
Und generell gilt für alle Werte
z
∈
N
{\displaystyle z\in \mathbb {N} }
∑
n
=
1
∞
1
n
z
+
1
CBC
(
n
)
=
∫
0
1
1
x
Li
z
[
x
(
x
+
1
)
2
]
d
x
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{z+1}\operatorname {CBC} (n)}}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\operatorname {Li} _{z}{\biggl [}{\frac {x}{(x+1)^{2}}}{\biggr ]}\mathrm {d} x}
Mit dem Kürzel
Li
{\displaystyle \operatorname {Li} }
Polylogarithmus dargestellt.
Der Mittlere Binomialkoeffizient wird so abgeleitet:
d
d
x
CBC
(
x
)
=
2
CBC
(
x
)
[
H
(
2
x
)
−
H
(
x
)
]
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {CBC} (x)=2\operatorname {CBC} (x){\bigl [}\operatorname {H} (2x)-\operatorname {H} (x){\bigr ]}}
Mit dem Buchstaben H wird die Harmonische Reihenfunktion ausgedrückt:
H
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
1
n
−
1
n
+
x
)
{\displaystyle \operatorname {H} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+x}}{\bigr )}}
Alternativ hierzu kann die Ableitung der Zentralbinomialkoeffizientenfunktion auch mit der Digammafunktion ausgedrückt werden:
d
d
x
CBC
(
x
)
=
2
CBC
(
x
)
[
ψ
(
2
x
+
1
)
−
ψ
(
x
+
1
)
]
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {CBC} (x)=2\operatorname {CBC} (x){\bigl [}\psi (2x+1)-\psi (x+1){\bigr ]}}
Denn zwischen der Harmonischen Reihenfunktion und der Digammafunktion besteht folgender Zusammenhang:
H
(
x
)
=
ψ
(
x
+
1
)
+
γ
{\displaystyle \operatorname {H} (x)=\psi (x+1)+\gamma }
Die Ursprungsstammfunktion der Zentralbinomialkoeffizientenfunktion wird so hervorgerufen:
∫
0
x
CBC
(
w
)
d
w
=
∫
0
∞
2
2
x
+
1
−
2
(
y
2
+
1
)
x
π
[
ln
(
4
)
−
ln
(
y
2
+
1
)
]
(
y
2
+
1
)
x
+
1
d
y
{\displaystyle \int _{0}^{x}\operatorname {CBC} (w)\,\mathrm {d} w=\int _{0}^{\infty }{\frac {2^{2x+1}-2(y^{2}+1)^{x}}{\pi {\bigl [}\ln(4)-\ln(y^{2}+1){\bigr ]}(y^{2}+1)^{x+1}}}\,\mathrm {d} y}
Denn diese Ableitung ist für diese Ursprungsstammfunktion gültig:
d
d
x
2
2
x
+
1
−
2
(
y
2
+
1
)
x
π
[
ln
(
4
)
−
ln
(
y
2
+
1
)
]
(
y
2
+
1
)
x
+
1
=
2
2
x
+
1
π
(
y
2
+
1
)
x
+
1
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {2^{2x+1}-2(y^{2}+1)^{x}}{\pi {\bigl [}\ln(4)-\ln(y^{2}+1){\bigr ]}(y^{2}+1)^{x+1}}}={\frac {2^{2x+1}}{\pi (y^{2}+1)^{x+1}}}}
Und der Zentralbinomialkoeffizient hat diese Integralidentität:
CBC
(
x
)
=
∫
0
∞
2
2
x
+
1
π
(
y
2
+
1
)
x
+
1
d
y
{\displaystyle \operatorname {CBC} (x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {2^{2x+1}}{\pi \,(y^{2}+1)^{x+1}}}\,\mathrm {d} y}
Beispielrechnung:
∫
0
1
CBC
(
w
)
d
w
=
∫
0
∞
6
−
2
y
2
π
[
ln
(
4
)
−
ln
(
y
2
+
1
)
]
(
y
2
+
1
)
2
d
y
≈
1,346
102293273794904
{\displaystyle \int _{0}^{1}\operatorname {CBC} (w)\,\mathrm {d} w=\int _{0}^{\infty }{\frac {6-2y^{2}}{\pi {\bigl [}\ln(4)-\ln(y^{2}+1){\bigr ]}(y^{2}+1)^{2}}}\,\mathrm {d} y\approx 1{,}346102293273794904}
Die Ursprungsstammfunktion vom Kehrwert des Zentralbinomialkoeffizienten wird jedoch auf folgende Weise hervorgerufen:
∫
0
x
1
CBC
(
w
)
d
w
=
∫
0
1
y
x
(
1
+
y
)
−
2
x
[
x
ln
(
y
)
−
2
x
ln
(
1
+
y
)
−
1
]
+
1
y
[
2
ln
(
1
+
y
)
−
ln
(
y
)
]
2
d
y
{\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {1}{\operatorname {CBC} (w)}}\,\mathrm {d} w=\int _{0}^{1}{\frac {y^{x}(1+y)^{-2x}{\bigl [}x\ln(y)-2x\ln(1+y)-1{\bigr ]}+1}{y{\bigl [}2\ln(1+y)-\ln(y){\bigr ]}^{2}}}\,\mathrm {d} y}
Denn diese Ableitung ist gültig:
d
d
x
y
x
(
1
+
y
)
−
2
x
[
x
ln
(
y
)
−
2
x
ln
(
1
+
y
)
−
1
]
+
1
y
[
2
ln
(
1
+
y
)
−
ln
(
y
)
]
2
=
x
y
x
−
1
(
1
+
y
)
2
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {y^{x}(1+y)^{-2x}{\bigl [}x\ln(y)-2x\ln(1+y)-1{\bigr ]}+1}{y{\bigl [}2\ln(1+y)-\ln(y){\bigr ]}^{2}}}={\frac {x\,y^{x-1}}{(1+y)^{2x}}}}
Und der Kehrwert vom Zentralbinomialkoeffizienten hat diese Integralidentität:
1
CBC
(
x
)
=
∫
0
1
x
y
x
−
1
(
1
+
y
)
2
x
d
y
{\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {CBC} (x)}}=\int _{0}^{1}{\frac {x\,y^{x-1}}{(1+y)^{2x}}}\,\mathrm {d} y}
Beispielrechnung:
∫
0
1
1
CBC
(
w
)
d
w
=
∫
0
1
y
(
1
+
y
)
−
2
[
ln
(
y
)
−
2
ln
(
1
+
y
)
−
1
]
+
1
y
[
2
ln
(
1
+
y
)
−
ln
(
y
)
]
2
d
y
≈
0,776
990069651539867872
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{\operatorname {CBC} (w)}}\,\mathrm {d} w=\int _{0}^{1}{\frac {y(1+y)^{-2}{\bigl [}\ln(y)-2\ln(1+y)-1{\bigr ]}+1}{y{\bigl [}2\ln(1+y)-\ln(y){\bigr ]}^{2}}}\,\mathrm {d} y\approx 0{,}776990069651539867872}
Für viele elementare Funktionen und auch für viele nicht elementare Funktionen können die zugehörigen Taylor-Reihen beziehungsweise MacLaurin-Reihen vereinfacht mit Hilfe der Mittleren Binomialen Koeffizienten dargestellt werden. Dies ist die erzeugende Funktion für die mittleren Binomialkoeffizienten:
1
1
−
4
x
=
∑
m
=
0
∞
CBC
(
m
)
x
m
=
1
+
2
x
+
6
x
2
+
20
x
3
+
70
x
4
+
252
x
5
+
⋯
.
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}=\sum _{m=0}^{\infty }\operatorname {CBC} (m)\,x^{m}=\mathbf {1} +\mathbf {2} x+\mathbf {6} x^{2}+\mathbf {20} x^{3}+\mathbf {70} x^{4}+\mathbf {252} x^{5}+\cdots .}
Um den inneren Faktor 4 gestreckt ergibt sich ein Analogon, aus welchem durch Integration und weitere Abwandlungen noch mehr erzeugende Funktionen von Abwandlungen der Zentralbinomialkoeffizietnen ergeben. Durch Quadratur dieser mittleren Binomialkoeffizienten erhält man weitere Summenreihen mit ihren zugehörigen Funktionen. Im Folgenden werden einige Identitäten nach diesem Muster aufgelistet:
Summenreihen mit Koeffizienten des Musters
CBC
(
x
)
1
{\displaystyle \operatorname {CBC} (x)^{1}}
∑
m
=
0
∞
CBC
(
m
)
4
m
x
m
=
1
1
−
x
{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (m)}{4^{m}}}\,x^{m}={\frac {1}{\sqrt {1-x}}}}
∑
m
=
0
∞
CBC
(
m
)
4
m
(
2
m
+
1
)
x
2
m
+
1
=
arcsin
(
x
)
{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (m)}{4^{m}(2m+1)}}\,x^{2m+1}=\arcsin(x)}
∑
m
=
0
∞
CBC
(
m
)
4
m
(
4
m
+
1
)
x
4
m
+
1
=
arcsl
(
x
)
{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (m)}{4^{m}(4m+1)}}\,x^{4m+1}=\operatorname {arcsl} (x)}
Summenreihen mit Koeffizienten des Musters
CBC
(
x
)
2
{\displaystyle \operatorname {CBC} (x)^{2}}
∑
m
=
0
∞
CBC
(
m
)
2
16
m
x
m
=
4
π
(
1
+
1
−
x
)
K
(
1
−
1
−
x
1
+
1
−
x
)
{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {\operatorname {CBC} (m)^{2}}{16^{m}}}\,x^{m}={\frac {4}{\pi (1+{\sqrt {1-x}})}}K\left({\frac {1-{\sqrt {1-x}}}{1+{\sqrt {1-x}}}}\right)}
∑
m
=
0
∞
CBC
(
m
)
2
16
m
x
2
m
=
2
π
K
(
x
)
{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (m)^{2}}{16^{m}}}\,x^{2m}={\frac {2}{\pi }}\,K(x)}
∑
m
=
0
∞
CBC
(
m
)
2
16
m
(
1
−
2
m
)
x
2
m
=
2
π
E
(
x
)
{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (m)^{2}}{16^{m}(1-2m)}}\,x^{2m}={\frac {2}{\pi }}\,E(x)}
Summenreihen mit Koeffizienten des Musters
CBC
(
x
)
−
1
{\displaystyle \operatorname {CBC} (x)^{-1}}
∑
m
=
0
∞
4
m
CBC
(
m
)
x
2
m
=
1
1
−
x
2
+
x
arcsin
(
x
)
(
1
−
x
2
)
3
/
2
{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\,{\frac {4^{m}}{\operatorname {CBC} (m)}}\,x^{2m}={\frac {1}{1-x^{2}}}+{\frac {x\arcsin(x)}{(1-x^{2})^{3/2}}}}
∑
m
=
0
∞
4
m
(
2
m
+
1
)
CBC
(
m
)
x
2
m
+
1
=
arcsin
(
x
)
1
−
x
2
{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\,{\frac {4^{m}}{(2m+1)\operatorname {CBC} (m)}}\,x^{2m+1}={\frac {\arcsin(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
∑
m
=
0
∞
4
m
(
m
+
1
)
(
2
m
+
1
)
CBC
(
m
)
x
2
m
+
2
=
arcsin
(
x
)
2
{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\,{\frac {4^{m}}{(m+1)(2m+1)\operatorname {CBC} (m)}}\,x^{2m+2}=\arcsin(x)^{2}}
∑
m
=
0
∞
4
m
(
2
m
+
1
)
2
CBC
(
m
)
x
2
m
+
1
=
2
Ti
2
(
x
1
+
1
−
x
2
)
{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\,{\frac {4^{m}}{(2m+1)^{2}\operatorname {CBC} (m)}}\,x^{2m+1}=2\operatorname {Ti} _{2}{\biggl (}{\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}{\biggr )}}
Summenreihen mit Koeffizienten des Musters
CBC
(
x
)
−
2
{\displaystyle \operatorname {CBC} (x)^{-2}}
∑
m
=
0
∞
16
m
(
2
m
+
1
)
2
CBC
(
m
)
2
x
2
m
+
1
=
∫
0
1
arcsin
(
x
y
)
(
1
−
x
2
y
2
)
(
1
−
y
2
)
d
y
{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\,{\frac {16^{m}}{(2m+1)^{2}\operatorname {CBC} (m)^{2}}}\,x^{2m+1}=\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin(xy)}{\sqrt {(1-x^{2}y^{2})(1-y^{2})}}}\,\mathrm {d} y}
∑
m
=
0
∞
16
m
(
m
+
1
)
(
2
m
+
1
)
2
CBC
(
m
)
2
x
2
m
+
2
=
∫
0
1
arcsin
(
x
y
)
2
y
1
−
y
2
d
y
{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\,{\frac {16^{m}}{(m+1)(2m+1)^{2}\operatorname {CBC} (m)^{2}}}\,x^{2m+2}=\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin(xy)^{2}}{y{\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y}
Dabei stellt die Bezeichnung
arcsl
{\displaystyle \operatorname {arcsl} }
Arkussinus Lemniscatus , der Buchstabe
E
{\displaystyle E}
vollständige elliptische Integral zweiter Art und das Kürzel
Ti
2
{\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}}
Arkustangensintegral dar.
Der Mathematiker Srinivasa Ramanujan erforschte die und schrieb in seinen Aufzeichnungen im Jahre 1914 exemplarische Resultate dieser Formeln nieder, die zur Ermittlung sehr schnell konvergierender Summenreihen für die Kreiszahl dienen.
Folgende Formel ist für die nachfolgende hypergeometrische Funktion gültig:
∑
m
=
0
∞
CBC
(
2
m
)
CBC
(
m
)
2
256
m
x
2
m
=
3
F
2
[
1
4
,
1
2
,
3
4
;
1
,
1
;
x
2
]
{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (2m)\operatorname {CBC} (m)^{2}}{256^{m}}}\,x^{2m}={}_{3}F_{2}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;x^{2}{\bigr ]}}
Dieser Ausdruck löst folgende Differentialgleichung:
K
′
{
tan
[
1
4
arcsin
(
x
)
]
}
8
K
{
tan
[
1
4
arcsin
(
x
)
]
}
{
2
(
1
+
1
+
x
)
(
1
+
1
−
x
)
3
F
2
[
1
4
,
1
2
,
3
4
;
1
,
1
;
x
2
]
+
x
1
−
x
2
d
d
x
3
F
2
[
1
4
,
1
2
,
3
4
;
1
,
1
;
x
2
]
}
−
{\displaystyle {\frac {K'{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin(x){\bigr ]}{\bigr \}}}{8K{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin(x){\bigr ]}{\bigr \}}}}{\biggl \{}2(1+{\sqrt {1+x}})(1+{\sqrt {1-x}})\,{}_{3}F_{2}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;x^{2}{\bigr ]}+x{\sqrt {1-x^{2}}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{}_{3}F_{2}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;x^{2}{\bigr ]}{\biggr \}}\,-}
−
4
E
{
tan
[
1
4
arcsin
(
x
)
]
}
K
′
{
tan
[
1
4
arcsin
(
x
)
]
}
−
π
16
K
{
tan
[
1
4
arcsin
(
x
)
]
}
2
(
2
+
1
+
x
+
1
−
x
)
3
F
2
[
1
4
,
1
2
,
3
4
;
1
,
1
;
x
2
]
=
1
π
{\displaystyle -\,{\frac {4E{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin(x){\bigr ]}{\bigr \}}K'{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin(x){\bigr ]}{\bigr \}}-\pi }{16K{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin(x){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}}}(2+{\sqrt {1+x}}+{\sqrt {1-x}})\,{}_{3}F_{2}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;x^{2}{\bigr ]}={\frac {1}{\pi }}}
Dabei gilt:
K
′
(
ε
)
=
K
(
1
−
ε
2
)
{\displaystyle K'(\varepsilon )=K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})}
Exemplarisch durch Einsetzen des Wertes
x
=
1
9801
{\displaystyle x={\frac {1}{9801}}}
2206
2
9801
3
F
2
[
1
4
,
1
2
,
3
4
;
1
,
1
;
x
2
]
(
x
=
1
9801
)
+
26390
2
96059601
d
d
x
3
F
2
[
1
4
,
1
2
,
3
4
;
1
,
1
;
x
2
]
(
x
=
1
9801
)
=
1
π
{\displaystyle {\frac {2206{\sqrt {2}}}{9801}}\,{}_{3}F_{2}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;x^{2}{\bigr ]}{\bigl (}x={\frac {1}{9801}}{\bigr )}+{\frac {26390{\sqrt {2}}}{96059601}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{}_{3}F_{2}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;x^{2}{\bigr ]}{\bigl (}x={\frac {1}{9801}}{\bigr )}={\frac {1}{\pi }}}
Die hier gezeigte Gleichung führt direkt zur bekanntesten Kreiszahlformel, durch welche Srinivasa Ramanujan Weltruhm erlangte:
1
π
=
∑
n
=
0
∞
2
2
CBC
(
2
n
)
CBC
(
n
)
2
(
1103
+
26390
n
)
396
4
n
9801
{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2{\sqrt {2}}\operatorname {CBC} (2n)\operatorname {CBC} (n)^{2}(1103+26390n)}{396^{4n}9801}}}
Exemplarisch durch Einsetzen des Wertes
x
=
1
9
{\displaystyle x={\frac {1}{9}}}
2
2
9
3
F
2
[
1
4
,
1
2
,
3
4
;
1
,
1
;
x
2
]
(
x
=
1
9
)
+
10
2
81
d
d
x
3
F
2
[
1
4
,
1
2
,
3
4
;
1
,
1
;
x
2
]
(
x
=
1
9
)
=
1
π
{\displaystyle {\frac {2{\sqrt {2}}}{9}}\,{}_{3}F_{2}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;x^{2}{\bigr ]}{\bigl (}x={\frac {1}{9}}{\bigr )}+{\frac {10{\sqrt {2}}}{81}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{}_{3}F_{2}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;x^{2}{\bigr ]}{\bigl (}x={\frac {1}{9}}{\bigr )}={\frac {1}{\pi }}}
Die hier gezeigte Gleichung führt zu einer weiteren Kreiszahlformel, welche Srinivasa Ramanujan entdeckte:
1
π
=
∑
n
=
0
∞
2
2
CBC
(
2
n
)
CBC
(
n
)
2
(
1
+
10
n
)
12
4
n
9
{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2{\sqrt {2}}\operatorname {CBC} (2n)\operatorname {CBC} (n)^{2}(1+10n)}{12^{4n}9}}}
Die Mathematiker Borwein, Bailey und Beeler schrieben Ramanujans wichtigste Formeln sukzessiv in ihren Werken nieder und erläuterten zusätzlich Ramanujans Recherchen zu den elliptischen Integralen erster und zweiter Art sowie zu den Hypergeometrischen Funktionen und ihren zugehörigen Differentialgleichungen.
∑
n
=
0
∞
CBC
(
n
)
(
−
4
)
n
=
1
2
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\operatorname {CBC} (n)}{(-4)^{n}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}
Allgemein gilt (bei Divergenz der Reihe für mit der Gammafunktion berechnete regularisierte Werte):
∑
n
=
0
∞
CBC
(
n
)
(
p
/
q
)
n
=
p
p
−
4
q
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\operatorname {CBC} (n)}{(p/q)^{n}}}={\sqrt {\frac {p}{p-4q}}}}
q
∈
N
,
p
∈
Z
/
{
0
}
{\displaystyle q\in \mathbb {N} ,p\in \mathbb {Z} /\{0\}}
Zudem gilt für Partialsummen (Folge A285388 in OEIS ):
lim
n
→
∞
∑
k
=
0
n
2
−
1
CBC
(
k
)
4
k
n
=
lim
n
→
∞
n
CBC
(
n
2
)
2
2
n
2
−
1
=
lim
m
→
∞
m
CBC
(
m
)
2
2
m
−
1
=
2
π
=
1
Γ
(
3
2
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
Γ
(
n
+
1
2
)
Γ
(
1
+
n
2
)
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=0}^{n^{2}-1}{\frac {\operatorname {CBC} (k)}{4^{k}n}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n\operatorname {CBC} (n^{2})}{2^{2n^{2}-1}}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {{\sqrt {m}}\operatorname {CBC} (m)}{2^{2m-1}}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}={\frac {1}{\Gamma ({\frac {3}{2}})}}=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{\Gamma (1+{\frac {n}{2}})}}}}
Es gilt:
∑
n
=
1
∞
1
CBC
(
n
)
=
1
27
(
2
π
3
+
9
)
=
0,736
3998587187
…
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\operatorname {CBC} (n)}}={\frac {1}{27}}(2\pi {\sqrt {3}}+9)=0{,}7363998587187\ldots }
Die einzelnen Nachkommastellen bilden Folge A073016 in OEIS .
Einige weitere ähnliche Reihen sind:
∑
n
=
1
∞
1
n
CBC
(
n
)
=
1
9
π
3
=
0,604
59
…
∑
n
=
1
∞
1
n
2
CBC
(
n
)
=
1
18
π
2
=
0,548
31
…
∑
n
=
1
∞
1
n
3
CBC
(
n
)
=
1
18
π
3
[
ψ
1
(
1
3
)
−
ψ
1
(
2
3
)
]
−
4
3
ζ
(
3
)
=
2
π
3
G
G
K
−
4
3
ζ
(
3
)
∑
n
=
1
∞
1
n
4
CBC
(
n
)
=
17
3240
π
4
=
0,511
09
…
∑
n
=
1
∞
1
n
5
CBC
(
n
)
=
1
432
π
3
[
ψ
3
(
1
3
)
−
ψ
3
(
2
3
)
]
−
19
3
ζ
(
5
)
+
1
9
ζ
(
3
)
π
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\operatorname {CBC} (n)}}&={\frac {1}{9}}\pi {\sqrt {3}}&=&\,0{,}60459\ldots \\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}\operatorname {CBC} (n)}}&={\frac {1}{18}}\pi ^{2}&=&\,0{,}54831\dots \\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\operatorname {CBC} (n)}}&={\frac {1}{18}}\pi {\sqrt {3}}{\bigl [}\psi _{1}({\tfrac {1}{3}})-\psi _{1}({\tfrac {2}{3}}){\bigr ]}-{\frac {4}{3}}\zeta (3)={\frac {2\pi }{3}}\,G_{GK}-{\frac {4}{3}}\zeta (3)&{}&{}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}\operatorname {CBC} (n)}}&={\frac {17}{3240}}\pi ^{4}&=&\,0{,}51109\ldots \\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\operatorname {CBC} (n)}}&={\frac {1}{432}}\pi {\sqrt {3}}{\bigl [}\psi _{3}({\tfrac {1}{3}})-\psi _{3}({\tfrac {2}{3}}){\bigr ]}-{\frac {19}{3}}\zeta (5)+{\frac {1}{9}}\zeta (3)\pi ^{2}&{}&{}\end{aligned}}}
vgl. Folge A073010 in OEIS , Folge A086463 in OEIS , -, Folge A086464 in OEIS , -.
Dabei bezeichnet
ψ
1
{\displaystyle \ \psi _{1}}
Digamma-Funktion ,
ψ
2
{\displaystyle \ \psi _{2}}
Trigammafunktion und allgemein
ψ
n
{\displaystyle \ \psi _{n}}
n
{\displaystyle n}
Polygammafunktion ;
ζ
(
x
)
{\displaystyle \ \zeta (x)}
Riemannsche Zetafunktion ,
π
{\displaystyle \pi }
Kreiszahl und
G
G
K
{\displaystyle G_{GK}}
Gieseking-Konstante .
Ganz allgemein gilt folgende Formel:
∑
n
=
1
∞
1
n
k
CBC
(
n
)
=
1
2
⋅
k
+
1
F
k
(
1
,
…
,
1
⏟
k
+
1
;
3
2
,
2
,
…
,
2
⏟
k
−
1
;
1
4
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}\operatorname {CBC} (n)}}={\frac {1}{2}}\,\cdot \,{}_{k+1}F_{k}\left(\underbrace {1,\ldots ,1} _{k+1};{\tfrac {3}{2}},\underbrace {2,\ldots ,2} _{k-1};{\tfrac {1}{4}}\right)}
für
k
≥
1
{\displaystyle k\geq 1}
m
F
n
(
a
1
,
…
,
a
m
;
b
1
,
…
,
b
n
;
x
)
{\displaystyle {}_{m}F_{n}(a_{1},\ldots ,a_{m};b_{1},\ldots ,b_{n};x)}
verallgemeinerte hypergeometrische Funktion bezeichnet; vgl.[ 5]
Auch die entsprechenden alternierenden Reihen konvergieren, und zwar zu folgenden Grenzwerten:
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
CBC
(
n
)
=
1
25
(
5
+
4
5
⋅
arcsch
(
2
)
)
=
0,372
16357638560161555577
…
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
n
CBC
(
n
)
=
2
5
5
⋅
arcsch
(
2
)
=
0,430
408940964
…
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
n
2
CBC
(
n
)
=
2
(
arcsch
(
2
)
)
2
=
0,463
129641154
…
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
n
3
CBC
(
n
)
=
2
5
ζ
(
3
)
=
0,480
82276126
…
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\operatorname {CBC} (n)}}&={\frac {1}{25}}\left(5+4{\sqrt {5}}\cdot \operatorname {arcsch} (2)\right)&=&\,0{,}37216357638560161555577\ldots \\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n\operatorname {CBC} (n)}}&={\frac {2}{5}}{\sqrt {5}}\cdot \operatorname {arcsch} (2)&=&\;0{,}430408940964\ldots \\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}\operatorname {CBC} (n)}}&=2\left(\operatorname {arcsch} (2)\right)^{2}&=&\;0{,}463129641154\ldots \\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{3}\operatorname {CBC} (n)}}&={\frac {2}{5}}\zeta (3)&=&\;0{,}48082276126\ldots \end{aligned}}}
vgl. Folge A086465 in OEIS , Folge A086466 in OEIS , Folge A086467 in OEIS , Folge A086468 in OEIS .
Analog lässt sich allgemein schreiben:
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
n
k
CBC
(
n
)
=
1
2
⋅
k
+
1
F
k
(
1
,
…
,
1
⏟
k
+
1
;
3
2
,
2
,
…
,
2
⏟
k
−
1
;
−
1
4
)
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{k}\operatorname {CBC} (n)}}={\frac {1}{2}}\,\cdot \,{}_{k+1}F_{k}\left(\underbrace {1,\ldots ,1} _{k+1};{\tfrac {3}{2}},\underbrace {2,\ldots ,2} _{k-1};{\tfrac {-1}{4}}\right).}
Die Vandermondesche Identität lautet wie folgt:
∑
a
=
0
k
(
m
a
)
(
n
k
−
a
)
=
(
m
+
n
k
)
{\displaystyle \sum _{a=0}^{k}{\binom {m}{a}}{\binom {n}{k-a}}={\binom {m+n}{k}}}
Im kombinatorischen Kugelmodell der Binomialkoeffizienten entspricht die rechte Seite der Formel der Anzahl von
k
{\displaystyle k}
(
m
+
n
)
{\displaystyle (m+n)}
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
a
{\displaystyle a}
k
−
a
{\displaystyle k-a}
a
{\displaystyle a}
Eine weitere Veranschaulichung liefert der binomische Lehrsatz direkt:
(
1
+
x
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
k
{\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}}
Die zweite von den drei standardisierten Potenzgesetzen wird im Folgenden angewendet:
(
1
+
x
)
m
(
1
+
x
)
n
=
(
1
+
x
)
m
+
n
{\displaystyle (1+x)^{m}(1+x)^{n}=(1+x)^{m+n}}
Durch Aufsummieren entstehen die Binomialkoeffizienten vor den x-Potenzen an den jeweiligen Summanden.
Wenn zwei Summen miteinander multipliziert werden, dann entsteht die Summe aller Einzelprodukte, bei denen jeweils ein Faktor des betroffenen Einzelproduktes als Summand aus der einen Summe und der andere Faktor desselben Einzelproduktes analog als Summand aus der anderen Summe genommen wird.
Im Spezialfall
k
=
m
=
n
{\displaystyle k=m=n}
∑
a
=
0
n
(
n
a
)
2
=
(
2
n
n
)
=
CBC
(
n
)
{\displaystyle \sum _{a=0}^{n}{\binom {n}{a}}^{2}={\binom {2n}{n}}=\operatorname {CBC} (n)}
Mit dem Kürzel
CBC
{\displaystyle \operatorname {CBC} }
Eng mit den mittleren Binomialkoeffizienten verwandt sind die Catalan-Zahlen
C
n
{\displaystyle C_{n}}
C
n
=
1
n
+
1
(
2
n
n
)
=
(
2
n
n
)
−
(
2
n
n
+
1
)
{\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}}
Im Pascalschen Dreieck haben nur die Zeilen mit geradzahligem Index einen eindeutigen mittleren Eintrag, die Zeilen mit ungeradzahligem Index haben dagegen zwei in der Mitte liegende Einträge. Da diese beiden Einträge jedoch stets übereinstimmen, werden sie gelegentlich in die Definition des mittleren Binomialkoeffizienten mit einbezogen, sie lautet dann:
(
m
⌊
m
2
⌋
)
{\displaystyle {m \choose {\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }}}
m
∈
N
0
{\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}}
Die erste Definition erhält man, wenn man hier die geraden Zahlen
m
{\displaystyle m}
Beeler, M. et al. Item 140 in Beeler, M.; Gosper, R. W.; and Schroeppel, R. HAKMEM. Cambridge, MA: MIT Artificial Intelligence Laboratory, Memo AIM-239, p. 69, Feb. 1972. http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/pi.html#item140.
Borwein, J. M.; Borwein, P. B.; and Bailey, D. H. "Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi, or How to Compute One Billion Digits of Pi." Amer. Math. Monthly 96, 201-219, 1989.
Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.
Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. Experimental Mathematics in Action. Wellesley, MA: A K Peters, 2007.
↑ Wang's bounds on the central binomial coefficient. abgerufen am 26. Dezember 2022 (amerikanisches Englisch). ↑ Thomas Koshy: The Central Binomial Coefficient . 9. November 2008, doi :10.1093/acprof:oso/9780195334548.003.0002 oup.com [abgerufen am 26. Dezember 2022]).
↑ Archiv der Mathematik und Physik . B. G. Teubner, 1844 (google.de [abgerufen am 30. Januar 2023]). ↑ V. H. Moll: Some Questions in the Evaluation of Definite Integrals. MAA Short Course, San Antonio, TX. Jan. 2006. Archivierte Kopie (Memento Internet Archive
↑ S. Plouffe: The Art of Inspired Guessing. Memento Internet Archive lacim.uqam.ca. 7. August 1998, abgerufen am 30. Januar 2023.
![{\displaystyle x!=\Pi (x)=\Gamma (x+1)=\exp(-\,\gamma \,x)\prod _{n=1}^{\infty }{\bigl [}{\bigl (}1+{\frac {x}{n}}{\bigr )}^{-1}\exp {\bigl (}{\frac {x}{n}}{\bigr )}{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4d070eefc2bdf4698fde0fc67c307d8359a9985)
![{\displaystyle \operatorname {CBC} (x)=\prod _{n=1}^{\infty }{\bigl [}{\bigl (}1+{\frac {x}{n}}{\bigr )}^{2}{\bigl (}1+{\frac {2x}{n}}{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f05f1e7da673b4bfd2bfdaa998e04f37643f87bd)
![{\displaystyle \operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {1}{3}}{\bigr )}=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(3m+1)^{2}}{3m(3m+2)}}={\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{4}}\,{\sqrt[{4}]{27}}\,K{\bigl [}\sin {\bigl (}{\frac {1}{12}}\pi {\bigr )}{\bigr ]}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb2f4a25e8f05d6aef86c656881d48b223705416)
![{\displaystyle \operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {2}{3}}{\bigr )}=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(3m+2)^{2}}{3m(3m+4)}}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt[{3}]{2}}\,{\sqrt[{4}]{27}}\,K{\bigl [}\sin {\bigl (}{\frac {1}{12}}\pi {\bigr )}{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55adae2fe150ffcc5d409f8c52cee857d12bb948)
![{\displaystyle \operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {1}{6}}{\bigr )}=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(6m+1)^{2}}{12m(3m+1)}}={\sqrt[{3}]{2}}\,{\sqrt[{4}]{3}}\,K{\bigl [}\sin {\bigl (}{\frac {1}{12}}\pi {\bigr )}{\bigr ]}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96fbd01c42280159147e0dd428ec811972310fd2)
![{\displaystyle \operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {5}{6}}{\bigr )}=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(6m+5)^{2}}{12m(3m+5)}}={\frac {8}{5\pi }}{\sqrt[{3}]{4}}\,{\sqrt[{4}]{3}}\,K{\bigl [}\sin {\bigl (}{\frac {1}{12}}\pi {\bigr )}{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18e0941d431f666e9803f0d607499c6202086bf0)
![{\displaystyle \operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {1}{8}}{\bigr )}=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(8m+1)^{2}}{16m(4m+1)}}={\sqrt[{4}]{8}}\,K{\bigl (}{\sqrt {2}}-1{\bigr )}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc062557c397269748cbf21249035d92c1eb8b90)
![{\displaystyle \operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {3}{8}}{\bigr )}=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(8m+3)^{2}}{16m(4m+3)}}={\frac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{2}}\,K{\bigl (}{\sqrt {2}}-1{\bigr )}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a57c6f82e9e66a1b76a35da0d7aa0bd3fa4365c)
![{\displaystyle \operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {1}{20}}{\bigr )}=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(20m+1)^{2}}{40m(10m+1)}}={\sqrt[{10}]{2}}\,{\sqrt[{4}]{5}}\,\cos {\bigl (}{\frac {1}{10}}\pi {\bigr )}^{1/2}\sec {\bigl (}{\frac {1}{20}}\pi {\bigr )}\,K{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\frac {1}{2}}\arcsin {\bigl (}{\sqrt {5}}-2{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5a853cf7ee0f5d179ea4b9e424faea5f446fdc2)
![{\displaystyle \operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {3}{20}}{\bigr )}=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(20m+3)^{2}}{40m(10m+3)}}={\frac {4}{3}}\,{\sqrt[{10}]{8}}\,{\sqrt {5}}\,\cos {\bigl (}{\frac {1}{10}}\pi {\bigr )}^{1/2}\sin {\bigl (}{\frac {3}{20}}\pi {\bigr )}\,K{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\frac {1}{2}}\arcsin {\bigl (}{\sqrt {5}}-2{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b8b094e865458e2e9404ff317f32be79eb65bbb)
![{\displaystyle \operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {1}{24}}{\bigr )}=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(24m+1)^{2}}{48m(12m+1)}}={\sqrt[{12}]{2}}\,{\sqrt[{4}]{3}}\,({\sqrt {2}}-1)({\sqrt {3}}+1)\,K{\bigl [}{\bigl (}2-{\sqrt {3}}{\bigr )}{\bigl (}{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigr ]}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92e1b69b3161fc4a42744a26d9fa8fb83acbc92e)
![{\displaystyle \operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {5}{24}}{\bigr )}=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(24m+5)^{2}}{48m(12m+5)}}={\frac {1}{5}}\,{\sqrt[{12}]{32}}\,{\sqrt[{4}]{27}}\,({\sqrt {3}}+1)\,K{\bigl [}{\bigl (}2-{\sqrt {3}}{\bigr )}{\bigl (}{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigr ]}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d69c8c5008b72d3c281c706ad16b815887fefb9)
![{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {(x+1)^{2}}{(x^{2}+x+1)^{2}}}\,\mathrm {d} x={\biggl \{}{\frac {4}{9}}{\sqrt {3}}\arctan {\bigl [}{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}{\bigl (}2x+1{\bigr )}{\bigr ]}-{\frac {x+2}{3(x^{2}+x+1)}}{\biggr \}}_{x=0}^{x=1}={\frac {2}{27}}{\sqrt {3}}\,\pi +{\frac {1}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42bb21c0a5be79e12a10d3e3886771931b8ef31c)
![{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{2}+x+1}}\,\mathrm {d} x={\biggl \{}{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\arctan {\bigl [}{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}{\bigl (}2x+1{\bigr )}{\bigr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=1}={\frac {1}{9}}{\sqrt {3}}\,\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3161936c2e9fc0fcd2dbb7e78dbc43cf0063f08e)
![{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\ln {\biggl [}{\frac {(x+1)^{2}}{x^{2}+x+1}}{\biggr ]}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{3}}\operatorname {Li} _{2}(1)={\frac {\pi ^{2}}{18}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dbd3cacbb96aa8cb059aa628c7b9b8454cfb4a4)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{z+1}\operatorname {CBC} (n)}}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\operatorname {Li} _{z}{\biggl [}{\frac {x}{(x+1)^{2}}}{\biggr ]}\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/263f3d9d872f37f856dbf20ca0e6698db0e6eb48)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {CBC} (x)=2\operatorname {CBC} (x){\bigl [}\operatorname {H} (2x)-\operatorname {H} (x){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3c3e1944f6a141c18641d9f1c45da67c6bdb77a)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {CBC} (x)=2\operatorname {CBC} (x){\bigl [}\psi (2x+1)-\psi (x+1){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2996efc0582dd1573df2697c2fd15dd5de4333d7)
![{\displaystyle \int _{0}^{x}\operatorname {CBC} (w)\,\mathrm {d} w=\int _{0}^{\infty }{\frac {2^{2x+1}-2(y^{2}+1)^{x}}{\pi {\bigl [}\ln(4)-\ln(y^{2}+1){\bigr ]}(y^{2}+1)^{x+1}}}\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c47f937db87990ba6a29aa3ccdce0b35b66e0731)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {2^{2x+1}-2(y^{2}+1)^{x}}{\pi {\bigl [}\ln(4)-\ln(y^{2}+1){\bigr ]}(y^{2}+1)^{x+1}}}={\frac {2^{2x+1}}{\pi (y^{2}+1)^{x+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85086a1b79692d518fa938d99e29b474b1a098b7)
![{\displaystyle \int _{0}^{1}\operatorname {CBC} (w)\,\mathrm {d} w=\int _{0}^{\infty }{\frac {6-2y^{2}}{\pi {\bigl [}\ln(4)-\ln(y^{2}+1){\bigr ]}(y^{2}+1)^{2}}}\,\mathrm {d} y\approx 1{,}346102293273794904}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0e2fb6d096a7c9d348dc4dc41670dd5de31d173)
![{\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {1}{\operatorname {CBC} (w)}}\,\mathrm {d} w=\int _{0}^{1}{\frac {y^{x}(1+y)^{-2x}{\bigl [}x\ln(y)-2x\ln(1+y)-1{\bigr ]}+1}{y{\bigl [}2\ln(1+y)-\ln(y){\bigr ]}^{2}}}\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/838256ad879f8d744556e85151cd8f7c52ada307)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {y^{x}(1+y)^{-2x}{\bigl [}x\ln(y)-2x\ln(1+y)-1{\bigr ]}+1}{y{\bigl [}2\ln(1+y)-\ln(y){\bigr ]}^{2}}}={\frac {x\,y^{x-1}}{(1+y)^{2x}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1daeb7ea645fb0c297d10e23cdffb3c070c3a39)
![{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{\operatorname {CBC} (w)}}\,\mathrm {d} w=\int _{0}^{1}{\frac {y(1+y)^{-2}{\bigl [}\ln(y)-2\ln(1+y)-1{\bigr ]}+1}{y{\bigl [}2\ln(1+y)-\ln(y){\bigr ]}^{2}}}\,\mathrm {d} y\approx 0{,}776990069651539867872}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a2943e4ee51e66e0a6ef1678ff3dd2215f58ea3)
![{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (2m)\operatorname {CBC} (m)^{2}}{256^{m}}}\,x^{2m}={}_{3}F_{2}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;x^{2}{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f80c6b769cdb0d84c8fc4fe24ce3a3632d69b336)
![{\displaystyle {\frac {K'{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin(x){\bigr ]}{\bigr \}}}{8K{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin(x){\bigr ]}{\bigr \}}}}{\biggl \{}2(1+{\sqrt {1+x}})(1+{\sqrt {1-x}})\,{}_{3}F_{2}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;x^{2}{\bigr ]}+x{\sqrt {1-x^{2}}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{}_{3}F_{2}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;x^{2}{\bigr ]}{\biggr \}}\,-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c32703e60e1c43309c69824e367308ffc39965c3)
![{\displaystyle -\,{\frac {4E{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin(x){\bigr ]}{\bigr \}}K'{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin(x){\bigr ]}{\bigr \}}-\pi }{16K{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin(x){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}}}(2+{\sqrt {1+x}}+{\sqrt {1-x}})\,{}_{3}F_{2}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;x^{2}{\bigr ]}={\frac {1}{\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c82a98bfb036a4b8c2e2129dacc040cdc05283)
![{\displaystyle {\frac {2206{\sqrt {2}}}{9801}}\,{}_{3}F_{2}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;x^{2}{\bigr ]}{\bigl (}x={\frac {1}{9801}}{\bigr )}+{\frac {26390{\sqrt {2}}}{96059601}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{}_{3}F_{2}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;x^{2}{\bigr ]}{\bigl (}x={\frac {1}{9801}}{\bigr )}={\frac {1}{\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8d53f7b6a6f83575efe3c0021bf0362ed877d33)
![{\displaystyle {\frac {2{\sqrt {2}}}{9}}\,{}_{3}F_{2}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;x^{2}{\bigr ]}{\bigl (}x={\frac {1}{9}}{\bigr )}+{\frac {10{\sqrt {2}}}{81}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{}_{3}F_{2}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;x^{2}{\bigr ]}{\bigl (}x={\frac {1}{9}}{\bigr )}={\frac {1}{\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddffd603b920347427299deab6760c4a2a7fcf3b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\operatorname {CBC} (n)}}&={\frac {1}{9}}\pi {\sqrt {3}}&=&\,0{,}60459\ldots \\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}\operatorname {CBC} (n)}}&={\frac {1}{18}}\pi ^{2}&=&\,0{,}54831\dots \\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\operatorname {CBC} (n)}}&={\frac {1}{18}}\pi {\sqrt {3}}{\bigl [}\psi _{1}({\tfrac {1}{3}})-\psi _{1}({\tfrac {2}{3}}){\bigr ]}-{\frac {4}{3}}\zeta (3)={\frac {2\pi }{3}}\,G_{GK}-{\frac {4}{3}}\zeta (3)&{}&{}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}\operatorname {CBC} (n)}}&={\frac {17}{3240}}\pi ^{4}&=&\,0{,}51109\ldots \\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\operatorname {CBC} (n)}}&={\frac {1}{432}}\pi {\sqrt {3}}{\bigl [}\psi _{3}({\tfrac {1}{3}})-\psi _{3}({\tfrac {2}{3}}){\bigr ]}-{\frac {19}{3}}\zeta (5)+{\frac {1}{9}}\zeta (3)\pi ^{2}&{}&{}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb83cb89fafba712c554ebb1d7907ce9124ec2b1)
