Cauchy-Kriterium

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Eine Folge konvergiert, wenn der Abstand der Folgenglieder im Verlauf der Folge beliebig klein wird.
Wenn der Abstand der Folgenglieder im Verlauf der Folge nicht beliebig klein wird, dann divergiert die Folge.

Das (Bolzano-)Cauchy-Kriterium (auch: Konvergenzprinzip, [allgemeines] Kriterium von Bolzano-Cauchy oder Konvergenzkriterium von Bolzano-Cauchy) ist ein mathematisches Konvergenzkriterium für Folgen und Reihen und von fundamentaler Bedeutung für die Analysis. Mit ihm kann entschieden werden, ob eine Folge oder Reihe reeller oder komplexer Zahlen konvergent oder divergent ist. Allgemeiner kann das Cauchy-Kriterium auch auf Folgen von Elementen eines vollständigen metrischen Raums oder auf Reihen von Vektoren eines Banachraums angewandt werden. Es ist nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy benannt, der dieses Konvergenzkriterium 1821 in seinem Lehrbuch „Cours d'Analyse“ veröffentlichte[1].

Cauchy-Kriterium für Folgen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Folge reeller oder komplexer Zahlen konvergiert gegen einen Grenzwert in den reellen bzw. komplexen Zahlen, wenn es zu jedem einen Index gibt, sodass der Abstand zweier beliebiger Folgenglieder ab diesem Index kleiner als ist. Formal lässt sich die Cauchy-Eigenschaft dadurch beschreiben, dass

gilt.

Das Cauchy-Kriterium besitzt für die Analysis eine fundamentale Bedeutung. Eine Folge reeller oder komplexer Zahlen konvergiert nämlich genau dann gegen einen Grenzwert, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Diese sogenannte Vollständigkeit der reellen oder komplexen Zahlen ist eine grundlegende Eigenschaft dieser Zahlbereiche.

Das Beispiel zeigt, dass es im Cauchy-Kriterium wirklich auf den Abstand zweier beliebiger Folgenglieder ab dem Index ankommt und nicht nur auf den Abstand aufeinanderfolgender Folgenglieder.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Folge reeller Zahlen sei rekursiv durch

gegeben, wobei ist. Um die Konvergenz dieser Folge mit dem Cauchy-Kriterium zu zeigen, berechnet man zunächst

,

wobei die letzte Abschätzung aus der Dreiecksungleichung

folgt, da die einzelnen Folgenglieder durch beschränkt sind. Wendet man die Ungleichung -mal an, erhält man mit

.

Allgemein gilt nun für

und durch wiederholte Anwendung der Dreiecksungleichung sowie der geometrischen Summenformel

für alle . Damit ist die Folge eine Cauchy-Folge und somit konvergent.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Beweis des Cauchy-Kriteriums kann mit dem Satz von Bolzano-Weierstraß als Axiom für die Vollständigkeit der reellen oder komplexen Zahlen erfolgen. Ist eine Cauchy-Folge, dann kann man zu einen Index finden, sodass

für alle ist. Also ist die Cauchy-Folge durch

beschränkt. Der Satz von Bolzano-Weierstraß besagt nun, dass die Folge einen Häufungspunkt besitzt. Bezeichnet eine Teilfolge, die gegen konvergiert, ergibt sich mit

,

dass der Grenzwert der gesamten Folge sein muss.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemeiner kann das Cauchy-Kriterium auch zur Untersuchung der Konvergenz von Folgen von Elementen eines vollständigen metrischen Raums verwendet werden. Eine Folge von Elementen konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert in der Menge , wenn

gilt, wenn sie also eine Cauchy-Folge bezüglich der Metrik ist. In einem nicht vollständigen metrischen Raum bildet das Cauchy-Kriterium nur eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Folge, das heißt: ist eine gegebene Folge keine Cauchy-Folge, so divergiert sie.

Cauchy-Kriterium für Reihen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Reihe

mit reellen oder komplexen Summanden konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert in den reellen bzw. komplexen Zahlen, wenn

gilt.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Reihe konvergiert, da

,

wenn gewählt wird, was immer möglich ist.

Hingegen divergiert die harmonische Reihe , denn wählt man , beliebig, und , dann gilt immer

.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es ist nachzuweisen, dass die Folge der Partialsummen

konvergiert. Nach dem Cauchy-Kriterium für Folgen müssen also für jedes Indizes existieren, sodass gilt. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man nun annehmen. Nach Voraussetzung gilt dann

und somit konvergiert die Partialsummenfolge gegen einen Grenzwert und damit die gesamte Reihe.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemeiner lässt sich das Cauchy-Kriterium auch für Reihen von Vektoren aus einem vollständigen normierten Raum fassen. Eine Reihe von Vektoren

konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert in dem Vektorraum , wenn

gilt, wobei die Norm des Banachraums ist.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Siehe die Antwort auf die Frage „Origin of Cauchy convergence test“ der Q&A Webseite „History of Science and Mathematics“