Kähler-Differential

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Der Begriff des Kähler-Differentials (nach E. Kähler) ist eine algebraische Abstraktion der Leibnizregel aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialrechnung.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Ring und eine -Algebra.

Für einen -Modul ist eine -lineare Derivation von mit Werten in definiert als eine -lineare Abbildung , für die die Leibnizregel gilt, das heißt

Die Menge aller solcher Derivationen bildet einen -Modul, der mit

bezeichnet wird.

Weiter sei

der Kern der Multiplikation, der über den linken Faktor als -Modul aufgefasst werde. Der Modul der Kähler-Differentiale oder der relativen Differentiale ist dann

Die universelle Derivation ist die Abbildung

Sie ist eine -lineare Derivation.

Universelle Eigenschaft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt:

ist ein Isomorphismus. Man kann das auch so formulieren: Der Funktor wird durch das Paar dargestellt. Insbesondere ist durch diese Eigenschaft im Wesentlichen eindeutig bestimmt.

Die exakten Sequenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ist ein Ring, eine -Algebra, eine -Algebra und ein -Modul, so ist die folgende Sequenz exakt:
Infolgedessen ist die entsprechende Sequenz der relativen Differentiale exakt:
  • Ist speziell für ein Ideal in , so ist , aber man kann noch einen weiteren Term in der exakten Sequenz angeben:
Infolgedessen ist die folgende Sequenz der Moduln der Kähler-Differentiale exakt:

Differentiale und Körpererweiterungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine Körpererweiterung.

  • Hat Charakteristik 0, so ist gleich dem Transzendenzgrad von .
  • Hat Charakteristik , und ist endlich erzeugt, so gilt genau dann, wenn algebraisch und separabel ist. Ist beispielsweise eine nichttriviale inseparable Erweiterung, so ist ein eindimensionaler -Vektorraum.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ist , so ist ein freier -Modul mit Erzeugern .