Eilenberg-MacLane-Raum

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In der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Eilenberg-MacLane-Räume eine wichtige Klasse topologischer Räume, die einerseits in der Homotopietheorie als Bausteine dienen, um mittels Faserungen beliebige CW-Komplexe zusammenzusetzen, und andererseits die in der Differentialgeometrie wichtige Klasse der asphärischen Mannigfaltigkeiten umfassen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine Gruppe und eine natürliche Zahl ist ein zusammenhängender CW-Komplex ein Eilenberg-MacLane-Raum , wenn für seine Homotopiegruppen

und
für alle

gilt.

Existenz und Eindeutigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Falls und eine abelsche Gruppe oder falls und beliebig ist, dann gibt es einen CW-Komplex , der ein ist.

Dieser CW-Komplex ist bis auf Homotopieäquivalenz eindeutig bestimmt, in der Homotopietheorie werden diese CW-Komplexe deshalb einfach als "der" bezeichnet.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

-Räume sind insbesondere asphärische Räume, sie kommen in zahlreichen Anwendungen in der Mathematik vor.

-Räume für beliebige spielen in zahlreichen Anwendungen der algebraischen Topologie eine wichtige Rolle.

  • Der unendlich-dimensionale komplex-projektive Raum ist ein .
  • Das Produkt eines und eines ist ein .

Postnikov-Zerlegung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jeder CW-Komplex lässt sich als Postnikow-Turm zerlegen, d.h. als iterierte Faserung, deren Fasern Eilenberg-MacLane-Räume sind. Mittels Spektralsequenzen kann man dann versuchen, die Homotopiegruppen des CW-Komplexes aus den bekannten Homotopiegruppen der Eilenberg-MacLane-Räume zu berechnen.

Singuläre Kohomologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eilenberg-MacLane-Räume stellen die singuläre Kohomologie dar: für jeden topologischen Raum , jedes und jede abelsche Gruppe gilt

wobei die eckigen Klammern die Menge der Homotopieklassen stetiger Abbildungen bezeichnen.

Gruppenhomologie und Gruppenkohomologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gruppenhomologie einer Gruppe (mit Koeffizienten ) ist per Definition die singuläre Homologe des Eilenberg-MacLane-Raumes :

entsprechend für die Gruppenkohomologie:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • S. Eilenberg, S. MacLane: Relations between homology and homotopy groups of spaces Ann. of Math. 46 (1945) pp. 480–509
  • S. Eilenberg, S. MacLane: Relations between homology and homotopy groups of spaces. II Ann. of Math. 51 (1950) pp. 514–533
  • Kapitel 8.1 in: Edwin H. Spanier, Algebraic topology. Corrected reprint. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1981. ISBN 0-387-90646-0

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]