Dedekindsche Zeta-Funktion

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Die Dedekindsche Zeta-Funktion eines Zahlkörpers K ist definiert als

\zeta_K(s):=\sum_\mathfrak{a}{\mathfrak{N}(\mathfrak{a})}^{-s}

wobei \mathfrak{a} die ganzen Ideale des Zahlkörpers K durchläuft und \mathfrak{N}(\mathfrak{a}) deren Absolutnorm ist. Die Reihe \zeta_K(s) ist absolut und gleichmäßig konvergent im Bereich \Re (s)\geq 1+\delta für alle \delta >0 und es gilt

\zeta_K (s)=\prod_\mathfrak{p}\frac{1}{1-{\mathfrak{N}(\mathfrak{p})}^{-s}}

wobei \mathfrak{p} die Primideale von K durchläuft. Die Zeta-Funktion besitzt eine analytische Fortsetzung auf \mathbb{C}\setminus\{1\}.

Die Dedekindsche Zeta-Funktion stellt somit eine Verallgemeinerung der Riemannschen Zeta-Funktion dar, die mit dem Körper der rationalen Zahlen korrespondiert.

Literatur[Bearbeiten]