L-Funktion

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Der Prototyp aller L-Funktionen: die Riemannsche Zeta-Funktion in der komplexen Ebene. Die Null, also der Ursprung der komplexen Ebene, befindet sich genau in der Mitte des Schaubildes. Verschiedene Farben kodieren verschiedene Argumente der komplexen Funktionswerte. Helle Farbtöne zeigen Funktionswerte mit großem Absolutbetrag an, dunkle einen niedrigen nahe Null.

L-Funktionen werden in der analytischen Zahlentheorie und darauf aufbauenden, mathematischen Gebieten untersucht. Das prototypische Beispiel einer L-Funktion ist die Riemannsche Zeta-Funktion. L-Funktionen haben fundamentale Eigenschaften mit der Riemannschen Zeta-Funktion gemeinsam. Sie sind also Verallgemeinerungen der Riemannschen Zeta-Funktion. Zu den fundamentalen Eigenschaften der Riemannschen Zeta-Funktion zählen:

Basierend auf den grundlegenden Arbeiten von Leonhard Euler (1707–1783) zur heute so bezeichneten Riemannschen Zeta-Funktion, untersuchten die Mathematiker Bernhard Riemann (1826–1866), Peter Gustav Dirichlet (1805–1859), Richard Dedekind (1831–1916), Erich Hecke (1887–1947) und Emil Artin (1898–1962) grundlegende Unterklassen von L-Funktionen, die heute deren jeweiligen Namen tragen.

Die forschende Suche nach einer allgemeinen und eindeutigen Definition des Begriffs „L-Funktion“, welche die gewünschten und zum Teil noch unbewiesenen Eigenschaften von L-Funktionen beweisbar macht, ist noch nicht abgeschlossen. Vielmehr handelt es sich um ein wichtiges Ziel der analytischen Zahlentheorie, Klarheit über die sinnvollste Definition des Begriffs „L-Funktion“ zu gewinnen. In dieser Richtung hat Atle Selberg (1917–2007) im Jahr 1992 eine axiomatische Definition der Klasse aller L-Funktionen vorgeschlagen. Ob diese oder andere Definitionsvorschläge schon alle wünschenswerten Eigenschaften von L-Funktionen umfassen und unerwünschte ausschließen, ist noch nicht abschließend geklärt. Nach wie vor prägen mathematische Vermutungen (d. h. unbewiesene, aber für plausibel oder zumindest wünschenswert gehaltene Aussagen über Eigenschaften von L-Funktionen) die Theorie der L-Funktionen. Diese zählt somit weiterhin zu den Gebieten intensiver, mathematischer Forschung.

Die beiden Begriffe „L-Funktion“ und „Zeta-Funktion“ werden häufig synonym verwendet. Trotzdem zählen nicht alle mathematischen Funktionen, deren Namen den Begriff „Zeta-Funktion“ enthalten, zu den L-Funktionen. Beispielsweise gehört die Primzetafunktion nicht zu den L-Funktionen, da sie analytisch nicht auf die ganze komplexe Ebene fortgesetzt werden kann.

Ein erstes Verständnis des Themenbereichs der L-Funktionen erfordert mathematische Kenntnisse im Bereich der komplexen Zahlen, der Funktionentheorie, der analytischen und algebraischen Zahlentheorie sowie der Darstellungstheorie von Gruppen. Solche Vorkenntnisse können in diesem Artikel zwar teilweise erläutert, aber nicht umfassend dargestellt werden.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie in der Einleitung erwähnt, gibt es noch keine allgemeine, eindeutige und weithin anerkannte Definition des Begriffs „L-Funktion“. Der nachfolgende Definitionsansatz folgt dem Ansatz, den die beiden Mathematiker Henryk Iwaniec und Emmanuel Kowalski in ihrem Lehrbuch zur analytischen Zahlentheorie angegeben haben.[1] Dieser Definitionsansatz ist zwar stellenweise abstrakt und unvollständig in dem Sinne, dass er die „arithmetischen Objekte“, denen er eine „L-Funktion“ zuordnet, sowie den genauen Mechanismus dieser Zuordnung nicht näher spezifiziert. Er umfasst aber die Eigenschaften, die von L-Funktionen im Allgemeinen erwartet werden, und ermöglicht es somit, die entscheidenden Merkmale dieser Funktionen zu erläutern. Nebenbei werden auch noch weitere Grundbegriffe der Theorie der L-Funktionen eingeführt:

Es sei ein – im Rahmen dieser abstrakten Definition nicht näher spezifiziertes – arithmetisches Objekt, z. B. ein Dirichlet-Charakter oder ein algebraischer Zahlkörper. Diesem arithmetischen Objekt zugeordnet ist eine Funktion , die komplexe Argumente auf komplexe Funktionswerte abbildet. Iwaniec und Kowalski nennen eine solche Funktion eine L-Funktion, wenn die nachfolgenden, mathematischen Objekte zugeordnet sind (siehe D-1 bis D-6), die die anschließend genannten Bedingungen erfüllen (siehe B-1 bis B-9):

D-1: Dirichlet-Reihe und Euler-Produkt

Dem arithmetischen Objekt zugeordnet sind eine Dirichlet-Reihe

,

welche man auch eine L-Reihe nennt, und ein Euler-Produkt

.

Dabei ist für alle natürlichen Zahlen und . symbolisiert die Menge aller Primzahlen. Die natürliche Zahl heißt der Grad des Euler-Produkts oder auch der Grad der L-Funktion . Für jede Primzahl und jedes ist . Die komplexen Zahlen werden Lokale Wurzeln oder auch Lokale Parameter von bei genannt. Für ein gegebenes heißt der Ausdruck , also der -te Faktor im Euler-Produkt, der Euler-Faktor von bei .

D-2: Gamma-Faktor

Daneben ist dem Objekt ein so genannter Gamma-Faktor

zugeordnet, wobei die Gamma-Funktion, die Kreiszahl und den oben genannten Grad der L-Funktion bezeichnen. Die Parameter sind komplexe Zahlen. Sie heißen die Lokalen Parameter von im Unendlichen oder an der unendlichen Primstelle.

D-3: Führer (Konduktor)

Ebenfalls zugeordnet ist dem Objekt eine natürliche Zahl

,

der so genannte Führer oder Konduktor von . Primzahlen , die nicht teilen, heißen unverzweigt bzgl. .

D-4: Vollständige L-Funktion

Mit Hilfe der Dirichlet-Reihe, des Gamma-Faktors und des Führers, die zugeordnet sind, definiert man jetzt die so genannte vollständige L-Funktion von :

D-5: Wurzelzahl

Des Weiteren ist dem Objekt eine komplexe Zahl

zugeordnet. Diese komplexe Zahl heißt die Wurzelzahl von .

D-6: Duales, arithmetisches Objekt

Schließlich ist noch ein weiteres, arithmetisches Objekt zugeordnet, das im Rahmen dieser abstrakten Definition nicht näher spezifiziert wird. Es wird das Dual von genannt und mit bezeichnet. Wie im Fall von sind auch eine Dirichlet-Reihe

,

ein Euler-Produkt

mit , ein Gamma-Faktor und ein Führer sowie eine vollständige L-Funktion zugeordnet. Ist , so nennt man selbstdual, was nichts anderes bedeutet als für alle .[2]

Die oben genannten, dem arithmetischen Objekt zugeordneten Objekte müssen nun die folgenden Bedingungen erfüllen, damit die Definition einer L-Funktion nach Iwaniec und Kowalski erfüllt:

B-1: Absolutbetrag von lokalen Parametern bei

Für jede Primzahl und jedes ist .

B-2: Werte von lokalen Parametern bei unverzweigtem

Für alle Primzahlen , die bzgl. unverzweigt sind, und alle ist .

B-3: Anforderungen an die lokalen Parameter im Unendlichen

Die Parameter sind entweder reell oder kommen in Form komplex konjugierter Paare im Gamma-Faktor vor. Außerdem ist für jedes . Diese letzte Bedingungen sorgt dafür, dass keine Nullstellen in und keine Polstellen mit besitzt. bezeichnet den Realteil einer komplexen Zahl.

B-4: Absolute Konvergenz der Dirichlet-Reihe und des Euler-Produkts

Sowohl die Dirichlet-Reihe als auch das Euler-Produkt, die zugeordnet sind, konvergieren für absolut.

B-5: Übereinstimmung von L-Funktion, Dirichlet-Reihe und Euler-Produkt in einer komplexen Halbebene

Die L-Funktion, die Dirichlet-Reihe und das Euler-Produkt, die zugeordnet sind, stimmen in der komplexen Halbebene überein:

B-6: Analytische Fortsetzbarkeit und Polstellen

Schon aus den Bedingungen, die die zugeordnete Dirichlet-Reihe erfüllen muss, folgt die Holomorphie der vollständigen L-Funktion in der Halbebene . Diese muss aber auch analytisch fortsetzbar sein zu einer meromorphen Funktion der Ordnung 1 auf ganz , welche Polstellen höchstens in und besitzt.

B-7: Absolutbetrag der Wurzelzahl

Die Wurzelzahl besitzt den Absolutbetrag 1. Also: .

B-8: Anforderungen an die Objekte, die dem Dual von zugeordnet sind

Was das Dual von angeht, so muss gelten: für alle , sowie und . Das bedeutet: In der Dirichlet-Reihe, die zugeordnet ist, sind die -Koeffizienten gerade die komplex konjugierten Zahlen der -Koeffizienten in der Dirichlet-Reihe, die zugeordnet ist. Die Gamma-Faktoren und Führer, die bzw. zugeordnet sind, stimmen überein.

B-9: Funktionalgleichung

Die beiden vollständigen L-Funktionen, die bzw. zugeordnet sind, erfüllen die Funktionalgleichung

für alle .

Der Definitionsansatz von Iwaniec und Kowalski spiegelt die Tatsache wider, dass eine Funktion, die als L-Funktion angesehen wird, typischerweise als Zuordnung der L-Funktion zu einem mathematischen Objekt (z. B. Dirichlet-Charakter, algebraischer Zahlkörper) auftritt. Ihr Definitionsansatz ist abstrakt und unvollständig, da er die Frage offen lässt, was denn jene mathematischen Objekte genau sind und wie jene Zuordnung stattzufinden hat.

Atle Selberg (1917–2007)

Ohne Bezug zu anderen, mathematischen Objekten kommt der Definitionsansatz des norwegisch-US-amerikanischen Mathematikers Atle Selberg von 1992 aus. In einer nicht-abstrakten, eindeutigen Definition spezifiziert er eine Teilmenge der Menge aller Dirichlet-Reihen, deren Elemente bestimmte Eigenschaften erfüllen müssen: absolute Konvergenz der Dirichlet-Reihe, analytische Fortsetzbarkeit, Funktionalgleichung, Ramanujan-Vermutung [Anm. 1] und Euler-Produkt. Diese Teilmenge wird heute als Selberg-Klasse bezeichnet.[3]

Die alles überragende Hypothese und der motivierende Hintergrund für die Definition der Selberg-Klasse ist die so genannte Große Riemannsche Vermutung. Auf die Selberg-Klasse angewandt besagt diese Vermutung: keine Nullstelle einer analytischen Fortsetzung einer Dirichlet-Reihe in der Selberg-Klasse besitzt einen Realteil größer als 1/2. Diese Vermutung entspricht im Fall des (vermeintlich) einfachsten Elements der Selberg-Klasse (Riemannsche Dirichlet-Reihe samt ihrer analytischen Fortsetzung zur Riemannschen Zeta-Funktion) der Riemannschen Vermutung, welche bis heute weder bewiesen noch widerlegt ist. Die Große Riemannsche Vermutung konnte bislang für kein einziges Element der Selberg-Klasse bewiesen oder widerlegt werden.

Vor diesem Hintergrund sind auch die noch existierenden Unzulänglichkeiten bei der Definition des Begriffs „L-Funktion“ zu sehen: man möchte den Begriff „L-Funktion“ so definieren, dass L-Funktionen die Große Riemannsche Vermutung beweisbar erfüllen – andererseits konnte man bislang noch nicht einmal den einfachsten Fall (Riemannsche Vermutung für die Riemannsche Zeta-Funktion) beweisen, was ein Zeichen für mangelndes Verständnis der Riemannschen Zeta-Funktion sein könnte und damit eine eindeutige Definition des verallgemeinernden Begriffs der „L-Funktion“ erschwert.

Beispiele von L-Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dieser Abschnitt gibt einen Überblick über grundlegende Beispiele von L-Funktionen.

Riemannsche Zeta-Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Riemannsche Zeta-Funktion

Das einfachste Beispiel einer L-Funktion und gleichzeitig Ausgangspunkt für jede Definition des Begriffs „L-Funktion“ ist die Riemannsche Zeta-Funktion .[4] Eines der möglichen „arithmetischen Objekte“ im Sinne des Definitionsansatzes von Iwaniec und Kowalski, welchem diese L-Funktion zugeordnet werden kann, ist der Körper der rationalen Zahlen. Ihre Dirichlet-Reihe

also

Bernhard Riemann (1826–1866)

für alle , konvergiert für absolut. Zusammen mit ihrem ebenfalls absolut konvergenten Euler-Produkt gilt für :[5]

Da alle reell sind, nämlich gleich 1, ist selbstdual. Das zu duale Objekt ist also ebenfalls , somit . Der Grad des Euler-Produktes der Riemannschen Zeta-Funktion ist

.

Für ihre lokalen Parameter bei gilt:

für alle . Üblicherweise wird für die Riemannsche Zeta-Funktion der folgende Gamma-Faktor verwendet:

Der lokale Parameter im Unendlichen ist dann also 0. Der Führer von ist

,

so dass die vollständige Riemannsche Zeta-Funktion die Gestalt

annimmt. Diese Definition ist nur für gültig, da nur in dieser Halbebene die Riemannsche Zeta-Funktion über ihre Dirichlet-Reihe oder ihr Euler-Produkt definiert werden kann. Allerdings besitzt die vollständige Riemannsche Zeta-Funktion eine analytische Fortsetzung zu einer meromorphen Funktion auf der ganzen komplexen Zahlenebene. Diese Fortsetzung ist holomorph bis auf zwei einfache Polstellen in und mit den Residuen -1 bzw. 1.[6] Bezeichnet man auch die fortgesetzte, vollständige Riemannsche Zeta-Funktion mit , so erfüllt sie mit der Wurzelzahl

die Funktionalgleichung [7]

Damit besitzt auch die zunächst nur für durch ihre Dirichlet-Reihe oder Euler-Produkt definierte Riemannsche Zeta-Funktion eine analytische Fortsetzung zu einer meromorphen Funktion auf , welche einzig in nicht definiert ist, da sie dort über eine einfache Polstelle mit Residuum 1 verfügt. Behält man die Bezeichnung auch für die fortgesetzte Riemannsche Zeta-Funktion bei, so erfüllt sie die Funktionalgleichung [8]

Die (analytisch fortgesetzte) Riemannsche Zeta-Funktion birgt eine der wichtigsten Fragen der analytischen Zahlentheorie, nämlich die Frage nach der genauen Lage ihrer sogenannten nicht-trivialen Nullstellen. Diese liegen im kritischen Streifen . Die Riemannsche Vermutung aus dem Jahr 1859 – bis heute weder bewiesen noch widerlegt – stellt die These auf, alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion besäßen den Realteil 1/2. Ein Beweis dieser Vermutung würde besonders gute Abschätzungen über die Verteilung der Primzahlen gestatten.

Dirichletsche L-Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die nächsten Verwandten der Riemannschen Zeta-Funktion sind die Dirichletschen L-Funktionen, welche die Riemannsche Zeta-Funktion als Spezialfall enthalten. Sind in der zur Riemannschen Zeta-Funktion gehörenden Dirichlet-Reihe noch alle - Koeffizienten gleich 1, so werden diese bei Dirichletschen L-Funktionen mit Hilfe eines Dirichlet-Charakters definiert. Sie nehmen somit komplexe Werte mit dem Absolutbetrag 1 an oder sind gleich 0. Sei also für ein ein Dirichlet-Charakter modulo

Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859)

gegeben, d. h. ein Gruppenhomomorphismus von der Gruppe der bzgl. der Multiplikation invertierbaren Elemente des Restklassenrings in die Kreisgruppe der komplexen Zahlen mit Absolutbetrag 1. Ein solcher Dirichlet-Charakter heißt primitiv und der Führer von , wenn er nicht schon durch eine Komposition

aus einem Dirichlet-Charakter modulo mit einem echten Teiler von hervorgeht. Mit Hilfe eines solchen Dirichlet-Charakters definiert man die nachfolgende Abbildung, welche ebenfalls mit und als Dirichlet-Charakter modulo bezeichnet wird:[9]

Dirichletsche L-Funktion zum Dirichlet-Charakter modulo 7 mit für komplexe s mit -7 < Re(s) < 8 und -20 < Im(s) < 20: Die Verwandtschaft mit der Riemannschen Zeta-Funktion ist augenfällig. Trotzdem gibt es deutliche Unterschiede: Da es sich bei um einen nicht-trivialen Dirichlet-Charakter handelt, ist die abgebildete Funktion ganz. Sie besitzt also keine Polstelle wie die Riemannsche Zeta-Funktion in . ist ungerade und deshalb der lokale Parameter an der unendlichen Primstelle. Im Vergleich zur Riemannschen Zeta-Funktion sind die reellen (trivialen) Nullstellen der abgebildeten Funktion um eine Einheit nach rechts verschoben. Sie sind als schwarze Punkte in -1, -3, -5 usw. im Schaubild erkennbar.[10] Die schwarzen Punkte im vertikalen Streifen 0<Re(s)<1 gehören zu den unendlich vielen, nicht-reellen (nicht-trivialen) Nullstellen dieser Dirichletschen L-Funktion. Die Große Riemannsche Vermutung erwartet jede dieser nicht-trivialen Nullstellen auf der vertikalen Geraden Re(s)=1/2.

Die trivialen Dirichlet-Charaktere modulo besitzen den Funktionswert 1, falls , andernfalls 0. Der triviale Dirichlet-Charakter modulo 1 heißt der Hauptcharakter. Er erfüllt für alle .

Ist nun ein primitiver Dirichlet-Charakter modulo , so ordnet man diesem arithmetischen Objekt folgendermaßen eine L-Funktion zu: Mit

konvergiert die Dirichlet-Reihe (auch Dirichletsche L-Reihe genannt)

für absolut.[11] Mit den lokalen Parametern bei

gilt dies auch für das zugehörende Euler-Produkt, und man hat die Identität [12]

für . Wie bei der Riemannschen Zeta-Funktion ist

der Grad des Euler-Produkts. Setzt man , falls (in diesem Fall heißt gerade), und , falls (in diesem Fall heißt ungerade), so ist

der zugeordnete Gamma-Faktor. Jenes ist also der lokale Parameter an der unendlichen Primstelle. Der Führer des primitiven Dirichlet-Charakters ist auch der Führer der Dirichletschen L-Funktion:

.

Die vollständige Dirichletsche L-Funktion besitzt somit die Form [13]

eine Definition, die nur für gilt, da nur dort die verwendete Dirichlet-Reihe konvergiert. Eine solche vollständige Dirichletsche L-Funktion kann aber analytisch auf fortgesetzt werden. Dabei entsteht eine ganze Funktion, falls ein nicht-trivialer Dirichlet-Charakter ist.[14] Andernfalls hat die fortgesetzte Funktion einen einfachen Pol in mit Residuum 1. Das zu duale Objekt ist , also derjenige Dirichlet-Charakter, der aus durch komplexe Konjugation der Funktionswerte von hervorgeht, d. h.

für alle . Die Wurzelzahl kann mit Hilfe der Gaußschen Summe [15]

berechnet werden, in der sich die Summation über alle Restklassen modulo des Führers erstreckt sowie die Kreiszahl, die imaginäre Einheit und die Exponentialfunktion bezeichnen. Mit

erfüllt dann die fortgesetzte, vollständige Dirichletsche L-Funktion die Funktionalgleichung [16]

Wie von Wurzelzahlen gefordert, ist , da .[17] Die Dirichletschen L-Funktionen umfassen die Riemannsche Zeta-Funktion, da diese aus dem trivialen Dirichlet-Charakter modulo 1, also dem Hauptcharakter, entsteht.[18]

Der deutsche Mathematiker Peter Gustav Dirichlet verwendete 1837 die nach ihm benannten Dirichletschen L-Funktionen, um den Dirichletschen Primzahlsatz zu beweisen, wonach in jeder arithmetischen Folge (auch arithmetische Progression genannt)

d. h. in jeder Restklasse , unendlich viele Primzahlen liegen.[19] [20] Das entscheidende Argument im Beweis des Dirichletschen Primzahlsatzes ist die Erkenntnis, dass gilt für jeden nicht-trivialen Dirichlet-Charakter .[21]

Dedekindsche L-Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Dedekindsche Zeta-Funktion

Die Riemannsche Zeta-Funktion bezieht sich auf den Körper der rationalen Zahlen, dem einfachsten algebraischen Zahlkörper. Dedekindsche L-Funktionen verallgemeinern diesen Bezug auf beliebige algebraische Zahlkörper, also endlichen Körpererweiterungen von wie zum Beispiel . Sei also ein algebraischer Zahlkörper und sein Erweiterungsgrad über . Sei sein Ganzheitsring und seine Diskriminante. Weiter seien die Anzahl der reellen Einbettungen und die Anzahl der Paare komplexer Einbettungen von . Es ist also .

Richard Dedekind (1831–1916)

Die Dedekindsche L-Funktion (auch Dedekindsche Zeta-Funktion genannt) bzgl. ist für definiert durch [22]

In der Summe durchläuft alle vom Nullideal verschiedenen, ganzen Ideale von . bezeichnet die Absolutnorm von . Die Koeffizienten der Dirichlet-Reihe

sind also [23]

Sie geben zu jedem die Anzahl der ganzen Ideale von mit Absolutnorm an. Insbesondere sind alle Koeffizienten reell und deshalb selbstdual. Jene Dirichlet-Reihe konvergiert für absolut, ebenso wie das zugehörende Euler-Produkt

Dabei erstreckt sich das Produkt über alle vom Nullideal verschiedenen Primideale von . Es gilt für die Identität [24]

Diese Gestalt des Euler-Produkts zeigt noch nicht die einzelnen Euler-Faktoren . Der Grad des Euler-Produkts ist jedenfalls gleich dem Grad der Körpererweiterung : [25]

Die lokalen Parameter hängen vom Zerlegungsverhalten der Ideale ab: jedes Ideal besitzt eine, bis auf die Reihenfolge der Faktoren, eindeutige Primidealzerlegung

in Primideale , in der gilt: und für nur endlich viele Primideale . Für höchstens viele Primideale kann gelten. Solche teilen und man schreibt dafür . Der Exponent in der Primidealzerlegung von heißt der Verzweigungsindex von über . Ist , so gilt für ein , welches der Trägheitsindex von über genannt wird. Für jedes erfüllen die zum Ideal gehörenden Verzweigungs- und Trägheitsindizes die folgende Beziehung zum Grad von :

Mit Hilfe der Kenntnis der Trägheitsindizes für jedes lassen sich nun die lokalen Parameter bestimmen, nämlich über die Faktoren in der Identität [26]

indem man die Polynome im Polynomring faktorisiert.

Der Gamma-Faktor bzgl. ist [27]

Der Betrag der Diskriminante von ist der Konduktor von : [28]

Damit ist die vollständige L-Funktion von für gegeben durch

Diese besitzt eine analytische Fortsetzung auf die komplexe Zahlenebene mit einfachen Polen bei und .[29]

Dedekindsche L-Funktionen haben stets die Wurzelzahl 1: [30]

Somit genügt die analytisch fortgesetzte, vollständige L-Funktion von der Funktionalgleichung [31]

Die analytisch fortgesetzte Funktion gestattet nun auch die analytische Fortsetzung von , nämlich durch die Definition [32]

Dadurch wird zu einer meromorphen Funktion auf mit einem einfachen Pol in . Eine ihrer faszinierenden Eigenschaften ist die sogenannte analytische Klassenzahlformel, wonach das Residuum von in die folgende Gestalt annimmt: [33]

Dabei ist die Klassenzahl von , sein Regulator und die Anzahl der Einheitswurzeln, die in liegen.

Heckesche L-Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Heckesche L-Funktionen sind gemeinsame Verallgemeinerungen der Dirichletschen und der Dedekindschen L-Funktionen. Sie beziehen sich also einerseits auf beliebige algebraische Zahlkörper (wie die Dedekindschen L-Funktionen) und hängen andererseits von geeigneten Charakteren ab (wie die Dirichletschen L-Funktionen). Der deutsche Mathematiker Erich Hecke definierte die nach ihm benannten L-Funktionen mit Hilfe sogenannter Größencharaktere und konnte die bei L-Funktionen gewünschten Eigenschaften beweisen. Der modernere Zugang zu L-Funktionen mit Bezug zu beliebigen algebraischen Zahlkörpern und geeigneten Charakteren, der auch noch weitreichend verallgemeinert werden kann, verwendet Idelklassencharaktere.

L-Funktionen zu Größencharakteren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Heckesche L-Reihen zu Größencharakteren besitzen die Form[34]

Erich Hecke (1887–1947)

Wie bei Dedekindschen L-Funktionen bezeichnet einen algebraischen Zahlkörper mit Ganzheitsring und Erweiterungsgrad . Die Summe durchläuft wieder alle vom Nullideal verschiedenen, ganzen Ideale von und bezeichnet die Absolutnorm von . Die komplexen Werte beruhen auf einem Charakter (d. h. Gruppenhomomorphismus)

Dabei ist ein ganzes Ideal von und symbolisiert die Gruppe der zu teilerfremden, gebrochenen Ideale von . Das bedeutet: ein gebrochenes Ideal von liegt genau dann in , wenn der Exponent von in der Primidealzerlegung von gleich 0 ist für alle Primideale von , die das ganze Ideal teilen (d. h. ). Die Gruppe verallgemeinert die bei Dirichletschen L-Funktionen verwendeten Gruppen .

Ist nun ein beliebiger, solcher Charakter und setzt man für alle Ideale , die nicht teilerfremd zu sind, so konvergiert die oben angegebene L-Reihe in der Halbebene absolut. Wegen der Eindeutigkeit der Primidealzerlegung von Idealen in gilt die nachfolgende Gleichheit mit dem zugehörenden Euler-Produkt, welches alle von Null verschiedenen Primideale von durchläuft:[35]

Die eigentliche Herausforderung liegt nun aber in einer geeigneten Auswahl der Charaktere , so dass die für L-Funktionen typischen Eigenschaften bewiesen werden können. Die Charaktere mit diesen wünschenswerten Eigenschaften heißen Größencharaktere: Ein Größencharakter modulo eines ganzen Ideals des algebraischen Zahlkörpers ist ein Gruppenhomomorphismus[36]

zu dem es zwei Charaktere

gibt, so dass für alle zu teilerfremden Zahlen gilt:

Zur Erläuterung dieser Definition:

  • symbolisiert die Einheitengruppe des Restklassenrings modulo , besteht also aus allen Elementen von , die invertierbar sind.
  • bezeichnet den Minkowski-Raum bzgl. . Ist die Menge aller Einbettungen , so besteht aus allen -Tupeln , , mit für alle .[37] Addition und Multiplikation in der -dimensionale -Algebra sind komponentenweise definiert. Das Bild der Einbettungsfunktion liegt in .[38] Die multiplikative Gruppe besteht aus allen Elemente von , bei denen sämtliche Komponenten von Null verschieden sind. Ist , so ist für alle , denn die Einbettungen sind Körperhomomorphismen. Der Gruppenhomomorphismus , bettet also die multiplikative Gruppe in die multiplikative Gruppe ein.
  • Ein Element heißt teilerfremd zum ganzen Ideal , wenn das Hauptideal teilerfremd zu ist. Bezeichnet die Gruppe der zu teilerfremden Elemente und ist mit zwei zu teilerfremden , so hat man den wohldefinierten Gruppenhomomorphismus , , der auf den Quotienten der Restklassen von und modulo abbildet.[39]
  • Entsprechend seiner Definition zerfällt auf den zu teilerfremden Hauptidealen in einen "endlichen" Charakter und einen "unendlichen" Charakter . Korrekterweise müssten in dieser Zerlegungsbedingung durch und durch ersetzt werden, worauf der Kürze halber stets verzichtet wird. und sind durch eindeutig bestimmt.[40]

Ein Größencharakter modulo heißt primitiv, wenn er nicht als Einschränkung

eines Größencharakters modulo dargestellt werden kann, in der das ganze Ideal ein echter Teiler des ganzen Ideals ist. ist genau dann nicht primitiv, wenn sein "endlicher" Charakter über faktorisiert, d. h. wenn als Kompositum

geschrieben werden kann, in der der "endliche" Charakter eines Größencharakters modulo ist mit einem echten Teiler von . Der Führer eines Größencharakters modulo ist der kleinste Teiler von , so dass als Einschränkung eines Größencharakters dargestellt werden kann. Der Führer von lässt sich auch mit Hilfe des "endlichen" Charakters von definieren: ist der kleinste Teiler von , so dass über faktorisiert.[41]

Mit Hilfe des Begriffs eines primitiven Größencharakters lassen sich nun alle für L-Funktionen typischen Objekte definieren und die gewünschten Aussagen nachweisen: vervollständigte Heckesche L-Funktion, analytische Fortsetzung, Führer, Wurzelzahl und Funktionalgleichung. Dies ist der Weg, den Erich Hecke beschritten hat und im Lehrbuch von Neukirch detailliert beschrieben wird.[42] Dieser Zugang verwendet allerdings mathematische Objekte (ideale Zahlen), die aus heutiger Sicht als überholt gelten können und das eigentliche Wesen der vervollständigten Heckeschen L-Funktionen verschleiern.[43]

L-Funktionen zu Idelklassencharakteren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die modernere Theorie zur Behandlung von Heckeschen L-Funktionen, die auch noch weitreichend verallgemeinert werden kann, ist unter dem Namen Tate's Thesis (Doktorarbeit des US-amerikanischen Mathematikers John T. Tate) bekannt. Diese Theorie verwendet Idelklassencharaktere anstelle primitiver Größencharaktere[44], zu deren Definition die Begriffe Adel und Idel benötigt werden: Sei weiterhin ein algebraischer Zahlkörper und

John T. Tate (* 1925)

der Adelring von . Dabei durchläuft die unendliche Menge aller Stellen, d. h. die Menge aller Äquivalenzklassen nicht-trivialer Absolutbeträge von . bezeichnet die komplette Hülle (Vervollständigung) von bzgl. .[Anm. 2] Das Auslassungszeichen am Produktsymbol zeigt die Einschränkung im Vergleich zum direkten Produkt an, dass in jedem Adel für fast alle (d. h. für alle bis auf höchstens endlich viele) Stellen die Komponente im Ring der -ganzen Elemente von liegen muss. Der kanonische Einbettungshomomorphismus , für alle , ist wohldefiniert, da jedes für fast alle Stellen ganz ist.[45] Die Elemente der multiplikativen Gruppe der Einheiten (invertierbaren Elemente) von heißen die Idele von . Auch lässt sich als eingeschränktes Produkt schreiben:

.

Hier bedeutet das Auslassungszeichen, dass ein Element des direkten Produkts genau dann ein Idel ist, wenn für fast alle Stellen gilt. Vermöge , , für alle , lässt sich die Einheitengruppe von in die Gruppe der Idele einbetten, so dass man als Untergruppe der Idelgruppe auffassen kann, deren Elemente die Hauptidele von genannt werden. Die Quotientengruppe heißt die Idelklassengruppe von . Idelgruppe und Idelklassengruppe werden mit geeigneten Topologien versehen, so dass man anschließend von stetigen Abbildungen sprechen kann.[46] Ein Idelklassencharakter von ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus

,

der auf trivial ist, also dort ausschließlich den Wert 1 annimmt. Insofern kann man auch als Charakter der Idelklassengruppe auffassen, was den Namen "Idelklassencharakter" rechtfertigt. Ein solcher Charakter besitzt stets eine Zerlegung

in lokale Charaktere , die für fast alle Stellen von unverzweigt sind. Dies wird durch das Auslassungszeichen am Produktsymbol angezeigt. Dabei heißt ein lokaler Charakter unverzweigt, wenn seine Einschränkung auf trivial ist, andernfalls verzweigt.[47]

Der Führer eines Idelklassencharakters ist ein ganzes Ideal in , nämlich

Das Produkt durchläuft alle endlichen Stellen von . ist das durch bestimmte Primideal. Die Exponenten liegen in . Ist unverzweigt, so ist und trägt nichts zum Führer bei. Ist verzweigt, so ist die kleinste natürliche Zahl , so dass auf trivial ist. Dabei bezeichnet ein uniformisierendes Element.[48]

Die (nicht vervollständigte) L-Funktion zum Idelklassencharakter ist definiert durch

.

Das Produkt wird über alle endlichen Stellen von gebildet, für die unverzweigt ist. bezeichnet die Ordnung des Restklassenkörpers . Da unverzweigt ist, hängt der Wert von nicht von der Wahl des uniformisierenden Elements ab. Das Produkt auf der rechten Seite der Definition von konvergiert in einer rechten Halbebene der komplexen Zahlenebene absolut.[49]

Zur Vervollständigung von werden noch L-Faktoren an den unendlichen Stellen benötigt:[50]

.

Ist dabei eine reelle, unendliche Stelle, so ist die Vervollständigung gleich . Der lokale Charakter kann also mit einem Charakter identifiziert werden. Letzterer besitzt notwendig die Form mit eindeutig bestimmten Zahlen und . Der L-Faktor an der reellen, unendlichen Stelle ist dann definiert durch

Ist eine nicht-reelle, unendliche, also komplexe Stelle, so ist isomorph zu , und es gibt zwei Möglichkeiten der Identifikation von mit . Man wählt eine davon und kann dann als Charakter auffassen. Ein solcher Charakter von hat stets die Form mit eindeutig bestimmten Zahlen und . Der zu gehörende L-Faktor ist dann gegeben durch

[51]

Die vollständige L-Funktion zum Idelklassencharakter ist nun definiert als[52]

,

mit dem Absolutbetrag der Diskriminante von und der Norm des Führers von . Der Führer der L-Funktion setzt sich also zusammen aus dem Absolutbetrag der Diskriminante des Zahlkörpers und der Norm des Führers des Idelklassencharakters :[53]

.

Der Grad von ist der Grad der Körpererweiterung :[54]

.

Was die Funktionalgleichung der vollständigen L-Funktion angeht, so gibt es eine relle Zahl und eine Wurzelzahl mit , so dass gilt:[55]

Ist ein unitärer Idelklassencharakter, liegt also sein Bild auf dem Einheitskreis , so ist .[56]

Artinsche L-Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die bislang aufgeführten Beispiele von L-Funktionen beziehen sich direkt auf einzelne algebraische Zahlkörper und zugehörende Charaktere. Dem gegenüber sind Artinsche L-Funktionen den Darstellungen der Galoisgruppe einer galoisschen Körpererweiterung zugeordnet. Sie stehen in einer engen Beziehung zu den oben genannten L-Funktionen, verallgemeinern jene jedoch erheblich. Die initiale Beobachtung, welche zur Definition von Artinschen L-Funktionen motiviert, betrachtet den Isomorphismus

zwischen der Gruppe der invertierbaren Restklassen des Restklassenrings , , und der Galoisgruppe des Kreisteilungskörpers der -ten Einheitswurzeln. Dieser Gruppenisomorphismus ordnet der Restklasse einer Primzahl mit den Frobeniusautomorphismus zu, der jede -te Einheitswurzel auf abbildet und dadurch festgelegt ist. Mit Hilfe dieser Isomorphie lässt ich ein Dirichlet-Charakter auch als ein Charakter auffassen. kann als die allgemeine, lineare Gruppe des eindimensionalen -Vektorraums interpretiert werden. So erhält man aus dem ursprünglichen Dirichlet-Charakter eine eindimensionale Darstellung

,

mit deren Hilfe sich die dem Dirichlet-Charakter zugeordnete L-Reihe auch in der Form schreiben lässt:[57]

.
Emil Artin (1898–1962)

Ausgehend von dieser initialen Beobachtung sind Artinsche L-Reihen folgendermaßen definiert: Es sei eine endliche, galoissche Erweiterung von Zahlkörpern mit Galoisgruppe , ein endlich-dimensionaler -Vektorraum und

eine Darstellung von , also ein Gruppenhomomorphismus der Galoisgruppe in die allgemeine, lineare Gruppe der Vektorraumautomorphismen von . Sei nun ein von Null verschiedenes Primideal von und ein Primideal von , das über liegt, d. h. ist ein Faktor in der Primidealzerlegung des Ideals des Ganzheitsrings von . Die Zerlegungsgruppe von über ist die Untergruppe der Galoisgruppe . Man hat einen kanonischen, surjektiven Gruppenhomomorphismus

von der Zerlegungsgruppe auf die Galoisgruppe der Erweiterung endlicher Restkörper und . Dabei ist der Körperautomorphismus . Der Kern dieses surjektiven Gruppenhomomorphismus' heißt die Trägheitsgruppe von über und liefert den kanonischen Gruppenisomorphismus

.

Als Galoisgruppe einer Erweiterung endlicher Körper ist zyklisch und wird vom Frobeniusautomorphismus

erzeugt. Dessen Urbild in unter dem kanonischen Gruppenisomorphismus erzeugt die Faktorgruppe und wird der Frobeniusautomorphismus von über genannt. Es handelt sich bei diesem um einen Endomorphismus des Fixmoduls , eines Untervektorraums von . Es bezeichne die Dimension des Untervektorraums und die -dimensionale Einheitsmatrix.[58]

Die Artinsche L-Reihe zur Darstellung der Galoisgruppe ist nun definiert durch[59]

in der das Produkt alle von Null verschiedenen Primideale des Ganzheitsrings von durchläuft. Das erste Produkt ist die Kurzschreibweise dieser Definition, welche durch das zweite Produkt erläutert werden soll: Der Ausdruck liefert ein Polynom vom Grad in . Im Vergleich zum charakteristischen Polynom von ist in diesem Polynom die Reihenfolge der Koeffizienten umgekehrt. Die Schreibweise bedeutet, dass an die Stelle von in das Polynom eingesetzt werden soll. Die einzelnen Euler-Faktoren hängen nicht von der Wahl des über gelegenen Primideals ab, da eine andere Wahl lediglich zu einem bzgl. konjugierten Frobeniusautomorphismus führt, welcher das Polynom nicht ändert. Artinsche L-Reihen sind somit wohldefiniert. Sie konvergieren in der Halbebene absolut und für jedes gleichmäßig in . Sie stellen dort also analytische (holomorphe) Funktionen dar.[60]

Der Charakter einer Darstellung der Galoisgruppe wird definiert als die Funktion

Zwei Darstellungen und der Galoisgruppe heißen äquivalent, wenn die -Moduln und , also die abelschen Gruppen und , auf denen die als Automorphismengruppe operiert, isomorph sind. Dies ist genau dann der Fall, wenn ihre Charaktere und gleich sind.[61] Deshalb bezeichnet man die Artinsche L-Reihe in der Regel mit .[62] Entsprechend ihrer Definition durchläuft sie nur die endlichen Stellen von , nämlich die von Null verschiedenen Primideale von . Es fehlt noch der Gamma-Faktor an den unendlichen Stellen:

wobei

mit und sowie als der Zerlegungsgruppe einer über gelegenen Stelle . Sind und reell, so besteht nur aus der Identität und ist somit einelementig. Ist reell, aber komplex, so besitzt zwei Elemente: die Identität und das eindeutige Element in , welches die beiden komplexen Einbettungen von in , die zu gehören, vertauscht.[63][64]

Der Artin-Führer eines Charakters einer Darstellung von ist ein Ideal von , welches die Verzweigung von misst.[65] Mit seiner Hilfe lässt sich nun die vervollständigte Artinsche L-Funktion definieren durch

Dabei ist der Führer der L-Funktion , welcher eine Potenz des Betrags der Diskriminante von und die Norm des Artin-Führers von enthält. Diese Definition der vervollständigten Artinschen L-Funktion ist zunächst nur in der Halbebene gültig. kann aber meromorph auf die ganze komplexe Zahlenebene fortgesetzt werden. Bezeichnet man auch diese fortgesetzte L-Funktion mit , so erfüllt sie die Funktionalgleichung

mit einer komplexen Konstanten , welche den Absolutbetrag 1 besitzt und die Artinsche Wurzelzahl von genannt wird.[66] Der Grad von ist über bzw. über .[67]

Die bislang unbewiesene Artin-Vermutung besagt, jede Artinsche L-Funktion lasse sich analytisch (holomorph) von der Halbebene auf fortsetzen, sofern der Charakter von bei der Zerlegung in Charaktere zu irreduziblen Darstellungen von keinen trivialen Charakter enthält. Diese Vermutung gilt z. B. für eindimensionale Darstellungen, ist aber im allgemeinen Fall unbewiesen.[68] Die Existenz von Artinschen L-Funktionen, die im kritischen Streifen Polstellen besitzen, kann also bisher nicht ausgeschlossen werden.[69]

Artinsche L-Funktionen lassen sich nicht nur im Bezug auf Darstellungen von endlichen Galoiserweiterungen algebraischer Zahlkörper definieren. Allgemeiner kann man globale Körper zu Grunde legen, zu denen die algebraischen Zahlkörper gehören. Neben den Fall "algebraischer Zahlkörper" tritt dann auch der Fall "Funktionenkörper einer Variablen über einem endlichen Körper mit vielen Elementen."[70]

Vermutete Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man kann aus bekannten Beispielen ablesen, welche Eigenschaften eine Theorie der L-Funktionen haben sollte, und zwar sollte sie

  1. die Position der Null- und Polstellen ergeben,
  2. Funktionalgleichungen bezüglich der Vertikallinien Re (s) = constant liefern,
  3. spezielle und interessante Werte für ganzzahlige Argumente ergeben.

Detailuntersuchungen haben eine große Zahl plausibler Vermutungen erzeugt, zum Beispiel über den genauen Typ der gerade angegebenen Funktionalgleichungen. Da die Riemannsche ζ-Funktion durch ihre Werte bei geradzahligen positiven ganzen Zahlen (und negativen ungeradzahligen Werten) mit den Bernoullischen Zahlen zusammenhängt, liegt es nahe, nach einer Verallgemeinerung der Bernoullischen Zahlen in der angegebenen Theorie zu suchen. Man verwendet dazu die Körper der p-adischen Zahlen, wodurch gewisse Galois-Moduln beschrieben werden.

Die statistischen Eigenschaften der Nullstellenverteilung der L-Funktionen sind unter anderen deshalb von Interesse, weil sie mit allgemeinen Problemen zusammenhängt, zum Beispiel mit einer Hypothese über die Primzahlverteilung und mit anderen sogenannten verallgemeinerten Riemannschen Hypothesen. Der Zusammenhang mit den Theorien der Zufallsmatrizen und des sogenannten Quantenchaos ist ebenfalls von Interesse. Die fraktale Struktur der Verteilungen wurde ebenfalls mit sogenannten Skalenanalysen untersucht.[71] Die Selbstähnlichkeit der Nullstellenverteilung ist sehr bemerkenswert und wird durch einen großen Wert der fraktalen Dimension, ~ 1.9, charakterisiert. Dieser sehr hohe Wert gilt für mehr als 15 Größenordnungen der Nullstellenverteilung der Riemannschen ζ-Funktion und auch für die Nullstellen anderer L-Funktionen.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Iwaniec, Kowalski: Analytic Number Theory. 2004, Kapitel 5, Abschnitt 1, S. 94.
  2. Iwaniec, Kowalski: Analytic Number Theory. 2004, Kapitel 5, Abschnitt 1, S. 95.
  3. Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet-series. In: Enrico Bombieri u. a. (Hrsg.): Proceedings of the Amalfi Conference on Analytic Number Theory. 1992, S. 367–385; Collected Papers. Vol. II, Springer, 1991, S. 47–63.
  4. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 1, 1992, S. 439ff.
  5. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 1, Satz 1.1, 1992, S. 439.
  6. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 1, Theorem 1.6, 1992, S. 445.
  7. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 1, Theorem 1.6, 1992, S. 445.
  8. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 1, Korollar 1.7, 1992, S. 446.
  9. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 2, 1992, S. 454f.
  10. Tom M. Apostol: Note on the trivial zeros of Dirichlet L-functions. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 94, Nummer 1, S. 29–30. doi:10.1090/S0002-9939-1985-0781049-8
  11. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 2, Satz 2.1, 1992, S. 455.
  12. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 2, Satz 2.1, 1992, S. 455.
  13. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 2, 1992, S. 457.
  14. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 2, Theorem 2.8, 1992, S. 461.
  15. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 2, Definition 2.5, 1992, S. 459.
  16. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 2, Theorem 2.8, 1992, S. 461.
  17. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 2, Satz 2.6, 1992, S. 459, Theorem 2.8, S. 461.
  18. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 2, 1992, S. 455.
  19. P. G. L. Dirichlet: Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält. In: Abhand. Ak. Wiss. Berlin. (1837), S. 45–81; Werke I (1889), S.313–342.
  20. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 5, Satz 5.14, 1992, S. 490.
  21. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 5, Satz 5.13, 1992, S. 490.
  22. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 5, Definition 5.1, 1992, S. 478.
  23. Steuding: Value-Distribution of L-Functions. 2007, Kapitel 13, Abschnitt 1, S. 250.
  24. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 5, Satz 5.2, 1992, S. 478.
  25. Iwaniec, Kowalski: Analytic Number Theory. 2004, Kapitel 5, Abschnitt 10, S. 125.
  26. Steuding: Value-Distribution of L-Functions. 2007, Kapitel 13, Abschnitt 1, S. 250.
  27. Iwaniec, Kowalski: Analytic Number Theory. 2004, Kapitel 5, Abschnitt 10, S. 125.
  28. Iwaniec, Kowalski: Analytic Number Theory. 2004, Kapitel 5, Abschnitt 10, S. 125.
  29. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 5, Korollar 5.10, 1992, S. 487.
  30. Iwaniec, Kowalski: Analytic Number Theory. 2004, Kapitel 5, Abschnitt 10, S. 125.
  31. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 5, Korollar 5.10, 1992, S. 487.
  32. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 5, 1992, S. 488.
  33. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 5, Korollar 5.11, 1992, S. 488.
  34. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 6, S. 491.
  35. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 8, S. 515.
  36. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 6, Definition 6.1, S. 492.
  37. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 3, S. 464.
  38. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 1, Paragraph 5, S. 31.
  39. Cohen: Advanced Topics in Computational Number Theory. 2000, Kapitel 3, Abschnitt 3, S. 135.
  40. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 6, S. 492.
  41. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 6, S. 494.
  42. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraphen 6 bis 8, S. 491–525.
  43. Popescu et al. (Hrsg.): Arithmetic of L-Functions. 2011, Part III, Lecture 2, S. 377.
  44. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 8, Bemerkung 2, S. 525.
  45. Popescu et al. (Hrsg.): Arithmetic of L-Functions. 2011, Part III, Lecture 2, S. 377.
  46. Popescu et al. (Hrsg.): Arithmetic of L-Functions. 2011, Part III, Lecture 2, S. 378.
  47. Popescu et al. (Hrsg.): Arithmetic of L-Functions. 2011, Part III, Lecture 2, S. 378 und 379.
  48. Popescu et al. (Hrsg.): Arithmetic of L-Functions. 2011, Part III, Lecture 2, S. 382.
  49. Popescu et al. (Hrsg.): Arithmetic of L-Functions. 2011, Part III, Lecture 2, S. 379.
  50. Popescu et al. (Hrsg.): Arithmetic of L-Functions. 2011, Part III, Lecture 2, S. 383.
  51. Popescu et al. (Hrsg.): Arithmetic of L-Functions. 2011, Part III, Lecture 2, S. 358, 383 und 384.
  52. Popescu et al. (Hrsg.): Arithmetic of L-Functions. 2011, Part III, Lecture 2, S. 384, Abschnitt 3.2.
  53. Perelli: An Introduction to the Selberg Class of L-Functions. 2007, Kap. 3, Invariants, S. 17.
  54. Perelli: An Introduction to the Selberg Class of L-Functions. 2007, Kap. 2, Basic Theory of the Selberg Class, S. 7.
  55. Popescu et al. (Hrsg.): Arithmetic of L-Functions. 2011, Part III, Lecture 2, S. 384, Theorem 2.1.
  56. Popescu et al. (Hrsg.): Arithmetic of L-Functions. 2011, Part III, Lecture 2, S. 384, Abschnitt 3.2, mit S. 361, Proposition 1.1.
  57. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 10, Einleitung, 1992, S. 539.
  58. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 10, 1992, S. 539 und 540.
  59. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 10, Definition 10.1, 1992, S. 540.
  60. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 10, 1992, S. 540.
  61. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 10, 1992, S. 541.
  62. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 10, 1992, S. 544.
  63. Ehud de Shalit: Artin L Functions. In: An Introduction to the Langlands Program. Bernstein, Gelbart (Hrsg.), 2004, Kapitel 4, Abschnitt 3.1, S. 75, und Abschnitt 4.1, S. 80.
  64. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 12, 1992, S. 558f.
  65. Ehud de Shalit: Artin L Functions. In: An Introduction to the Langlands Program. Bernstein, Gelbart (Hrsg.), 2004, Kapitel 4, Abschnitt 4.2, S. 80.
  66. Ehud de Shalit: Artin L Functions. In: An Introduction to the Langlands Program. Bernstein, Gelbart (Hrsg.), 2004, Kapitel 4, Abschnitt 4.3, Theorem 4.1, S. 81.
  67. Iwaniec, Kowalski: Analytic Number Theory. 2004, Kapitel 4, Abschnitt 5.13, S. 141.
  68. Ehud de Shalit: Artin L Functions. In: An Introduction to the Langlands Program. Bernstein, Gelbart (Hrsg.), 2004, Kapitel 4, Conjecture 5.1, S. 83.
  69. Iwaniec, Kowalski: Analytic Number Theory. 2004, Kapitel 5, Abschnitt 5.13, S. 142.
  70. Ehud de Shalit: Artin L Functions. In: An Introduction to the Langlands Program. Bernstein, Gelbart (Hrsg.), 2004, Kapitel 4, Abschnitt 3.1, S. 75.
  71. O. Shanker: Random matrices, generalized zeta functions and self-similarity of zero distributions. In: J. Phys. A: Math. Gen. Band 39, 2006, S. 13983–13997, doi:10.1088/0305-4470/39/45/008.

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Die Ramanujan-Vermutung bezieht sich auf die Koeffizienten der Dirichlet-Reihe. Sie besagt: für beliebiges ist . Dabei darf die implizite Konstante im Landau-Symbol von abhängen.
  2. Erläuterung der Begriffe "Stelle" und "komplette Hülle": die Stellen von sind, bis auf Äquivalenz der Absolutbeträge, der gewöhnliche Absolutbetrag sowie die p-adischen Absolutbeträge , wobei den Exponenten der Primzahl in der Primfaktorzerlegung von bezeichnet und gesetzt wird. Die entsprechenden kompletten Hüllen sind der Körper der reellen Zahlen sowie die p-adischen Körper .