L-Funktion

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Der Prototyp aller L-Funktionen: die Riemannsche Zeta-Funktion in der komplexen Ebene. Die Null, also der Ursprung der komplexen Ebene, befindet sich genau in der Mitte des Schaubildes. Verschiedene Farben kodieren verschiedene Argumente der komplexen Funktionswerte. Helle Farbtöne zeigen Funktionswerte mit großem Absolutbetrag an, dunkle einen niedrigen nahe Null.

L-Funktionen werden in der analytischen Zahlentheorie und darauf aufbauenden, mathematischen Gebieten untersucht. Das prototypische Beispiel einer L-Funktion ist die Riemannsche Zeta-Funktion. L-Funktionen haben fundamentale Eigenschaften mit der Riemannschen Zeta-Funktion gemeinsam. Sie sind also Verallgemeinerungen der Riemannschen Zeta-Funktion. Zu den fundamentalen Eigenschaften der Riemannschen Zeta-Funktion zählen:

Basierend auf den grundlegenden Arbeiten von Leonhard Euler (1707 – 1783) zur heute so bezeichneten Riemannschen Zeta-Funktion, untersuchten die Mathematiker Bernhard Riemann (1826 – 1866), Peter Gustav Dirichlet (1805 – 1859), Richard Dedekind (1831 – 1916), Erich Hecke (1887 – 1947) und Emil Artin (1898 – 1962) verschiedene Unterklassen von L-Funktionen, die heute deren jeweiligen Namen tragen: Riemannsche L-Funktion (das ist die Riemannsche Zeta-Funktion), Dirichletsche, Dedekindsche, Heckesche und Artinsche L-Funktionen. Diese Unterklassen liefern grundlegende Beispiele von L-Funktionen.

Die forschende Suche nach einer allgemeinen und eindeutigen Definition des Begriffs "L-Funktion", welche die gewünschten und zum Teil noch unbewiesenen Eigenschaften von L-Funktionen beweisbar macht, ist noch nicht abgeschlossen. Vielmehr handelt es sich um ein wichtiges Ziel der analytischen Zahlentheorie, Klarheit über die sinnvollste Definition des Begriffs "L-Funktion" zu gewinnen. In dieser Richtung hat Atle Selberg (1917 – 2007) im Jahr 1992 eine axiomatische Definition der Klasse aller L-Funktionen vorgeschlagen. Ob diese oder andere Definitionsvorschläge schon alle wünschenswerten Eigenschaften von L-Funktionen umfassen und unerwünschte ausschließen, ist noch nicht abschließend geklärt. Nach wie vor prägen mathematische Vermutungen (d.h. unbewiesene, aber für plausibel oder zumindest wünschenswert gehaltene Aussagen über Eigenschaften von L-Funktionen) die Theorie der L-Funktionen. Diese zählt somit weiterhin zu den Gebieten intensiver, mathematischer Forschung.

Die beiden Begriffe "L-Funktion" und "Zeta-Funktion" werden häufig synonym verwendet. Trotzdem zählen nicht alle mathematischen Funktionen, deren Namen den Begriff "Zeta-Funktion" enthalten, zu den L-Funktionen. Beispielsweise gehört die Primzetafunktion nicht zu den L-Funktionen, da sie analytisch nicht auf die ganze komplexe Ebene fortgesetzt werden kann.

Ein erstes Verständnis des Themenbereichs der L-Funktionen erfordert mathematische Kenntnisse im Bereich der komplexen Zahlen, der Funktionentheorie, der analytischen und algebraischen Zahlentheorie sowie der Darstellungstheorie von Gruppen. Solche Vorkenntnisse können in diesem Artikel zwar teilweise erläutert, aber nicht umfassend dargestellt werden.

Definition[Bearbeiten]

Wie in der Einleitung erwähnt, gibt es noch keine allgemeine, eindeutige und weithin anerkannte Definition des Begriffs "L-Funktion". Der nachfolgende Definitionsansatz folgt dem Ansatz, den die beiden Mathematiker Henryk Iwaniec und Emmanuel Kowalski in ihrem Lehrbuch zur analytischen Zahlentheorie angegeben haben.[1] Dieser Definitionsansatz ist zwar stellenweise abstrakt und unvollständig in dem Sinne, dass er die "arithmetischen Objekte", denen er eine "L-Funktion" zuordnet, sowie den genauen Mechanismus dieser Zuordnung nicht näher spezifiziert. Er umfasst aber die Eigenschaften, die von L-Funktionen im Allgemeinen erwartet werden, und ermöglicht es somit, die entscheidenden Merkmale dieser Funktionen zu erläutern. Nebenbei werden auch noch weitere Grundbegriffe der Theorie der L-Funktionen eingeführt:

Es sei \textstyle f ein – im Rahmen dieser abstrakten Definition nicht näher spezifiziertes – arithmetisches Objekt, z.B. ein Dirichlet-Charakter oder ein algebraischer Zahlkörper. Diesem arithmetischen Objekt \textstyle f zugeordnet ist eine Funktion \textstyle L(f,s), die komplexe Argumente \textstyle s\in\mathbb C auf komplexe Funktionswerte abbildet. Iwaniec und Kowalski nennen eine solche Funktion \textstyle L(f,s) eine L-Funktion, wenn \textstyle f die nachfolgenden, mathematischen Objekte zugeordnet sind (siehe D-1 bis D-6), die die anschließend genannten Bedingungen erfüllen (siehe B-1 bis B-9):

D-1: Dirichlet-Reihe und Euler-Produkt

Dem arithmetischen Objekt \textstyle f zugeordnet sind eine Dirichlet-Reihe

\sum_{n\in\mathbb N} \lambda(f,n) n^{-s},

welche man auch eine L-Reihe nennt, und ein Euler-Produkt

\prod_{p\in\mathbb P} (1-\alpha_1(f,p)p^{-s})^{-1}\cdot\ldots\cdot (1-\alpha_d(f,p)p^{-s})^{-1}.

Dabei ist \textstyle \lambda(f,n)\in\mathbb C für alle natürlichen Zahlen \textstyle n\in\mathbb N und \textstyle \lambda(f,1)=1. \textstyle \mathbb P symbolisiert die Menge aller Primzahlen. Die natürliche Zahl \textstyle d\in\mathbb N heißt der Grad des Euler-Produkts oder auch der Grad der L-Funktion \textstyle L(f,s). Für jede Primzahl \textstyle p und jedes \textstyle i\in\{1,\ldots,d\} ist \textstyle \alpha_i(f,p)\in\mathbb C. Die komplexen Zahlen \textstyle \alpha_i(f,p) werden Lokale Wurzeln oder auch Lokale Parameter von \textstyle L(f,s) bei \textstyle p genannt. Für ein gegebenes p\in\mathbb P heißt der Ausdruck (1-\alpha_1(f,p)p^{-s})^{-1}\cdot\ldots\cdot (1-\alpha_d(f,p)p^{-s})^{-1}, also der p-te Faktor im Euler-Produkt, der Euler-Faktor von L(f,s) bei p.

D-2: Gamma-Faktor

Daneben ist dem Objekt \textstyle f ein so genannter Gamma-Faktor


\gamma(f,s)=\pi^{-ds/2} \prod_{j=1}^d \Gamma\Big(\frac{s+\kappa_j}{2}\Big)

zugeordnet, wobei \textstyle \Gamma die Gamma-Funktion, \textstyle \pi die Kreiszahl und \textstyle d den oben genannten Grad der L-Funktion bezeichnen. Die Parameter \textstyle \kappa_j sind komplexe Zahlen. Sie heißen die Lokalen Parameter von \textstyle L(f,s) im Unendlichen oder an der unendlichen Primstelle.

D-3: Führer (Konduktor)

Ebenfalls zugeordnet ist dem Objekt \textstyle f eine natürliche Zahl


q(f)\in\mathbb N
,

der so genannte Führer oder Konduktor von \textstyle L(f,s). Primzahlen p\in\mathbb P, die \textstyle q(f) nicht teilen, heißen unverzweigt bzgl. \textstyle L(f,s).

D-4: Vollständige L-Funktion

Mit Hilfe der Dirichlet-Reihe, des Gamma-Faktors und des Führers, die \textstyle f zugeordnet sind, definiert man jetzt die so genannte vollständige L-Funktion von \textstyle f:


\Lambda(f,s) = q(f)^{s/2} \gamma(f,s) L(f,s).

D-5: Wurzelzahl

Des Weiteren ist dem Objekt \textstyle f eine komplexe Zahl


\epsilon(f)\in\mathbb C

zugeordnet. Diese komplexe Zahl heißt die Wurzelzahl von \textstyle L(f,s).

D-6: Duales, arithmetisches Objekt

Schließlich ist \textstyle f noch ein weiteres, arithmetisches Objekt zugeordnet, das im Rahmen dieser abstrakten Definition nicht näher spezifiziert wird. Es wird das Dual von \textstyle f genannt und mit \textstyle \bar{f} bezeichnet. Wie im Fall von \textstyle f sind auch \textstyle \bar{f} eine Dirichlet-Reihe


\sum_{n\in\mathbb N} \lambda(\bar{f},n) n^{-s}
,

ein Euler-Produkt


\prod_{p\in\mathbb P} (1-\alpha_1(\bar{f},p)p^{-s})^{-1}\cdot\ldots\cdot (1-\alpha_{\bar{d}}(\bar{f},p)p^{-s})^{-1}

mit \textstyle \bar{d}\in\mathbb N, ein Gamma-Faktor \textstyle \gamma(\bar{f},s) und ein Führer \textstyle q(\bar{f}) sowie eine vollständige L-Funktion \textstyle \Lambda(\bar{f},s) zugeordnet. Ist \textstyle f=\bar{f}, so nennt man \textstyle L(f,s) selbstdual, was nichts anderes bedeutet als \textstyle \lambda(f,n)\in\mathbb R für alle \textstyle n\in\mathbb N. [2]


Die oben genannten, dem arithmetischen Objekt \textstyle f zugeordneten Objekte müssen nun die folgenden Bedingungen erfüllen, damit \textstyle L(f,s) die Definition einer L-Funktion nach Iwaniec und Kowalski erfüllt:

B-1: Absolutbetrag von lokalen Parametern bei \textstyle p

Für jede Primzahl \textstyle p und jedes \textstyle i\in\{1,\ldots,d\} ist \textstyle |\alpha_i(f,p)|<p.

B-2: Werte von lokalen Parametern bei unverzweigtem \textstyle p

Für alle Primzahlen \textstyle p, die bzgl. \textstyle L(f,s) unverzweigt sind, und alle \textstyle i\in\{1,\ldots,d\} ist \textstyle \alpha_i(f,p)\neq 0.

B-3: Anforderungen an die lokalen Parameter im Unendlichen

Die Parameter \textstyle \kappa_j sind entweder reell oder kommen in Form komplex konjugierter Paare im Gamma-Faktor \textstyle \gamma(f,s) vor. Außerdem ist \textstyle \Re(\kappa_j)>-1 für jedes \textstyle j\in\{1,\ldots,d\}. Diese letzte Bedingungen sorgt dafür, dass \textstyle \gamma(f,s) keine Nullstellen in \textstyle \mathbb C und keine Polstellen mit \textstyle \Re(s)\ge 1 besitzt. \textstyle \Re bezeichnet den Realteil einer komplexen Zahl.

B-4: Absolute Konvergenz der Dirichlet-Reihe und des Euler-Produkts

Sowohl die Dirichlet-Reihe als auch das Euler-Produkt, die \textstyle f zugeordnet sind, konvergieren für \textstyle \Re(s)>1 absolut.

B-5: Übereinstimmung von L-Funktion, Dirichlet-Reihe und Euler-Produkt in einer komplexen Halbebene

Die L-Funktion, die Dirichlet-Reihe und das Euler-Produkt, die \textstyle f zugeordnet sind, stimmen in der komplexen Halbebene \textstyle \Re(s)>1 überein:


L(f,s)=
\sum_{n\in\mathbb N} \lambda(f,n) n^{-s}=
\prod_{p\in\mathbb P} (1-\alpha_1(f,p)p^{-s})^{-1}\cdot\ldots\cdot (1-\alpha_d(f,p)p^{-s})^{-1}.

B-6: Analytische Fortsetzbarkeit und Polstellen

Schon aus den Bedingungen, die die \textstyle f zugeordnete Dirichlet-Reihe erfüllen muss, folgt die Holomorphie der vollständigen L-Funktion \textstyle \Lambda(f,s) in der Halbebene \textstyle \Re(s)>1. Diese muss aber auch analytisch fortsetzbar sein zu einer meromorphen Funktion der Ordnung 1 auf ganz \mathbb C, welche Polstellen höchstens in \textstyle s=0 und \textstyle s=1 besitzt.

B-7: Absolutbetrag der Wurzelzahl

Die Wurzelzahl \textstyle \epsilon(f)\in\mathbb C besitzt den Absolutbetrag 1. Also: \textstyle |\epsilon(f)|=1.

B-8: Anforderungen an die Objekte, die dem Dual von \textstyle f zugeordnet sind

Was das Dual \textstyle \bar{f} von \textstyle f angeht, so muss gelten: \textstyle \lambda(\bar{f},n) = \bar{\lambda}(f,n) für alle \textstyle n\in\mathbb N, sowie \textstyle \gamma(\bar{f},s)=\gamma(f,s) und \textstyle q(\bar{f})=q(f). Das bedeutet: In der Dirichlet-Reihe, die \textstyle \bar{f} zugeordnet ist, sind die \textstyle \lambda-Koeffizienten gerade die komplex konjugierten Zahlen der \textstyle \lambda-Koeffizienten in der Dirichlet-Reihe, die \textstyle f zugeordnet ist. Die Gamma-Faktoren und Führer, die \textstyle f bzw. \textstyle \bar{f} zugeordnet sind, stimmen überein.

B-9: Funktionalgleichung

Die beiden vollständigen L-Funktionen, die \textstyle f bzw. \textstyle \bar{f} zugeordnet sind, erfüllen die Funktionalgleichung


\Lambda(f,s)=\epsilon(f) \Lambda(\bar{f},1-s)

für alle \textstyle s\in\mathbb C.

Der Definitionsansatz von Iwaniec und Kowalski spiegelt die Tatsache wider, dass eine Funktion, die als L-Funktion angesehen wird, typischerweise als Zuordnung der L-Funktion zu einem mathematischen Objekt (z.B. Dirichlet-Charakter, algebraischer Zahlkörper) auftritt. Ihr Definitionsansatz ist abstrakt und unvollständig, da er die Frage offen lässt, was denn jene mathematischen Objekte genau sind und wie jene Zuordnung stattzufinden hat.

Atle Selberg (1917–2007)

Ohne Bezug zu anderen, mathematischen Objekten kommt der Definitionsansatz des norwegisch-US-amerikanische Mathematiker Atle Selberg von 1992 aus. In einer nicht-abstrakten, eindeutigen Definition spezifiziert er eine Teilmenge der Menge aller Dirichlet-Reihen, deren Elemente bestimmte Eigenschaften erfüllen müssen: absolute Konvergenz der Dirichlet-Reihe, analytische Fortsetzbarkeit, Funktionalgleichung, Ramanujan-Vermutung [Anm. 1] und Euler-Produkt. Diese Teilmenge wird heute als Selberg-Klasse bezeichnet. [3]

Die alles überragende Hypothese und der motivierende Hintergrund für die Definition der Selberg-Klasse ist die so genannte Große Riemannsche Vermutung. Auf die Selberg-Klasse angewandt besagt diese Vermutung: keine Nullstelle einer analytischen Fortsetzung einer Dirichlet-Reihe in der Selberg-Klasse besitzt einen Realteil größer als 1/2. Diese Vermutung entspricht im Fall des (vermeintlich) einfachsten Elements der Selberg-Klasse (Riemannsche Dirichlet-Reihe samt ihrer analytischen Fortsetzung zur Riemannschen Zeta-Funktion) der Riemannschen Vermutung, welche bis heute weder bewiesen noch widerlegt ist. Die Große Riemannsche Vermutung konnte bislang für kein einziges Element der Selberg-Klasse bewiesen oder widerlegt werden.

Vor diesem Hintergrund sind auch die noch existierenden Unzulänglichkeiten bei der Definition des Begriffs "L-Funktion" zu sehen: man möchte den Begriff "L-Funktion" so definieren, dass L-Funktionen die Große Riemannsche Vermutung beweisbar erfüllen – andererseits konnte man bislang noch nicht einmal den einfachsten Fall (Riemannsche Vermutung für die Riemannsche Zeta-Funktion) beweisen, was ein Zeichen für mangelndes Verständnis der Riemannschen Zeta-Funktion sein könnte und damit eine eindeutige Definition des verallgemeinernden Begriffs der "L-Funktion" erschwert.

Beispiele von L-Funktionen[Bearbeiten]

Dieser Abschnitt gibt einen Überblick über grundlegende Beispiele von L-Funktionen.

Riemannsche Zeta-Funktion[Bearbeiten]

Hauptartikel: Riemannsche Zeta-Funktion

Das einfachste Beispiel einer L-Funktion und gleichzeitig Ausgangspunkt für jede Definition des Begriffs "L-Funktion" ist die Riemannsche Zeta-Funktion \textstyle\zeta.[4] Eines der möglichen "arithmetischen Objekte" \textstyle f im Sinne des Definitionsansatzes von Iwaniec und Kowalski, welchem diese L-Funktion zugeordnet werden kann, ist der Körper \textstyle \mathbb Q der rationalen Zahlen. Ihre Dirichlet-Reihe

\sum_{n\in\mathbb N} \frac{1}{n^s}\, ,

also

Bernhard Riemann (1826–1866)
\lambda(\mathbb Q,n)=1

für alle \textstyle n\in\mathbb N, konvergiert für \textstyle\Re(s)>1 absolut. Zusammen mit ihrem ebenfalls absolut konvergenten Euler-Produkt gilt für \textstyle\Re(s)>1: [5]


\zeta(s)=L(\mathbb Q,s)=
\sum_{n\in\mathbb N} \frac{1}{n^s}=
\prod_{p\in\mathbb P} (1-p^{-s})^{-1}.

Da alle \textstyle \lambda(\mathbb Q,n) reell sind, nämlich gleich 1, ist \textstyle \zeta(s) selbstdual. Das zu \textstyle f=\mathbb Q duale Objekt ist also ebenfalls \textstyle\mathbb Q, somit \textstyle \bar{f}=\mathbb Q. Der Grad des Euler-Produktes der Riemannschen Zeta-Funktion ist

d=1.

Für ihre lokalen Parameter bei \textstyle p gilt:

\alpha(\mathbb Q,p)=1

für alle \textstyle p\in\mathbb P. Üblicherweise wird für die Riemannsche Zeta-Funktion der folgende Gamma-Faktor verwendet:


\gamma(\mathbb Q,s)=\pi^{-\frac{s}{2}}\,\Gamma\Big(\frac{s}{2}\Big).

Der lokale Parameter \textstyle\kappa im Unendlichen ist dann also 0. Der Führer von \textstyle\zeta ist

\textstyle q(\mathbb Q)=1,

so dass die vollständige Riemannsche Zeta-Funktion die Gestalt


\Lambda(\mathbb Q,s) := \gamma(\mathbb Q,s) L(\mathbb Q,s)=
\pi^{-\frac{s}{2}}\,\Gamma\Big(\frac{s}{2}\Big)\zeta(s)

annimmt. Diese Definition ist nur für \textstyle\Re(s)>1 gültig, da nur in dieser Halbebene die Riemannsche Zeta-Funktion über ihre Dirichlet-Reihe oder ihr Euler-Produkt definiert werden kann. Allerdings besitzt die vollständige Riemannsche Zeta-Funktion eine analytische Fortsetzung zu einer meromorphen Funktion auf der ganzen komplexen Zahlenebene. Diese Fortsetzung ist holomorph bis auf zwei einfache Polstellen in \textstyle s=0 und \textstyle s=1 mit den Residuen -1 bzw. 1. [6] Bezeichnet man auch die fortgesetzte, vollständige Riemannsche Zeta-Funktion mit \textstyle \Lambda, so erfüllt sie mit der Wurzelzahl

\epsilon(\mathbb Q)=1

die Funktionalgleichung [7]


\Lambda(\mathbb Q,s) =
\Lambda(\mathbb Q,1-s).

Damit besitzt auch die zunächst nur für \textstyle \Re(s)>1 durch ihre Dirichlet-Reihe oder Euler-Produkt definierte Riemannsche Zeta-Funktion eine analytische Fortsetzung zu einer meromorphen Funktion auf \mathbb C, welche einzig in \textstyle s=1 nicht definiert ist, da sie dort über eine einfache Polstelle mit Residuum 1 verfügt. Behält man die Bezeichnung \textstyle \zeta auch für die fortgesetzte Riemannsche Zeta-Funktion bei, so erfüllt sie die Funktionalgleichung [8]


\pi^{-\frac{s}{2}}\,\Gamma\Big(\frac{s}{2}\Big)\zeta(s)=
\pi^{-\frac{1-s}{2}}\,\Gamma\Big(\frac{1-s}{2}\Big)\zeta(1-s).

Die (analytisch fortgesetzte) Riemannsche Zeta-Funktion birgt eine der wichtigsten Fragen der analytischen Zahlentheorie, nämlich die Frage nach der genauen Lage ihrer sogenannten nicht-trivialen Nullstellen. Diese liegen im kritischen Streifen \textstyle 0<\Re(s)<1. Die Riemannsche Vermutung aus dem Jahr 1859 – bis heute weder bewiesen noch widerlegt – stellt die These auf, alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion besäßen den Realteil 1/2. Ein Beweis dieser Vermutung würde besonders gute Abschätzungen über die Verteilung der Primzahlen gestatten.

Dirichletsche L-Funktionen[Bearbeiten]

Die nächsten Verwandten der Riemannschen Zeta-Funktion sind die Dirichletschen L-Funktionen, welche die Riemannsche Zeta-Funktion als Spezialfall enthalten. Für ein \textstyle m\in\mathbb N sei ein Dirichlet-Charakter modulo \textstyle m


\chi: (\mathbb Z / m)^\times \longrightarrow S^1 := \{z\in\mathbb C: |z|=1\}
Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859)

gegeben, d.h. ein Gruppenhomomorphismus von der Gruppe der bzgl. der Multiplikation invertierbaren Elemente des Restklassenrings \textstyle\mathbb Z/m in die Kreisgruppe \textstyle S^1 der komplexen Zahlen mit Absolutbetrag 1. Ein solcher Dirichlet-Charakter \textstyle \chi heißt primitiv und \textstyle m der Führer von \textstyle \chi, wenn er nicht schon durch eine Komposition


(\mathbb Z / m)^\times \longrightarrow
(\mathbb Z / m')^\times \;\stackrel{\chi'}{\longrightarrow}\; S^1

aus einem Dirichlet-Charakter \textstyle\chi' modulo \textstyle m' mit einem echten Teiler \textstyle m' von \textstyle m hervorgeht. Mit Hilfe eines solchen Dirichlet-Charakters \textstyle \chi definiert man die nachfolgende Abbildung, welche ebenfalls mit \textstyle \chi und als Dirichlet-Charakter modulo \textstyle m bezeichnet wird:[9]

\chi: \mathbb{Z} \to \mathbb{C}

\chi(n) = \begin{cases}\chi(n\operatorname{mod} m) & \text{falls}\quad\operatorname{ggT}(n,m)=1 \\ 0 &
\text{falls}\quad\operatorname{ggT}(n,m)>1. \end{cases}
Dirichletsche L-Funktion zum Dirichlet-Charakter \textstyle\chi modulo 7 mit \textstyle \chi(3) = \operatorname{exp}(i\pi/3) für komplexe s mit -7 < Re(s) < 8 und -20 < Im(s) < 20: Die Verwandtschaft mit der Riemannschen Zeta-Funktion ist augenfällig. Trotzdem gibt es deutliche Unterschiede: Da es sich bei \chi um einen nicht-trivialen Dirichlet-Charakter handelt, ist die abgebildete Funktion ganz. Sie besitzt also keine Polstelle wie die Riemannsche Zeta-Funktion in s=1. \chi ist ungerade und deshalb \kappa=1 der lokale Parameter an der unendlichen Primstelle. Im Vergleich zur Riemannschen Zeta-Funktion sind die reellen (trivialen) Nullstellen der abgebildeten Funktion um eine Einheit nach rechts verschoben. Sie sind als schwarze Punkte in -1, -3, -5, usw. im Schaubild erkennbar. [10] Die schwarzen Punkte im vertikalen Streifen 0<Re(s)<1 gehören zu den unendlich vielen, nicht-reellen (nicht-trivialen) Nullstellen dieser Dirichletschen L-Funktion. Die Große Riemannsche Vermutung erwartet jede dieser nicht-trivialen Nullstellen auf der vertikalen Geraden Re(s)=1/2.

Die trivialen Dirichlet-Charaktere \textstyle \chi^0 modulo m besitzen den Funktionswert 1, falls \textstyle \operatorname{ggT}(n,m)=1, andernfalls 0. Der triviale Dirichlet-Charakter modulo 1 heißt der Hauptcharakter. Er erfüllt \chi(n)=1 für alle n\in\N.

Ist nun \textstyle\chi: \mathbb{Z} \to \mathbb{C} ein primitiver Dirichlet-Charakter modulo \textstyle m, so ordnet man diesem arithmetischen Objekt \chi folgendermaßen eine L-Funktion zu: Mit

\lambda(\chi,n):=\chi(n)

konvergiert die Dirichlet-Reihe (auch Dirichletsche L-Reihe genannt)


L(\chi,s):=\sum_{n\in\mathbb N} \frac{\lambda(\chi,n)}{n^s}=\sum_{n\in\mathbb N} \frac{\chi(n)}{n^s}

für \textstyle \Re(s)>1 absolut. [11] Mit den lokalen Parametern bei \textstyle p

\alpha(\chi,p):=\chi(p)

gilt dies auch für das zugehörende Euler-Produkt, und man hat die Identität [12]


L(\chi,s)=
\sum_{n\in\mathbb N} \frac{\chi(n)}{n^s}=
\prod_{p\in\mathbb P} (1-\chi(p)p^{-s})^{-1}

für \textstyle \Re(s)>1. Wie bei der Riemannschen Zeta-Funktion ist

d=1

der Grad des Euler-Produkts. Setzt man \textstyle \kappa=0, falls \textstyle\chi(-1)=1 (in diesem Fall heißt \textstyle\chi gerade), und \textstyle \kappa=1, falls \textstyle\chi(-1)=-1 (in diesem Fall heißt \textstyle\chi ungerade), so ist


\gamma(\chi,s)=\pi^{-\frac{s}{2}}\,\Gamma\Big(\frac{s+\kappa}{2}\Big)

der \textstyle\chi zugeordnete Gamma-Faktor. Jenes \textstyle\kappa\in\{0, 1\} ist also der lokale Parameter an der unendlichen Primstelle. Der Führer \textstyle m des primitiven Dirichlet-Charakters \textstyle\chi ist auch der Führer der Dirichletschen L-Funktion:

q(\chi)=m.

Die vollständige Dirichletsche L-Funktion besitzt somit die Form [13]


\Lambda(\chi,s) := q(\chi)^\frac{s}{2} \gamma(\chi,s) L(\chi,s)=
\Big(\frac{m}{\pi}\Big)^{\frac{s}{2}} \Gamma\Big(\frac{s+\kappa}{2}\Big)\sum_{n\in\mathbb N} \frac{\chi(n)}{n^s},

eine Definition, die nur für \textstyle\Re(s)>1 gilt, da nur dort die verwendete Dirichlet-Reihe konvergiert. Eine solche vollständige Dirichletsche L-Funktion kann aber analytisch auf \textstyle\mathbb C fortgesetzt werden. Dabei entsteht eine ganze Funktion, falls \textstyle\chi ein nicht-trivialer Dirichlet-Charakter ist. [14] Andernfalls hat die fortgesetzte Funktion einen einfachen Pol in \textstyle s=1 mit Residuum 1. Das zu \textstyle\chi duale Objekt ist \overline{\chi}, also derjenige Dirichlet-Charakter, der aus \textstyle\chi durch komplexe Konjugation der Funktionswerte von \textstyle\chi hervorgeht, d.h.

\textstyle\overline{\chi}(n)=\overline{\chi(n)}

für alle \textstyle n\in\mathbb N. Die Wurzelzahl \textstyle\epsilon(\chi) kann mit Hilfe der Gaußschen Summe [15]


\tau(\chi)=
\sum_{x \operatorname{mod} q(\chi)} \chi(x)\exp(2 \pi i x/q(\chi))

berechnet werden, in der sich die Summation über alle Restklassen modulo des Führers \textstyle q(\chi)=m erstreckt sowie \textstyle\pi die Kreiszahl, \textstyle i die imaginäre Einheit und \operatorname{exp} die Exponentialfunktion bezeichnen. Mit

\epsilon(\chi) =
\begin{cases}
\frac{\tau(\chi)}{\sqrt{q(\chi)}} & \text{falls}\quad\chi(-1)=1 \\
\frac{\tau(\chi)}{i\sqrt{q(\chi)}} & \text{falls}\quad\chi(-1)=-1
\end{cases}

erfüllt dann die fortgesetzte, vollständige Dirichletsche L-Funktion die Funktionalgleichung [16]


\Lambda(\chi,s) =
\epsilon(\chi)\Lambda(\overline{\chi},1-s).

Wie von Wurzelzahlen gefordert, ist \textstyle |\epsilon(\chi)|=1, da \textstyle |\tau(\chi)|=\sqrt{q(\chi)}. [17] Die Dirichletschen L-Funktionen umfassen die Riemannsche Zeta-Funktion, da diese aus dem trivialen Dirichlet-Charakter modulo 1, also dem Hauptcharakter, entsteht. [18]

Der deutsche Mathematiker Peter Gustav Dirichlet verwendete 1837 die nach ihm benannten Dirichletschen L-Funktionen, um den Dirichletschen Primzahlsatz zu beweisen, wonach in jeder arithmetischen Folge (auch arithmetische Progression genannt)


a, a\pm n, a\pm 2n, a\pm 3n, \ldots, \text{ mit}\operatorname{ggT}(a,n)=1, \text{ wobei }a,n\in\mathbb N,

d.h. in jeder Restklasse \textstyle a\operatorname{mod} n, unendlich viele Primzahlen liegen. [19] [20] Das entscheidende Argument im Beweis des Dirichletschen Primzahlsatzes ist die Erkenntnis, dass \textstyle \Lambda(\chi,1)\neq 0 gilt für jeden nicht-trivialen Dirichlet-Charakter \textstyle\chi. [21]

Dedekindsche L-Funktionen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Dedekindsche Zeta-Funktion

Dedekindsche L-Funktionen verallgemeinern die Riemannsche Zeta-Funktion von deren Bezug zum Körper \textstyle \mathbb Q der rationalen Zahlen auf beliebige algebraische Zahlkörper, also endlichen Körpererweiterungen von \textstyle \mathbb Q wie zum Beispiel \textstyle \mathbb Q(\sqrt[3]{2}). Sei also K ein algebraischer Zahlkörper und n_K=[K:\mathbb Q]\in\mathbb N sein Erweiterungsgrad über \mathbb Q. Sei \mathcal O_K sein Ganzheitsring und d_K\in\Z seine Diskriminante. Weiter seien n_1\in\mathbb N_0 die Anzahl der reellen Einbettungen und n_2\in\mathbb N_0 die Anzahl der Paare komplexer Einbettungen von K. Es ist also n_K=n_1+2 n_2.

Richard Dedekind (1831–1916)

Die Dedekindsche L-Funktion (auch Dedekindsche Zeta-Funktion genannt) bzgl. K ist für \Re(s)>1 definiert durch [22]


\zeta_K(s):=L(K,s):=\sum_{0\neq\mathfrak{a}\subset\mathcal O_K} \frac{1}{\mathcal N(\mathfrak{a})^s}.

In der Summe durchläuft \mathfrak{a} alle vom Nullideal \{0\} verschiedenen, ganzen Ideale von \mathcal O_K. \mathcal N(\mathfrak{a})\in\N bezeichnet die Absolutnorm von \mathfrak{a}. Die Koeffizienten der Dirichlet-Reihe


\sum_{0\neq\mathfrak{a}\subset\mathcal O_K} \frac{1}{\mathcal N(\mathfrak{a})^s} =
\sum_{n\in\N} \frac{\lambda(K,n)}{n^s}

sind also [23]


\lambda(K,n)=
\#\{0\neq\mathfrak{a}\subset\mathcal O_K \mid \mathcal N(\mathfrak{a})=n \}\in\N_0.

Sie geben zu jedem n\in\N die Anzahl der ganzen Ideale von \mathcal O_K mit Absolutnorm n an. Insbesondere sind alle Koeffizienten \lambda(K,n) reell und deshalb L(K,s) selbstdual. Jene Dirichlet-Reihe konvergiert für \Re(s)>1 absolut, ebenso wie das zugehörende Euler-Produkt


\prod_{0\neq\mathfrak{p}\subset\mathcal O_K} \frac{1}{1-\mathcal N(\mathfrak{p})^{-s}}.

Dabei erstreckt sich das Produkt über alle vom Nullideal verschiedenen Primideale \mathfrak{p} von \mathcal O_K. Es gilt für \Re(s)>1 die Identität [24]


L(K,s)=
\sum_{0\neq\mathfrak{a}\subset\mathcal O_K} \frac{1}{\mathcal N(\mathfrak{a})^s}=
\sum_{n\in\N} \frac{\lambda(K,n)}{n^s}=
\prod_{0\neq\mathfrak{p}\subset\mathcal O_K} \frac{1}{1-\mathcal N(\mathfrak{p})^{-s}}.

Diese Gestalt des Euler-Produkts zeigt noch nicht die einzelnen Euler-Faktoren 
(1-\alpha_1(K,p)p^{-s})^{-1}\cdot\ldots\cdot (1-\alpha_d(K,p)p^{-s})^{-1}
. Der Grad des Euler-Produkts ist jedenfalls gleich dem Grad der Körpererweiterung K/\mathbb Q: [25]


d=[K:\mathbb Q]=n_K=n_1+2 n_2.

Die lokalen Parameter \alpha_j(K,p) hängen vom Zerlegungsverhalten der Ideale 
(p):=p\mathcal O_K
ab: jedes Ideal (p) besitzt eine, bis auf die Reihenfolge der Faktoren, eindeutige Primidealzerlegung


(p)=\prod_{\mathfrak{p}} \mathfrak{p}^{e_\mathfrak{p}}

in Primideale 0\neq\mathfrak{p}\subset\mathcal O_K, in der gilt: e_\mathfrak{p}\in\N_0 und e_\mathfrak{p}>0 für nur endlich viele Primideale \mathfrak{p}. Für höchstens n_K viele Primideale \mathfrak{p} kann e_\mathfrak{p}>0 gelten. Solche \mathfrak{p} teilen (p) und man schreibt dafür \mathfrak{p}|(p). Der Exponent e_\mathfrak{p} in der Primidealzerlegung von (p) heißt der Verzweigungsindex von \mathfrak{p} über p. Ist \mathfrak{p}|(p), so gilt 
\mathcal N(\mathfrak{p})=p^{f_\mathfrak{p}}
für ein f_\mathfrak{p}\in\N, welches der Trägheitsindex von \mathfrak{p} über p genannt wird. Für jedes p\in\mathbb P erfüllen die zum Ideal (p) gehörenden Verzweigungs- und Trägheitsindizes die folgende Beziehung zum Grad von K/\mathbb Q:


\sum_{\mathfrak{p}|(p)} e_\mathfrak{p} f_\mathfrak{p} = n_K.

Mit Hilfe der Kenntnis der Trägheitsindizes für jedes p\in\mathbb P lassen sich nun die lokalen Parameter \alpha_j(K,p) bestimmen, nämlich über die Faktoren (1-p^{-s f_\mathfrak{p}})^{-1} in der Identität [26]


\prod_{0\neq\mathfrak{p}\subset\mathcal O_K} \frac{1}{1-\mathcal N(\mathfrak{p})^{-s}} =
\prod_{p\in\mathbb P}\;\prod_{\mathfrak{p}|(p)} (1-p^{-s f_\mathfrak{p}})^{-1},

indem man die Polynome X^{f_\mathfrak{p}}-1 im Polynomring \C[X] faktorisiert.

Der Gamma-Faktor bzgl. L(K,s) ist [27]


\gamma(K,s)=
\pi^{-\frac{s\cdot n_K}{2}}\,
\Gamma\Big(\frac{s}{2}\Big)^{n_1+n_2}\,
\Gamma\Big(\frac{s+1}{2}\Big)^{n_2}.

Der Betrag der Diskriminante von K ist der Konduktor von L(K,s): [28]


q(K)=|d_K|.

Damit ist die vollständige L-Funktion von K für \Re(s)>1 gegeben durch


\Lambda(K,s):=
q(K)^\frac{s}{2}\,\gamma(K,s)\,L(K,s)=
\Big(\frac{|d_K|}{\pi^{n_K}}\Big)^\frac{s}{2}\,
\Gamma\Big(\frac{s}{2}\Big)^{n_1+n_2}\,
\Gamma\Big(\frac{s+1}{2}\Big)^{n_2}\,
\sum_{0\neq\mathfrak{a}\subset\mathcal O_K} \frac{1}{\mathcal N(\mathfrak{a})^s}.

Diese besitzt eine analytische Fortsetzung auf die komplexe Zahlenebene mit einfachen Polen bei s=0 und s=1. [29]

Dedekindsche L-Funktionen haben stets die Wurzelzahl 1: [30]


\epsilon(K)=1.

Somit genügt die analytisch fortgesetzte, vollständige L-Funktion von K der Funktionalgleichung [31]


\Lambda(K,s)=\Lambda(K,1-s).

Die analytisch fortgesetzte Funktion \Lambda(K,s) gestattet nun auch die analytische Fortsetzung von L(K,s), nämlich durch die Definition [32]


L(K,s):=\frac{\Lambda(K,s)}{
|d_k|^\frac{s}{2}\,\gamma(K,s)}=
\Big(\frac{\pi^{n_K}}{|d_K|}\Big)^\frac{s}{2}\cdot
\frac{\Lambda(K,s)}{
\Gamma\big(\frac{s}{2}\big)^{n_1+n_2}\,
\Gamma\big(\frac{s+1}{2}\big)^{n_2}}.

Dadurch wird L(K,s) zu einer meromorphen Funktion auf \C mit einem einfachen Pol in s=1. Eine ihrer faszinierenden Eigenschaften ist die sogenannte analytische Klassenzahlformel, wonach das Residuum von L(K,s) in s=1 die folgende Gestalt annimmt: [33]


\operatorname{Res}_{s=1}\, L(K,s) =
\frac{2^{n_1}(2\pi)^{n_2}}{w\sqrt{|d_K|}}\,h R.

Dabei ist h\in\N die Klassenzahl von K, R\in\R sein Regulator und w\in\N die Anzahl der Einheitswurzeln, die in K liegen.

Vermutete Eigenschaften[Bearbeiten]

Man kann aus bekannten Beispielen ablesen, welche Eigenschaften eine Theorie der L-Funktionen haben sollte, und zwar sollte sie

  1. die Position der Null- und Polstellen ergeben,
  2. Funktionalgleichungen bezüglich der Vertikallinien Re (s) = constant liefern,
  3. spezielle und interessante Werte für ganzzahlige Argumente ergeben.

Detailuntersuchungen haben eine große Zahl plausibler Vermutungen erzeugt, zum Beispiel über den genauen Typ der gerade angegebenen Funktionalgleichungen. Da die Riemannsche ζ-Funktion durch ihre Werte bei geradzahligen positiven ganzen Zahlen (und negativen ungeradzahligen Werten) mit den Bernoullischen Zahlen zusammenhängt, liegt es nahe, nach einer Verallgemeinerung der Bernoullischen Zahlen in der angegebenen Theorie zu suchen. Man verwendet dazu die Körper der p-adischen Zahlen, wodurch gewisse Galois-Moduln beschrieben werden.

Die statistischen Eigenschaften der Nullstellenverteilung der L-Funktionen sind unter anderen deshalb von Interesse, weil sie mit allgemeinen Problemen zusammenhängt, zum Beispiel mit einer Hypothese über die Primzahlverteilung und mit anderen sogenannten verallgemeinerten Riemannschen Hypothesen. Der Zusammenhang mit den Theorien der Zufallsmatrizen und des sogenannten Quantenchaos ist ebenfalls von Interesse. Die fraktale Struktur der Verteilungen wurde ebenfalls mit sogenannten Skalenanalysen untersucht.[34]. Die Selbstähnlichkeit der Nullstellenverteilung ist sehr bemerkenswert und wird durch einen großen Wert der fraktalen Dimension, ~ 1.9, charakterisiert. Dieser sehr hohe Wert gilt für mehr als 15 Größenordnungen der Nullstellenverteilung der Riemannschen ζ-Funktion und auch für die Nullstellen anderer L-Funktionen.

Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer[Bearbeiten]

Hauptartikel: Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer

Einer der wichtigsten Problemkreise, sowohl für die Geschichte der verallgemeinerten L-Funktionen als auch hinsichtlich vieler nach wie vor ungeklärter Fragen, ist durch eine Vermutung gegeben, die Anfang der 1960er Jahre von Bryan Birch und Peter Swinnerton-Dyer aufgestellt wurde.

Diese Vermutung bezieht sich auf eine elliptische Kurve E. Das Problem, das gelöst werden soll, ist die Vorhersage des Rangs von E über der Menge \mathbb Q der rationalen Zahlen (oder einem anderen Zahlkörper): Es soll also für E die Zahl der freien Generatoren der Gruppe ihrer rationalen Punkte bestimmt werden.

Ein großer Teil der Untersuchungen auf diesem Gebiet wurde durch den Gesichtspunkt vereinheitlicht, eine bessere Kenntnis der L-Funktionen zu erreichen. Dies war ein paradigmatisches Ziel der neuen entstandenen Theorie der L-Funktionen.

Die allgemeine Theorie[Bearbeiten]

Diese Entwicklung führte innerhalb weniger Jahre zum Langlands-Programm, zu dem sie gewissermaßen komplementär ist. Langlands Untersuchungen beziehen sich weitgehend auf Artinsche L-Funktionen, die, wie die Heckeschen L-Funktionen, mehrere Jahrzehnte früher definiert wurden, und auf L-Funktionen, die mit allgemeinen automorphen Darstellungen zusammenhängen.

Allmählich wurde so klar, in welchem Sinn die ζ-Funktionen von Hasse bzw. Weil auf dieselben L-Funktionen führen wie die von Riemann. Man erkannte, dass eine bestimmte Form von Analysis, eine Art automorpher Analysis, vorausgesetzt werden musste.
Der allgemeine Fall vereinigt in konzeptueller Hinsicht eine Vielzahl unterschiedlicher Forschungsprogramme.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Iwaniec, Kowalski: Analytic Number Theory. 2004, Kapitel 5, Abschnitt 1, S. 94.
  2. Iwaniec, Kowalski: Analytic Number Theory. 2004, Kapitel 5, Abschnitt 1, S. 95.
  3. Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet-series, in: Proc. Amalfi Conf. Analytic Number Theory, Editor: Enrico Bombieri et al., S. 367–385, 1992; Collected Papers, Vol. II, S. 47–63, Springer, 1991.
  4. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 1, S. 439ff.
  5. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 1, Satz 1.1, S. 439.
  6. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 1, Theorem 1.6, S. 445.
  7. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 1, Theorem 1.6, S. 445.
  8. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 1, Korollar 1.7, S. 446.
  9. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 2, S. 454f.
  10. Tom M. Apostol: Note on the trivial zeros of Dirichlet L-functions, Proceedings of the American Mathematical Society, Band 94, Nummer 1, S. 29–30. doi:10.1090/S0002-9939-1985-0781049-8
  11. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 2, Satz 2.1, S. 455.
  12. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 2, Satz 2.1, S. 455.
  13. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 2, S. 457.
  14. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 2, Theorem 2.8, S. 461.
  15. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 2, Definition 2.5, S. 459.
  16. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 2, Theorem 2.8, S. 461.
  17. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 2, Satz 2.6, S. 459, Theorem 2.8, S. 461.
  18. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 2, S. 455.
  19. Dirichlet, P. G. L., Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält, Abhand. Ak. Wiss. Berlin (1837), 45–81; Werke I (1889), 313–342.
  20. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 5, Satz 5.14, S. 490.
  21. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 5, Satz 5.13, S. 490.
  22. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 5, Definition 5.1, S. 478.
  23. Steuding: Value-Distribution of L-Functions. 2007, Kapitel 13, Abschnitt 1, S. 250.
  24. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 5, Satz 5.2, S. 478.
  25. Iwaniec, Kowalski: Analytic Number Theory. 2004, Kapitel 5, Abschnitt 10, S. 125.
  26. Steuding: Value-Distribution of L-Functions. 2007, Kapitel 13, Abschnitt 1, S. 250.
  27. Iwaniec, Kowalski: Analytic Number Theory. 2004, Kapitel 5, Abschnitt 10, S. 125.
  28. Iwaniec, Kowalski: Analytic Number Theory. 2004, Kapitel 5, Abschnitt 10, S. 125.
  29. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 5, Korollar 5.10, S. 487.
  30. Iwaniec, Kowalski: Analytic Number Theory. 2004, Kapitel 5, Abschnitt 10, S. 125.
  31. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 5, Korollar 5.10, S. 487.
  32. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 5, S. 488.
  33. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 5, Korollar 5.11, S. 488.
  34. O. Shanker: Random matrices, generalized zeta functions and self-similarity of zero distributions. In: J. Phys. A: Math. Gen.. 39, 2006, S. 13983–13997. doi:10.1088/0305-4470/39/45/008.

Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. Die Ramanujan-Vermutung bezieht sich auf die Koeffizienten \textstyle\lambda(f,n) der Dirichlet-Reihe. Sie besagt: für beliebiges \textstyle\epsilon > 0 ist \textstyle \lambda(f,n)=O(n^\epsilon). Dabei darf die implizite Konstante im Landau-Symbol \textstyle O von \textstyle \epsilon abhängen.