Differenzkern

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Ein Differenzkern (auch: Egalisator, engl.: equalizer) ist eine Verallgemeinerung des mathematischen Begriffes Kern auf beliebige Kategorien.

Der Differenzkern eines Paares von Abbildungen , zwischen zwei Mengen und ist die Teilmenge von , auf der und übereinstimmen, d. h.

Ein Differenzkern zweier Morphismen in einer beliebigen Kategorie ist das durch die folgenden äquivalenten Eigenschaften charakterisierte Unterobjekt von :

  • und zu jedem Pfeil , für den gilt, gibt es genau einen Pfeil , so dass .

wobei

und der Differenzkern auf der rechten Seite der oben beschriebene Differenzkern in der Kategorie der Mengen ist, nicht der in der betrachteten Kategorie.

Des Weiteren soll der Isomorphismus in Punkt 2 natürlich in sein, das heißt: Nennen wir die Familie von Isomorphismen

dann gilt für alle und alle für die der folgende Ausdruck definiert ist, dass

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In den Kategorien der Gruppen, abelschen Gruppen, Vektorräume oder Ringe ist der Differenzkern zweier Morphismen durch den Differenzkern der zugrundeliegenden Mengenabbildungen gegeben.