Untermodul

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Der Begriff Untermodul verallgemeinert den Begriff des Untervektorraumes und den Begriff der Untergruppe einer kommutativen Gruppe auf Moduln.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Rechtsmodul über dem unitären Ring . Eine Untergruppe von heißt Untermodul, wenn abgeschlossen ist bezüglich der Multiplikation mit Elementen aus . Das bedeutet: Für alle und alle ist . Entsprechend wird der Begriff für Linksmoduln erklärt.

Beispiele und weitere Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jeder Modul besitzt den trivialen Untermodul und den Untermodul .
  • Ist ein Rechtsmodul und , so ist ein Untermodul von . Es ist der von erzeugte zyklische Untermodul.
  • Ist ein Rechtsideal in dem Ring , so ist ein Untermodul von als Rechtsmodul.
  • Sind Untermoduln von , so ist ein Untermodul von . Es ist der kleinste Untermodul von , der und enthält.
  • Ist eine Familie von Untermoduln, so ist ein Untermodul. Es ist der größte Untermodul, der in allen enthalten ist.
  • Die Vereinigung von Untermoduln ist im Allgemeinen kein Untermodul. So sind Untermoduln von , aber .

Summe von Untermoduln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ist ein Rechtsmodul über dem Ring und eine Familie von Untermoduln, so ist
ein Untermodul. Es ist die Summe der Untermoduln .
  • Sei eine Teilmenge von . Dann ist
der kleinste Untermodul von , welcher die Menge enthält. Ist
so erzeugt den Untermodul . Man sagt auch ist ein Erzeugendensystem von .
  • Wird der Untermodul von einer endlichen Menge erzeugt, so heißt endlich erzeugt. Ist die Menge , so ist .
  • Ein Modul heißt einfach, wenn der einzige echte Untermodul ist. Ein Untermodul von heißt maximal, wenn für alle Untermoduln mit gilt: oder . Ein Modul ist genau dann einfach, wenn jeder zyklische Untermodul schon gleich ist. Ist ein echter Untermodul eines endlich erzeugten Moduls , so ist in einem maximalen Untermodul enthalten.[1]

Innere direkte Summe von Untermoduln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die innere direkte Summe von Moduln wird wie die innere direkten Summe von Vektorräumen definiert. Im Unterschied zu einem Vektorraum hat nicht jeder Modul eine Basis, sodass ein Modul normalerweise nicht die innere direkte Summe von zyklischen Untermoduln ist.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Familie von Untermoduln des Rechtsmoduls und . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  • Für alle ist: .
  • Für alle endlichen Teilmengen gilt: Ist , wobei für alle , so gilt für alle . Jedes lässt sich daher auf genau eine Weise als Summe von Elementen aus den darstellen.

Trifft eine dieser Aussagen zu, so heißt die innere direkte Summe der . Diese direkte Summe wird mit

bezeichnet. Der Untermodul von heißt direkter Summand von , wenn es einen Untermodul von gibt mit . Der Modul heißt direkt unzerlegbar oder einfach unzerlegbar, wenn er keinen direkten Summanden ungleich hat.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Ist ein Vektorraum über dem Körper Schiefkörper und eine Basis , so ist .
  2. Jeder einfache Modul ist direkt unzerlegbar.
  3. Ist ein Integritätsring und sein Quotientenkörper, so ist als Modul über unzerlegbar.
  4. ist kein direkter Summand, da es keinen injektiven Morphismus gibt

Besondere Untermoduln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Maximale Untermoduln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Untermodul heißt maximal, wenn in keinem echten Untermodul von M echt enthalten ist.

ist genau dann ein maximaler Untermodul, wenn der Faktormodul einfach ist. Jeder echte Untermodul eines endlich erzeugten Moduls ist in einem maximalen Untermodul[2]. Das heißt insbesondere hat jeder Ring maximale Ideale. Es gibt aber auch Moduln, die keine maximalen Untermoduln enthalten. So hat keine maximalen Untermoduln.

Große Untermoduln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für einen Untermodul von sind äquivalent:

  • Für alle Untermoduln mit ist .
  • Zu jedem gibt es ein mit .

Erfüllt ein Untermodul eine der äquivalenten Eigenschaften, dann heißt groß in . Manchmal wird dies mit abgekürzt.[3]

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • In als -Modul ist jeder Untermodul groß.
  • Das letzte Beispiel kann verallgemeinert werden. Ist eine torsionsfreie abelsche Gruppe, so ist eine Untergruppe genau dann groß, wenn die Faktorgruppe ein Torsionsmodul ist.
  • Ist eine Primzahl und eine natürliche Zahl größer 1, so ist in jeder Untermodul groß.
  • In einem halbeinfachen Modul ist nur der Modul selber groß in sich.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ist groß in und ein Untermodul von mit , so ist groß in .
  • Ist groß in und groß in , so ist groß in .
  • Ist eine nach oben filtrierende Familie von Untermoduln von und ist groß in jedem , so ist groß in .
  • Sind zwei Familien von Untermoduln von und ist die Summe der direkt, so gilt: Sind alle groß in , so ist groß in .
  • Ein Untermodul heißt abgeschlossen , wenn er in keinem echten Obermodul groß ist. Zu jedem Untermodul gibt es einen abgeschlossenen Untermodul , so dass groß in ist.
  • Sind zwei Untermoduln von mit , so gibt es einen Obermodul von , welcher maximal bezüglich der Eigenschaft ist. Es ist groß in . Es ist ein Durchschnittskomplement von . Ein Durchschnittskomplement ist keineswegs eindeutig bestimmt.
  • Ist ein Untermodul von , so gibt es zu ein Durchschnittskomplement von . Zu gibt es ein Durchschnittskomplement von , so dass ein Untermodul von ist. Es ist groß in und abgeschlossen in .

Der Sockel eines Moduls[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Modul, so ist der Durchschnitt aller großen Untermoduln gleich der Summe aller einfachen Untermoduln. Dieser Untermodul heißt Sockel von . Er ist der größte halbeinfache Untermodul von . Er wird mit bezeichnet. Ist

ein Homomorphismus zwischen Moduln , so ist ein Untermodul von . Insbesondere heißt dies, dass der Sockel ein -Untermodul von ist, wenn der Endmorphismenring von ist. Der Sockel des Ringes als -Rechtsmodul ist ein zweiseitiges Ideal. Außerdem ist

Der Sockel ist ein Präradikal. Er ist mit direkten Summen vertauschbar. Das heißt: Ist eine Familie von Untermoduln, deren Summe direkt ist, so ist

.

Kleine Untermoduln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Untermodul heißt klein in , wenn für alle Untermoduln von gilt: Ist , so ist .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • ist in jedem Obermodul klein.
  • In einer freien abelschen Gruppe ist nur der Modul klein.
  • In ist jede endlich erzeugte Untergruppe klein als -Untermodul.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die endliche Summe kleiner Untermoduln ist klein.
  • Ist ein Homomorphismus und ist klein in , so ist klein in .
  • Ein zyklischer Untermodul ist genau dann nicht klein in , wenn es einen maximalen Untermodul gibt, mit .

Das Radikal eines Moduls[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Summe aller kleinen Untermoduln von ist gleich dem Durchschnitt aller maximalen Untermoduln von . Dieser Untermodul heißt Radikal von . Er wird mit bezeichnet.

Eigenschaften des Radikals[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ist ein Homomorphismus, so ist ein Untermodul von (Siehe auch Jacobson-Radikal). Das Radikal ist ein Unterfunktor der Identität. Insbesondere ist ein zweiseitiges Ideal.
  • . Der kleinste Untermodul von mit ist .
  • Das Radikal ist mit direkten Summen vertauschbar. Das heißt: Ist eine Familie von Moduln, so gilt: .
  • ist ein Untermodul von .
  • Ist endlich erzeugt, so ist klein in .
  • Ist endlich erzeugt und das Ideal ein Untermodul von , dann ist klein in . Dies ist das Lemma von Nakayama.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Kasch: Moduln und Ringe, 2.3.11
  2. Kasch: Moduln und Ringe. S. 34.
  3. Frank W. Anderson, Kent R. Fuller: Rings and Categories of Modules (= Graduate Texts in Mathematics 13). 2nd edition. Springer, New York NY u. a. 1992, ISBN 3-540-97845-3, S. 72.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7.
  • Robert Wisbauer: Grundlagen der Modul- und Ringtheorie. Reinhard Fischer, München 1988, ISBN 3-88927-044-1.