Diskalgebra

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Die Diskalgebra (manchmal auch Discalgebra) ist eine in den mathematischen Teilgebieten Funktionalanalysis und Funktionentheorie betrachtete Algebra. Viele funktionalanalytische Eigenschaften der Diskalgebra sind direkte Folgen funktionentheoretischer Sätze.

Definition[Bearbeiten]

Bezeichnet \mathbb{D}:=\{z\in \C;\, |z|\le 1\} die Kreisscheibe, so sei A(\mathbb{D}) die Menge aller stetigen Funktionen f:\mathbb{D}\rightarrow \C, die im Inneren \mathbb{D}^\circ holomorph sind.

Die Definitionen

\begin{array}{rcl}(\lambda f)(z) &:=& \lambda f(z) \\
(f+g)(z) &:=& f(z)+g(z)\\
(fg)(z) &:=& f(z)g(z)\\
(f^*)(z) &:=& \overline{f(\overline{z})}\\
\end{array},

wobei \lambda\in \C, z\in \mathbb{D}, f,g \in A(\mathbb{D}), machen A(\mathbb{D}) zu einer komplexen Algebra mit Involution *, zur sogenannten Diskalgebra.[1]

Offenbar ist A(\mathbb{D}) eine Unteralgbra der Funktionenalgebra C(\mathbb{D}) der stetigen Funktionen \mathbb{D}\rightarrow \C. A(\mathbb{D}) ist bzgl. der Supremumsnorm, die C(\mathbb{D}) zu einer Banachalgebra macht, abgeschlossen, denn gleichmäßige Limiten holomorpher Funktionen sind wieder holomorph. A(\mathbb{D}) ist daher selbst eine Banachalgebra, sogar mit isometrischer Involution, das heißt es gilt \|f^*\| = \|f\| für alle f\in A(\mathbb{D}). Die Diskalgebra ist auch Unterbanachalgebra von H^{\infty}, der Banachalgebra aller auf \mathbb{D}^\circ holomorphen und beschränkten Funktionen mit der Supremumsnorm.

Mittels Einschränkung auf den Rand \partial \mathbb{D} von \mathbb{D} erhält man eine Abbildung A(\mathbb{D})\rightarrow C(\partial \mathbb{D}), \, f\mapsto f|_{\partial \mathbb{D}}. Diese Abbildung ist nach dem Maximumprinzip für holomorphe Funktionen ein isometrischer Homomorphismus. In diesem Sinne kann man A(\mathbb{D}) auch als Unterbanachalgebra von C(\partial \mathbb{D}) auffassen. A(\mathbb{D}) ist dann die Menge aller stetigen Funktionen auf \partial \mathbb{D}, die sich holomorph nach \mathbb{D}^\circ fortsetzen lassen. Dies wäre eine alternative Definition der Diskalgebra.

Die Diskalgebra wird von \mathrm{id}_\mathbb{D} erzeugt, das heißt, die kleinste Unterbanachalgebra, die diese Funktion enthält, ist die Diskalgebra selbst. [2]

Der Gelfandraum[Bearbeiten]

Für jedes z\in \mathbb{D} ist die Punktauswertung \delta_z:A(\mathbb{D})\rightarrow \C,\, f\mapsto f(z) ein Homomorphismus und damit ein Element des Gelfand-Raums X_{A(\mathbb{D})} der Diskalgebra. Man kann zeigen, dass mit den \delta_z bereits alle Homomorphismen der Diskalgebra mit Werten in den komplexen Zahlen gefunden sind, und dass die Abbildung \delta \colon \mathbb{D}\rightarrow X_{A(\mathbb{D})},\, z\mapsto \delta_z ein Homöomorphismus ist, wobei die sogenannte Gelfandtopologie durch die relative schwach-*-Topologie auf X_a\subset A^\prime gegeben ist. Der Gelfandraum der Diskalgebra kann daher mit der Kreisscheibe identifiziert werden. Bei dieser Identifikation ist die Gelfand-Transformation die Identität auf der Diskalgebra.

Die Nicht-Regularität der Diskalgebra[Bearbeiten]

Auf dem Gelfandraum X_A einer kommutativen Banachalgebra betrachtet man die sogenannte Hülle-Kern-Topologie, die durch die Abschlussoperation

\overline{E} := \{\delta\in X_A;\, \ker(\delta) \supset \bigcap_{\phi\in E}\ker(\phi)\}

gegeben ist. Fällt diese mit der Gelfandtopologie zusammen, so nennt man die Banachalgebra regulär. Die Diskalgebra ist ein Beispiel für eine nicht-reguläre Banachalgebra.[3] In der Tat ist bei der Identifikation X_{A(\mathbb{D})} = \mathbb{D} die Menge E:= \{0\}\cup\{\frac{1}{n};\, n\in \N\} abgeschlossen in der Gelfandtopologie. Ist nun f\in\bigcap_{n\in \N}\ker(\delta_{\frac{1}{n}}), so folgt f(\frac{1}{n})=0 für alle n, und aus dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen folgt f=0. Daher ist \bigcap_{\phi\in E}\ker(\phi) = \{0\} und es folgt \overline{E}=X_A bzgl. der Hülle-Kern-Topologie, letztere kann daher nicht mit der Gelfandtopologie übereinstimmen.

Der Schilowrand[Bearbeiten]

Identifiziert man X_{A(\mathbb{D})} mit \mathbb{D}, so fällt der topologische Rand \partial \mathbb{D}=\{z\in \C;\, |z|= 1\} mit dem Schilow-Rand zusammen. Dazu ist zu zeigen, dass jede Funktion der Diskalgbera, die wegen der vorgenommenen Identifikation ja mit ihrer Gelfand-Transformierten übereinstimmt, ihr Betragsmaximum auf dem Rand der Kreisscheibe annimmt, aber das ist genau die Aussage des Maximumprinzips für holomorphe Funktionen.[4]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §1.16
  2. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §19.3
  3. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §23.9
  4. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §22.5 für n=1