Diskalgebra

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Die Diskalgebra (manchmal auch Discalgebra) ist eine in den mathematischen Teilgebieten Funktionalanalysis und Funktionentheorie betrachtete Algebra. Viele funktionalanalytische Eigenschaften der Diskalgebra sind direkte Folgen funktionentheoretischer Sätze.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bezeichnet die Kreisscheibe, so sei die Menge aller stetigen Funktionen , die im Inneren holomorph sind.

Die Definitionen

,

wobei , machen zu einer komplexen Algebra mit Involution , zur sogenannten Diskalgebra.[1]

Offenbar ist eine Unteralgebra der Funktionenalgebra der stetigen Funktionen . ist bzgl. der Maximumsnorm, die zu einer Banachalgebra macht, abgeschlossen, denn nach dem weierstraßschen Konvergenzsatz sind gleichmäßige Limiten holomorpher Funktionen ebenfalls holomorph. ist daher selbst eine Banachalgebra, sogar mit isometrischer Involution, das heißt, es gilt für alle . Die Diskalgebra ist auch Unterbanachalgebra von , der Banachalgebra aller auf holomorphen und beschränkten Funktionen mit der Supremumsnorm.

Mittels Einschränkung auf den Rand von erhält man eine Abbildung . Diese Abbildung ist nach dem Maximumprinzip für holomorphe Funktionen ein isometrischer Homomorphismus. In diesem Sinne kann man auch als Unterbanachalgebra von auffassen. ist dann die Menge aller stetigen Funktionen auf , die sich holomorph nach fortsetzen lassen. Dies wäre eine alternative Definition der Diskalgebra.

Die Diskalgebra wird von erzeugt, das heißt, die kleinste Unterbanachalgebra, die diese Funktion enthält, ist die Diskalgebra selbst. [2]

Der Gelfandraum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für jedes ist die Punktauswertung ein Homomorphismus und damit ein Element des Gelfand-Raums der Diskalgebra. Man kann zeigen, dass mit den bereits alle Homomorphismen der Diskalgebra mit Werten in den komplexen Zahlen gefunden sind, und dass die Abbildung ein Homöomorphismus ist, wobei die sogenannte Gelfandtopologie durch die relative schwach-*-Topologie auf gegeben ist. Der Gelfandraum der Diskalgebra kann daher mit der Kreisscheibe identifiziert werden. Bei dieser Identifikation ist die Gelfand-Transformation die Identität auf der Diskalgebra.

Die Nicht-Regularität der Diskalgebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auf dem Gelfandraum einer kommutativen Banachalgebra betrachtet man die sogenannte Hülle-Kern-Topologie, die durch die Abschlussoperation

gegeben ist. Fällt diese mit der Gelfandtopologie zusammen, so nennt man die Banachalgebra regulär. Die Diskalgebra ist ein Beispiel für eine nicht-reguläre Banachalgebra.[3] In der Tat ist bei der Identifikation die Menge abgeschlossen in der Gelfandtopologie. Ist nun , so folgt für alle , und aus dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen folgt . Daher ist und es folgt bzgl. der Hülle-Kern-Topologie, letztere kann daher nicht mit der Gelfandtopologie übereinstimmen.

Der Schilowrand[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Identifiziert man mit , so fällt der topologische Rand mit dem Schilow-Rand zusammen. Dazu ist zu zeigen, dass jede Funktion der Diskalgbera, die wegen der vorgenommenen Identifikation ja mit ihrer Gelfand-Transformierten übereinstimmt, ihr Betragsmaximum auf dem Rand der Kreisscheibe annimmt, aber das ist genau die Aussage des Maximumprinzips für holomorphe Funktionen.[4]

Maximalität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie oben erwähnt kann man mittels der Einschränkungsabbildung als Unterbanachalgebra von auffassen. Der Maximalitätssatz von Wermer sagt aus, dass eine maximale Unterbanachalgebra ist.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §1.16
  2. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §19.3
  3. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §23.9
  4. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §22.5 für n=1