G-Raum

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Als G-Raum bezeichnet man in der Geometrie einen mit einer stetigen Gruppenwirkung versehenen topologischen Raum. Stetige Gruppenwirkungen und die in diesem Zusammenhang definierten allgemeinen Begriffe kommen in vielen mathematischen Problemstellungen auf natürliche Weise vor.

Sei ein topologischer Raum, eine (topologische oder diskrete) Gruppe und

eine stetige Wirkung von auf , das heißt eine stetige Abbildung mit

für alle sowie

für das neutrale Element und alle , dann wird G-Raum genannt.[1]

Man spricht auch von einer stetigen Wirkung. Falls der zugrundeliegende topologische Raum ein metrischer Raum ist und für jedes die Abbildung eine Isometrie ist, spricht man von einer isometrischen Wirkung.

Weitere Begriffe

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Im Folgenden sei ein G-Raum, trage die Produkttopologie und der Bahnenraum die Quotiententopologie.

Transitive Wirkung

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Eine Wirkung heißt transitiv, wenn es zu jedem Paar ein mit gibt.

Wenn transitiv auf wirkt, dann ist homöomorph zu mit der Quotiententopologie, wobei der Stabilisator eines (beliebigen) Elementes ist.

Eine Wirkung heißt frei, wenn aus (mit und ) stets folgt.

Eine Wirkung ist frei genau dann, wenn für alle der Stabilisator nur aus dem neutralen Element besteht.

Effektive Wirkung

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Eine Wirkung heißt effektiv (oder treu), wenn es zu jedem ein mit gibt.

Eine Wirkung ist also genau dann effektiv, wenn der entsprechende Homomorphismus von in die Gruppe der Homöomorphismen von ein Monomorphismus ist.

Die Fixpunkte eines Elementes sind die Elemente mit .

Ein Punkt heißt globaler Fixpunkt der Gruppenwirkung, wenn für alle gilt.

Eigentliche Wirkung

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Eine Wirkung heißt eigentlich, wenn die durch

gegebene Abbildung eine eigentliche Abbildung ist.

Wenn die Wirkung von auf eigentlich ist, dann ist Hausdorffsch und alle Orbiten sind abgeschlossen. Der Stabilisator jedes Punktes ist kompakt und die Abbildung ist ein Homöomorphismus.[2]

Eigentlich diskontinuierliche Wirkung, Diskontinuitätsbereich

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Eine Wirkung heißt eigentlich diskontinuierlich, wenn es zu jedem eine Umgebung gibt, für die

.

Eine freie Wirkung ist eigentlich diskontinuierlich genau dann, wenn die Projektion eine Überlagerung ist.

Eine -invariante, offene Teilmenge heißt Diskontinuitätsbereich, wenn die Wirkung von auf eigentlich diskontinuierlich ist. Im Allgemeinen muss ein maximaler Diskontinuitätsbereich nicht eindeutig bestimmt sein.

Im Fall einer Kleinschen Gruppe und ihrer Wirkung auf der Sphäre im Unendlichen gibt es einen eindeutigen maximalen Diskontinuitätsbereich, dieser ist das Komplement der Limesmenge und wird häufig auch als der Diskontinuitätsbereich der Kleinschen Gruppe bezeichnet. (Dies gilt allgemeiner auch für diskrete Gruppen von Isometrien von Hadamard-Mannigfaltigkeiten und ihre Wirkung auf der Sphäre im Unendlichen.)

Kokompakte Wirkung

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Eine Wirkung heißt kokompakt, wenn der Orbitraum kompakt ist.

Eine Wirkung ist kokompakt, wenn es einen kompakten Fundamentalbereich gibt.

Geometrische Wirkung

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Eine Wirkung heißt geometrisch (engl.: geometric action), wenn sie eigentlich diskontinuierlich und kokompakt ist.

Einzelnachweise

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  1. Tammo tom Dieck: Algebraic Topology. European Mathematical Society Publishing House, Zürich 2008, ISBN 978-3-03719-048-7, S. 17.
  2. Properly discontinuous actions