Diskussion:Beweis (Mathematik)

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Satz 7 (warum Satz 7? wo ist Satz 3 in diesem Artikel?) ist falsch. Der Beweis ist auch nicht korrekt:

A(n+1): 1 + 2 + 3 + ... + (2n+1) + (2n+3) ist falsch: (2n+2) fehlt

korrekt: A(n+1): 1 + 2 + 3 + ... + (2n+1) + (2n+2) + (2n+3)

Damit lässt sich aber die falsche Behauptung nicht beweisen! tsor 17:08, 28. Aug 2003 (CEST)

Das war ein typischer Abschreibfehler. Sollte eigentlich 1 + 3 + ... sein. durch Copy & Paste hat sich das dann durchgezogen. danke. und satz drei steht direkt über == indirekter Beweis == --Caramdir 17:52, 28. Aug 2003 (CEST)

Der erste Satz des Artikels enthält einen Widerspruch : "Ein Beweis ist in der Mathematik die als fehlerfrei anerkannte Herleitung der Richtigkeit oder auch Unrichtigkeit einer Aussage...". Das Wort "auch" hätte zu entfallen, weil das Wort "oder" ausschließend ist. Es kann nicht zugleich die Richtigkeit und auch die Unrichtigkeit einer Aussage bewiesen werden, ausgenommen eine der Beweisführungen ist fehlerhaft. Schade dass schon der Einstiegsatz den Ausstieg vom Weiterlesen enthält. Wie soll das noch werden, wenn es schon so eckig beginnt ? (nicht signierter Beitrag von Tripod-vie (Diskussion | Beiträge) 04:18, 9. Okt. 2012 (CEST)) Hi!

"Ein Beweis ist in der Mathematik der formal korrekte Nachweis, dass..." Jetzt haben wir aus dem Beweis einen Nachweis gemacht und nichts gelernt. Ich finde den Einleitungssatz von Beweis (Allgemein) ("Nachweis der Richtigkeit oder Unrichtigkeit...") um eineiges besser. Was meint Ihr? -- Szs 13:00, 15. Jul 2004 (CEST)

die Vollständige Induktion hat eine eigene, sehr ausführliche Seite. Der Absatz auf dieser Seite ist überflüssig, doppelt!

Ich finde es trotzdem sinnvoll, da es zeigt, wie sie funktioniert und der ausführliche Artikel vor dem Beispiel Historisches und so bringt. --Scialex 07:17, 7. Jul. 2008 (CEST)

Beweise in der Mathe auf Aussagen zu reduzieren : Das ist nicht notwendig und eine Restringierung der Generalisierung .

Inwiefern? --NeoUrfahraner 08:51, 24. Aug 2005 (CEST)



Nochmals der Anfangssatz: "... die als fehlerfrei anerkannte Herleitung der Richtigkeit bzw. der Unrichtigkeit einer Aussage aus einer Menge von Axiomen, die als wahr vorausgesetzt werden..."

"Axiome, die als wahr vorausgesetzt werden ...". Das ist doch ein "weisser Schimmel". Alle Axiome eines Beweises sind unausgesprochen und unhinterfragt wahr. Andernfalls wären sie kein Axiom, weil mit einem unwahren Axiom kein Beweis führbar ist. Oder muß für jeden Beweis die Wahrheitsklasse seiner einbezogenen Axiome definert werden ?

Das alles ist wohl zu viel, um in einen Anfangssatz aufgenommen zu werden.

Ich würde vorschlagen, den Halbsatz nach dem Beistrich - ohne Schaden für die Verständlichkeit entfallen zu lassen und das Wort "Axiome", welches hier keiner näheren Erklärung bedarf, nur zu hypertexten. Tripod-vie (18:52, 9. Okt. 2012 (CEST), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Artikel unreif[Quelltext bearbeiten]

Ich halte den Artikel für unreif, hier müßte wesentlich mehr stehen.

"Ein Beweis ist in der Mathematik der formal korrekte Nachweis, dass aus einem Satz von Aussagen eine weitere Aussage folgt."

Diese Definition empfinde ich als dürftig und unzulänglich. Denn entscheidend ist hier doch, was genau mit "formal korrekt" gemeint ist. Das müsste erstmal näher erläutert werden, was aber schwierig erscheint. Natürlich könnte man hier eine formalistische Definition anführen, die das Beweisen mathematischer Aussagen auf ein bedeutungsleeres Spiel mit Symbolketten reduziert. Damit könnte man anschliessend genau beurteilen, was ein mathematischer Beweis ist und was nicht. Leider jedoch würden nahezu 100% aller vorliegenden mathematischen Beweise dieser Definition nicht entsprechen. Denn so arbeitet ja kein Mathematiker (außer dem Bourbaki-Kollektiv vielleicht, dass den formalistischen Ansatz sicher am konsequentesten verfolgt hat). Die meisten mathematischen Beweise stellen ja ein Gemisch aus mathematischen Formalien/Symbolen und Umgangssprache dar.

Der Artikel sollte m.E. ferner unbedingt die Probleme der Gültigkeit und Vollständigkeit eines Beweises adressieren. Ausserdem sollte irgendwo der Begriff des Axioms auftauchen. Ebenso sollte dargelegt werden, wodurch Beweise überhaupt motiviert sind. Warum legen Mathematiker so viel Wert auf gültige Beweise? Warum werden mitunter Sachen bewiesen, die Nichtmathematiker als völlig selbstverständlich empfinden? Für viele Nichtmathematiker ist die Beweis-Manie der Mathematiker doch ziemlich unverständlich. Letztere Frage samt Antwort könnte man vielleicht aber auch lieber im allgemeinen Artikel zur Mathematik unterbringen.

Und hier ein Berührungspunkt zur Philosophie: Jeder, der Mathematik studiert hat, hat wahrscheinlich schon mal etwas für einen Beweis gehalten, was sich dann später als falsch oder zumindest lückenhaft erwies. Wenn einem das einmal passiert ist, wie kann man dann sicher sein, dass das nicht auch für irgendeinen anderen Beweis zutrifft, den man jemals in seinem Leben akzeptiert bzw. selber produziert hat?

Angesichts dieses Zweifels ist es bemerkenswert, wie überaus stabil der Inhalt der Mathematik im Laufe der Jahrtausende geblieben ist. Die Schlüsse aus Euklids "Geometrie" werden heute immer noch als genau so gültig empfunden wie vor 2000 Jahren. Dennoch möchte ich nicht darauf wetten, dass diese Gültigkeit für jeden besteht, der sich damit beschäftigt.

Man könnte hier z.B. auf die Idee kommen, dass die Mathematik recht hohe Einstiegshürden aufweist und daher für die meisten Menschen recht "esoterisch" bleibt. Was ein Beweis ist oder nicht, entscheiden letztlich die Mathematiker mehr oder weniger ad hoc selbst. Die Professoren an den Universitäten sieben dabei jene aus, die das vorherrschende (letztlich diffuse) Beweisverständnis nicht akzeptieren/nachvollziehen können oder wollen. - Dieses Bild ist sicher etwas überzeichnet, aber ohne eine objektive, der tatsächlichen Praxis angemessene Definition dessen, was für sie ein mathematischer Beweis ist (und anhand dessen ein Stück Text zumindest prinzipiell als gültiger Beweis oder eben Nicht-Beweis klassifiziert werden können sollte), sollten Mathematiker verstehen, dass beispielsweise Philosophiestudenten bei Nachfragen den Eindruck bekommen, ein mathematischer Beweis sei etwas, das eine subjektive Komponente enthält und der Befriedigung von Machtansprüchen etablierter Mathematiker dient.

Didaktisch gesehen verdecken Beweise leider oft den Erkenntnisweg, der zu einem Satz geführt hat. Es stellt sich z.B. die Frage, ob die auch in mathematischen Lehrbüchern (und nicht nur Fachartikeln) übliche Methode "Definition-Satz-Beweis" besonders effizient ist, um anderen das Erlernen des mathematischen Handwerks zu ermöglichen. Wäre es nicht viel besser, lieber den Weg zu zeichnen, den man gegangen ist, mit allen Irrungen und Wirrungen? Das würde doch dem Rezipienten ein viel klareres Verständnis des Beweises geben und mitunter auch eine Idee, wie man überhaupt auf den Satz gekommen ist...

Zu den Beispielen: Es ist sicher eine gute Idee, Beispiele anzuführen. Allerdings sollte man auch möglichst alle Voraussetzungen anführen, auf denen der Beweis beruht. Wenn man von natürlichen Zahlen spricht, sollte man diese kurz einführen. Auch werden Addition, Multiplikation und vieles andere ohne weitere Einführung selbstverständlich verwendet. Zumindest sollte man erwähnen, dass der/die Leser/in mit der Addition von natürlichen Zahlen sowie der Verwendung von Symbolen als Platzhalter für beliebige Zahlen vertraut sein sollte und ihm/ihr klarmachen, dass man das alles vorher eigentlich sauber einführen müßte, um einen sauberen Beweis zu erhalten.

Der Satz von Euklid ist ein hervorragendes Beispiel, da er auf dem Satz von der Primfaktorzerlegung beruht (benötigt wird dabei zwar nicht die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung, wohl aber die Aussage, dass jede Zahl in Primfaktoren zerlegt werden kann). Insofern ist der Satz von Euklid ein Paradebeispiel für die Anwendung anderer, bereits bewiesener Aussagen innerhalb eines Beweises. Leider wird das weder im vorliegenden Artikel noch im Artikel zum "Satz von Euklid" erwähnt.

Allerdings würde ich die verschiedenen Beweismethoden lieber in einen Extraartikel auslagern und diese hier nur kurz beispielhaft aufzählen wollen.

Zu guter Letzt ein Vorschlag: schon mal die Formulierung "Satz von Aussagen" durch "Menge von Aussagen" ersetzen. Denn bewiesene Aussagen (zumindest die vom Autor jeweils als wichtig empfundenen) werden in der Mathematik ja auch als "Satz" bezeichnet.--MeysterDissenswurst 16:17, 5. Okt 2005 (CEST)


Da ich nicht weiß wie ich mich sonst der Diskussion beteiligen soll, wähle ich diesen Weg. Also ich sehe hier bei der Erklärung zum indirekten Beweis einen Fehler, da der indirekte Beweis keines falls auch ein Widerspruchsbeweis darstellt. Siehe dazu auch Seite 57 und Seite 58 in folgendne Dokument: http://www.inf.fh-bonn-rhein-sieg.de/data/informatik_/fb_informatik/personen/witt/PropMath.pdf (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 217.232.47.5 (DiskussionBeiträge) NeoUrfahraner 09:29, 15. Okt. 2007 (CEST))

So groß ist der Unterschied zwischen dem, was dort als Indirekter Beweis und was als Beweis durch Widerspruch bezeichnet wird, auch nicht. Im ersten Fall erhält man einen Widerspruch zu allgemeinen Aussagen, im zweiten Fall einen Widerspruch zur Annahme. Letztlich sind das nur unterschiedliche Variationen des selben Themas, genauso wie es auch zum direkten Beweis zig Variationen gibt. --NeoUrfahraner 09:34, 15. Okt. 2007 (CEST)
@MeysterDissenswurst: Was bewiesen ist, ist bewiesen. Sicherlich wird man oft nur der Autorität des Beweisenden vertrauen - das erleichtert alles in allem die Arbeit - aber es bleibt der Fakt daß man die Geschichte nachprüfen kann, immerhin kann, und gut-is. Ob das der Befriedigung der Machtansprüche etablierter Mathematiker dient, ist dabei völlig gleichgültig - man mag ihnen moralische Vorhaltungen machen (das ist nicht abwertend gemeint, vielleicht brauchen sie die), aber die Autorität des Beweises ist von der Sittlichkeit des Beweisenden völlig unabhängig. - Zur Didaktik ist das natürlich eine andere Sache. Andererseits muß man auch sehen, daß es ein Unterschied ist, ob ich eine Einzelvorlesung besuche oder ein Seminar mit vier Semesterwochenstunden, über denselben Stoff; und selbst wenn sie nur zur Ausbildung von einer Art Korpsgeist (à la: ich hab das geschafft, in diese Denkweise hineinzufinden) dienen würden, hätte sie doch schon dadurch einen Sinn, denn jeder Beruf hat ja so seinen Korpsgeist. --77.4.68.132 21:14, 29. Jul. 2010 (CEST)

Fehler ?[Quelltext bearbeiten]

Beim indirekten Beweis zeigt man, dass ein Widerspruch entstehen würde, wenn die zu beweisende Behauptung falsch wäre. --> Heisst es nicht, wenn die zu beweisende Behauptung richtig wäre? (Vorstehender nicht signierter Beitrag stammt von 81.221.103.140 (DiskussionBeiträge) jpp ?! 20:08, 26. Mai 2006 (CEST))

Nein, denn dann hätte man ja bewiesen, dass die zu beweisende Behauptung falsch wäre. --jpp ?! 20:08, 26. Mai 2006 (CEST)

Carl Friedrich Gauß[Quelltext bearbeiten]

Soweit ich weiß, war Carl Friedrich Gauß in einem Alter von 9 Jahren, als er diese Rechnung in so kurzer Zeit löste. (nicht signierter Beitrag von 84.179.156.8 (Diskussion) NeoUrfahraner)

Siehe Carl Friedrich Gauß. --NeoUrfahraner 15:25, 28. Sep 2006 (CEST)
An der Stelle sollte auch ein Link zu Der kleine Gauß stehen (passt eher)--217.250.251.193 15:29, 23. Feb. 2007 (CET)

Arten von Beweisen[Quelltext bearbeiten]

Mir fehlt in diesem Artikel noch die Unterscheidung in weitere Arten von Beweisen, also z. B.:

  • direkter Beweis, z. B. d. h. ich starte mit der Prämisse und gelange zur Behauptung
  • indirekter Beweis, d. h. ich starte mit dem Negat der Behauptung und komme zum Negat der Prämisse
  • Widerspruchsbeweis, d. h. ich starte mit der Prämisse und dem Negat der Behauptung und komme zu einem Widerspruch

(oft wird nicht zwischen Widerspruchsbeweis und indir. Beweis unterschieden, ich finde die Argumentationsweise aber schon formal unterschiedlich

  • Induktionsbeweis
    • Vollständige Induktion
    • Strukturelle Induktion (v. a. in der math. Logik: Für alle Terme/Aussagen gilt.., über den Aufbau der Terme/Aussagen)
    • Transfinite Induktion (v. a. in der Mengentheorie: Wie vollst. Induktion, nur über die nat. Zahlen hinaus mit dem Limesschritt: Wenn es für alle nat. Zahlen gilt, dann auch für

--Scialex 14:30, 15. Mai 2007 (CEST)

Dem stimme ich zu. Aber der "Beweis durch Kontraposition" wurde ja schon einmal von jemandem entfernt, der meinte, es besser zu wissen und der behauptet hat, es wäre dasselbe wie der Widerspruchsbeweis. --...


Stimme auch zu, dass Unterscheidungen fehlen. Indirekt/Widerspruch etwa: Zu zeigen ist (in Metalogik) A => B.

  • Indirekter Beweis: (not B) => (not A)
  • Widerspruchsbeweis: (A /\ not B) => False

132.231.54.1

Außerdem sollte man sagen, ob Indirekte Beweise konstruktiv sein können (ja?) und Widerspruchsbeweise ebenso (nein?). 132.231.54.1

Satz 1[Quelltext bearbeiten]

Ich möchte den Beweis des Satzes 1 kritisieren: Ich denke, so kann kein mathematischer Beweis geführt werden. Mit zweimal untereinander schreiben und Pünktchen usw. kann man zwar gedanklich eine Vermutung über die zu beweisende Tatsache aufstellen, aber ein Beweis ist das sicher nicht. Vielleicht hat Gauß sich das wirklich so überlegt und auch danach gerechnet (wenn die Anekdote stimmt, es gibt sie auf jeden Fall in mindestens zwei Varianten, einmal mit den Zahlen bis 100 und auch mit den Zahlen bis 40), aber bewiesen hat er diese Formel damit nicht. (Der Beweis wird ja üblicherweise durch vollständige Induktion geführt.) -- Jesi 04:02, 2. Aug. 2007 (CEST)

Inzwischen habe ich mir Gaußsche Summenformel angesehen, dort wird auch dargelegt, dass der Beweis mit vollständiger Induktion geführt wird und die hier als Beweis bezeichnete Überlegung eben wirklich nur eine Veranschaulichung ist. Ich würde Satz 1 weglassen, zumal er später nicht mehr benutzt wird.

Ich habe noch folgende Änderungen vorgenommen:

Die allgemeine Beschreibung des indirekten Beweises kam mir etwas holprig vor, hier habe ich ein bisschen umformuliert.

Unter der Überschrift "Vollständige Induktion" habe ich den Link weggenommen (da er unmittelbar darüber schon einmal steht) und das Wort "beliebt" ersetzt. Es klang schon etwas eigenartig. -- Jesi 04:40, 2. Aug. 2007 (CEST)

Wenn's Dir lieber ist, kann man den Beweis des Satzes 1 auch formalisieren, indem man die "Pünktchen" durch ein Summenzeichen ersetzt:
,
,
.
Dazu müsste man dann auch noch genauer sagen, welche Transformationen bei Verwendung des Summenzeichens für endliche Summen zulässig sind. In konkreten Fall ist durch diese Formalisierung aber nichts gewonnen, der Beweis ist aber durchaus im mathematischen Sinn ein Beweis. Wie für viele mathematische Aussagen gibt es eben nicht nur einen Beweis (den durch vollständige Induktion), sondern viele andere, wobei die vollständige Induktion den Nachteil hat, dass man eine vom Himmel gefallene Formel damit zwar beweisen kann, aber nichts darüber gesagt wird, wo die Formel herkommt. --NeoUrfahraner 08:54, 2. Aug. 2007 (CEST)
Dieser Beweis würde mir schon besser gefallen, aber das ist natürlich nicht der Maßstab. Außerdem hast du Recht, dass man ihn - damit die Schritte nachvollziehbar bleiben - noch ergänzen müsste: nach der ersten Zeile müsste man die Transformation j=n+1-i angeben, in der zweiten Zeile müsste dann erst stehen Summe von j=n bis j=1 und dann wie gehabt weiter. Besser wird es dadurch wahrscheinlich wirklich nicht. Ich habe nur ein etwas ungutes Gefühl, in einem Artikel über mathematische Beweise mit einem so heuristisch formulierten Beweis zu beginnen. Mal noch etwas anderes: So wie ich die Anekdote kenne, hat Gauß nicht die Summen derartig zweimal untereinander geschrieben, sondern den ersten und letzten Summanden zur Summe n+1 addiert, dann weiter den zweiten und vorletzten ebenfalls zu n+1 usw., und dann noch überlegt, wie viele solche Summanden dabei entstehen. Bei geradem n sind das n/2, und daraus folgt dann die Formel, bei ungeradem n wäre noch eine weitere Überlegung erforderlich. Hab gerade gesehen: so ist sie auch im Artikel Gaußsche Summenformel beschrieben. Sollte man nicht einfach die Anekdote weglassen, zumal sie ja nicht so ganz genau zum darüber stehenden Beweis passt? Auch würde ich nochmal zu bedenken geben, ob man den Satz 1 nicht auch weglässt, aber das ist eben wieder mein ungutes Gefühl. -- Jesi 13:22, 2. Aug. 2007 (CEST)
Was Gauß betrifft: ich habe es auch so gehört, wie Du es sagst; er hat also eigentlich keine Indextransformation gemacht, sondern nur Kommutativ- und Assoziativgesetz verwendet. Ansonsten stimmt's, Satz 1 ist wohl wirklich nicht das richtige Einsteigerbeispiel, um einen direkten Beweis zu erklären. Darüber hinaus finde ich allerdings den ganzen Aufbau des Artikels irgendwie problematisch. Die Einteilung in direkter/indirekter Beweis und Beweis durch Induktion klingt ja, alsob man sagen würde, es gibt gerade Zahlen, ungerade Zahlen und Primzahlen. Direkter Beweis und Induktionsbeweis schließen einander ja nicht aus, und vollständig ist diese Aufzählung auch nicht. Ähnliches gilt dann natürlich auch noch für konstruktiver/nicht-konstruktiver Beweis. --NeoUrfahraner 15:05, 2. Aug. 2007 (CEST)

Überarbeitung[Quelltext bearbeiten]

Darüber hinaus finde ich allerdings den ganzen Aufbau des Artikels irgendwie problematisch. Das ist auch meine Meinung. Vielleicht sollte man etwas anders gruppieren. Ich werde mal auf Benutzer:Jesi/Vorschläge/Beweis etwas zusammenstellen und mich hier wieder melden, wenn es fertig ist. Vielleicht kannst du es dir dann einmal ansehen. --Jesi 15:59, 2. Aug. 2007 (CEST)
So, ich wäre dann soweit. Auf Benutzer:Jesi/Vorschläge/Beweis habe ich mal einen Entwurf aufgeschrieben, einige Bemerkungen dazu sind auf der zugehörigen Diskussionsseite. Kannst du dir das bei Gelegenheit bitte mal ansehen? Danke -- Jesi 17:19, 2. Aug. 2007 (CEST)

Deine Überarbeitung gefällt mir deutlich besser. Was mir beim ersten Lesen aufgefallen ist: Zunächst sollte meiner Meinung nach deutlich gemacht werden, dass die Einteilung direkter/indirekter Beweis und konstruktiver/nicht-konstruktiver Beweis die Beweise wirklich vollständig in zwei Gruppen teilt (so wie eben die ganzen Zahlen in gerade/ungerade und negativ/nichtnegativ geteilt werden können). In längeren Beweisen können natürlich Kombinationen auftreten, aber prinzipiell sind das echte entweder/oder.

Wie Du auf Benutzer Diskussion:Jesi/Vorschläge/Beweis auch sagst, ist vollständige Induktion eine ganz andere Kategeorie. Da gehört meiner Meinung nach ein eigener Abschnitt "Beweismethoden", von denen vollständige Induktion ein wichtiges Beispiel ist. Dieser Unterabschnitt "vollständige Induktion" gehört aber gekürzt, schließlich gibt es einen eigenen Artikel dafür. Ein anderes Beispiel einer Beweismethode wäre en:Proof by exhaustion, auf deutsch wohl Beweis durch Fallunterscheidung, in dem das Problem in endlich viele Fälle unterteil werden, die systematisch abgearbeitet werden. Andere Beispiele sind das Schubfachprinzip oder in der Maßtheorie das "Prinzip der guten Mengen" (good sets principle, 24 Google-Treffer, naja, nicht soo bekannt). Eine vollständige Aufzählung aller Beweismethoden ist aber wohl nicht möglich und nicht nötig, evtl. kann ich aus den Büchern von George Polya etwas ergänzen. Die Beispiele auf en:Mathematical proof sind aber jedenfalls unsystematisch und kein Vorbild.

Das Beispiel eines nicht-konstruktiven Beweises gefällt mir nicht so recht, da der Zwischenwertsatz ja oft mittels Bisektion bewiesen wird und damit eigentlich eine konstruktive Aussage ist. Ein mögliches Beispiel wäre das schon erwähnte Schubfachprinzip, mit dem man zeigen kann, dass zwei Münchner gleich viele Haar haben, der aber nicht bei der Suche nach diesen Münchnern hilft. Andere Beispiele nicht-konstruktiver Aussagen wären der Fundamentalsatz der Algebra oder der Fixpunktsatz von Brouwer, aber diese Beispiele sind für einen einführenden Artikel wohl zu fortgeschritten.

Prinzipiell gehört natürlich auch etwas über philosophiosche Richtungen wie mathematischen Konstruktivismus geagt, aber da bin ich leider nicht kompetent. --NeoUrfahraner

Erst einmal vielen Dank. Ich werde mich mal dransetzen und dich dann hier wieder informieren. Wird aber etwas dauern. --Jesi 23:07, 2. Aug. 2007 (CEST)
So, ich hab mal was getan, eine Überarbeitung findest du auf Benutzer:Jesi/Vorschläge/Beweis und Bemerkungen dazu auf Benutzer Diskussion:Jesi/Vorschläge/Beweis. Wenn es dir nichts ausmacht, können wir vielleicht die Diskussion auf Benutzer Diskussion:Jesi/Vorschläge/Beweis fortsetzen, damit die Seite hier nicht zu überladen wird. Wenn es die aber hier besser oder sachgemäßer erscheint, dann machen wir eben hier weiter. -- Jesi 02:04, 3. Aug. 2007 (CEST)

Ich antworte lieber hier, weil's später für's Verständnis der Entstehungsgeschichte dieses Artikels wichtig sein könnte. Also: die jetzige Überarbeitung ist meiner Meinung nach reif genug, den alten Artikel zu ersetzen. Zwei Vorschläge hätte ich noch:

  1. Ein gutes Beispiel für einen nicht-konstruktiven Beweis ist mir jetzt eingefallen, nämlich genau das beim indirekten Beweis angegebene Beispiel des klassischen Beweis', dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Ein konstruktiver Beweis wäre eine Formel für beliebig große Primzahlen, der Beweis von Euklied leistet das aber gerade nicht (auch wenn er oft falsch so aufgefasst wird, dass prim wäre.
  2. Abschnitt "Einige besondere Beweismethoden": In der Geschichte der Mathematik wurden zum Beweis bestimmter Aussagen Beweismethoden angewendet: hier fände ich "entdeckt" oder "entwickelt" besser als "angewendet", das verdeutlicht doch besser, dass diese Methoden nicht einfach vom Himmel fallen. --NeoUrfahraner 20:14, 3. Aug. 2007 (CEST)


Ich habe die Vorschläge eingebaut, noch geringfügige Änderungen vorgenommen und den vorherigen Artikeltext ersetzt. Vielen Dank und viele Grüße -- Jesi 00:04, 4. Aug. 2007 (CEST)

Cantor-Diagonalverfahren[Quelltext bearbeiten]

Das erste Cantorsche Diagonalverfahren ist ein direkter Beweis für die Abzählbarkeit einer Menge. Es wird gezeigt, dass man jedem Element der zu untersuchenden Menge eine natürliche Zahl zuordnen kann.

Laut Cantors erstes Diagonalargument besteht das Verfahren im Beweis von etwas ganz anderem...ich würde einen Fachmann mal darum bitten, das zu überprüfen. --Jazzman KuKa 01:51, 13. Apr. 2008 (CEST)

"Cantors erstes Diagonalargument, ist ein mathematisches Beweisverfahren, mit dem man zeigen kann, ob zwei Mengen gleichmächtig sind" (erste Cantorsche Diagonalverfahren). "ob" ist irreführend, besser wäre wohl "dass". Es wird gezeigt, dass man jedem Element der zu untersuchenden Menge (rationale Zahlen) (umkehrbar eindeutig) eine natürliche Zahl zuordnen kann, damit ist gezeigt, dass die Menge der rationalen Zahlen gleichmächtig zur Menge der natürliche Zahlen ist. Die beiden Artikel widersprechen einander nicht wirklich; ein besonders gelungene Formulierung ist es allerdings nicht. --NeoUrfahraner 09:22, 13. Apr. 2008 (CEST)


Transfinite Induktion[Quelltext bearbeiten]

/* Einige besondere Beweismethoden */ Transfinite Induktion - Quelle: Wikipedia-Artikel "Transfinite Induktion" - Methode eingefügt. Versionsgeschichte: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Transfinite_Induktion&action=history, Version: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Transfinite_Induktion&oldid=44623372 --Hutschi 10:56, 23. Apr. 2008 (CEST)

Euklids indirekter Beweis[Quelltext bearbeiten]

Ich habe den Teil, dass Euklids Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, ein nicht kontruktives Verfahren ist herausgenommen, weil das schlicht falsch ist. Das Verfahren liefert doch folgendes: Gegeben sei eine beliebige Menge von Primzahlen. Das Verfahren liefert uns eine Zahl, deren Primfaktoren disjunkt zu diser Menge ist. Wird das Verfahren also oft genug angewandt, so erhält man Primzahlen, die beliebig groß werden.

Zustand des Artikels[Quelltext bearbeiten]

Die genannte Beispielsreihe ist mMn sehr gut nachvollziehbar und verständlich. Allerdings ist der formale Aufbau des Artikels manchmal etwas komisch. Auch sollten die Definitionen von direkten/indirekten Beweisen zusammen in einem eigenen Abschnitt stehen. --Jonasschneider 19:00, 14. Apr. 2009 (CEST)

konstruktiver beweis / nicht konstruktiver beweis[Quelltext bearbeiten]

unpräzise formulierung, "dass es eine lösung gibt" eine lösung für was, man muss hier noch ein problem definieren oder zumindest ansprechen. (nicht signierter Beitrag von 213.208.144.130 (Diskussion | Beiträge) 21:10, 27. Jan. 2010 (CET))

Konstruktiv/nichtkonstruktiv[Quelltext bearbeiten]

Der "Beweis", dass f(x) = 2x-1 eine Nullstelle in [0,1] hat, ist nicht besonders konstruktiv, wenn die Nullstelle einfach angegeben wird. Konstruktiv, wäre, wenn die Gleichung 2x-1=0 nach x aufgelöst würde. 129.132.9.97 14:48, 3. Jun. 2010 (CEST)

Gerade durch die explizite Vorgabe eines zu prüfenden Wertes ist es ein konstruktiver Beweis für die Behauptung, dass f(x) = 2x-1 eine Nullstelle in [0,1] hat. Wie man darauf gekommen ist, spielt dabei keine Rolle. Natürlich wurde dazu eine Gleichung gelöst, doch das ist ja kein Beweis. Und hier geht es um Beweise, nicht um Lösen von Gleichungen. Natürlich hätte man auch ein kompliziertes Beispiel suchen können, aber warum. Und hier lässt sich der Unterschied zwischen dem konstruktiven und dem anschließenden nicht-konstruktiven Beweis wohl ganz gut erkennen. -- Jesi 16:23, 3. Jun. 2010 (CEST)
Also für mich nicht. Ich würde eher sagen, das ist ein Beweis einer Existenzaussage durch Beispiel (so ähnlich wie bei der Widerlegung, die ja durch Gegenbeispiel erfolgt). Es mag eine Frage der Wortwahl sein (gibt es für "konstruktiv" eine mathematische Definition, die Allgemeingut ist?), aber für mich heißt konstruktiv daß man etwas konstruiert, und durch x = 0.5 ist der Beweis auf jeden Fall geführt, das zweifelt ja keiner an, aber konstruiert wurde gar nichts. --77.4.68.132 21:01, 29. Jul. 2010 (CEST)

Kontraposition fehlt[Quelltext bearbeiten]

Der Beweis durch Kontraposition fehlt. --DownAnUp 10:47, 3. Jul. 2010 (CEST)

Frage zu "Wurzel 2 ist keine rationale Zahl"[Quelltext bearbeiten]

Es betrifft zwar nicht den Artikel selber, aber: Kann mir jemand erklären WO dieser Beweis schief läuft wenn ich versuche ihn auf Wurzel 4 anzuwenden ? Verimathrax 15:58, 29. Jul. 2010 (CEST)

Siehe http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Benutzer_Diskussion:Verimathrax&diff=77213797&oldid=36089124 --NeoUrfahraner 16:22, 29. Jul. 2010 (CEST)

Diagonalverfahren[Quelltext bearbeiten]

Dem ersten Diagonalverfahren kann man vielleicht noch den Status eines eigenständigen Beweisverfahrens zugestehen, indem die gleichmächtigkeit zweier Mengen per Bijektion gezeigt wird. Aber das 2 Diagnonalverfahren ist doch ein klassischer Widerspruchsbeweis. (nicht signierter Beitrag von 188.100.30.121 (Diskussion) 00:41, 29. Dez. 2012 (CET))

Der Artikel ist mit seinen völlig willkürlichen/zufälligen Aufzählungen eine einzige Katastrophe. Ich denke, es ist müßig, an irgendwelchen Detailfragen da herumzudoktorn. Der Artikel müsste völlig neu strukturiert werden (und zwar mit ordentlicher Literatur). --Chricho ¹ ² ³ 19:31, 2. Jan. 2013 (CET)

Ungenau[Quelltext bearbeiten]

"Ein weiteres klassisches Beispiel:"

Hier ist durch diesen Satz nicht sofort klar: Ist ein weiteres Beispiel für einen direkten Beweis gemeint (so wie das Beispiel direkt davor) oder soll ein "weiteres Beispiel" für einen indirekten Beweis gegeben werden. Ist ein bisschen ungenau geschrieben, finde ich.

Des weiteren würde ich es besser finden, die direkten und indirekten Beweise nochmal in extra Überschriften zu unterteilen, und nicht unter einer Überschrift. Die ich auch etwas unglücklich finde: "Reductio ad absurdum" (weil sie im ersten Moment unverständlich ist, und weil Leute nach "direkt" und "indirekt" suchen, weil sie nämlich genau davon im Studium und Schule hören). Kann man nicht einfach eine Überschrift "Direkter Beweis" und eine weitere Überschrift "Indirekter Beweis" machen? (nicht signierter Beitrag von 93.134.191.75 (Diskussion) 20:33, 22. Jan. 2014 (CET))

falsches Beispiel bzw. unpassendes Beispiel?[Quelltext bearbeiten]

Innerhalb des Abschnittes indirekter Beweis steht: "Einfache Beweise, die sich dieser Möglichkeit der Schlussfolgerung nicht bedienen, werden in Abgrenzung davon als direkte Beweise bezeichnet. Ein Beispiel:" Aus dem vorherigen Satz ist nicht ganz klar ob der die folgende Behauptung nun ein direkter oder indirekter Beweis sein soll. besser wäre vlt.: "Einfache Beweise, die sich dieser Möglichkeit der Schlussfolgerung nicht bedienen, werden in Abgrenzung davon als direkte Beweise bezeichnet. Ein Beispiel für einen direkten Beweis:" bzw. den die erste Behauptung direkt unter dem Abschnitt direkter Beweis einfügen, da es sich dabei eh nicht um einen indirekten Beweis handelt und es beim schnellen Überfliegen mehr zu Verwirrungen führt. --MrPoin (Diskussion) 12:34, 27. Jan. 2015 (CET)

Dritter indirekter Beweis[Quelltext bearbeiten]

Der Beweis für ist irrational ist kein indirekter Beweis sondern sehr direkt. Definiert man irrational als nicht rational, wie das üblicherweise der Fall ist, so ist das ein Beweis einer Negation. Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten wird nicht gebraucht. — SpezialistDisk 02:30, 19. Feb. 2017 (CET)

GLAUBE UND MATHEMATIK[Quelltext bearbeiten]

Um den Mathematischen beweis zu verstehen, kommt man um den Glaube als Abschnitt des Wissens, nicht herum. Damit ist nicht umbedingt der Glaube an Unreelles wie Paramatematik gemeint, sondern der glaube an reales, welches nicht Vollständig bis in alle Ebenen des Zweifels verstanden wird.

Man muss, um Mathematik zu Verstehen und zu Beweisen, eine Reihe von Dingen glauben, um sie zu verstehen.

Erst bei näherer Beschäftigung mit einem Themengebiet kann Glaube Wissen weichen und das auch nur begrenzt.

Um Mathematik in sich mathematisch zu beweisen muss man sich dem Ursprung der Mathematik zuwenden.

Die absolute Grundlage der Mathematik ist die Einigung und Definition von Mathematik. An diese Definitionen muss man Glauben weil Mathematik sonst Uneindeutig und Schwachsinn.

Diese Definition nennt man Oximoron. Etwas ist in sich selbst definiert.

Auf diese Wortneuschöpfung will ich hinweisen, Oximoron.

Es ist das Wissen um diese Wort, wie Mathematik bewiesen werden kann.