Benutzer Diskussion:Daniel5Ko

Begrüßung

Hallo Daniel5Ko, willkommen in der Wikipedia!
Danke für dein Interesse an unserem Projekt, ich freue mich schon auf deine weiteren Beiträge. Die folgenden Seiten sollten dir helfen, bitte nimm dir daher etwas Zeit, sie zu lesen.
	Wikipedia:Grundprinzipien Die grundlegende Philosophie unseres Projekts.		Wikipedia:Mentorenprogramm Persönliche Betreuung bei deinen ersten Schritten.
	Hilfe:Tutorial Schritt-für-Schritt-Anleitung für Einsteiger.		Wikipedia:Spielwiese Zum Testen der Wikipedia-Bearbeitungsfunktionen.
Bitte beachte, was Wikipedia nicht ist, und unterschreibe deine Diskussionsbeiträge durch Eingabe von --~~~~ oder durch Drücken der Schaltfläche über dem Bearbeitungsfeld. Artikel werden jedoch nicht unterschrieben, und wofür die Zusammenfassungszeile da ist, erfährst du unter Hilfe:Zusammenfassung und Quellen.    Hast du Fragen an mich? Schreib mir auf meiner Diskussionsseite! Viele Grüße,--Freedom Wizard 13:07, 8. Mai 2010 (CEST)

Hilfe?

Hallo Daniel5Ko,
offenbar gibt es Probleme mit einem deiner angelegten Artikel. Da du noch nicht so erfahren in der Wikipedia bist, will ich dir meine Hilfe anbieten beziehungsweise dich auf das Wikipedia:Mentorenprogramm aufmerksam machen. Dort kannst du mit erfahrenen Autoren zusammenarbeiten, um solche Diskussionen in Zukunft zu vermeiden. Am besten suchst du dir aus der Mentoren-Liste jemanden, der sich in deinem Themengebiet gut auskennt. Oder du setzt auf deine Benutzerseite gleich {{Mentor gesucht}}. Dann wird sich ein Mentor in kurzer Zeit bei dir melden. Viel Erfolg wünscht dir --Freedom Wizard 13:07, 8. Mai 2010 (CEST)

Mann, was für ein hassenswerter Meta-Quatsch. Falls es um Einheitstyp geht:

1. der Artikel schien mir notwendig,
2. ich sehe nicht, wo da eine unangenehme Diskussion sein soll, die es zu vermeiden gilt. Wer verbessern kann und will, soll dies tun. Ich sehe nicht, wie es effizient sein soll, mit einem perfekten Artikel zu starten, oder um Erlaubnis zu fragen, oder sich im Vorhinein auf die Suche nach Feedback zu begeben.

Als weiteres Beispiel meiner Herangehensweise: Monade (Typkonstruktion) ist gegenwärtig so ziemlich vollständig Grütze. Anstatt den Artikelersteller oder einen der letzten Editoren zu kontaktieren, versuche ich aber unabhängig eine bessere Strukturierung und Darstellung zu finden. Ganz konkret, direkt und konstruktiv. Roundtrips sind hemmend — gerade wenn man Latenzzeiten von Tagen hat. Man könnte natürlich auch einen Löschantrag stellen, um Interesse zu generieren, aber ich empfinde das als Missbrauch dieser Funktionalität und auch als Faulheit. --Daniel5Ko 23:43, 8. Mai 2010 (CEST)

Antwort zur Kenntnis genommen. -- Freedom Wizard 21:33, 9. Mai 2010 (CEST)

Gut. So lasst uns denn weiter Blödsinn entfernen. Usw. :) --Daniel5Ko 23:01, 9. Mai 2010 (CEST)

Ich habe den Artikel der Informatik-QS gegeben, da Void (Datentyp) praktisch das gleiche beschreibt. --mfb 11:45, 20. Mai 2011 (CEST)

Wie kann man denn auf so eine Abomination weiterleiten wollen? --Daniel5Ko 17:43, 20. Mai 2011 (CEST)

Herzlich willkommen

und danke für deine arbeit an der monade. gefällt mir gut, wie du die auf vordermann bringst - ich hab mich da nie rangetraut. wenn dir mal jemand metakram vom hals halten soll, sag bescheid! -- ∂ 00:46, 18. Mai 2010 (CEST)

Okay, alles klar :) --Daniel5Ko 00:51, 18. Mai 2010 (CEST)

Formale Grammatik

Hi Daniel5Ko, [hoffe, dir ist das nicht zu meta ;)]

deine Änderungen am Artikel sind interessant. Aber bei der Aussage 'Angabe von G als (N,\Sigma,S,P) ist auch üblich' muss ich nachhaken: Es ist natürlich blöd, für jede Konvention einen Beleg anzugeben und es gibt natürlich keine soziologischen Erhebungen über die Häufigkeit der Einhaltung von Konventionen (und deshalb Formulierungen wie diese zu vermeiden, fände ich auch übertrieben). Aber die Aussage unterstellt, dass die Angabe von G als (V,\Sigma,S,P) genauso üblich sei und das Gefühl hatte ich bisher nicht. Kannst du mir ein paar Beispiele nennen? --Zahnradzacken 22:16, 20. Jul. 2010 (CEST)

Das ist in der Reihenfolge eine Definition, die funktioniert (und die Aufzählung elegant macht — sie muss nicht syntaktisch vollständige Sätze enthalten und kann selber einen ordentlichen bilden ;) ), und daher sicher hundertfach belegbar sein dürfte. [hier 10 Minuten Pause vorstellen] Ich hab' mal ein altes Vorlesungsskript 'rausgekramt. Und siehe da: das macht es auch so, wohl aufgrund der eleganten kurzen Darstellungsmöglichkeit. Unbewusste Erinnerungen daran haben mich wohl in diese Richtung geleitet. Wie dem auch sei: das Skript ist das von "Grundlagen der theoretischen Informatik", gegeben im WS 01/02 von Prof. Peter Bachmann, LS Programmiersprachen & Compilerbau, BTU Cottbus. Mal schauen, ob's das dort noch online gibt. Hmm, scheinbar leider nicht. :( Vielleicht findet man das auch woanders — es war jedenfalls meines Wissens einige Jahre ohne große Updates "in Betrieb".

Wie auch immer. Man wird für alle Permutationen des Tupels irgendwo was finden, genauso wie für alle 2-elementigen Untermengen von {V, \Sigma, N} als 2 der Bestandteile des Tupels. (Chomsky-Hierarchie permutiert gegenwärtig gar innerhalb des Artikels ;) ) Entscheidend ist, dass es funktioniert. Die momentane Auswahl habe ich anhand ästhetischer Gesichtspunkte, nicht anhand von Benutzungsstatistiken getroffen. Ich sehe da auch keine Gefahr eines Theoriefindungsverdachts o.ä. . Es ist eine reine Darstellungssache. Was 'rauskommt, ist das selbe. --Daniel5Ko 22:54, 20. Jul. 2010 (CEST)

Übrigens, Meta: Warum führen wir die Diskussion nicht auf der Diskussionsseite des Artikels? Das wäre doch einigermaßen wichtig für seine Geschichte und Zukunft. --Daniel5Ko 23:13, 20. Jul. 2010 (CEST)

Vielen Dank für die Erleuchtung :) Hier aus zwei Gründen: 1. Du bekommst einen schönen, farbigen Balken als Benachrichtigung. 2. Ich sah auch keine Gefahr einer Theoriefindung und wollte nur meinen Horizont erweitern (zugegeben, keine besonders radikale Maßnahme). Die Inkonsistenz bei Chomsky-Hierarchie ist natürlich unfein. Umso schöner, dass ich nun eine elegantere Form kennengelernt habe.--Zahnradzacken 23:32, 20. Jul. 2010 (CEST)

:) --Daniel5Ko 23:50, 20. Jul. 2010 (CEST)

Hi, das Thema ist wieder aktuell geworden, siehe Diskussion:Formale Grammatik#Definition doppelt bzw mehr unter Diskussion:Produktionsregel. --Zahnradzacken 20:18, 8. Feb. 2011 (CET)

Hi. Jo, hab' schon gesehen, und werfe mal einen genaueren Blick drauf (bisher kaum mehr als die Info, die man per Beobachtungsliste bekommt, entgegengenommen). (Und mein Versprechen, da mal ein paar Zusammenhänge zu verwandten Themen herzustellen, habe ich auch nicht vergessen, falls das der eigentliche Grund für die Nachricht ist. ;) ) Gruß, --Daniel5Ko 20:48, 8. Feb. 2011 (CET)

Achso, habe jetzt erst, nach einer Antwort in Diskussion:Produktionsregel bemerkt, dass es um die Quelle geht. Tja! Was soll man machen?! Und egal ist es sowieso. Simple Formulierungsvereinfachung (a.k.a. Äquivalenzumformungen, vergleichbar mit Trivialitäten wie "Paris liegt in Frankreich") sollte nicht mit Quellen abgedeckt werden müssen. Oberstes Ziel ist die möglichst einfach verständliche Darstellung von Wissen. Wenn aus Tradition, oder weil die Lehrbuchschreiber voneinander abschreiben, unnötig komplizierter Kram die Mehrheit bildet, ist das kein Grund, das nachzuäffen. --Daniel5Ko 22:45, 8. Feb. 2011 (CET)

Lieber Daniel, Du meintest hier, "besser nicht vereinheitlichen". Allgemein ist mir beim Thema Formale Grammatik aufgefallen, daß sich für den damit noch nicht vertrauten Leser gerade durch nicht vereinheitlichte Benutzung der abstrakten Symbole gewisse unnötige Schwierigkeiten ergeben. Natürlich wäre es alternativ zur Vereinheitlichung möglich, im Mutterartikel eine Tabelle mit den üblichen Symbole anzulegen, mit Einträgen wie: | leeres Wort | ε | λ | p.p. - Ist Dir hoffentlich nicht zu meta. Gruß Friz -- 77.188.0.21 04:51, 7. Mär. 2011 (CET)

Ich habe nichts gegen sinnvolle Vereinheitlichungen. Die in Diskussion:Leeres Wort angeregte Vereinheitlichung ist keine sinnvolle, weil die Namen dort nicht viel miteinander zu tun haben. Wie dort schon geschrieben: der Text spricht über alle Epsilon-Transitionen (und das, obwohl ein Automat im Allgemeinen mehr als 2 Zustände hat!), das Bild zeigt einen konkreten Automaten mit einer Epsilon-Transition. Die implizit all-quantisierten q₁ und q₂ im Text können also für diesen Beispielautomaten mit p und q belegt werden, dann spricht der Text über diese spezielle Transition in diesem Automaten. --Daniel5Ko 09:52, 7. Mär. 2011 (CET)

Lieber Daniel, Die Formale Grammatik umfaßt etliche Lemmata, und da ist eine Vereinheitlichung natürlich so ein Unterfangen, darum die Idee der Tabelle auf dem Mutterlemma - oder lieber eine neue Site als MetaSyntaxCouch? Gruß Friz -- 77.12.222.70 19:35, 8. Mär. 2011 (CET)

Ja, sowas wäre vielleicht sinnvoll. Ich habe aber keine Ahnung, wo so etwas sinnvollerweise hingehören könnte. Ein neuer Abschnitt in Liste mathematischer Symbole wäre auch 'ne Option. Außerdem kann es sein, dass eine solche Tabelle schon irgendwo anders existiert. Ich habe aber auch keine rechte Lust, mich darum zu kümmern. Sei mutig! :D --Daniel5Ko 20:12, 8. Mär. 2011 (CET)

Denke, das könnte eine gute Idee sein, Friz -- 77.186.138.129 21:29, 11. Mär. 2011 (CET)

Andererseits ist es dafür eigentlich doch zu speziell, daher denke ich, könnte die Tabelle logischer Symbole ein Vorbild sein. Gruß, Friz -- 77.186.183.110 07:29, 12. Mär. 2011 (CET)

Kategorien

Hallo Daniel!
Ja das mit den Kategorien ist nicht so einfach, aber wie gesagt ( siehe scala programmiersprache - disskusion) besser als in der englischen wikipedia. Ich habe hier einmal ein Überblick über ein paar Kategorien, die mich jetzt mal ganz konkret interesieren (siehe Kategorienbaum Softwaretechnik ):
Softwaretechnik -> Programmiersprache -> Deklarative Programmiersprache -> Funktionale Programmiersprache

Softwaretechnik -> Programmierparadigma (dann als EINZIGE Unterkategorie)-> Objektorientierte Programmierung (und diese verzweigt dann wieder auf Sprache)-> Objektorientierte Programmiersprache

bzw.
Softwaretechnik -> Programmiersprache -> Objektorientierte Programmiersprache
Also Programmiersprache bzw. Programmierparadigma?! Wie sollte man das unterteilen?

20:38, 25. Jul. 2010 (CEST) wikiteste2501

Ähm, mir ist nicht ganz klar, was du tatsächlich wissen möchtest (Vielleicht mal mehr Verben in die Sätze einbauen!?). Aber um trotzdem so etwas wie eine Antwort zu geben, die zum Thema zu gehören scheint: "OOP" als Unterkategorie von "Programmierparadigma" einzuordnen, scheint mir auf den ersten Blick bollocks zu sein. --Daniel5Ko 21:26, 25. Jul. 2010 (CEST)

Stelligkeit

Warum hast Du meine Änderung rückgängig gemacht? -- Digamma 23:41, 4. Aug. 2010 (CEST)

Ach du Sch****. Versehen. Ich war wohl am Beschauen der Geschichte und wollte dann eine Kleinigkeitskorrektur vornehmen. Ich reparier's. --Daniel5Ko 23:56, 4. Aug. 2010 (CEST)

So, repariert. Ich glaub', die Warnhinweise (die es ja in einem solchen Fall durchaus gibt) müssten größer sein. Vielleicht sollte am besten der ganze Bildschirm blinken! ;) --Daniel5Ko 00:15, 5. Aug. 2010 (CEST)

Danke. Eine Warnung beim Abschicken wäre vielleicht nicht schlecht. Die Änderung wird nur ausgeführt, wenn sie nochmals bestätigt wird. Viele Grüße -- Digamma 10:10, 5. Aug. 2010 (CEST)

Gleichheit von Tupeln

Vielleicht möchtest Du einen Blick auf den Diskussionsbeitrag vom 17.Sep. auf der TupelDisk werfen und dort antworten? -- 80.134.199.40 12:03, 17. Sep. 2010 (CEST)

Blick geworfen. --Daniel5Ko 00:00, 18. Sep. 2010 (CEST)

Projektion uninteressant für Multimengen ??

Hallo Daniel5Ko,

Da kann ich jetzt nicht ganz mit:

1. definiert unser Autor von Projektion tatsächlich doch Projektion als Operation auf einer ganzen Tabelle,
2. finde ich es absolut interessant, wie aus Mengen mit ihrem allseits bekannten Mengenbegriff Multimengen werden können.

Dass unser obiger Autor Duplikate in der Ergebnisrelation sofort wieder eliminiert, ändert nichts an dem Fakt. (Abgesehen davon, dass die Elimination einen nicht zu vernachlässigenden Aufwand bedeutet.)

Ich habe vielleicht vergessen herauszuarbeiten, dass auch aus Multimengen durch Projektion wieder Multimengen entstehen?

Warum sollte das Wechselspiel zwischen Mengen und Multimengen uninteressant sein ? -- Nomen4Omen 16:50, 21. Sep. 2010 (CEST)

Hallo. Die Projektion hat halt nichts direkt mit Multimengen zu tun. Jede Funktion kann man auf eine Menge passender Werte anwenden — und wenn sie nicht injektiv ist, ist die Ansammlung der Funktionswerte eine Multimenge. Beispielsweise kann man $sin$ auf $\{0,\pi ,\pi /2\}$ anwenden und erhält $\{0,0,1\}$. Kann man vielleicht erwähnen, aber sicher nicht unter der Überschrift "Projektion". --Daniel5Ko 19:10, 21. Sep. 2010 (CEST)

Halten Sie die Kritik im letzten Beitrag in Diskussion:Mathematisches Objekt für angebracht?

Vielleicht kann ich dort eine Antwort von Ihnen auf diese Frage finden. -- 80.134.197.178 10:36, 7. Okt. 2010 (CEST)

Abbildungsmatrix

Wenn Du den Artikel überarbeiten möchtest: Matrix_(Mathematik)#Zusammenhang_mit_linearen_Abbildungen und Lineare Abbildung#Abbildungsmatrix könnten hilfreich sein. -- Digamma 22:04, 14. Okt. 2010 (CEST)

Jo, danke, hab' mich auch schon ein wenig umgesehen. Leider macht das Artikelgeflecht bisher den Eindruck eines ziemlichen Wirrwarrs von leicht abgeänderten Kopien. :) Na, mal sehen... --Daniel5Ko 22:13, 14. Okt. 2010 (CEST)

Eine Frage

Ich habe eine Frage auf der Diskussionsseite von Folge (Mathematik) gestellt. Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir diese beantworten könnten. -- 80.134.183.73 17:42, 16. Nov. 2010 (CET)

Danke ...

... für die Korrektur meiner Schreibfehler.--B-greift 20:25, 6. Feb. 2011 (CET)

Kein Problem. --Daniel5Ko 20:44, 6. Feb. 2011 (CET)

Kommutative Diagramme

Hallo Daniel,

nachdem Du für mich so schöne kommutative Diagramme zum Basiswechsel gemacht hast, hätte ich eine (bzw. zwei) Bitte(n). Ich weiß nicht, wie aufwendig das Anfertigen von kommutativen Diagrammen ist. Aber wenn es nicht zu aufwendig ist:

1. Ich habe im Artikel Abbildungsmatrix einen Abschnitt Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen eingefügt. Könntest Du dazu ein kommutatives Diagramm anfertigen?
2. Dein kommutatives Diagramm aus dem Abschnitt Basiswechsel im selben Artikel habe ich auch im Artikel Basiswechsel (Vektorraum) eingebaut, im Abschnitt Basiswechsel bei Abbildungsmatrizen. Schöner fände ich es allerdings, wenn hier ein Diagramm stünde mit Vierecken statt Dreiecken, die oberen Seiten beschriftet mit $\operatorname {id} _{V}$ bzw. $\operatorname {id} _{W}$. Könntest Du ein solches anfertigen?
3. Zuletzt ist mir noch etwas zu dem andern Diagramm mit dem Basiswechsel eingefallen: Wäre es vielleicht möglich, den unteren Pfeil doppelt zu beschriften, die eine Beschriftung darüber, die andere darunter? Dann könnte z.B. darunter stehen $M_{B'}^{B}(\operatorname {id} _{V})$, und darüber $T_{B'}^{B}$. Das würde die unschöne Gleichung in der Beschriftung des Pfeils vermeiden und trotzdem beide Bezeichnungen unterbringen.

Noch eine kleine Anmerkung zu diesem Diagramm: Das "B'" am rechten Pfeil wird in der Miniatur-Ansicht abgeschnitten. Möglicherweise ragt es nach rechts über den definierten Bildrand hinaus. In der Vollansicht ist es ganz zu sehen. Viele Grüße und im Voraus vielen Dank! -- Digamma 18:39, 14. Feb. 2011 (CET)

Hier nummerierte Antworten:

1. Ja, kann ich machen. Falls ich Fragen zu den Beschriftungen habe, werde ich die hier stellen.
2. Würde mir, glaube ich, auch besser gefallen. Daher werde ich die Datei ersetzen, falls sie nicht inzwischen wider Erwarten noch woanders verwendet wird, und das da nicht passen würde. Diesen Fall kann ich mir zwar kaum vorstellen, aber man weiß ja nie.
3. Das ist eine gute Idee. Mache ich auch mal.

Zur Anmerkung: Oh, danke, ist mir gar nicht aufgefallen. Der Grund ist, dass SVGs aus welchem Grund auch immer vom Server vorgerendert und als PNG verschickt werden. Und dieser Vorrenderer ist ziemlicher Schrott und macht einiges falsch. Eine funktionierende Variante des SVG-Quelltextes zu finden verkommt zu einem Ratespielchen mit andauerndem Hochladen. Das macht überhaupt keinen Spaß!

Gruß, --Daniel5Ko 20:35, 14. Feb. 2011 (CET)

Danke. Ich möchte dich allerdings bitten, die Datei Change_of_basis.svg nicht zu ersetzen, sondern die neue unter anderem Namen hochzuladen. Im Artikel Abbildungsmatrix ist die alte Datei durchaus am Platz, da dort im Text nicht auf die Identitätsabbildung eingegangen wird und die Transformationsmatrix nicht als Darstellungsmatrix der Identitätsabbildung identifziert wird. -- Digamma 21:16, 14. Feb. 2011 (CET)

Oh, richtig. Ein Glück, dass ich mir selbst beim Hochladen dann doch wieder nicht so sicher war und einen anderen Namen gewählt habe. Das Ding heißt Change_of_basis2.svg.

Die Variante des einfachen Quadrats mit einem zweifach beschrifteten Pfeil heißt Change_of_basis_squared2.svg.

Das für die Hintereinanderausführung bastele ich jetzt.

--Daniel5Ko 21:24, 14. Feb. 2011 (CET)

Ach ja, du fragtest ja auch, wie kompliziert das Erstellen der Diagramme ist. Das beantworte ich mal, denn vielleicht willst du das ja auch mal machen. [1] empfiehlt die Erstellung per LaTeX und dann Konvertierung nach SVG, und zeigt, wie das in einer Unix-Umgebung geht. Das hat den Vorteil, dass man z.B. bei der Beschriftung die volle LaTeX-Power hat. Nachteilig ist, dass das Ergebnis nicht mehr so einfach mit einem Text-Editor bearbeitet werden kann, weil selbst Texte als viele Polygone (also nahezu unendlich lange Koordinatenfolgen) ausgegeben werden. Ich bevorzuge es, wenn der SVG-Quelltext einigermaßen lesbar ist, und Text auch als Text dasteht. Daher schreibe ich auch gleich direkt mit einem Texteditor SVG. Allerdings hat man dann das Problem, dass selbst so etwas simples wie Hoch- und Tiefstellung nicht ausdrückbar ist und per Hand nachgebaut werden muss. --Daniel5Ko 23:13, 14. Feb. 2011 (CET)

Closures

Hallo!

Du hattest meinen Beitrag zum Artikel Closure mit folgendem Kommentar gelöscht: "Zielstellung zwar einigermaßen gut und nachvollziehbar, eigentlicher Inhalt aber nicht." Was konntest Du am Inhalt nicht nachvollziehen und warum? Von mir auf den Artikel und meinen Abschnitt verwiesene Kollegen fanden die Erklärung durchaus präzise und verständlich. Kann man vielleicht unterstellen, dass Dir einfach die Programmiersprache, in welcher die Beispiele gehalten waren, nicht hinreichend bekannt war, oder lagen irgendwelche inhaltliche Mängel vor?

Grüße

Stelle dir einen Java- oder C#-Programmierer vor, der wissen will, worum's geht. Dynamischer Scope à la emacs-Lisp ist nicht weit verbreitet und schon lange als viel zu ungünstig, weil unnachvollziehbar, erkannt. Ich sehe keinen Grund, dieses Konzept überhaupt zu erwähnen. Es ist lediglich leicht zu implementieren, ansonsten hat es keine nennenswerten Vorteile. Man kann auf die Idee kommen, dass es irgend etwas brächte, dynamischen Scope und statischen Scope gegenüberzustellen, wenn man erklären will, was Closures sind. Tatsächlich kam ich aber nach mehrmaligem Lesen zu dem Schluss, dass das nichts bringt. Es wird nur gewinnlos abgelenkt. Beachte, dass es auch im originalen Lambda-Kalkül keinen dynamischen Scope gibt. Das ist alles nur ein fauler/bequemer/u.U. ressourcenschonender Hack. :) --Daniel5Ko 00:15, 18. Mär. 2011 (CET)

Deine Ansichten über dynamischen Skopus sind eine Position, die man vertreten kann und die ich teilweise teile. Ja, dynamischer Skopus ist heutzutage die Ausnahme und zu den von manchen angeführten Vorteilen in einem dynamisch erweiterbaren System gibt es verschiedene Ansichten. Dass die von dir vertretene Bewertung des Nutzens dynamischen Skopus' nicht die einzige heutzutagene vertretene ist, zeigt unter anderem die in Clojure, einem rezenten, relativ verbreiteten Lisp-Dialekt, in dem die Beiseitigung von "Altlasten" sehr ernst genommen wird, vorhandene Möglichkeit, diesen optional zu nutzen.

Deine Position klingt in meinen Ohren insofern etwas extrem, als es meiner Ansicht nach hier zumindest nicht schadet, kontrastierende Erklärungen einzubringen, wodurch sich die Vorteile lexikalischen Skopus', nämlich u.A. lexikalische Closures, gegenüber anderer Ansätze klarer abzeichnen. Was Emacs-Lisp und Nachvollziehbarkeit angehen, so richten sich die wenigsten kritischen Bemerkungen über Emacs-Lisp gegen Specials im Allgemeinen, sondern vielmehr dagegen, dass diese dort die einzige (von diversen Krücken abgesehen) vorhandene Option sind. Wäre, wie in Common-Lisp, lexikalischer Skopus die Vorgabe und dynamischer auf Wunsch nutzbar, hätten wahrscheinlich die wenigsten ein Problem damit.

Wenn Du meine Ausführungen als gewinnlose Ablenkung empfindest, so kann ich Dir zwar Deinen Eindruck nicht nehmen, aber trotzdem darauf verweisen, dass es sich hier um eine subjektive Wahrnehmung handelt, die Du objektiv zu untermauern versuchst. Dabei lässt Du jedoch vollkommen außer Acht, dass Erklärungen die Dir, oder einem C++-Programmierer (vielleicht) nicht weiterhelfen, anderen Lesern jedoch sehr wohl die zu erklärenden Konzepte näher bringen können. Der Artikel heißt schließlich nicht "Einführung in lexikalische Closures für ...", sondern sollte, im Hinblick auf einzelne Programmiersprachen, möglichst neutral gehalten werden. Dabei ist es übrigens vollkommen ohne Belang, ob Du eine aus didaktischen Gründen angeführte, zugegebenermaßen selten gewordene, ältere Technik, gutheißt oder nicht. Um einen Vergleich einzubringen: Würdest Du auch in einem Artikel über Monaden eine Gegenüberstellung von veränderlichen Variablen und der State-Monade beanstanden, da erstere in Haskell nicht existieren und in der FP-Ecke einen schlechten Ruf genießen?

Was Deine Erwähnung des Lambda-Kalküls angeht so kann ich nur sagen, dass die anderen im Artikel verwendeten Sprachen wohl im Schnitt weiter vom ungetypten Lambda-Kalkül entfernt sind, als Lisps. Davon abgesehen sollte man nicht übersehen, dass mathematische Modelle in der Praxis recht selten in Reinform auftreten und man selbst in Sprachen wie Haskell nicht um Kompromisse, wie beispielsweise die Einführung von _|_ im getypten LK, herum kommt. Dass sich hieraus eine Konsequenz für die Tauglichkeit des Abschnitts ergeben soll ist bestenfalls ein non sequitur, schlechterenfalls reine Polemik.

Wie gesagt: Deine Position ist zwar nachvollziehbar, aber Vergleiche mit verwandten oder komplementären Konzepten kategorisch abzulehnen halte ich, gerade bei Konzepten, die erfahrungsgemäß einigen Probleme bereiten, für etwas übertrieben. Gerade bei solchen Themen ist es oft hilfreich, Erklärungen aus mehreren Perspektiven anzubieten. Deine Argumentation, die sich anscheinend maßgeblich auf die Nachteile und geringe Verbreitung dynamischen Skopus stützt, scheint mir nicht überzeugend. Der gelöschte Abschnitt enthält, zumindest meiner Ansicht nach, auch keine Fehler (was man jederzeit in einer CL-REPL überprufen kann) und hat sich darüber hinaus bei mehreren meiner Kommilitonen im Rahmen eines universitären Common-Lisp-Seminars (das übrigens nach Prog I (Java) und Skriptsprachen (Ruby) stattfand, also durchaus die von Dir angeführte "Zielgruppe" betrifft) als durchaus nachvollziehbar und hilfreich erwiesen.

Ich denke, dass ich jetzt insgesamt mit dem angesprochenen Abschnitt und dieser "Rechtfertigung" hier erstmal genug Zeit in WP investiert habe. Die Arbeit ist noch nicht verloren und ich würde es begrüßen, wenn Du Deine Ansichten vielleicht noch einmal überdenken würdest.

Grüße

Zu den Monaden: Ja, die genannte Gegenüberstellung würde ich beanstanden, weil sie nichts zum Verständnis beiträgt, sondern beim Leser vermutlich eher die Frage aufwirft: "Ja, was soll denn dann der ganze hochkomplizierte Apparat?". Das interessante ist nicht State, sondern das, was sich auf Typ- und Operationsebene monadenübergreifend abspielt.

Warum ich Lambda-Kalkül erwähnt habe: Dies lag daran, dass der entfernte Abschnitt "Lambda-Ausdrücke" erwähnt. Es erschien mir daher recht naheliegend, auf den Umstand hinzuweisen, dass im Lambda-Kalkül das Konzept dynamischer Scope nicht existiert.

Zum vorletzten Abschnitt: Es geht hier nun mal um Closures, nicht um dynamischen Scope. Ich kann letzteres auch nicht wirklich als verwandt oder komplementär erkennen. Es ist nach meinem Geschmack einfach nochmal etwas ganz anderes... Wieviele Perspektiven willst du denn anbieten? Mir scheint das in Richtung [2] zu gehen.

Nichts desto trotz kannst du den betreffenden Abschnitt auch einfach wieder einfügen, wenn du wirklich denkst, dass der Artikel dadurch besser wird. Ich glaub's nicht, aber das ist eben nur meine Meinung.

Grüße --Daniel5Ko 12:35, 18. Mär. 2011 (CET)

Was Monaden angeht, so hast Du zwar Recht, was deren Essenz anbelangt, aber viele Menschen haben dennoch Probleme, solch abstrakte Konzepte ohne einführende Beispiele, übliche Anwendungsfälle und Vergleiche mit bereits Bekanntem zu begreifen.

Dass dynamischer Skopus im LK nicht vorkommt, könnte man erwähnen, wenn wirklich darauf Bezug genommen würde. Im besprochenen Abschnitt ist das allerdings nicht der Fall. Es wird lediglich darauf hingewiesen, dass anonyme Funktionen in Lisps als Lambdas (bzw. Lambda-Ausdrücke) bezeichnet werden.

Der von Dir erwähnte Blog-Artikel ist mir bekannt. Obwohl die dort vertretene Ansicht auch mir schlüssig erscheint (jedenfalls nachdem ich Monaden, bzw. deren Ausprägung in Haskell, weitestgehend verstanden hatte) ändert es nichts daran, dass ich seinerzeit sehr viele Tutoriale durcharbeiten musste, bis mir schließlich ein Licht aufging. Letztenendes war für mich die Typeclassopedia die klärende Instanz (also der Ansatz, join nach Funktoren, punktierten Funktoren, applikativen Funktoren einzuführen) und die einzig wirklich passende Metapher die des "Kontextes". Das heißt aber nicht, dass anderen, zumindest eine Zeitlang, irgendeine Burrito-Metapher nicht weiterhelfen könnte. Sicher würde es, rein formal, genügen, die entsprechenden Typklassen und die einzuhaltenden Gesetze vorzustellen, aber so tickt nunmal nicht jeder. Ich bin mir allerdings nicht sicher, ob der Vergleich an dieser Stelle wirklich gerechtfertigt ist, da wir es hier nicht mit Dutzenden individueller Metaphern zu tun haben, die oftmals nur Teilaspekte des zu erklärenden Konzeptes verdeutlichen. Im hier besprochenen Abschnitt geht es nicht um Metaphern, sondern um eine konkrete, in existierenden Programmiersprachen bestehende, Dichotomie, die zum Verständnis beitragen kann, aber nicht muss.

Ich persönlich denke, dass der gelöschte Abschnitt, zumindest dem Ansatz nach, den Artikel verbessert. Es gibt, wie gesagt (auch moderne) Sprachen, in welchen die angesprochene Unterscheidung wichtig ist und auch ansonsten kann sie die Vorteile lexikalischen Skopus' verdeutlichen, oder diesen, zumindest historisch, genauer einordnen. Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob der Abschnitt in seiner Gesamtheit wieder eingefügt werden sollte, oder ob er einer Überarbeitung bzw. Kürzung bedarf. Am liebsten wäre es mir eigentlich, wenn ein Dritter, der sich mit der Materie auskennt, das übernehmen könnte, da ich glaube, dass wir beide in gewissem Sinne Extrempositionen vertreten. Ich werde es mir durch den Kopf gehen lassen und dann gegebenenfalls eine überarbeitete Version einstellen, was allerdings noch etwas dauern kann.

Grüße

Okay. Ich fasse mal meine Bedenken mal in zwei Punkten zusammen. Vielleicht hilft dir das beim Erstellen der neuen Version:

1. Wenn du die Vorteile von lexikalischem Scope gegenüber dynamischem nennen willst, ist Closure m.E. nicht der richtige Ort.
2. Was dem einen (gefühlt oder echt) beim Verständnis geholfen hat, kann den anderen verwirren. Hier: Arbeit mit dem nicht benötigten Konzept dynamischer Scope. Das ist eigentlich die einzige Gemeinsamkeit mit der "Monad tutorial fallacy", weshalb ich auch nur schrieb, das Problem ginge in diese Richtung .

Eine dritte Meinung kannst du übrigens hier erfragen. Vielleicht hat ja jemand eine gute Idee...

Möglich ist auch, dass ein erneutes Ping auf Wikipedia:Redaktion_Informatik/Qualitätssicherung/Knacknüsse#Closure mal ein sinnvolles Feedback ergibt.

Grüße, --Daniel5Ko 18:11, 18. Mär. 2011 (CET)

Ok, danke Dir! Es wird allerdings noch ein bisschen dauern, bis ich den Abschnitt ggf. überarbeiten, oder woanders unterbringen kann, da ich im Moment noch einiges zu tun habe.

Grüße

monaden

moin Daniel5Ko! ich hab auf [3] nochmal was geschrieben, was meinst du? -- ∂ 03:08, 4. Apr. 2011 (CEST)

Siehe dort. --Daniel5Ko 21:21, 4. Apr. 2011 (CEST)

C#

• Naja ob man die usings braucht - darüber lässt sich streiten oO jedenfalls spart man sich dadurch das System.Console.WriteLine - insgesamt macht die verlängerte Version von mir den Quelltext länger. Naja eigentlich werden oft Namensräume in der Programmierung mit C# verwendet - dient eig nur dem optischen Überblick oO Aber gut - ich will jetzt nicht stänkern, ich belasse deinen Rollback mal, denn ich möchte keinen Editwar anzetteln. Schönen Abend noch. --Leonardo Branco 19:41, 3. Jun. 2011 (CEST)

Der namespace war das einizige, was einigermaßen sinnvoll war. Kannst du gerne wieder 'reinschreiben. Zum Sparen von "System.Console.WriteLine": du sparst lediglich das "System.", und das ist kürzer als "using System;"... --Daniel5Ko 20:16, 3. Jun. 2011 (CEST)

Ackermannfunktion

Deinen Revert vermag ich fachlich nicht zu beurteilen. Ich hatte nur eine unerläuterte Änderung einer IP zurückgesetzt. Bitte lasse Deine Änderung doch sichten --Ottomanisch 19:56, 8. Jun. 2011 (CEST)

Ich könnte die Änderung auch selber sichten, unterlasse es aber, weil ich bisher noch nicht so ganz davon überzeugt bin, dass die Änderungen vom 30. April gut waren - "frei von offensichtlichem Vandalismus" reicht mir persönlich nicht. --Daniel5Ko 20:07, 8. Jun. 2011 (CEST)

ist mir zu rätselhaft...--Ottomanisch 20:12, 8. Jun. 2011 (CEST)

Was ist daran rätselhaft? Die heutige Änderung durch eine IP ist die Vervollständigung einer größeren Änderung vom 30. April, die ich zwar gesehen, aber bisher nicht eingehend geprüft habe; und wenn ich etwas sichte, stelle ich meist größere Anforderungen als Vandalismusfreiheit: zumindest ich muss überzeugt sein, dass die Änderung gut war. --Daniel5Ko 20:32, 8. Jun. 2011 (CEST)

Da doch ein seltsamer und schwer zu interpretierender Zustand eingetreten war, hab' ich mir nun mal die Zeit genommen, und mir die ältere größere Änderung genauer angeschaut. ...und meinen Segen erteilt. :) --Daniel5Ko 21:26, 8. Jun. 2011 (CEST)

Klinge (Lausitz)

Hallo Daniel5Ko,

der Widerspruch zwischen dem Bahnhofsschild (Glinka) und dem Namen auf dem Ortsschild (Klinka) ist mir auch schon aufgefallen. Das Ortsschild ist aber amtlich und deshalb habe ich mich für "Klinka" entschieden. Auch in der aufgeführten Literatur wird stets "Klinka" geschrieben. Gibt es im Lausitz-Portal keinen Sorbischkundigen? Die Erläuterungen zur Entstehungsgeschichte des Namens sagen, dass er von dem sorbischen Begriff für Lehm oder Ton hergeleitet sei.--lutki 18:33, 24. Jun. 2011 (CEST)

Hallo.

Hier [4] kann man nachlesen, dass die Klinger selber mit der neuen Ortsbeschilderung nicht zufrieden sind/waren und sie für falsch halten/hielten. Wieso ein Wörterbuch festlegen sollte, wie ein Ort geschrieben wird, ist mir auch ein wenig schleierhaft. Wie auch immer, mir ist das relativ Wurscht, es fiel mir nur sofort als "falsch" auf, weil ich es anders in Erinnerung hatte. Dass im Zuge der Erfindung von Wiesengrund (und damit verbunden neue Ortsschilder) eine andere sorbische Schreibung eingeführt wurde, habe ich jetzt erst durch oben verlinkten Artikel erfahren.

Diverse Online-Deutsch-Niedersorbisch-Wörterbücher, die ich mal eben gefunden habe, spucken "glina" als Übersetzung für "Lehm" aus. Hmmm... Keine Ahnung, was da los ist. Aber besonders viel spricht aus meiner Sicht immer noch nicht für "Klinka". --Daniel5Ko 19:32, 24. Jun. 2011 (CEST)

Ja, bei der Herleitung von "Lehm", die im Ortsnamenbuch erwähnt wird, erscheint mir "Glinka" logisch. Allerdings kommt der Autor dann aber trotzdem zu "Klinge". Ich habe jetzt auch noch mal im Wörterbuch sorbischer Ortsnamen nachgesehen Wörterbuch, dort steht für Klinge "Klinka". Das ist schon einigermaßen verwirrend. Ich lasse es erst einmal so stehen.--lutki 22:06, 24. Jun. 2011 (CEST)

Die Rolle der Sprache in der Arithmetik

Hallo, finde es nicht so schön, dass du das aus der Arithmetik rausgelöscht hast. Zumal ich das aus einem Buch habe, was nachweislich existiert. Es steht halt so drin in dem Buch unter Arithmetik, wollte das halt hinzufügen. Mit freundlichen Grüßen -- qweet 18:40, 5. Jul. 2011 (CEST)

Hi. Wenn das in dem Buch wirklich so und in einem annähernd gleichen Kontext drinsteht (was ich bezweifle), ist das halt ein schlechtes Buch...

Gruß, --Daniel5Ko 18:58, 5. Jul. 2011 (CEST)

Die Kundenrezessionen bei Amazon sagen, dass das Buch in Ordnung ist. Und ich möchte mich nun auch nicht wirklich hinstellen und urteilen ob das nun ein "gutes" oder ein "schlechtes" Buch ist. Autor des Buches ist Prof.Dr.-Ing. Hans Kreul, der auch bei der Algebra in den Quellen zu finden ist. Ich würde es gern wieder mit aufnehmen. -- qweet 20:22, 5. Jul. 2011 (CEST)

Ich bin nicht der erste, der den Text entfernt hat. Meinen Grund für die Entfernung habe ich in der Zusammenfassungszeile angegeben: Er passt kaum zum Thema.

Stelle den Text auf der Artikel-Disk.-Seite zur Diskussion. Begründe, warum er geradezu rein muss, und nicht eine Sammlung sachfremder Allgemeinplätze ist. (Danach kannst du ihn auch erstmal wieder in den Artikel selbst schreiben, ohne als Edit-Warrior dazustehen. Ich empfehle das auch ausdrücklich, da man leider oft lange auf Diskussions-Feedback warten muss. Vielleicht überzeugt dich ein dritter Revert durch eine dritte Person davon, dass der Text überhaupt nicht gut ist. Oder vielleicht wird jemand ermutigt, auf deinen Diskussionsbeitrag zu antworten.)

Gruß, --Daniel5Ko 20:44, 5. Jul. 2011 (CEST)

Ok, das ist doch ein Vorschlag. Gruß -- qweet 18:45, 6. Jul. 2011 (CEST)

Formeln

Danke für den Hinweis mit den Einstellungen, jetzt klappt es auch bei mir mit der durchgehenden Darstellung als mathematische Zeichen. --Wikilaser 13:35, 8. Jul. 2011 (CEST)

Seltsam ist, daß diese Einstellungen bei nur funktionieren, wenn ich als User angemeldet bin. Ohne Abmeldung bleibt das Durcheinander. Ich habe mal geschaut, aber nichts gefunden: Kann man das auch allgemein entsprechend einstellen? --Wikilaser 13:41, 8. Jul. 2011 (CEST)

Als unangemeldeter Benutzer hat man die Grundeinstellungen. Und die lauten in dem Fall halt: Wenn möglich, HTML. Da führt kein Weg dran vorbei. --Daniel5Ko 14:12, 8. Jul. 2011 (CEST)

Kellerautomat

Danke! Ich war immer zu faul, was über Konfigurationen zu schreiben. Ich habe noch ein, zwei Sachen nachgetragen. -- UKoch 18:40, 31. Jul. 2011 (CEST)

Okay, alles klar. Die $\gamma '\in \Gamma ^{*}$ hatte ich aber extra weggelassen, weil die Zeilen schon recht länglich waren, und diese Aussagen sich aus den $(z',\gamma ')\in \delta (...)$ ergeben... :) --Daniel5Ko 19:28, 31. Jul. 2011 (CEST)

'

Alter Charmeur. --Leif Czerny 00:11, 27. Sep. 2011 (CEST)

Charmeur? Ich? --Daniel5Ko 00:20, 27. Sep. 2011 (CEST)

Dein Hausaufgabenauftrag inklusive der Ermahnung, ja nichts kaputt zu machen haben mir das Gefühl gegeben, wieder sehr jung zu sein. Liebe Grüße --Leif Czerny 09:33, 27. Sep. 2011 (CEST)

Fixpunktsatz von Tarski und Knaster

Hallo und Danke für das Erstellen des genannten Artikels. Ich wollte mal anfragen, ob du noch einen weiteren Ausbau planst (zumindest in naher Zukunft)? Falls nein, so würde ich zumindest anregen, einen "Überarbeiten-Baustein" in den Artikel zu setzen, da dieser mMn nicht so wirklich viele allgemeinverständliche Aussagen (also Dinge für die Oma ;-)) enthält. Grüße, -- KMic 13:51, 30. Sep. 2011 (CEST)

Ja, natürlich habe ich noch vor, am Artikel zu arbeiten. Das sieht man ja u.a. an den TODO-Kommentaren ;) . Einen genauen Plan habe ich zwar noch nicht, aber ich denke, das wird in den nächsten paar Tagen schon.

Ich hab' ihn trotzdem schonmal in den ANR entlassen, da möglicherweise jemand ein paar gute Ideen hat, sich aber von einem Artikel im BNR fernhalten würde...

Gruß, --Daniel5Ko 14:59, 30. Sep. 2011 (CEST)

Wieder Kellerautomat

Hallo Daniel5Ko, Zahnradzacken und ich diskutieren auf Diskussion:Kellerautomat über eine Neuformulierung der Funktionsweise des PDA. Vielleicht hast Du ja Lust, Dich zu beteiligen? -- UKoch 15:48, 7. Nov. 2011 (CET)

Wenn mir etwas beitragenswertes in den Sinn kommt, werde ich meinen Senf dazugeben. Bisher habe ich keine Meinung oder nette Idee oder Einwände oder ähnliches. Gruß --Daniel5Ko 21:13, 7. Nov. 2011 (CET)

Diskrete Topologie

Hallo,

Ist der Artikel über die diskrete Topologie von Dir geschrieben?

Da es um die Definition(!) der diskreten Topologie geht, bin ich mit folgendem nicht einverstanden: Ich finde,dass man aus Deinem Text (wenn von Dir geschrieben) vermuten kann, was die diskrete Toplogie ist, aber die Formulierung der Definition der diskreten Topologie ist "einbisschen" kompliziert/verwirrend. Wenn man genauer sieht, dann ist sie sogar falsch. Du benutzt in der Definition im Prinzip zwei Sätze, wobei der zweite Satz mit "das heisst" beginnt ("das heisst" bedeutet eigentlich normalerweise eine äquivalente Umformulierung von dem Satz zuvor). Man kann das z.B so interpretieren (für einen , der sich wenig mit dem Thema auskennt und nach einer Definition im Internet sucht): Der erste Satz ist die vollständige Definition und der zweite Satz ist eine Erklärung (mit "das heisst") dieser Definition. Aber (!) der erste Satz ist keine Definition der diskreten Topologie. Die Definition von der Topologie und Deiner Definition der diskreten(!) Topologie unterscheiden sich nicht. Die diskrete Topologie zeichnet sich dadurch aus, dass alle Teilmengen von X in der Topologie enthalten sind. Da die diskrete Topologie eine Topologie ist , sind "automatisch" alle Mengen darin offen. Deshalb muss/soll man nicht explizit schreiben, dass alle Mengen in der diskreten Topologie offen sind!! Sonts wird es tautologisch. Wichtig ist, dass die diskrete Topologie die Potenzmenge von X ist . Das hast Du im ersten Satz nicht erwähnt. Du hast im nächsten Satz nur gesagt, was der erste Satz bedeutet ( mit der äquivalenten Umformulierung (mit "das heisst" am Anfang des Satzes)). Da aber der erste Satz nicht äquivalent zum zweiten Satz ist , soll man "das heisst" nicht verwenden, oder besser schon im ertsen Satz die Potenzmenge zu erwähnen (also: diskrete Topologie ist eine Topologie,wenn in ihr alle Teilmengen von X enthalten sind (oder noch kürzer : die diskrete Topologie ist eine Topologie , wenn sie der Potenzmenge von X gleich ist).Ich habe zuvor (in der "Versionsgeschichte" ) den Text verändert und nun würde ich diesen nochmal umändern ( umändern auf : die diskrete Topologie ist eine Topologie , wenn sie der Potenzmenge von X gleich ist).

Gruss Igor

Der Artikel ist nicht von mir; und von mir aus kann der "das heißt"-Satz auch weg. Er verwechselt Formulierungs-Akzidenz mit eigentlichem Inhalt.

Wichtig ist, dass die Topologie eines Raumes festlegt, welche Mengen offen sind (oder dazu äquivalente Information bereitstellt). Das kann nun durch Angabe der Menge der offenen Mengen geschehen, oder durch Angabe der Menge der abgeschlossenen Mengen, oder durch entsprechende Prädikate, oder durch einen Hüllenoperator, oder, oder, oder. Ich stehe auf dem Standpunkt, eine Topologie ist nicht eine Menge von offenen Mengen, genauso wenig wie eine Funktion eine Menge von Paaren ist.

Gruß, --Daniel5Ko 22:18, 9. Jan. 2012 (CET)

Hallo,

Eine Topologie erfüllt definitionsgemäß drei Axiome. Ausserdem gilt , dass jede Menge in der Topologie offen ist!Diskrete Topologie ist aber nicht bloß nur eine Topologie, sondern sie besitzt eine Eigenschaft extra und zwar: die diskrete Topologie (als Menge betrachtet)bzgl X ist gleich der Potenmenge von X.

Gruss Igor

Ich weiß. Es besteht aber kein Grund dafür, zur Beschreibung, was die diskrete Topologie auf der Punktmenge X ist, anstelle von "jede Teilmenge von X ist offen" zu sagen: "Die Menge aller offenen Teilmengen von X ist die Potenzmenge von X". Zumal letzteres eben nur eine mögliche Kodierung ist. Zwar steht im Artikel nur "jede Menge ist offen", aber es ist ja eigentlich einigermaßen klar, welche Mengen gemeint sind, denn das ist das Wesen einer Topologie über X: Für jede Teilmenge von X wollen wir wissen, ob sie offen ist. (Dieses Prädikat muss nebenbei noch ein paar Axiome erfüllen). Unglücklich ist vielleicht auch, dass im Artikel "eine Topologie, in der alle Mengen offen sind" steht, was den Leser in Richtung der unwesentlichen Mengenformulierung leitet - und über diese eben auch als eine Falschaussage interpretiert werden kann. Wie wär's mit "eine Topologie, unter der alle Teilmengen von X offen sind"? Der darauffolgende Satz wäre dann erst die selbe Charakterisierung mit der oft verwendeten, aber eben nicht wesentlichen, Mengenkodierung des Offenheitsprädikats.

Gruß, --Daniel5Ko 16:02, 11. Jan. 2012 (CET)

Wenn ich meinen Senf dazu geben darf: Wie wär's mit "eine Topologie, bei der jede Teilemnge von X offen ist"? --Digamma 22:37, 11. Jan. 2012 (CET)

Klar darfst du. :) Hmm, also "bei" kommt mir sehr falsch vor, ohne das besonders gut begründen zu können. Das hört sich so nach am Rande danebenstehen an. Mein "unter" finde ich zwar auch nicht soo berauschend, u.a. passt das gut mit "Topologie auf" zusammen. Vielleicht findet man auch eine Formulierung ganz ohne Präposition an dieser Stelle, oder mit einem "in", das sich nicht auf die Topologie bezieht. Etwa "Ist $(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum, in dem jede Teilmenge von $X$ offen ist, so ist ${\mathcal {T}}$ die diskrete Topologie auf $X$." --Daniel5Ko 00:29, 12. Jan. 2012 (CET)

Hallo,

Ich denke, dass man den Begriff "offen" gar nicht erwähnen muss. Der Begriff "offen " soll in der Definition von Topologie vorkommen! Diesbezüglich kann ich nochmal wiederholen :

Dass alle Mengen in einer Topologie offen(!) sein müßen, ist naturgemäß so (im Analysis 2 Buch von Otto Forster steht folgendes: Eine Menge in einem topologischen Raum heißt offen, wenn sie in der Topologie enthalten ist.)

Diskrete Topologie ist eine Topologie(!), die der Potenzmenge (von X) gleich ist. Mit diesem Satz ist alles gesagt, was man sagen muss. Alles andere ist überflüßig für eine offizielle Definition von der diskreten Topologie. Etwas längere Version (die ich auch am Anfang gemeint habe ) ist: Diskrete Topologie ist eine Topologie(!), in der alle Teilmengen von X enthalten sind. Hier ist nur Potenzmenge als die Menge aller Teilmengen von X ausdrücklich erwähnt.

Gruss Igor

Ich weiß, was du meintest. Das hast du ja auch in den Artikel geschrieben. Mir ist "alle offen" wichtig, denn darum geht's. Dass eine Topologie eine Menge sei, darum geht's überhaupt nicht. Das geht in Richtung überflüssiges, nicht mit Gewinn behaftetes und, mit ein wenig Pech, irreführendes "Implementationsdetail". Gruß --Daniel5Ko 00:29, 12. Jan. 2012 (CET)

Hallo,

Topologie ist eine Menge ! Also: "in" der Topologie hört sich schon logisch ( bzgl. Mengenbegriff sehr natürlich/ Definitions nah) an.

Nach wie vor bin ich dafür, dass man Reihenfolge bei Definitionen (allgemein gesehen) nicht verwechselt. Damit meine ich folgendes: Wenn zuerst der Begriff Topologie definiert werden soll und dann der Begriff der diskreten Topologie, dann soll es auch so gemacht werden. Wenn man also zuerst "Topologie" definiert, dann ist das sehr sinnvoll dort zu erwähnen, dass die Elemente einer Topologie immer offen sind (das ist die "Essenz" der Topologie, dass alle Elemente davon offen sind). Eigentlich habe ich in wikipedia unter dem Begriff "Topologie" nichts explizites über offene Mengen gesehen, sondern über offene Umgebungen; wobei diese wirklich in einer relativ komplizierten Form (zumindest für mich) erwähnt werden. Man kann "Topologie" viel einfacher definieren (siehe z.B Analysis 2 Forster). Und wenn man diese einfache Definition hat, dann kann man in die Tiefe gehen und einige Bemerkungen, die interessant sein können, weiter unten anfügen.

Ich wiederhole letztes Mal(nur zur Sicherheit, dass es Euch wirklich klar ist, was ich meine. Ich habe das Gefühl, dass wir verschiedene Vorstellungen von der Topologie bzw. diskrete Topologie haben) :

DEFINITION Eine diskrete Topologie auf X ist eine Topologie(!!) (in der alle Mengen offen sind !! ), die der Potenzmenge von X gleich ist.

(was in Klammern steht gehört natürlich nicht zur Definizion selbs, sondern meine Bemerkung/Erklärung)

Ansonsten: Wenn Dir "offene Mengen" wichtig ist und Du das wirklich so meinst, dann mache , wie Du es willst. (kein Thema, ich will nichts aufzwingen, obwohl das vielleicht so aussehen mag. Ich wiederhole mich, weil ich nach wie vor mit der Definition nicht 100% einverstanden bin. Wie sie jetzt steht, ist nicht falsch, aber auch nicht ganz clever formuliert. Ich bin mir ziemlich sicher, dass man das besser machen kann. Ich habe ja meinen Vorschlag (und dazu Begründung ) schon abgegeben).

/(nebenbei bemerkt: ich habe nicht gesagt, dass es (bzgl Definition) wichtig ist, zu erwähnen,dass Topologie eine Menge ist, sondern es kann hilfreich sein, einfach bei der Formulierung guter Definition für den Definitionsschreiber daran sich zu erinnern, dass Topologie eine Menge ist. Damit kann man vielleicht bequemer Definitionsgehalt formulieren.)/

...Nur, meiner Meinung nach , ist dann wikipedia kein wirklich ausgezeichneter Platz , um Definitionen nachzuschauen. Sie verwirrt durch unordentliche Reihenfolge und komplizierte Formulierungen. Es ist besser richtig und einfacher, als richtig und kompliziert.

Aber , wie gesagt, es kann sein ,dass wir einfach verschiedene Vorstellungen haben, was in wikipedia stehen soll.

Meine Vorstellung ist: Es soll ein systematischer, Ordnungs einhaltender, unkomplizierter Aufbau von Definitionen darbieten.

Gruss Igor

Wenn du eine andere Meinung als meine hören willst, warum sprichst du dann nur mich an? Benutze die Diskussionsseite des Artikels. Im übrigen erhebe ich natürlich auch keinen Besitzanspruch o.ä. auf den Artikel. Mit meinem Revert habe ich ledigich verkündet, dass ich nicht völlig damit einverstanden war, dass die Charakterisierung der diskreten Topologie auf X als "alle Teilmengen von X gelten als offen" (okay, das stand nicht so da, war aber so gemeint), die man durchaus auch als Definition nehmen kann, ohne Notwendigkeit in Mengensprech kodiert worden ist.

Lass' dich bitte nicht durch mich davon abhalten, den Artikel zu ändern. Das gibt dann vielleicht auch Feedback von mehr Leuten.

Gruß, --Daniel5Ko 02:05, 14. Jan. 2012 (CET)

Hallo, ich habe auch dort die Diskussion gestartet. Jedoch, es gibt noch keine Antwort darauf.Ich weiß nicht, ob Du die Diskussion(einen Beitrag von mir, den ich auch Dir geschrieben habe) dort schon gesehen hast. Ansonsten kann ich nur sagen, dass wenn sich dort jemand meldet, ist gut; wenn nicht, dann ist auch nicht schlimm. Ich kann es überleben.;)Ich habe ja mit einwenig Mühe(durch den Artikel in wikipedia hervorrufen) endlich verstanden, was die diskrete Topologie ist. Andere Definitionen werden mich hoffentlich(!) nicht verwirren.Dann sagen wir Prost! auf Wikipedia und belassen erstmal die Diskussion hier.(Wenn Du möchtest,kannst in der "Diskussion" über "diskrete Topologie" weiterschreiben) Wenn jemand möchte, werde ich die Diskussion dort mit jemandem führen.

Gruss Igor

Satz über monotone Klassen

Hallo, ich weiß leider nicht wer Recht hat - du mit der Rückänderung oder der Vorgänger mit der Ergänzung einer Bedingung. Ich weiß nur, dass deine Begründung für das Rückgängigmachen nicht schlüssig ist. Beispielsweise ist ohne die Forderung, dass $f$ beschränkt ist, der Raum aller beschränkten Funktionen auf ]0,1] kein monotoner Vektorraum (betrachte $f_{n}(x)={\tfrac {n}{nx+1}}$, deren punktweiser Limes $f(x)={\tfrac {1}{x}}$ nicht beschränkt ist); mit dieser einschränkenden Forderung dagegen ist es einer (wenn der punktweise Limes beschränkt ist, dann ist er beschränkt). Hilfreich zur Entscheidung wäre Literatur - hab ich hierzu jetzt leider nicht.--Hagman 23:27, 27. Jan. 2012 (CET)

Ich ging einfach vom Start der Def. aus: "Eine Menge ${\mathcal {H}}$ von beschränkten [...]". Wenn also $f\in {\mathcal {H}}$ gefordert wird, ist dieses dann auch beschränkt. Aber nun, da ich das hier hingeschrieben habe, merke ich auch selber, dass das für sich ja gar nicht reicht, um die eingängliche Forderung der Beschränktheit von f weglassen zu können. Der Grund für meinen Revert ist also nicht gegeben. Revert revertiert. --Daniel5Ko 00:08, 28. Jan. 2012 (CET)

Nachtrag: Die angegebene Literatur Protter "Stochastic integrals and differential equations" ist auf Google Books einsehbar und fordert in ihrer Def. von monotonen Vektorräumen die Beschränktheit von f. Ergo: Änderung war wohl gut. --Daniel5Ko 00:20, 28. Jan. 2012 (CET)

Anmerkung in Diskussion: Würfelverdoppelung

Hallo Daniel5Ko, ich bin leider enttäuscht von deinem "Kommentar" in Diskussion:Würfelverdoppelung zu "Angenäherte zeichnerische Lösung mittels Bleistift, Zirkel und Lineal ohne Maßeinteilung" . Meist machst du m. E. fachlich sehr gute und vorurteilsfreie Anmerkungen. Ersetze bitte die Zahlenkolonne durch einen, deinem Können angemessenen, Kommentar. Danke und Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 23:28, 8. Mär. 2012 (CET)

Hallo. Also ich weiß nicht genau, was man da wirklich antworten soll. Der Punkt ist ja, dass man ${\sqrt[{3}]{2}}$ beliebig genau annähern kann. Die "Zahlenkolonne" ist eine beste Näherung (in dem Sinn, dass jede rationale Zahl, die näher am Ziel liegt, einen größeren Nenner hat), und zwar jene, die die mit dem kleinsten Nenner ist, der mit der (dezimalen) Ziffernfolge "10000" beginnt. (Jedenfalls, wenn ich mich nicht vertan hab'...) --Daniel5Ko (Diskussion) 23:38, 8. Mär. 2012 (CET)

Hallo, ob dein Bruch die beste Näherung von ${\sqrt[{3}]{2}}$ ist, habe ich nicht überprüft. Du weißt sicher auch, in einer Konstruktion ist dieser Bruch nicht darstellbar. Mein Ziel war, in die Konstruktion mit Zirkel und Lineal eine möglichst sehr große konstruierbare Annäherung von ${\sqrt[{3}]{2}}$ einzubringen. Überprüfe doch dahingehend die Konstruktion, schreibe deine Meinung, aber lösche bitte die "beste Näherung" aus dem betreffenden Abschnitt, sie trifft nicht das Thema. Danke, Gruß --Petrus3743 (Diskussion) 01:48, 9. Mär. 2012 (CET)

Du gehst mit deiner Konstruktion einfach von einer bestimmten rationalen Näherung aus. Von dort aus ist es eigentlich im Prinzip nur eine Streckenverlängerung per Strahlensatz. Du hast nun ein paar ad-hoc-Tricks dabei, die es ermöglichen, die Konstruktion mit weniger benötigtem Platz auszuführen. Das ist aber wegen der ad-hoc-Natur nicht besonders interessant. Hättest du einen allgemeingültigen Algorithmus angegeben, der für jede rationale Näherung eine Konstruktion liefert, sähe es vielleicht anders aus. Aber das gibt's sicher schon (jetzt nicht für annähernde Würfelverdoppelung, sondern eben allgemein für platzsparende rationale Streckenskalierung). Beste Näherungen findet man extrem leicht z.B. anhand des Stern-Brocot-Baumes oder mit Kettenbrüchen o.ä.. In Mikrosekunden findet man damit etwa ${\frac {96389}{76504}}$. Die Näherung zu ermitteln, die ich angab, dauerte auf dem Rechner, an dem ich saß, ca. 5 Sekunden. --Daniel5Ko (Diskussion) 03:12, 9. Mär. 2012 (CET)

Danke für deine sachliche Kritik und hilfreichen Infos, ich werde die Hinweise bald ausprobieren! Den Bruch ${\frac {96389}{76504}}$ und den Teiler von 76.504 habe ich mittels Excel ermittelt. Nun, da ich noch keine theoretisch genauere Konstruktion bezüglich Würfelverdoppelung im Internet gefunden habe, wollte ich einfach mal meine zur Diskussion stellen. Mir ging es weniger darum ob das Werkzeug Strahlensatz in der angewandten Form bekannt oder allgemein anwendbar ist, sondern, wie gesagt, um das Ziel eine theoretisch sehr genaue Annäherungslösung des Problems bzw. ähnlicher Probleme (siehe auch [[5]] und [[6]]) zu erreichen. Vielleicht kannst du mir noch meine an dich gerichtete Bitte ("Zahlenkolonne") erfüllen. Gruß --Petrus3743 (Diskussion) 11:45, 9. Mär. 2012 (CET)

Ich verstehe immer noch nicht, was "theoretisch sehr genau" heißen soll. Mit einem besseren Näherungsbruch wird's genauer... Darauf weist die Zahlenkolonne hin, und lustig für nachfolgende Leser ist sie sicher auch, denke ich mal. Deshalb kann sie ruhig stehenbleiben. --Daniel5Ko (Diskussion) 17:18, 9. Mär. 2012 (CET)

Spät, aber doch noch umgesetzt... Kannst du darin einen allgemeingültigen Algorithmus erkennen? http://www.geogebratube.org/student/m46837 Gruß --Petrus3743 (Diskussion) 20:00, 29. Dez. 2013 (CET)

Hmm, aus dem, was ich da sehe, kann ich keinen Algorithmus ableiten.

Zum einen ist nicht genau genug beschrieben, was er leisten soll (etwa: zu einer gegebenen beliebigen positiven rationalen (oder doch nur mit Zehnerpotenzen im Nenner? größer 1? kleiner 2?) Zahl q soll eine Strecke der länge q konstruiert werden, wobei eine mit Länge 1 gegeben ist; das ganze auf möglichst kleinem Raum, sonst wär's ja trivial; was "auf möglichst kleinem Raum" bedeutet, müsste aber auch noch spezifiziert werden).

Zum anderen sehe ich auch nicht, wie er das dann macht. Optimal wäre so etwas wie ein Stück Pseudocode für ein Programm, das aus einer rationalen Zahl eine Folge von Zirkel-und-Lineal-Konstruktionsschritten generiert. Hätte man das, wüsste man sehr genau, worüber man eigentlich spricht, und man kann dem Ziel nachgehen, zu beweisen, dass der Algorithmus funktioniert oder halt nicht (relativ zur bisher nicht sehr genauen Spezifikation).

Zu guter letzt es eigentlich völlig irrelevant, dass man damit näherungsweise eine Würfelverdoppelung vornehmen kann. Der größte Teil von dem, was man in dem Sheet sieht ist daher hauptsächlich Platzverschwendung.

Gruß, Daniel. --Daniel5Ko (Diskussion) 02:07, 30. Dez. 2013 (CET)

Danke für deine konstruktiven Anmerkungen. Pardon, du hast recht, aus dem angegebenen Beispiel ist die angewandte Methodik mit den sich wiederholenden Schritten nicht erkennbar.

Ich hoffe mit den folgenden Beschreibungen / Hinweisen wird es verständlicher:

- Problem-/Aufgabenstellung: Stelle eine Zahl (Vorzeichen + oder - ) konstruktiv mittels Zirkel und Lineal auf einem Zahlenstrahl dar.

- Für Zahl steht: Unechter Bruch, z. B. Ganze Zahl mit 1 als Nenner z. B. 355/1 (die „konstruierte“ 1 wird benützt um einen Parallele einzeichnen zu können, die ergebnisbildend den Zahlenstrahl schneidet) oder 355/113 etc.; echter Bruch und Dezimalzahl (siehe Beispiele)

- Konstruktionsschema: siehe geogebratube.org/material/show/id/51266

- Methodik bzw. die sich wiederholenden Schritte an einem Beispiel: siehe geogebratube.org/student/m51274

- Ein Beispiel mit ähnlicher Methodik und spezieller Beschreibung zeigt die Seite udo-brechtel.de

- zu "auf möglichst kleinem Raum": „möglichst“ bezieht sich auf noch optisch gut erkennbaren Abstand zweier Punkte (konstruierte Zahlen, Zirkeleinsatz).

Bleibt die Frage: Kannst du darin einen allgemeingültigen Algorithmus erkennen? Wenn nicht, was würde dazu noch fehlen? Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 20:15, 30. Dez. 2013 (CET)

Nein, ich erkenne keinen allgemeinen Algorithmus. Was fehlt, merkst du am besten, indem du einfach versuchst, ein entsprechendes Programm zu schreiben (nicht mehrere für verschiedene rationale Zahlen, sondern eins für alle).

Das PDF-Dokument http://www.udo-brechtel.de/mathe/quadratur/355_113_beschreibung.pdf geht ja schon ein Stück in die richtige Richtung, aber ist insgesamt viel zu vage und erfordert einen intelligenten Ausführungsagenten. Gruß, --Daniel5Ko (Diskussion) 23:54, 30. Dez. 2013 (CET)

Nun, das mit "... indem du einfach versuchst, ein entsprechendes Programm zu schreiben ... " wird wohl nichts mehr. Mein letztes Programm schrieb ich für eine Min-Max-Rechnung in FOCAL-69 (!). Daniel, jetzt etwas viel Wichtigeres: Prosit Neujahr!

Gruß --Petrus3743 (Diskussion) 14:57, 1. Jan. 2014 (CET)

Prosit Neujahr! :) --Daniel5Ko (Diskussion) 23:07, 1. Jan. 2014 (CET)

Vektorraum, bzgl. [7]

Hallo,

Es stimmt, dass diese Einschränkung nicht ganz richtig war, im Polynomring etwa die Faktoren vor den xⁿ zu betrachten, ist nicht ganz unüblich. Aber: Nimm einen typischen Funktionenraum, wer würde da auf die Idee kommen, Funktionen als Linearkombinationen von Basiselementen und lineare Funktionale als dünn besetzte Matrizen anzusehen? Vllt. kommt das sogar in einzelnen Überlegungen vor, aber konkret rechnen wird man damit bestimmt nicht, weil sich eine solche Basis auch gar nicht ohne weiteres angeben lässt. Oder eine Basis von ℝ als ℚ-Vektorraum, die wird einem auch nur in theoretischen Erwägungen begegnen. Meinung? Formulierungsvorschlag? Grüße --Chricho ¹ ² 09:15, 18. Apr. 2012 (CEST)

Hallo.

Der Punkt ist eben, dass "Basis für V angegeben / gewählt" nicht das selbe ist, wie "V endlichdimensional". Hätte ich einen guten, kurzen und verständlichen Ersatz gekannt, so hätte ich den reingeschrieben, statt einfach nur "endlichdimensional" zu entfernen.

Gruß, --Daniel5Ko (Diskussion) 11:04, 18. Apr. 2012 (CEST)

Körper (Algebra)

Hallo Daniel,

warum hast du diese Änderung gesichtet? Viele Grüße, --Digamma (Diskussion) 21:23, 21. Apr. 2012 (CEST)

Oops, keine Ahnung. Mein Hirn war wohl nicht richtig in Betrieb. Danke für die Richtigstellung. --Daniel5Ko (Diskussion) 22:47, 21. Apr. 2012 (CEST)

Trivialerweise erfüllbar

Hallo, mal abgesehen davon, dass dein Revert genau richtig war: Wieso sollte es denn sonst trivialerweise möglich sein? Falls P=NP wäre das doch sogar äquivalent. --Chricho ¹ ² 23:47, 26. Mai 2012 (CEST)

Mir ist ein paar Minuten später auch aufgefallen, dass ich da Blödsinn schrieb. Leider kann man Änderungskommentare nicht ändern! :D Die Idee, die in mir rumgeisterte, und die ich nicht zuende gedacht habe, war: Eingabe lesen, dabei nichtdeterministisch den Pfad wählen, der am Ende das richtige Ergebnis liefert → O(n). Gruß, --Daniel5Ko (Diskussion) 00:17, 27. Mai 2012 (CEST)

Du wurdest auf der Seite Vandalismusmeldung gemeldet (12:45, 29. Mai 2012 (CEST))

Hallo Daniel5Ko, Du wurdest auf der o. g. Seite gemeldet. Weitere Details kannst du dem dortigen Abschnitt entnehmen. Wenn die Meldung erledigt ist, wird sie voraussichtlich hier archiviert werden.
Wenn du zukünftig nicht mehr von diesem Bot informiert werden möchtest, trage dich hier ein. – SpBot 12:45, 29. Mai 2012 (CEST)

Operationsverstärker

Aufaddieren ist eine Stilblüte, die m.E. in einem seriösen Artikel vermieden werden soll. Addieren heißt zusammenzählen. Und was soll dann 'aufaddieren'? Gibt es auch 'abaddieren'? Dann bitte 'kumulieren' benutzen. Gruß --Gruenschuh (Diskussion) 20:55, 21. Jun. 2012 (CEST)

Unsinn. "Addieren" hat je nach Kontext viel mehr Bedeutungen als "aufaddieren". Dies kann dazu führen, dass eine Passage missverständlich oder unverständlich wird, wenn man "addieren" statt "aufaddieren" schreibt. Wenn dir "aufaddieren" nicht gefällt, ersetze es durch etwas adäquates. --Daniel5Ko (Diskussion) 21:12, 21. Jun. 2012 (CEST)

Worin besteht der Unterschied zwischen Aufaddieren und Zusammenzählen (= Addieren)?
Könnte vielleicht 'Kumulieren' gemeint sein?
Ich bin Sprachpurist und halte 'aufaddieren', 'zusammenaddieren', 'auseinanderdividieren' u.ä. für unzulässige Vergewaltigungen der Sprache. Ich weiß, über Stil lässt sich trefflich streiten, aber Wikipedia sollte eigentlich eine möglichst seriöse Enzyklopädie sein. Ich kann jedoch nicht in dem einem Artikel lesen, dass Pleonasmen vermieden werden sollen und andererseits darüber hinwegsehen.
'Aufaddieren' heißt Aufzusammenzählen. Klingt irgendwie lustig. [Siehe auch hier.] Und demnächst gibt es die Rechenarten Aufaddition, Wegsubtraktion, Zusammenmultiplikation und Auseinanderdivision.
Aber bitte, wenn es in den Artikel hineingehört und der mathematisch-korrekten Logik dient, bitte sehr. Mir wurde in meinem Studium etwas anderes beigebracht. Außerdem möchte ich einem erfahrenen Wikipedianer nicht widersprechen wollen und gerne die Fach-Autoren weiterhin 'aufzusammenzählen' lassen.
Auf jeden Fall produzieren solche Stilfehler hämische Lacher und erhöhen nicht gerade die Reputation von Wikipedia, es sei denn, dieser Artikel gehört zur Belletristik und der Pleonasmus ist als Stilmittel gewollt..
Ich für meinen Teil freue mich jedenfalls bei meinen erstellten Artikeln immer über freundliche Korrekturen, falls ich aus Dummheit oder Versehen Fehler gemacht habe. Gruß --Gruenschuh (Diskussion) 23:23, 21. Jun. 2012 (CEST)

Du darfst gerne Sprachpurist sein, wenn du dadurch Artikel nicht schlechter machst, als sie schon sind. Hier Nachhilfe:

• Wird von "Aufaddieren" gesprochen, kann man sich ziemlich sicher sein, es mit einer Operation zu tun zu haben, die beliebig viele Operanden gleichen Typs entgegennimmt. Wenn die Operanden als Folge vorliegen, kann das Ergebnis die Gesamtsumme sein, oder die Folge der Partialsummen.
• Mit "Addieren" kann daneben eine von ggf. mehreren möglichen Operationen gemeint sein, die exakt zwei Operanden verarbeitet, die darüberhinaus vielleicht nicht mal gleichen Typs sind (z.B. in der Geometrie so etwas wie (Vektor, Vektor) → Vektor, und (Vektor, Punkt) → Punkt). Auch möglich ist, dass zwei Folgen addiert werden und im Ergebnis eine Folge entsteht.

Beim OPV-Artikel bedeutet das: "Aufaddieren" kann eigentlich fast nur Kumulieren/Integrieren heißen, "Addieren" hingegen kann (wenn das überhaupt jemand versteht) auch als eine zweistellige Operation interpretiert werden, wobei der Autor aber scheinbar vergessen hat, den zweiten Operanden anzugeben (der erste ist die Eingangsspannung). --Daniel5Ko (Diskussion) 00:08, 22. Jun. 2012 (CEST)

Stack-Address

Ich bitte um die Rückgeängigmachung dieses Unsinns. Es handelt sich nicht um eine "Adresse" die auf "Stack" eingeschränkt ist, sondern um einen eigenständigen Fachbegriff "Stack-Address" oder auch "Stackaddress". Das Vermischen mit deutschen falschen Freunden bringt hier keine Verbesserung. Falls irgendwann aufgrund der Rechtschreibregeln §37 (E4) ein Begriff "Stackadresse" nachweisbar wäre, dann kann dieser auch verwendet werden. Ich kann so einen Begriff aber nirgends finden. Ich bitte dich das Revert rückgängig zu machen, oder Nachweise für diese Denglischkreation in ernstzunehmender Literatur zu liefern.--Boshomi (Diskussion) 12:56, 9. Jul. 2012 (CEST)

Doch, es handelt sich um eine "Adresse", die auf "Stack" eingeschränkt ist. Dafür kann ich doch nichts. "Adresse" ist auch kein falscher Freund. Früher war es auch im Informatik-Bereich üblich, Worte einzudeutschen. Von dort kommt das Wort Adresse. "Stapel" für "Stack" wurde auch mal verwendet, oder zumindest propagiert. Heute ist das jedenfalls wieder weitgehen außer Mode. Dass "Adresse" genauso wieder aus der Mode gekommen sein soll, wäre mir neu.

Verwendungsbeispiele lassen sich zu Hauf finden. --Daniel5Ko (Diskussion) 13:19, 9. Jul. 2012 (CEST)

Mag sein, das man füher irgendwelche Varianten von Stapeladressen in der Literatur verwendet hat. Bei mir liegt vor allem englische Literatur, und in den wenigen deutschen Büchern wird vermutlich um Verwechlsungen zu vermeiden der direkte Import verwendet wie von mir verwendet. Ich denke, dass die Denglisch-Eindeutschung für diesen Begriff eine recht üble Idee war und ist. So etwas ist eine der typischen Ursachen für Programmierfehler.--Boshomi (Diskussion) 15:10, 9. Jul. 2012 (CEST)

Es besteht kein Grund, "Adresse" unzuetablieren. Wenn bei dir nur englische Literatur liegt, wirst du da natürlich keine "Stapeladressen" finden.

Außerdem bitte nicht technical manuals mit Fachbüchern verwechseln. Schonmal "Drei-Adress-Code" gesehen? --Daniel5Ko (Diskussion) 15:45, 9. Jul. 2012 (CEST)

So etwas wäre für mich ein plausibler Grund ein Buch *nicht* zu kaufen. Ich würde mich nach einem Buch umsehen, in dem ich "three address code" zu lesen bekomme.--Boshomi (Diskussion) 16:04, 9. Jul. 2012 (CEST)

Wenn das Buch eine Übersetzung aus dem Englischen ist, dann spricht gerade die Verwendung von üblichen deutschen Vokabeln für die Fachkompetenz des Übersetzers. Nur Hilfsverben und Präpositionen zu übersetzen ist trivial. --Daniel5Ko (Diskussion) 16:26, 9. Jul. 2012 (CEST)

Ein wirklich guter Übersetzer übersetzt nicht die Wörter und Sätze des Autors, sondern formuliert den Gedanken in der eigenen Sprachen, den der Autor zu Papier brachte. Guten Übersetzungen ist die Herkunftssprache nicht mehr anzuerkennen, weder im Satzbau noch im Vokabular. Dabei besteht gar nicht die Notwendigkeit, jedes Wort zu übersetzen, wenn es dafür keinen besseren Ausdruck in der Zielsprache gibt, und die Leser den Begriff einwandfrei verstehen. Die Unterschiede zwischen dem Deutschen und Englischen sind oft größer als man gemeinhin annimmt. Im Deutschen wird massiv von Passivsätzen Gebrauch gemacht, häufig in stark verschachtelten Variationen. Im Englischen werden hingegen kurze S-P-O Sätze bevorzugt, wobei gerne Subjekte erfunden werden, wo eigentlich gar keine sind.--Boshomi (Diskussion) 20:25, 9. Jul. 2012 (CEST)

Ach was. Wie das jedoch dazu führen soll, dass "address" eine bessere Übersetzung von "address" ist als "Adresse", vermag ich nicht zu erkennen. --Daniel5Ko (Diskussion) 20:45, 9. Jul. 2012 (CEST)

Bollox

Hallo Daniel5Ko, ich lerne ja gerne dazu. Was genau ist denn an dem Absatz, den du in Mathematisches Objekt gelöscht hast, „Bollox“? Ich denke, der Absatz spricht wichtige Punkte an. Selbst wenn irgendwas nicht ganz korrekt ist, kann man ihn bestimmt verbessern. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 07:04, 29. Jul. 2012 (CEST)

Hallo. Aus meiner Sicht hätte eine vernünftige Version eines Abschnitts mit den genannten Buzzwords einen ganz anderen Inhalt. Beispielsweise spielen philosophische Wurzeln gar keine Rolle in moderner intuitionistischer und konstruktiver Mathematik. Der letzte Satz, der die größere Wichtigkeit der Beziehungen zwischen Dingen gegenüber den Dingen selbst ist zwar schön und gut, allerdings wird nicht klar, was er mit dem davor gesagten zu tun hat.

Ich glaub', man sollte das Thema jemandem überlassen, der sich auch damit befasst hat.

Als erste Maßnahme, die verhindern soll, dass sich jemand mit Ahnung, der zufällig vorbeikommt, mit Grausen gleich wieder abwendet, entschloss ich mich, den Abschnitt zu löschen. Gruß, --Daniel5Ko (Diskussion) 19:34, 29. Jul. 2012 (CEST)

Natürlich soll sich niemand mit Grausen abwenden, aber die Erfahrung zeigt, dass Verbesserungen und Ergänzungen vor allem dann stattfinden, wenn schon ein gewisser Inhalt (der natürlich nicht falsch sein sollte) vorhanden ist. Lass uns gerade mal kurz den Text durchgehen, vielleicht finden wir ja eine akzeptable Lösung. Der erste Satz ist meiner Meinung nach unkritisch und hat auch Bezug zum Lemma. Auf den zweiten Satz mit der Ontologie kann ich gut verzichten, den habe ich ohnehin nur aus Konstruktive Mathematik übernommen. Der dritte Satz ist an sich ein Faktum und letztendlich der Grund, warum der Konstruktivismus heute nur noch eine Nebenrolle spielt. Der vorletzte Satz ist dann die Überleitung zum letzten Satz, den du offenbar in Ordnung und wichtig findest. Die Klammer zum Vorangegangenen wird letztendlich in der Einleitung ja auch schon angedeutet. Wäre es für dich ok, wenn man als zweite Maßnahme einfach den zweiten Satz rausstreicht? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:20, 29. Jul. 2012 (CEST)

Oh, nur den zweiten Satz zu streichen ist eigenartigerweise auch eine Möglichkeit, die den Gesamttext mE. einigermaßen stimmig macht. Hab' ich nicht gesehen. ;)

Das Ende des Intuitionismus (als für Mathematik relevantes philosophisches Ding) sehe ich aber nicht in den 1920ern, sondern eher in seiner späteren Formalisierung durch Heyting.

Aber wie gesagt, da sollte man besser jemanden fragen, der sich wirklich auskennt, also einen Mathematikphilosophie-Historiker oder so. ^^ --Daniel5Ko (Diskussion) 21:55, 29. Jul. 2012 (CEST)

Einen Mathematikphilosophie-Historiker habe ich jetzt leider nicht zur Hand, ich werde mich aber selbst noch etwas schlau machen. Ich habe nun den Absatz bis auf den zweiten Satz wiederhergestellt und die 1920er um die 1930er Jahre ergänzt, damit Heyting sicher auch noch mit drin ist. Die ontologisch-philosophischen Fragestellungen sind natürlich in diesem Kontext auch wichtig, da muss aber echt ein Experte ran (dafür steht die Ontologie jetzt wieder in Siehe auch). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:15, 30. Jul. 2012 (CEST)

Okay. Alles klar. Daniel5Ko (Diskussion) 10:25, 30. Jul. 2012 (CEST)

Bollox

Mir ist gerade dieses Wort das erste Mal begegnet. Urban Dictionary hilft weiter – zumindest weiter als dieses Gesellschaftsspiel. Aber zu welchen Gelegenheiten benutzt man es im Deutschen? Wird dabei schlicht die Vulgarität bewusst dahinter verschleiert, dass das Wort dem deutschsprachigen Wikipäden kaum bekannt ist, oder hat sich im Deutschen eine nicht-vulgäre Verwendungsweise etabliert? --Chricho ¹ ² ³ 23:10, 29. Jul. 2012 (CEST)

Für einen Augenblick dachte ich, es hätte tatsächlich schon jemand anders dasselbe gefragt, aber die Diskussion hierüber zielt ja weniger aufs Sprachliche ab. Der Vollständigkeit halber. --Chricho ¹ ² ³ 23:12, 29. Jul. 2012 (CEST)

Ich glaub' nicht, dass es überhaupt im Deutschen benutzt wird. Ich war nur zu faul, für meinen Gedanken (wenn man das denn einen "Gedanken" nennen will!) eine passende deutsche Vokabel auszusuchen. --Daniel5Ko (Diskussion) 01:05, 30. Jul. 2012 (CEST)

Danke, ach schade, so profan. --Chricho ¹ ² ³ 17:35, 31. Jul. 2012 (CEST)

Loop unrolling

Hoppla, da war ich wohl blind. Danke & Gruß -- Plankton314 (Diskussion) 17:56, 13. Aug. 2012 (CEST)

Kein Problem. :) --Daniel5Ko (Diskussion) 18:02, 13. Aug. 2012 (CEST)

BTW, hälst du das für anschaulicher?

for (int i=0; i<4; ++i) {
    dest[2*i]   = src[2*i];
    dest[2*i+1] = src[2*i+1];
}

Dann wärs wieder so wie in meinem Kopf :) -- Plankton314 (Diskussion) 18:08, 13. Aug. 2012 (CEST)

Das ist auch meiner Ansicht nach anschaulicher, ja. Außerdem ist es auch geschwindigkeitsmäßig vermutlich sinnvoller (kommt natürlich extrem auf den Compiler und den Prozessor an), da keine unnötige Pipeline-aufhaltende Datenabhängigkeit eingeführt wird (das ++i mitten in der Schleife). --Daniel5Ko (Diskussion) 18:17, 13. Aug. 2012 (CEST)

Mmmhh, Datenabhängigkeit... ja, da war was. Okay, dann ist das wohl das bessere Beispiel. -- Plankton314 (Diskussion) 18:22, 13. Aug. 2012 (CEST)

Mathematik Chat

Hallo Daniel,

es ist die Idee aufgekommen, dass die Teilnehmer des Portals Mathematik wieder einmal einen Chat abhalten, bei dem etwaige Probleme live besprochen werden könnten. Der Termin ist nächster Donnerstag, 13. September 2012, um 20:00. Wär schön, wenn du mitmachst. Melden kannst du dich hier. Viele Grüße --Chricho ¹ ² ³ 22:01, 9. Sep. 2012 (CEST)

Danke für den Hinweis. Werde wahrscheinlich da sein. --Daniel5Ko (Diskussion) 23:00, 9. Sep. 2012 (CEST)

Bewertungsfunktion (Formale Sprachen)

Hi Daniel, magst Du mal hierhin gucken? Ich habe hier etwas dazu gefragt und Benutzer Diskussion:SirJective kontaktiert, der aber anscheinend inaktiv ist. -- UKoch (Diskussion) 16:51, 7. Feb. 2013 (CET)

Antwort dort. --Daniel5Ko (Diskussion) 21:10, 7. Feb. 2013 (CET)

Dein Revert in Turingmaschine

Wenn du Humor hast findest du hier was zu lachen. Und damit du nicht stängig aufgefordert wirst über den selben Witz zu lachen solltest du dir den ersten Satz dieses Abschnitts durchlesen. Einen Satz zu lesen ich doch nicht zu viel verlangt - oder findest du das auch "doof"? -- 84.59.76.203 15:23, 5. Mai 2013 (CEST)

Es tut mir sehr leid, für "unpraktisch, sinnlos und nervend" war das Eingabefeld zu kurz. Mit "doof" dachte ich, eine passende Zusammenfassung gefunden zu haben. Du solltest übrigens den zweiten Satz des verlinkten Abschnitts lesen und beim ersten das Wort "normalerweise" nicht ignorieren. --Daniel5Ko (Diskussion) 15:53, 5. Mai 2013 (CEST)

Fixpunktsatz von Lawvere

Hallo Daniel5Ko!

Der von dir angelegte Artikel Fixpunktsatz von Lawvere wurde zum Löschen vorgeschlagen, da es ihm möglicherweise an Qualität mangelt und/oder die enzyklopädische Relevanz nicht eindeutig im Artikel erkennbar ist. Ob der Artikel tatsächlich gelöscht wird, wird sich im Laufe der siebentägigen Löschdiskussion entscheiden. Bedenke bei der argument- und nicht abstimmungsorientierten Diskussion bitte, was Wikipedia nicht ist. Um die Relevanz besser erkennen zu lassen und die Mindestqualität zu sichern, sollte primär der Artikel weiter verbessert werden. Das wiegt als Argument deutlich schwerer als ein ähnlich aufwändiger Beitrag in der Löschdiskussion.

Du hast gewiss einiges an Arbeit hineingesteckt und fühlst dich vielleicht vor den Kopf gestoßen, weil dein Werk als Bereicherung dieser Enzyklopädie gedacht ist. Sicherlich soll aber mit dem Löschantrag aus anderer Sichtweise ebenfalls der Wikipedia geholfen werden. Grüße, Xqbot (Diskussion) 06:57, 24. Jul. 2013 (CEST) (Diese Nachricht wurde automatisch durch einen Bot erstellt. Falls du zukünftig von diesem Bot nicht mehr über Löschanträge informiert werden möchtest, so trage dich hier ein.)

Lass Dich bitte nicht von diesem Unfugs-LA verunsichern. Selbstverständlich entsprach der Artikel bereits beim Einstellen unseren Richtlinien. Danke für das Erstellen dieses informativen Artikels. --Asturius (Diskussion) 00:26, 26. Jul. 2013 (CEST)

Stetigkeit und Monotonieforderung

Daniel5Ko, bzgl. deiner Änderung in Stetigkeit#Ordnungstheoretischer Stetigkeitsbegriff.

Zwei weitere Definitionen, die mir hier vorliegen, lauten anders:

1. J. Roger Hindley, Jonathan P. Seldin, Introduction to Combinators and $\lambda$-Calculus, Cambridge University Press 1986, ISBN 0-521-26896-6 definieren auf S. 134 so, wie von mir ursprünglich angegeben.

1. B.A. Davey, H.A. Priestley, Introduction to Lattices and Order, Cambridge University Press 2008, ISBN 978-0-521-78451-1 fordern auf S. 177 zusätzlich zu Hindley, dass das Abbild wieder gerichtet ist.

Nun bildet eine monotone Funktion eine gerichtete Menge wieder auf eine gerichtete Menge ab, so dass das Supremum des Abbilds gewiss existiert. Entsprechend weist Hindley in Anmerkung 12.14 darauf hin, dass der Nachweis der Stetigkeit einer Funktion einfacher ist, wenn man bereits weiß, dass $\bigsqcup f(X)$ existiert. Umgekehrt ist jede in diesem Kontext stetige Abbildung monoton. Manche Autoren drehen sich dann auf dem Absatz um und fordern grundsätzlich Monotonie, so Amadio und Curien. Ich hatte letztere aber vor allem darum referenziert, da sie ihre Definition bereits auf Seite 2 bringen.

Die Experten schwanken also in der Definition und diskutieren ggfls. wie Hindley oder Davey die Beziehung von Monotonie und Stetigkeit. Andere, wie Amadio nicht, womit man, folgt ihrer Definition, in jedem Fall die Monotonie nachzuweisen hätte, wenn man die Stetigkeit zeigen will. Ich tendiere darum zur Definition Hindleys. Wenn du es lieber so lassen willst, wie du es geändert hast, sollte man dann aber m.E. einleitend neben Supremums- auch Ordnungsverträglichkeit fordern.

Ansonsten danke, dass du den Abschnitt so schnell gesichtet hast. -- Lowtec (Diskussion) 18:00, 10. Aug. 2013 (CEST)

Von mir aus kannst du das "monoton" auch wieder 'rausnehmen. Ich hielt es für ein Problem, dass man ohne Antisymmetrie nicht stetig => monoton zeigen kann. Jetzt stelle ich aber fest, dass scheinbar niemand Scott-Stetigkeit in so einem Szenario definiert.

Es handelte sich wohl um eine falsche Erinnerung. Grüße, --Daniel5Ko (Diskussion) 18:37, 10. Aug. 2013 (CEST)

Hilbertsche Probleme

Hi Daniel, ich hab' ein Problem mit Hilberts zehntem Problem. Guck doch mal auf Diskussion:Hilbertsche Probleme und gib Deinen Senf dazu, wenn Du magst. -- UKoch (Diskussion) 21:53, 1. Nov. 2013 (CET)

Nunja, durch die Entfernung des Unfugs ist das Problem ja gelöst, wenn auch nicht 100%-ig zufriedenstellend. --Daniel5Ko (Diskussion) 23:44, 1. Nov. 2013 (CET)

Ah ja, Chricho war schneller. Ja, das Problem ist erstmal gelöst. Für eine zufrieden stellende Lösung müsste sich jemand Arbeit machen, der mehr von der Materie versteht als ich. -- Ansonsten mein Beileid für den unsinnigen LA gegen den Fixpunktsatz von Lawvere. Anscheinend werden solche LA aber wenigstens schnell entfernt. -- UKoch (Diskussion) 19:54, 2. Nov. 2013 (CET)

C# - XNA keine IDE

Hallo Daniel,
ich habe wegen der Zeile, die du wiederhergestellt hast, eine Diskussion im C#-Artikel gestartet. Dachte mir du willst vielleicht auch etwas dazu sagen/schreiben -> Diskussion:C-Sharp#XNA_keine_IDE
Gruß --Maxkhl (Diskussion) 15:56, 27. Jan. 2014 (CET)

Siehe dort. --Daniel5Ko (Diskussion) 18:24, 27. Jan. 2014 (CET)

Debatte auf WP:AA

Du hast natürlich völlig recht. Das Problem ist eben, dass mindestens die eingeschworenen Tacuisses-Feinde ihre Motivation und Befriedigung aus der Mission ziehen, "den dauergesperrten Troll zu bekämpfen". Da hängt zu viel dran, was rein gar nichts mit der Erstellung einer Enzyklopädie zu tun hat. Und ich fürchte, es kann bei einem solchen Dauerkonflikt nicht anders sein: Auch Tacuisses zieht seine Motivation und Befriedigung daraus, es den anderen zu zeigen. Entsperrung wär immerhin endlich mal ein Schritt in die richtige Richtung, nämlich aus dem automatisierten Konfliktmuster raus. --Mautpreller (Diskussion) 15:13, 5. Apr. 2015 (CEST)

Ich weiß nicht, was ein Königsweg sein könnte, aber ich meine, es kann keiner sein, der 1. normal mitarbeitende Benutzer aus einem Themenbereich heraustreibt (sei es durch den Missbrauchsfilter oder durch den Dauerkonflikt oder durch Tacuisses oder durch Reverts, die zu Artikelverschlechterungen führen, oder durch wochenlang ungesichtete Edits, die auf der Spezialseite der ungesichteten Versionen stehen bleiben, weil die ungesichteten Versionen von JD – der das anscheinend als Einziger so macht – vollgeschützt wurden und sie niemand nachsichten kann), 2. dazu animiert, sinnvolle Edits zu revertieren und dadurch Artikel zu verschlechtern, 3. irgendjemanden dazu animiert, sich gegenüber anderen Benutzern mies zu verhalten und zu beleidigen, egal, wer das ist.

Aus 3. folgt, dass jeder richtige PA, der auf der VM gemeldet wird, auch sanktioniert gehört, bei neuen Konten unbegrenzt, bei IPs entsprechend und bei anderen Benutzern in normal üblicher Länge, egal wer meldet. Wenn Beleidigungen in Versionsgeschichten auffallen, kann auch ohne VM direkt gesperrt bzw. zu geeigneten Maßnahmen wie einer Ansprache von Benutzern gegriffen werden. Tacuisses wird jeweils mit IP oder Neukonto gesperrt, wenn „Sperrumgehung, keine Besserung erkennbar“ vorliegt (unbequellte, umstrittene Änderungen oder PAs oder Proxy-Edits), aber nicht bei völlig sinnvollen und PA-freien Edits mit normaler IP. Blindes Revertieren bequellter Edits oder von Rechtschreibkorrekturen führt genauso zu Sperren (weil wahrscheinlich Artikel verschlechternd und damit Vandalismus) wie unbegründete Änderungen oder Ergänzungen von Tacuisses. Dann wäre man einen Schritt weiter. Wenn Edit-Wars vorliegen, werden die Artikel halbgeschützt, wenn das nicht reicht, nur für Sichter. Dann muss diskutiert werden, wie üblich mit geeigneten Quellen. Wenn die Quellen etwas anderes belegen als den aktuellen Artikelstand, wird der Artikel geändert, sonst nicht. So wie jetzt funktioniert es garantiert nie, es fördert Edit-Wars und treibt normale Benutzer aus dem Bereich heraus. Dann werden sich aber auch nie andere Leute dort einfinden, die sich gut mit der Materie auskennen. Ist hier ein bisschen falsch, aber die Diskussion auf AAF ist wie üblich nach Lagern aufgeteilt und führt auf die Weise dort sowieso nicht viel weiter. Wenn man allerdings nur so weitermacht wie bisher, dann wird man auch in 10 Jahren noch dieselbe Diskussion regelmäßig immer und immer wieder führen. @Micha L. Rieser, Mautpreller: Auf dieser Seite sind noch mindestens 5 in diesem Fall ungeschützte Artikel mit derselben 3-Großbuchstaben-Zahlen-Kombination und seit 1 knappen Monat ungesichteten, teils strittigen Versionen, die geprüft werden müssten, welche Version dabei jeweils die richtige ist. --Winternacht in Wikimedias supergeschützten Wikis 04:13, 6. Apr. 2015 (CEST)

vieles in deinem kommentar ist völlig korrekt und muss nicht weiter kommentiert werden. durch die neue "editeditorprotected"-schutzstufe mag sich das problem womöglich an sich schon lösen, da tacuisses keine unbegrenzten sichter-socken vorrätig haben wird. voraussetzung: derart "3/4"-geschützte seiten werden nicht per revert-button trotzdem rückgesetzt unabhängig vom inhalt - wie eben vorgestern mal wieder massiv geschehen. sonst käme das lediglich einem versuch des "aussperrens" von tacuisses-bearbeitungen gleich, wofür es keinen konsens gibt. ich würde dann zu user-sperren greifen, wie angekündigt [8][9]. in meinem Benutzer:JD/leitfaden muss ich das ganze noch entsprechend festhalten. --JD {æ} 11:11, 6. Apr. 2015 (CEST)

Genau dafür wurde dieses faschistoide editeditorprotected unter anderem konstruiert, mit der kalkulierten Absicht und absehbaren Konsequenz, es im grossen Stil zu missbrauchen, um in inhaltlichen Auseinandersetzungen ohne Diskussion die eigenen Bearbeitungen bzw. die von Buddies zu schützen und/oder um vandalierende Edits mit der einzigen Absicht zu stören, wie die von Andy und CC jüngst, ohne jesdes inhaltliche Interesse, zu decken. Dass das Instrument wie von JD oben angedacht differenziert eingesetzt würde - und nicht, um einen Benutzer oder eine inhaltliche Position zu bevorteilen - ist gar nicht beabsichtigt und war es nie.

Ich beschwöre Euch: Sorgt dafür, dass dieses faschistoide Ding nicht gegen mich eingesetzt wird. Das würde zu Konsequenzen führen, die niemand will.

@Winternacht: "Wenn die Quellen etwas anderes belegen als den aktuellen Artikelstand, wird der Artikel geändert, sonst nicht." ist im klaren Widerspruch zu WP:Q. In häufiges Missverständnis in den wenigen Ausnahmen, wo tatsächlich inhaltlich begründeter Dissens betreffend die Substanz meiner Edits besteht. -- 2A02:1203:ECB3:33C0:BDD9:BF0E:E456:C816 12:42, 6. Apr. 2015 (CEST)

Potenzieren in Haskell

Im Artikel Funktionale Programmierung hast Du diesen Beitrag gesichtet (ich war drauf und dran das abzulehnen). Ich sehe, daß Du wohl kompetent in Haskell bist, aber war das nicht doch ein Fehler? (**) ist für Floating (was hier angesagt ist) und (^) ist es nicht (siehe z.B. http://zvon.org/other/haskell/Outputglobal/index.html). Was übersehe ich? --H.Marxen (Diskussion) 19:05, 27. Mai 2015 (CEST)

(**) ist vor allem dafür da, Floats und ähnliches im Exponenten zu haben. Dies wird dort nicht benutzt. Stattdessen ist der Exponent da eine Konstante 2. Darum scheint mir (^) bei weitem sinnvoller. --Daniel5Ko (Diskussion) 19:11, 27. Mai 2015 (CEST)

Ja, schon klar, aber es geht nicht um den Exponenten, sondern um die Basis. Immerhin steht davor die Zeile
sq :: (Floating a) => a -> a -- optionale explizite Typangabe
was mir nicht zu (^) zu passen schien, der Num als Basis haben will, aber nun habe ich gerade gesehen, daß Double, Float, Int, Integer sind Instances von Num. Also alles (wohl) wunderbar. Sorry für meinen Alarm (habe keine Übung in Haskell). --H.Marxen (Diskussion) 20:21, 27. Mai 2015 (CEST)

Okay. --Daniel5Ko (Diskussion) 21:49, 27. Mai 2015 (CEST)

Einladung zum Artikelschreiben bei "Mathe für Nicht-Freaks"

Hallo Daniel5Ko,

du hast dich ja bereits durch Korrekturen und Überarbeitung am Wikibook „Mathe für Nicht-Freaks“ beteiligt (Danke an dieser Stelle dafür!). Wir haben nun eine Aktion gestartet, bei der jeder Autor für jeden neuen Artikel 50€ bekommt (siehe Mathe für Nicht-Freaks: Aktion: 50€ für neue Artikel). Es wäre super, wenn du mit dabei bist! Wenn du Interesse hast, kannst du mal unsere Übersichtsseite aller Artikel besuchen. Hier siehst du was noch fehlt. Du kannst aber zu allen Themen schreiben, zu denen aus deiner Sicht Kapitel fehlen und die zu „Mathe für Nicht-Freaks“ gehören (Zum Beispiel aus dem Bereich der linearen Algebra). Bei Fragen kannst du mich jederzeit kontaktieren.

Viele Grüße, Stephan Kulla (Diskussion) 11:27, 18. Jun. 2015 (CEST)

Unterverband

Hi Daniel5Ko, wenn der Unterverband leer sein darf, ist das nicht mehr konsistent mit der Def. Verband als nichtleere Menge. In der Literatur (die ich so kenne) wird der Verband auch als nicht leere Menge definiert. Lg

Hallo, ja, dann sollte man die Definition ändern. Mag sein, dass einige Nichtleerheit fordern, das macht aber nicht jeder (in "Domain Theory" von Abramsky und Jung, sowie in "Continuous Lattices and Domains", von Gierz, Hoffmann, Keimel, Lawson, Mislove und Scott, wird es z.B. nicht gefordert), und unsinnig ist es allemal.

--Daniel5Ko (Diskussion) 14:45, 7. Dez. 2016 (CET)

Peano-Axiome

Hallo Daniel5Ko,

zunächst einmal danke für Dein Gesprächsangebot hinsichtlich unserer unterschiedlichen Auffassung über die Peano-Axiome. Bin ich hier für ein solches Gespräch richtig, oder gibt es noch einen Bereich, der nur für uns beide sichbar ist?--Wikilaser (Diskussion) 21:01, 21. Aug. 2017 (CEST) vor

Hallo Wikilaser,

du bist hier richtig. --Daniel5Ko (Diskussion) 21:41, 21. Aug. 2017 (CEST)

Gut. Dann würde ich zunächst gern die Frage klären, welchen Zweck eigentlich eine mathematische Definition erfüllen soll: Soll sie einen bereits vorhandenen Sachverhalt präzise beschreiben, oder soll sie einen noch nicht vorhandenen (oder als noch nicht vorhanden gedachten) Sachverhalt erstmals erschaffen?--Wikilaser (Diskussion) 10:12, 22. Aug. 2017w (CEST)

Eine Definition legt fest, welche Eigenschaften ein Ding haben muss, damit man ihm einen bestimmten Namen geben darf. Ob die Zusammenstellung der Eigenschaften vorher schon da ist, ist eher eine philosophische Frage. Ob der Name vorher schon da war, ist ebenfalls egal: Im Geltungsbereich der Definition wird mit dem Namen der neue Eigenschaftensatz assoziiert. Im Fall der Peano-Axiome wird festgelegt, unter welchen Umständen eine Menge "'die' Menge der natürlichen Zahlen" genannt werden darf. (Streng genommen handelt es sich dabei nicht nur um bloße Mengen, sondern um Mengen zusammen mit Operationen.) --Daniel5Ko (Diskussion) 15:00, 22. Aug. 2017 (CEST)

Nun, da jedoch nur eine einzige Menge die Menge der Natürlichen Zahlen sein kann, beschreiben die Peano-Axiome genau diese Menge, und keine andere. Zumindest sollen sie dies tun. Denn im Falle des 4. Axioms bin ich der Auffassung, daß es überflüssig sei, genauso wie im Falle des 5. Axioms (auf welches ich jedoch in dieser Diskussion zunächst nicht weiter eingehen möchte). Meiner Ansicht nach beschreiben bereits die ersten drei Axiome ausreichend die Menge der Natürlichen Zahlen (mit Ausnahme des exakten Abstands zwischen einer Zahl und ihrem Nachfolger, der wird von Peano nicht mit 1 beziffert). Zunächst bestimmt Axiom 1, daß 0 eine Natürliche Zahl sei, während Axiom 3 präzisiert, daß 0 die erste Natürliche Zahl sei. Und Axiom 2 bestimmt, daß jede Natürliche Zahl einen Nachfolger habe, der seinerseits ebenfalls eine Natürliche Zahl sei. Durch Anwendung dieser drei Axiome läßt sich die Menge der Natürlichen Zahlen bereits komplett aufstellen (wohlgemerkt nicht definieren, da Peanos Definition ja eine praktische Handlungsanweisung darstellt, der man nur zu folgen braucht). Warum braucht man nun Axiom 4 nicht? Ganz einfach: Durch die Nachfolgeregel wird als erstes ein Nachfolger der 0 aufgestellt. Die 0 und ihr Nachfolger stehen nun in einer direkten beidseitigen Beziehung zueinander, die es nach meiner Auffassung unmöglich macht, als Nachfolger des Nachfolgers der 0 erneut den Nachfolger der 0 aufzustellen (sprich: 0;1;1 ist unmöglich, da die 1 nicht gleichzeitig Nachfolger der 0 und Nachfolger der 1, also ihrer selbst sein kann). Das ist genauso wie bei einem Reihenhaus: A wohnt im Haus 1, B wohnt im Haus 2. Damit ist sowohl A Nachbar von B als auch B Nachbar von A. Damit kann B nicht auch noch in Haus 3 wohnen, da B in Haus 3 dann gleich B in Haus 2 wäre, und als dieser hätte B in Haus 3 auch A in Haus 1 als Nachbar, was jedoch ausgeschlossen ist, da A definitionsgemäß nur einen Nachbarn hat, nämlich B in Haus 2. Also kann als Nachfolger der 1 nur eine andere Zahl in Frage kommen, sinnvollerweise die 2, die sich aus der Operation 1 + 1 ergibt (genauso wie sich die 1 aus der Operation 0 + 1 ergibt, womit auch klar ist, daß die Menge nur zusammen mit mindestens einer Operation existieren kann).--Wikilaser (Diskussion) 03:11, 23. Aug. 2017 (CEST)

Nein, es gibt immer viele solche Mengen (also wenn man z.B. mit ZFC startet).

Axiom 1 sagt nicht, dass 0 eine natürliche Zahl ist. Von welcher "0" soll denn hier gesprochen werden? Es sagt viel mehr, dass es ein ausgezeichnetes Element gibt, das als 0 bezeichnet wird. Es ist keine "globale" 0, die in jeder Menge der natürlichen Zahlen enthalten ist. Wenn man eine Menge bastelt, die "die" Menge der natürlichen Zahlen sein soll, muss man u.a. angeben, welches Element die 0 sein soll.

Dafür gibt's natürlich viele Möglichkeiten: Man kann als Grundmenge z.B. die Menge der endlichen Worte über einem einelementigen Alphabet nehmen. Die 0 ist jeweils das leere Wort, Nachfolgerbildung das Anhängen des Buchstaben. Oder man nimmt Binär-Worte. Auf die übliche Art wäre die Grundmenge $\{1\}\bullet \{0,1\}^{*}\cup \{0\}$. Wenn man nicht auf führende Nullen achtgeben müssen will, bietet es sich an eine leicht andere Kodierung zu nehmen, deren Ziffern man suggestiverweise mit 1 und 2 bezeichnet. Grundmenge wäre $\{1,2\}^{*}$, die ersten paar Zahlen wären $\varepsilon ,1,2,11,12,21,22,111$.

Des weiteren ist es ein leichtes, aus einer gegebenen "Menge der natürlichen Zahlen" eine weitere zu basteln, insbesondere durch Hinauswerfen von Elementen aus der originalen Grundmenge (gefolgt von entsprechender Modifikation, was 0 und Nachfolger sein soll, natürlich).

Nimmt man nur die Axiome 1,2,3, wäre die 2-elementige Menge $\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}$, wobei $\emptyset$ die 0 sein soll, und die Nachfolgerfunktion alles auf $\{\emptyset \}$ abbildet, offenkundig geeignet. Ich betone es gerne nochmal: die Axiome beziehen sich nicht auf eine extern gegebene 0 oder Nachfolgerfunktion. Die "Menge der natürlichen Zahlen" bringt diese mit.

--Daniel5Ko (Diskussion) 09:51, 23. Aug. 2017 (CEST)

Moment mal, da steht eindeutig:

0 ∈ N

Dieser Ausdruck lautet in Worten: "0 ist ein Element der Menge der Natürlichen Zahlen." Das bedeutet, daß Axiom 1 aussagt, daß die 0 überhaupt erst einmal irgendein Element der Menge der Natürlichen Zahlen sei, jedoch noch nicht, welches genau. Das schrieb ich auch. Wie kannst Du da behaupten, Axiom 1 sage nicht, daß 0 eine Natürliche Zahl sei?

Wenn man nun, wie Du sagst, eine Menge bastelt, die "die" Menge der Natürlichen Zahlen sein solle, und man angeben müsse, welches Element die 0 sein solle, dann bezieht sich dies bereits auf Axiom 3, welches aussagt, daß die 0 nicht Nachfolger einer Natürlichen Zahl sei, und somit wird durch Axiom 1 festgelegt, daß die 0 eine Natürliche Zahl sei, und durch Axiom 3, welches Element genau (nämlich das erste) sie sei. Das ist unbestreitbar!

Und nochmal: Wieviele Mengen der Natürlichen Zahlen gibt es denn in der Mathematik? Doch wohl eindeutig nur eine einzige! Und bitte laß diese Nebelkerzen mit einelementigen Alphabeten weg, darüber reden wir hier gar nicht.

Mit Deinen Ziffern 1 und 2 bist Du bereits bei dem Schritt, ein Stellenwertsystem aufzubauen bzw. ein solches zu nutzen.

Was nun Deinen letzten Satz angeht, so wiederhole ich nochmal aus der Diskussion: Die Menschen hatten bereits ein "natürliches" Verständnis der Natürlichen Zahlen, bevor sich irgendjemand erstmals Gedanken über eine mathematische Definition der Natürlichen Zahlen gemacht hat. Die Natürlichen Zahlen waren also schon da, und zwar nicht extern, sondern intern.--Wikilaser (Diskussion) 11:25, 23. Aug. 2017 (CEST)

Man kann (ZFC oder ähnliches gegeben) unendlich viele Tupel $(N,0,S)$ angeben, die alle die Peano-Axiome erfüllen, und deren Nullen alle verschieden sind. Die Stellenwertsystem-Beispiele sollten das besonders deutlich machen. Die Peano-Axiome legen nicht fest, welches der Tupel das "richtige" ist. Wenn man "die" Menge der natürlichen Zahlen benutzen will, ist das aber nicht schlimm, denn es ist im Endeffekt egal, welches von den Tupeln man nimmt, da man ohnehin nur das abstrakte Interface benutzt, und aus dieser Sicht sehen sie alle gleich aus: nämlich so, wie die Peano-Axiome es vorgeben: man hat ein Element namens 0 und eine Nachfolgerfunktion, das Element namens 0 ist kein Nachfolger, die Nachfolgerfunktion ist injektiv, Induktion.

Dass dies genau die Vorstellung einfängt, die man intuitiv von den natürlichen Zahlen hat, ist eine unbeweisbare These, die aber so ziemlich jeder einfach pragmatisch glaubt. --Daniel5Ko (Diskussion) 12:22, 23. Aug. 2017 (CEST)

Dann gib doch mal ganz konkret zwei verschiedene Tupel an, die beide die Peano-Axiome erfüllen. Und bitte nicht einfach nur unterschiedliche Stellenwertsysteme benutzen, denn dabei handelt es sich lediglich um unterschiedliche Zahlendarstellungen, und um die geht es hier auf keinen Fall.

Die Peano-Axiome legen überhaupt nicht fest, daß zwischen n und n' der Abstand 1 gelten soll, er kann also genausogut Pi sein. Hier würde ich gern nochmal Deinen angeblichen Beweis hierfür präzise erläutert haben, den Du in die Diskussion eingebracht hattest. Insbesondere die Stelle, aus der angeblich letztendlich hervorgeht, daß k = 1 sei.--Wikilaser (Diskussion) 02:44, 24. Aug. 2017 (CEST)

Natürlich darf ich hierfür irgendwelche Konstruktionen mit Stellenwertsystemen benutzen. Denn sie erfüllen die Axiome.

Dass der Abstand zwischen n und seinem Nachfolger (die mitgebrachte!) 1 ist, habe ich schon bewiesen. Du hast nur behauptet, ich hätte das nicht getan.

Eine sinnvolle externe 1 gibt es einfach nicht -- ebenso wie eine externe 0 oder eine externe Nachfolgerfunktion.

Das wäre ja auch sinnlos: Willst du $\mathbb {N}$ definieren, indem du sagst, es sei eine Kopie von einem schon gegebenen $\mathbb {N}$?

Hier trotzdem nochmal eine Kopie des Beweises. Kannst ja mal ansagen, was du nicht verstehst

Ich beweise: $\forall k,n\in \mathbb {N} .\ n+k={\mathsf {S}}(n)\Rightarrow k={\mathsf {S}}(0)$.

Hierzu sei $k\in \mathbb {N}$ beliebig. Zu zeigen: $\forall n\in \mathbb {N} .\ n+k={\mathsf {S}}(n)\Rightarrow k={\mathsf {S}}(0)$.

Dazu definiere ich $X:=\{n\in \mathbb {N} \mid n+k={\mathsf {S}}(n)\Rightarrow k={\mathsf {S}}(0)\}$. D.h. für $n\in \mathbb {N}$ ist $n\in X$ äquivalent zu $n+k={\mathsf {S}}(n)\Rightarrow k={\mathsf {S}}(0)$. Wenn ich $\mathbb {N} \subseteq X$ beweisen kann, ist das gerade die gewünschte Aussage. Nach Axiom 5 reicht es dazu aus, $0\in X$ und $\forall n\in \mathbb {N} .\ n\in X\Rightarrow {\mathsf {S}}(n)\in X$ zu zeigen. Also machen wir das. Der erste Teil ist einfach: Wenn $0+k={\mathsf {S}}(0)$, dann ist wegen der Def. von + auch $k={\mathsf {S}}(0)$. Für den zweiten Teil sei $n\in \mathbb {N}$ beliebig und gelte $H\colon n+k={\mathsf {S}}(n)\Rightarrow k={\mathsf {S}}(0)$. Zu zeigen: ${\mathsf {S}}(n)+k={\mathsf {S}}({\mathsf {S}}(n))\Rightarrow k={\mathsf {S}}(0)$. Nehmen wir also $G\colon {\mathsf {S}}(n)+k={\mathsf {S}}({\mathsf {S}}(n))$ an. Nun ist $k={\mathsf {S}}(0)$ zu zeigen. Hierzu wenden wir $H$ an, und haben nun zu zeigen: $n+k={\mathsf {S}}(n)$. Wegen der Injektivität von ${\mathsf {S}}$ reicht ${\mathsf {S}}(n+k)={\mathsf {S}}({\mathsf {S}}(n))$. Dies ist aufgrund der Definition von + aber äquivalent zur Annahme $G$, also sind wir fertig.

--Daniel5Ko (Diskussion) 22:09, 24. Aug. 2017 (CEST)

Unter einer präzisen Erläuterung eines angeblichen Beweises verstehe ich mehr als nur das Einfügen einer Kopie! Ich kann hier nur erkennen, daß Du gezeigt hast, daß k = S(0) ist. Meine Frage diesbezüglich war bereits in der Diskussion präzise genug gestellt: Aus welchem Vorgang ergibt sich in Deinem angeblichen Beweis, daß k = 1 sei? Beispielsweise durch Kürzung der Formel, so daß k = 1 übrigbleibt.--Wikilaser (Diskussion) 23:46, 24. Aug. 2017 (CEST)

1 ist eine Abkürzung für ${\mathsf {S}}(0)$. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:31, 25. Aug. 2017 (CEST)

Das geht nicht aus Deiner Definition hervor, S(0) erkenne ich lediglich als Variable, die genauso gut gleich Pi sein könnte. Ferner solltest Du nicht die Definition von Giuseppe Peano durch Deine Definition "$X:=\{n\in \mathbb {N} \mid n+k={\mathsf {S}}(n)\Rightarrow k={\mathsf {S}}(0)\}$" erweitern, sondern auf der Grundlage von Peanos Axiomen beweisen, daß der Abstand zwischen n und n' bereits im Rahmen der Peano-Axiome gleich 1 sei.--Wikilaser (Diskussion) 09:26, 25. Aug. 2017 (CEST)

Von mir aus kannst du ${\mathsf {S}}(0)$ auch $\pi$ nennen. Ich rate aber davon ab, da das verwirrend sein könnte. Die 1 ist genauso wie 0 und S relativ zu dem gerade benutzten $\mathbb {N}$ zu sehen.

Ich habe Peanos Definition nicht erweitert, sondern das Induktionsaxiom benutzt. Dabei kann ich mir eine Teilmenge $X$ von $\mathbb {N}$ ausdenken, wie ich will. Ich habe sie natürlich so gewählt, dass sie sinnvoll für den Beweis zu gebrauchen ist. Du hältst Axiom 5 wahrscheinlich deshalb für überflüssig: Weil du nicht verstehst, was es sagt. --Daniel5Ko (Diskussion) 09:43, 25. Aug. 2017 (CEST)

Ich wollte eigentlich nicht darauf eingehen, welche Bedeutung Axiom 5 hat, aber gut, wenn es der Diskussion hilft: Ich sagte bereits, daß Axiom 5 lediglich die Einbettung der Menge $\mathbb {N}$ in eine andere Menge (beispielsweise in die Menge $\mathbb {Z}$) ausdrückt. Jedoch ist diese Einbettung für die Definition der Elemente der Menge $\mathbb {N}$ und damit für die gesamte Menge $\mathbb {N}$ nicht erforderlich. Diese Einbettung kann man durch Vergleich der Eigenschaften der fraglichen Mengen erkennen. Die Induktion ergibt sich bereits aus Axiom 2, welches besagt, daß jede Natürliche Zahl einen Nachfolger hat, der ebenfalls eine Natürliche Zahl ist.--Wikilaser (Diskussion) 10:15, 28. Aug. 2017 (CEST)

Die Wiederholung deiner Vorurteile wird nicht dazu beitragen, dass du mehr verstehst. --Daniel5Ko (Diskussion) 20:05, 28. Aug. 2017 (CEST)

Dein Vorwurf, ich hätte Vorurteile, wird nicht dazu beitragen, daß ich etwas verstehe, das Du nicht erklärst. Also los, was genau sagt Axiom 5 Punkt für Punkt aus? Bzw. was konkret hältst Du an meiner Einschätzung von Axiom 5 für falsch?--Wikilaser (Diskussion) 23:13, 28. Aug. 2017 (CEST)

Es steht im Artikel, was es sagt:

Wenn $X$ eine Menge ist, und $0\in X$ und für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt $n\in X\implies {\mathsf {S}}(n)\in X$, dann ist $\mathbb {N} \subseteq X$.

Insbesondere kann man hier für $X$ auch beliebige Teilmengen von $\mathbb {N}$ nehmen, und noch insbesonderer solche, die man als $\{n\in \mathbb {N} \mid \phi \}$ angibt, wobei $\phi$ eine Formel sein soll, in der u.a. $n$ frei vorkommen darf.

Im letztgenannten Spezialfall beweist man per Axiom 5, dass $\mathbb {N} \subseteq \{n\in \mathbb {N} \mid \phi \}$, was äquivalent zu $\forall n\in \mathbb {N} .\ \phi$ ist.

Bei den Peano-Axiomen geht es nicht darum, zu definieren, welche Elemente in $\mathbb {N}$ sind, sondern darum, zu definieren, welche Tupel $(\mathbb {N} ,0\colon \mathbb {N} ,{\mathsf {S}}\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} )$ als "Menge der natürlichen Zahlen" gelten dürfen.

Dinge per Induktion beweisen zu können, ist eine ganz charakteristische Eigenschaft der natürlichen Zahlen, und nicht überflüssig. --Daniel5Ko (Diskussion) 09:29, 29. Aug. 2017 (CEST)

Moment mal, wenn man für $X$ nur eine Teilmenge von $\mathbb {N}$ verwendet, dann kann $\mathbb {N}$ keine Teilmenge von $X$ sein. Denn eine Teilmenge einer Menge hat normalerweise weniger Elemente als die Menge selbst. Also muß in Axiom 5 mit $X$ eine umfangreichere Menge als $\mathbb {N}$ gemeint sein, beispielsweise $\mathbb {Z}$. Und da sind wir dann genau bei meiner Einschätzung, daß es bei Axiom 5 lediglich um die Einbettung von $\mathbb {N}$ in eine andere Menge (beispielsweise $\mathbb {Z}$ oder auch $\mathbb {R}$) geht, was jedoch nichts zur Vollständigkeit von $\mathbb {N}$ beiträgt.--Wikilaser (Diskussion) 23:19, 29. Aug. 2017 (CEST)

Nochmal: X ist beliebig wählbar. Falls $X\subseteq \mathbb {N}$, beweist man mit Hilfe von Axiom 5 eben auch $X=\mathbb {N}$. Um Vollständigkeit (du meinst wohl: Sicherstellung, dass keine Elemente fehlen, bzw. dass genug Elemente vorhanden sind) geht es bei dem Axiom nicht, sondern eher ums Gegenteil. $\mathbb {N}$ ist die kleinste Menge, die 0 enthält und mit jedem n aus $\mathbb {N}$ auch dessen Nachfolger. --Daniel5Ko (Diskussion) 02:02, 30. Aug. 2017 (CEST)

Wenn X frei wählbar wäre, wie Du behauptest, dann könnte man auch eine endliche Menge X wählen. In diesem Falle wäre die Behauptung, N wäre eine Teilmenge von X, nicht wahr. Also muß man (sinnvoller- und logischerweise) eine unendliche Menge X wählen. Sollte diese Menge jedoch trotzdem weniger Elemente enthalten als N, wäre N eben keine Teilmenge von X, sondern eher umgekehrt X eine Teilmenge von N. Es muß sich also um eine Menge X handeln, die mindestens genausoviele Elemente umfasst wie N, damit N eine Teilmenge von X werden kann. Wenn X also die 0 enthält und mit der 0 jeden ihrer Nachfolger, dann enthält X mindestens genausoviele Elemente wie N, oder sie enthält sogar mehr Elemente als N. Wenn N die kleinste Menge ist, die die 0 und jeden ihrer Nachfolger enthält, welche Menge außer Z, Q oder R ist denn größer als N, wo doch N kein größtes Element enthält? Es kann nur eine Menge sein, die entweder auch negative ganze Zahlen enthält (wie z.B. Z), oder die auch nichtnatürliche Rationale oder Reelle Zahlen enthält (wie eben Q+ oder Q bzw. R+ oder R). Und welches Element müßte in einer solchen Menge enthalten sein, das nicht in N enthalten ist? Ich kenne keine solche Menge. Ich bleibe also erst einmal dabei, daß es bei Axiom 5 um die Einbettung in eine höhere Menge (z.B. Z, Q oder R) geht, auch wenn das von Peano nicht so beabsichtig war.--Wikilaser (Diskussion) 22:45, 30. Aug. 2017 (CEST)

X ist frei wählbar. Das Ergebnis der Anwendung von Axiom 5 ist aber erstmal bloß eine Implikation. Nehmen wir beispielsweise $X:=\{0,7\}$. Dann erhalten wir

$0\in \{0,7\}\land (\forall n\in \mathbb {N} .\ n\in \{0,7\}\Rightarrow {\mathsf {S}}(n)\in \{0,7\})\implies \mathbb {N} \subseteq \{0,7\}.$

Glücklicherweise ist die Voraussetzung falsch. Es gilt nämlich $0\in \{0,7\}$ und ${\mathsf {S}}(0)\notin \{0,7\}$. Denn, angenommen ${\mathsf {S}}(0)\in \{0,7\}$, dann ist ${\mathsf {S}}(0)=0$ oder ${\mathsf {S}}(0)={\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}(0)))))))$. Der erste Fall wird von Axiom 3 verboten, der zweite ergibt mit Axiom 4, dass $0={\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}(0))))))$, was wiederum von Axiom 3 verboten wird.

Im Übrigen ist es ein wenig sinnlos zu sagen, man könne Axiom 5 nur auf Mengen $X$ anwenden, von denen man schon weiß, dass $\mathbb {N} \subseteq X$. Denn dann wäre es wirkungslos.

Ein schon genanntes Beispiel für X, bei dem man Axiom 5 benötigt, um $\mathbb {N} \subseteq X$ zu zeigen, ist $X=\{n\in \mathbb {N} \mid n\neq {\mathsf {S}}(n)\}$. Dass man für dieses $X$ gerne hätte, dass $\mathbb {N} \subseteq X$, ist aber klar, oder? --Daniel5Ko (Diskussion) 13:10, 31. Aug. 2017 (CEST)

Es geht in Axiom 5 darum, ob N eine Teilmenge von X ist oder nicht. Und In Deinem Beispiel ist N nicht Teilmenge von X = {0, 7}, da N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...unendlich}. Nur wenn X alle (!) Elemente von N enthält und ggf. (da ich jetzt erst nachlesen müßte, ob zwei identische Mengen jeweils gegenseitig zueinander Menge und Teilmenge sein können oder nicht) darüber hinaus mindestens noch ein weiteres Element, welches nicht in N enthalten ist, ist N eine Teilmenge von X. Ist das nicht der Fall, ist N keine Teilmenge von X. Aber wozu soll das gut sein, wenn wir lediglich wissen wollen, welche Elemente zu N gehören bzw. welche Elemente N überhaupt erst ausmachen?--Wikilaser (Diskussion) 13:43, 31. Aug. 2017 (CEST)

Klar geht es um Axiom 5. Dort kann man eine beliebige konkrete Menge für X einsetzen und erhält eine Implikation der Form ${\mathsf {Foo}}\implies \mathbb {N} \subseteq X$. Erst wenn wir jetzt noch ${\mathsf {Foo}}$ beweisen, haben wir $\mathbb {N} \subseteq X$ bewiesen. Im Fall $X=\{0,7\}$ ist ${\mathsf {Foo}}$ glücklicherweise falsch, und daher hoffentlich nicht beweisbar.

Wir wollen nicht nur wissen, welche Elemente zu $\mathbb {N}$ gehören, denn das wissen wir bei jedem Tupel $(\mathbb {N} ,0,S)$ schon: das sind einfach die Elemente von $\mathbb {N}$, welche auch immer das sind. Was wir tatsächlich wollen, ist, dass sich das Tupel $(\mathbb {N} ,0,S)$ so verhält, wie wir es von den natürlichen Zahlen intuitiv erwarten. Dazu gehört unter anderem, dass man Dinge per Induktion beweisen kann. Und dafür wiederum sorgt Axiom 5. Dass etwa jede natürliche Zahl ungleich ihrem Nachfolger ist, ist eins dieser Dinge, die sich mit den Axiomen 1 bis 4 allein nicht beweisen lassen. --Daniel5Ko (Diskussion) 15:05, 31. Aug. 2017 (CEST)

Klar kann man eine beliebige Menge X definieren, um sie dann (wohlgemerkt hinterher!) mit der Menge N zu vergleichen. Dann erhält man je nach Definition von X ein Ergebnis, welches mit N übereinstimmt oder eben nicht. Aber nochmal: Dieser Vergleich (sprich die Anwendung von Axiom 5) findet erst dann statt, wenn man die Menge N durch die Axiome 1 bis 3 (Axiom 3 in meiner Variante, nicht daß Du mir wieder auf die Idee kommst, mit das Fehlen von Axiom 4 vorzuwerfen) aufgestellt hat. Er ist für die Definition der Menge N selbst überhaupt nicht von Belang.--Wikilaser (Diskussion) 18:36, 31. Aug. 2017 (CEST)

Die Peano-Axiome sprechen über ein Tupel $(\mathbb {N} ,0,S)$, das irgendwie gegeben ist. Die Menge ist also jeweils schon gegeben, und die Frage ist nur noch, ob sie zusammen mit 0 und S sich so verhält, wie man es von "den natürlichen Zahlen" erwarten würde. --Daniel5Ko (Diskussion) 20:57, 31. Aug. 2017 (CEST)

Weder im Artikel über die Peano-Axiome noch im darin verlinkten Artikel über die Peano-Arithmetik ist von Tupeln die Rede. Wenn man überhaupt irgendetwas in den Peano-Axiomen als Tupel bezeichnen kann, dann n und n'. Zunächst ist die 0 das erste n, welches einen Nachfolger n' hat. Dieses n' ist jedoch wieder eine Natürliche Zahl, die man aufgrund von Axiom 2 auch gleich wieder als ein n auffassen muß, welches seinerseits erneut einen Nachfolger n' hat. Es handelt sich also nicht einfach nur um ein (in Ziffern gesprochen um 1) Tupel, sondern wenn überhaupt, dann um unendlich viele Tupel, letztlich eben eine unendliche Folge Natürlicher Zahlen.--Wikilaser (Diskussion) 23:02, 31. Aug. 2017 (CEST)

Die Menge und die zwei Operationen gehören zusammen. Man kann das deutlich machen, indem man Tupel verwendet, muss man aber nicht. --Daniel5Ko (Diskussion) 23:52, 31. Aug. 2017 (CEST)

Wir waren jetzt aber eigentlich bei Axiom 5 und der Frage, was dieses bewirkt. Wie bereits zwei Beiträge weiter oben gesagt handelt es sich dabei meines Erachtens nach um einen Vergleich zweier Mengen X und N, insbesondere welche Menge nun Teilmenge der anderen sei. Um diesen Vergleich anstellen zu können, müssen beide Mengen erst einmal sauber definiert worden sein. Im Falle von N geschieht dies mittels der Axiome 1 bis 3 (oder nach Deiner Vorstellung 1 bis 4). Erst dann (!) kann Axiom 5 ausgeführt werden, vorher nicht. Also ist Axiom 5 für die Aufstellung der Menge N nicht erforderlich.--Wikilaser (Diskussion) 09:29, 1. Sep. 2017 (CEST)

Wenn du den Anfang nicht verstehst, ist es eh müßig. Die Peano-Axiome sprechen über eine Menge $\mathbb {N}$, ein darin ausgezeichnetes Element $0$ und eine Funktion ${\mathsf {S}}\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$. Wie diese drei Dinge aussehen, ist für die Formulierung der Axiome egal. Sie sind zunächst gänzlich unbekannt. (Genauer gesagt: Axiome 1 und 2 gelten jetzt schon; es geht nur noch um die anderen.) Insbesondere kann man jederzeit auch sagen, dass nur Axiom 5 gilt, und Axiome 3 und 4 nicht. Da wird nichts ungenau. Und erst recht nicht aus dem Grund, dass man nicht weiß, welche Elemente $\mathbb {N}$ konkret hat. Und die Menge $X$ in Axiom 5 ist, wie schon ca. 42 mal gesagt, bei der Benutzung des Axioms frei wählbar. Da haben die Axiome nichts zu definieren. Die Definition geschieht da, wo man das Axiom benutzt. --Daniel5Ko (Diskussion) 12:03, 1. Sep. 2017 (CEST)

Also du hast jetzt die Axiome 1 und 2 in deiner Formulierung woanders hin verlagert, so wie es Peano formuliert, wird eben nur vorausgesetzt, dass 0 eine Individuenkonstante und der Sukzessor eine (ich glaub partielle, bin mir mit seiner Notation aber nicht ganz sicher) einstellige Funktion ist, deren Wertebereich noch nicht festgelegt ist. --Chricho ¹ ² ³ 12:33, 1. Sep. 2017 (CEST)

Klar kann man die Menge X frei wählen. Nur erfüllt sie dann eben nicht sicher Axiom 5. Und wenn X Axiom 5 nicht erfüllt (wenn also beispielsweise die 5 in X fehlt), entspricht X nun einmal nicht N, bzw. kann N nicht Teilmenge von X sein. Und wenn Du Axiom 3 wegläßt, wird es sehr wohl ungenau, weil dann nämlich die 0 nicht nur einen Nachfolger hätte, sondern auch selbst ein Nachfolger wäre. Zweiteres schließt Axiom 3 aus, also darf man es nicht weglassen, wenn man die Menge der Natürlichen Zahlen definieren will. Und jetzt nochmal: Wenn X = Z (oder Q oder R) wäre, dann wäre Axiom 5 ebenfalls erfüllt, weil Z, Q und R allesamt sowohl die 0 als auch jeden ihrer Nachfolger beinhalten. Aber die Feststellung, daß Z, Q und R die Menge N beinhalten, ist nicht notwendig, um die Menge N zu definieren. Ist das wirklich so schwer zu verstehen?--Wikilaser (Diskussion) 00:53, 2. Sep. 2017 (CEST)

Die Menge X soll gar nicht das Axiom 5 erfüllen (was auch immer das heißen mag, das Axiom 5 soll schlichtweg gelten und es macht eine Aussage über $\mathbb {N} ,0$ und die Nachfolgefunktion, über deren Beziehung zueinander, nicht jedoch über ein $X$, das $X$ ist nur ein Variablenname, den das Axiom intern verwendet). Die Menge X wählt man erst frei, wenn man das Axiom 5 anwendet. Dann kann diese Menge $X$ die Bedingung vor dem $\Rightarrow$ erfüllen und in dem Fall sagt uns das Axiom, dass auch die Aussage hinter dem Pfeil gilt, sonst sagt es uns nichts.

Das Axiom macht in der Tat auch eine Aussage für die Wahl $X=\mathbb {Z}$ etc. (dann gilt die Bedingung der Implikation und d), diese Aussagen über $\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$ sind in der Tat nicht notwendig, du könntest sie herausnehmen und das Axiom auf die folgende Weise „abschwächen“:

$\forall X((X\neq \mathbb {Z} \wedge X\neq \mathbb {Q} \wedge X\neq R)\Rightarrow (0\in X\land \forall n(n\in \mathbb {N} \Rightarrow (n\in X\Rightarrow n'\in X))\Rightarrow \mathbb {N} \subseteq X))$

Oder eine ein bisschen elegantere Alternative:

$\forall X(X\subseteq \mathbb {N} \land 0\in X\land \forall n(n\in X\Rightarrow n'\in X)\Rightarrow \mathbb {N} =X)$

Das heißt aber beides nicht, dass du das Axiom 5 ganz weglassen könntest, du kannst es bloß umformulieren (und wie du siehst, wird es nicht unbedingt kürzer). --Chricho ¹ ² ³ 02:44, 2. Sep. 2017 (CEST)

Was soll denn das jetzt? Die Menge X soll Axiom 5 doch nicht erfüllen? Du willst, daß die Peano-Axiome für alle Mengen gilt, die deren Bedingungen erfüllen. Dagegen spricht nichts. Aber es gibt nur eine einzige Menge der Natürlichen Zahlen, und genau diese soll ebenfalls durch die Peano-Axiome definiert werden. Und darüber diskutieren wir hier gerade. Alle anderen Mengen, die diese Axiome erfüllen, sind lediglich Entsprechungen. Und in Axiom 5 geht es genau um solche Entsprechungen. Die Induktion geschieht bereits durch die Axiome 2 (hauptsächlich) und 3 (um einen Beginn zu definieren).--Wikilaser (Diskussion) 11:04, 2. Sep. 2017 (CEST)

Du missverstehst mich: Die Rede davon, dass „die Menge X“ (von welcher Menge X redest du?) das Axiom 5 erfüllen soll, ist unsinnig (ich habe die Aussage nicht verneint, sie ist bei wohlwollendster interpretation belanglos (heißt nur, dass das Axiom 5 gilt, hat mit dem X nichts zu tun), sonst eher sinnlos, wenn nicht gar ungrammatisch). Das Axiom 5 macht gar keine Aussage über eine Menge $X$. $X$ ist nur ein Variablenname, der innerhalb der Formulierung des Axioms eingeführt wird, wenn wir über die Geltung des Axioms als Ganzes sprechen, hat das mit einem X nichts zu tun. --Chricho ¹ ² ³ 12:36, 2. Sep. 2017 (CEST)

Was soll denn dieses wirre Zeug, das Du jetzt daherbringst? Jetzt gib mal eine klare Antwort: In Axiom 5 ist von einer Menge X die Rede, für die gilt, daß N eine Teilmenge von X ist, wenn die Bedingung erfüllt ist, daß in X die 0 sowie jeder ihrer Nachfolger enthalten ist. Ist das so? Ja oder nein?--Wikilaser (Diskussion) 23:18, 2. Sep. 2017 (CEST)

Wenn du mit „In Axiom 5“ meinst, dass ein Teilausdruck von Axiom 5 dies tut – über eine Menge $X$ etwas aussagen – dann ja: dies macht der Teilausdruck „(0\in X \and \forall n (n \in \N \Rightarrow (n\in X \Rightarrow n'\in X)) \Rightarrow \N \subseteq X)“. Das Axiom 5 selbst jedoch macht keine Aussage über eine Menge $X$ (auf eine solche bezieht sich das Axiom gar nicht, jdf. nicht explizit), sondern eine Aussage über jede beliebige Menge. Es gibt immer eine Frage von Kontext: Für den Teilausdruck ist eine Menge $X$ gegeben, über die er eine Aussage machen kann, dem Axiom 5 selbst hingegen, dem ganzen Satz, ist eine Menge mit dem Namen $X$, auf den (den Namen) sich auch andere Sätze beziehen könnten, nicht bekannt, es bezieht sich nicht auf einen solchen Namen. --Chricho ¹ ² ³ 02:12, 3. Sep. 2017 (CEST)

Vielleicht bekommen wir ja Klarheit in unsere Diskussion, wenn Du einfach mal Symbol für Symbol das ganze Axiom 5 (oder noch besser alle 5 Axiome) wortwörtlich in Deutsche Sprache übersetzt, ohne etwas hineinzuinterpretieren oder sprachlich in kürzere Sätze zu fassen?--Wikilaser (Diskussion) 09:09, 3. Sep. 2017 (CEST)

In einem klaren deutschen Satz: Jede Menge, die die 0 enthält und für jede natürliche Zahl, die sie enthält, auch deren Nachfolger enthält, ist eine Obermenge der natürlichen Zahlen.

„Symbol für Symbol“: Für jede Menge $X$ gilt, dass, falls $X$ die $0$ enthält und für jede natürliche Zahl $n$, die in $X$ enthalten ist, auch der Nachfolger von $n$ in $X$ enthalten ist, dann $X$ eine Obermenge von $\mathbb {N}$ ist.

Peanos Umschreibung: « Soit s une classe ; supposons que 0 appartienne à cette classe ; et que toutes les fois qu’un individu x appartient à cette classe, son suivant y appartienne aussi ; alors tous les nombres appartiennent à cette classe. » --Chricho ¹ ² ³ 10:57, 3. Sep. 2017 (CEST)

Na wunderbar, da haben wir es doch: Um eine beliebige Menge X mit der Menge N vergleichen zu können, um herauszufinden, ob X eine Obermenge zu N darstellt oder nicht, ist es doch ganz eindeutig und ohne wenn und aber erforderlich, zuerst (!!!) separat voneinander die Mengen X und N aufzustellen bzw. deren Elemente anhand ihrer jeweiligen Definition zu konstruieren. Dann erst kann man den Vergleich anstellen. Womit zweifelsfrei bewiesen ist, daß das Axiom 5 zur Aufstellung der Menge N überhaupt nicht erforderlich ist. Was bitte ist daran so schwer zu verstehen?--Wikilaser (Diskussion) 20:52, 3. Sep. 2017 (CEST)

Nein, die Axiome bedürfen nicht zuvor irgendwelcher Konstruktionen, um dann über diese Aussagen zu treffen. Sie springen direkt ins kalte Wasser und machen Aussagen, ohne dass eine Bedeutung einzelner Ausdrücke festgelegt ist. Das Axiom ‚stellt auch keinen Vergleich an‘, wie du das ausdrückst, es setzt die Obermengenbeziehung als gültig, ohne dafür irgendetwas über diese Mengen wissen zu müssen (außer, dass die enthaltene Bedingung für $X$ gilt). --Chricho ¹ ² ³ 21:46, 3. Sep. 2017 (CEST)

Bitte lies ganz genau, was ich schreibe! Das Axiom 5 bedarf erst der Konstruktion der Mengen X und N. Diese Konstruktion geschieht mittels der Axiome 1 bis 3 (oder nach Deiner Lesart 1 bis 4). Und zu behaupten, Axiom 5 würde keinen Vergleich anstellen, ist wirklich starker Tobak. Selbstverständlich tut es das!--Wikilaser (Diskussion) 06:17, 4. Sep. 2017 (CEST)

Dass das Axiom 5 keinen Vergleich ‚anstellt‘ meine ich nur in dem Sinne, dass es nicht fertig konstruierte Mengen nimmt und dann mal sieht, was rauskommt – es setzt den Vergleich und bestimmt so auch erst Eigenschaften von $\mathbb {N}$ mit. Axiom 5 bedarf der Konstruktion von $\mathbb {N}$ genauso wenig wie die Axiome 1–3 oder Axiom 4. All diese Axiome machen Aussagen über $\mathbb {N}$, ohne dass irgendeine Art vollständiger Konstruktion vorausgesetzt wird. Die Axiome haben alle denselben Status und sie machen alle Aussagen über $\mathbb {N}$ – warum sollten denn dann deiner Meinung nach die Axiome 1–3 keine Konstruktion von $\mathbb {N}$ voraussetzen? --Chricho ¹ ² ³ 11:30, 4. Sep. 2017 (CEST)

Ich rücke den Text mal wieder etwas weiter nach links.

Weiter im Text:

Bei den Axiomen 1 bis 3 setze ich keine Konstruktion voraus, sondern im Gegenteil, die Axiome 1 bis 3 ermöglichen erst die Konstruktion. Lediglich Axiom 5 setzt voraus, daß die beiden Mengen bereits konstruiert sind (oder sich nach Deiner Lesart in Konstruktion befinden).

Wie schon gesagt, es ist unbestreitbar, daß man die Axiome 1 bis 3 als Handlungsanweisung zur Konstruktion auffassen kann, und genau das tue ich.--Wikilaser (Diskussion) 13:58, 4. Sep. 2017 (CEST)

Was ist denn der Unterschied zwischen den Axiomen 1 bis 3 und dem Axiom 5? Woran soll man diesen unterschiedlichen Status erkennen? Peano hat die 5 Sätze gleichberechtigt als Axiome formuliert, nicht die einen als Konstruktionsanweisungen und die anderen als irgendetwas anderes. Die Voraussetzungen sind für alle Axiome dieselben – nämlich die prädikatenlogische Sprache und die Symbole $\mathbb {N} ,0,'$ als Klasse, Individuum und einstelliger Funktion auf $\mathbb {N}$. --Chricho ¹ ² ³ 16:15, 4. Sep. 2017 (CEST)

Peano mag die Axiome als gleichberechtigt betrachtet haben, allein ihre Aussagen machen den Unterschied. Das ist wie mit der Sprache selbst: Du verwendest für alle Sätze dieselbe Grundlage (Alphabet, Grammatik, etc.), aber die ersten vier Sätze sind beispielsweise Behauptungen, der fünfte Satz ist dagegen eine Frage.--Wikilaser (Diskussion) 23:50, 4. Sep. 2017 (CEST)

Nein, ein Axiom ist niemals eine Frage (auch in der Übersetzung ins Deutsche siehst du das übrigens, dass es keine Frage ist). --Chricho ¹ ² ³ 01:07, 5. Sep. 2017 (CEST)

Da hast Du mich jetzt gründlich mißverstanden. Was für die Axiome deren Zeichen sind, sind für die Sprache das Alphabet und die Grammatik. Das mit Behauptung und Frage meinte ich zunächst gar nicht übertragen auf die Axiome, sondern im Rahmen der Sprache selbst. Überträgt man das Sprachbeispiel auf die Axiome, so kann man feststellen: Die Axiome 1, 3 und 4 setzen keine Kenntnis über die Natürlichen Zahlen voraus, die Axiome 2 und 5 kann man jedoch ohne Kenntnis der Natürlichen Zahlen im Grunde gar nicht beantworten, sie lassen also Fragen offen.--Wikilaser (Diskussion) 21:25, 5. Sep. 2017 (CEST)

Ich behaupte einfach das Gegenteil, da du ja auch keine Argumente bringst: Nein, alle der Axiome 1-5 haben denselben Status und sagen einfach, was zu gelten hat. --Daniel5Ko (Diskussion) 21:35, 5. Sep. 2017 (CEST)

Die Axiome müssen nicht beantwortet werden, es reicht, sie zu setzen. Den grammatischen Unterschied, den du zwischen den Axiomen behauptest, kann ich nicht erkennen (Daniel5Ko: dito) – beschreib ihn doch mal? --Chricho ¹ ² ³ 21:40, 5. Sep. 2017 (CEST)

Sag mal, willst Du Dich jetzt mit Absicht dumm stellen, oder begreifst Du es wirklich nicht? So, wie es bei der Sprache einen Unterschied zwischen Behauptung und Frage gibt, unterscheiden sich die genannten Axiome darin, daß die Axiome 2 und 5 auf Kenntnisse der Menge der Natürlichen Zahlen berufen, die laut Deinem Hinweis auf die Prädikatenlogik als nicht vorhanden zu gelten hätten. Die Axiome 1, 3 und 4 tun dies nicht. Man kann also mittels einer Sprache sowohl eine Behauptung formulieren als auch eine Frage, und man kann sich im Rahmen von Axiomen auf Vorkenntnisse beziehen (was fehlerhaft ist) oder dies vermeiden.--Wikilaser (Diskussion) 16:08, 6. Sep. 2017 (CEST)

Ich beschreib dir mal, wie die Grammatik hier grundsätzlich aussieht: Man kann Beziehungsaussagen durch Gebrauch der Zeichen $=$ (mit zwei Termen links und rechts, die wiederum Variablen, Funktionen und die 0 enthalten dürfen), $\in$, $\subseteq$ machen. Solche Aussagen kann man nun durch Junktoren und Quantoren zu komplexeren Aussagen erweitern/zusammenfügen. So werden Sätze gebaut und sonst gar nicht. Und jetzt erklär mir, auf welcher Ebene dieser Grammatik die Unterscheidung zwischen „auf Kenntnis von … beruhen“ und „nicht auf Kenntnis von … beruhen“ ansetzt. Welches Zeichen zeigt diesen Unterschied an? Oder ist die spezifische Kombination, die das „Beruhen auf Kenntnis“ einführt? Dann erklär mir, bei welcher Junktor- oder Quantorkombination auf einmal Kenntnis ansetzt? Alle fünf Sätze benutzen das Symbol $\mathbb {N}$, da kann der Unterschied nicht liegen. --Chricho ¹ ² ³ 18:00, 6. Sep. 2017 (CEST)

Die Frage ist falsch gestellt: Nicht "welches Zeichen macht den Unterschied", sondern "welche Aussage macht den Unterschied" muß die Frage heißen.

Axiom 1 ist eine ganz einfache Definition eines bestimmten Elements: 0 ist ein Element der Natürlichen Zahlen. Also eine Aussage, die keine Kenntnis über die Menge der Natürlichen Zahlen voraussetzt. Axiom 5 dagegen vergleicht die Mengen X und N miteinander. Und hierfür müssen bereits Kenntnisse über die Natürlichen Zahlen vorliegen, man muß nämlich wissen, welche Nachfolger n' tatsächlich Natürliche Zahlen sind. In meinem Beispiel weiter unten mit den Transzendenten Zahlen wird das klar, denn eine Transzendente Zahl ist nun einmal kein Element der Natürlichen Zahlen. Und das muß man wissen, wenn man gemäß Axiom 5 feststellen will, ob eine Menge X der Menge N entspricht oder nicht. Übrigens muß ich mich korrigieren, Axiom 2 setzt doch keine Kenntnis der Natürlichen Zahlen voraus.--Wikilaser (Diskussion) 23:27, 6. Sep. 2017 (CEST)

Nein, Axiom 1 ist keine Definition, sondern setzt die Objekte 0 und $\mathbb {N}$ miteinander in Beziehung und braucht dafür keine Kenntnisse über 0 und $\mathbb {N}$, genauso wie das Axiom 5 $\mathbb {N}$ mit jeder beliebigen Menge in Beziehung setzt und dafür keine Kenntnisse über $\mathbb {N}$ voraussetzt. --Chricho ¹ ² ³ 10:54, 8. Sep. 2017 (CEST)

Du nennst es "miteinander in Beziehung setzen", ich nenne es "miteinander vergleichen". Wo ist da jetzt der Unterschied?--Wikilaser (Diskussion) 01:05, 9. Sep. 2017 (CEST)

Vllt. hilft es für das Verständnis, darauf hinzuweisen, dass die Darstellung – bei Übersetzung in eine moderne Sprache – möglichst nah an Peano zu bleiben sucht. Ich lasse deshalb jetzt einmal alles ZFC und alle Modelltheorie, die erst später entwickelt wurden, beiseite und wir versuchen, den Kontext bei Peano zu beschreiben: Peano setzt eine gewisse logische Sprache voraus, in der es neben aussagenlogischen Operationen auch Klassen (heute würde man sagen Mengen) und Funktionen gibt. Nun stellt er Axiome der natürlichen Zahlen auf, für die er die Zeichen 0 (im Original 1), N und „…+1“ (im Original außerdem =, aber die Axiomatisierung der Gleichheit sei jetzt einmal vorausgesetzt). Die 1 ist dabei eine „Entität“ (eine Individuenkonstante würde man heute sagen), N eine Klasse und „…+1“ eine Funktion. „Entität“, Klasse und Funktion sind so etwas wie Wortarten in der Grammatik. Der Sinn davon, Axiome anzugeben, liegt nun gerade darin, die Voraussetzungen, die man sonst implizit macht, explizit und damit kontrollierbar zu machen. Wenn du nun sagst, Axiom 4 bräuchte es nicht, setzt du bereits ein Wissen über das „…+1“ voraus – gerade dieses soll jedoch vom Axiom 4 explizit gemacht werden: Ohne die Axiome wissen wir nur, dass „…+1“ eine Funktion ist, für jede „Entität“ x also x+1 auch eine „Entität“ ist (das ist etwas rein sprachliches, syntaktisches, so ähnlich wie in der deutschen Sprache für alle Nominalphrasen „x“ und „y“ dann „x und y“ auch eine Nominalphrase ist), ob aber nicht zum Beispiel vielleicht manchmal x=x+1 ist, wissen wir nicht. Wir wissen, dass x+1 ist, nicht aber was x+1 ist. In dem Kontext von Peano gibt es in der Tat nur eine Menge der natürlichen Zahlen, nur eine 0 und nur ein „…+1“ – das ist nur eine andere Ausdrucksweise dafür, festzustellen, dass N, 0 und „…+1“ so etwas wie Eigennamen sind, einmal gewählte und dann nicht mehr ersetzte Zeichen. Darüber, was es nun ist, was diese Namen bezeichnen, werden keine weiterführenden Aussagen gemacht, als dass noch natürlichsprachliche Umschreibungen gegeben werden (1 ist unitas etc.), ohne dass auf diese jedoch weiter zurückgegriffen wird. Wichtig ist nur der Gebrauch dieser Zeichen im Kontext.

Andere als Peano (Dedekind, Russell, Zermelo, von Neumann) sind dazu übergegangen, unter anderen sprachlichen Voraussetzungen als Peano, die natürlichen Zahlen nicht als Zeichen N, 0, „…+1“ einzuführen, über die dann axiomatische Voraussetzungen gemacht werden, sondern diese selbst zu definieren. So wie Peano die 1 definiert als 0+1 und die 2 als 1+1, so werden dann N, 0 und „…+1“ nicht als irreduzible Zeichen stehen gelassen, sondern selbst definiert, beispielsweise als Mengen. Dafür gibt es jetzt natürlich unterschiedliche Möglichkeiten. Ersetzt man nun in den Peano-Axiomen die Ausdrücke N, 0 und „…+1“ durch mengentheoretische Definitionen, so erhält man Sätze, die sich wiederum aus mengentheoretischen Axiomen – die allerdings Peano noch nicht kannte – als gültige Sätze beweisen lassen. Man sagt dann auch dafür, dass die Peano-Axiome für diese – nunmehr definierten – Objekte N,0,„…+1“ gelten, sie von ihnen erfüllt sind – und solche Objekte, für die die Peano-Axiome gelten, lassen sich in der Mengenlehre sehr viele angeben, wir können die Elemente von N und die 0 beliebig wählen, nur die durch „…+1“ definierte Beziehung unter ihnen muss passen. Dies liegt gerade daran, dass die Peano-Axiome eben nur syntaktische Eigenschaften von N, 0 und „…+1“ voraussetzen, Wissen darüber, „was“ diese Objekte denn sind, nicht in sie eingeht (bzw. erst durch sie formuliert wird). --Chricho ¹ ² ³ 13:52, 23. Aug. 2017 (CEST)

Also zu behaupten, daß x und x+1 gleich sein könnten, weil man nicht wisse, was x oder 1 überhaupt sei, halte ich für ziemlich abwegig. Sollten Mathematiker jedoch tatsächlich davon ausgehen, verlangte das ja geradezu nach einer Definition der Natürlichen Zahlen, die weit über das hinausgeht, was Peano formulierte.--Wikilaser (Diskussion) 02:44, 24. Aug. 2017 (CEST)

Wenn es dich beruhigt: Man kann zeigen, dass $x$ nie gleich $x+1$ ist. Dafür benötigt man aber die Axiome 3 bis 5, deren Sinn du ja die ganze Zeit in Frage stellst. --Daniel5Ko (Diskussion) 21:37, 24. Aug. 2017 (CEST)

Axiom 3 zweifle ich nicht an, sondern lediglich die Notwendigkeit der Axiome 4 und 5 (wobei letzteres hier gar nicht zur Diskussion steht, das können wir gern später noch ausdiskutieren). Nebenbei bemerkt wundere ich mich immer über die Formulierung "man kann zeigen, daß ...". Warum zeigt man es dann nicht gleich? Ferner hatte Benutzer Chricho angesprochen, daß man nicht wisse, ob nicht auch manchmal x = x + 1 sein könne, nicht ich.--Wikilaser (Diskussion) 23:46, 24. Aug. 2017 (CEST)

Also, wenn ich mit "man kann leicht zeigen,..." argumentiere, meine ich meist: Fange einfach irgendwie an, selbst einen Beweisversuch zu unternehmen. Die Zielgerade wird beinahe sofort im Blick sein. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:31, 25. Aug. 2017 (CEST)

Netter Versuch, die Beweislast umzukehren. Davon abgesehen reichen mir zur Erstellung der Natürlichen Zahlen die Axiome 1 bis 3 (sofern der Abstand zwischen n und n' stets 1 ist), da die Beziehung zwischen Vorgänger (erstmals die 0) und Nachfolger stets beidseitig ist. Man kann Vorgänger und Nachfolger nicht voneinander trennen. Wenn Du mein Doppelhaus-Beispiel mal genau durchdenkst, wird Dir hoffentlich klar, daß wenn B der rechte Nachbar von A ist, A automatisch der linke Nachbar von B ist. B kann niemals sagen, A sei nicht sein rechter Nachbar. Genauso ist es mit dem Nachfolger der 0, der kann auch niemals als sein eigener Nachfolger gelten, weil dadurch seine Beziehung zur 0 verletzt würde. Folgerichtig ist der Nachfolger des Nachfolgers der 0 zwingend eine andere Zahl als der Nachfolger der 0 selbst. Und für dessen (und jeden weiteren) Nachfolger gilt das genauso. Da aufgrund von Axiom 2 jede Natürliche Zahl einen Nachfolger hat, der ebenfalls eine Natürliche Zahl ist, läßt sich die Menge der Natürlichen Zahlen auf der Grundlage der Axiome 1 bis 3 vollständig aufstellen, ohne daß Axiom 4 oder 5 benötigt werden.--Wikilaser (Diskussion) 09:26, 25. Aug. 2017 (CEST)

Ich sagte doch, der Beweis ist trivial. Wir definieren $X:=\{n\in \mathbb {N} \mid n\neq {\mathsf {S}}n\}$ und zeigen per Axiom 5, dass $\mathbb {N} \subseteq X$, was gerade das zu zeigende ist. $0\in X$ gilt wegen Axiom 3, $\forall n.\ n\in X\Rightarrow {\mathsf {S}}n\in X$ ist eine simple Folgerung aus Axiom 4. Es hätte dir übrigens sehr beim Verstehen geholfen, wenn du selbst versucht hättest, einen Beweis zu entwickeln. --Daniel5Ko (Diskussion) 22:34, 25. Aug. 2017 (CEST)

Indem ich die Axiome 1 bis 3 anwende, komme ich bereits zu unendlich vielen Natürlichen Zahlen, die alle voneinander verschieden sind. Ich muß nicht erst mittels Axiom 4 in der Menge der Natürlichen Zahlen nach einem Beispiel suchen, bei dem zwei Natürliche Zahlen denselben Nachfolger haben. Warum? Weil es bei der Anwendung der Axiome 1 bis 3 überhaupt nicht dazu kommen kann. Und ich muß auch nicht mittels Axiom 5 die Einbettung der Menge der Natürlichen Zahlen in eine andere Menge (zum Beispiel die Menge der ganzen Zahlen) überprüfen, um die Natürlichen Zahlen mittels der Axiome 1 bis 3 aufzustellen. Warum? Weil die Einbettung in eine andere Menge für die Vollständigkeit der Menge der Natürlichen Zahlen überhaupt nicht von Belang ist.--Wikilaser (Diskussion) 00:19, 26. Aug. 2017 (CEST)

Siehe unten. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:58, 26. Aug. 2017 (CEST)

Die Bedeutung eines Nachfolgers in den natürlichen Zahlen soll durch die Axiome ja erst angegeben werden. Dass zu einem Nachfolger auch ein eindeutiger Vorgänger gehört und sich Vorgänger und Nachfolger unterscheiden, das sollen die Axiome erst explizit machen, ohne dass man es implizit voraussetzen muss. --19:46, 25. Aug. 2017 (CEST)

Ich setze den Unterschied von Vorgänger und Nachfolger doch gar nicht implizit voraus. Das formulierte Peano sogar explizit, indem er mittels Axiom 3 einen klaren Unterschied zwischen der 0 und ihrem Nachfolger formulierte. Lediglich den Schluß, daß dann auch jeder weitere Nachfolger unterschiedlich sein müsse, muß man dann noch ziehen. Und zwar auch nicht implizit, weil die Beziehung zwischen Vorgänger und Nachfolger nicht trennbar ist. Wenn also bereits der erste Nachfolger unterschiedlich zu seinem Vorgänger ist, dann gilt das für jeden weiteren Nachfolger ebenfalls, weil Peano in seinen Axiomen jeden Nachfolger grundsätzlich mit n' bezeichnete. Ich sehen daher keinen Grund, die Axiome 4 und 5 hinzuziehen zu müssen, um die Menge der Natürlichen Zahlen fehlerfrei aufstellen zu können. Lediglich in der Frage, wie groß der Abstand zwischen jedem Vorgänger und Nachfolger sein soll, könnte man über ein eigenes Axiom diskutieren.--Wikilaser (Diskussion) 00:19, 26. Aug. 2017 (CEST)

„Also zu behaupten, daß x und x+1 gleich sein könnten, weil man nicht wisse, was x oder 1 überhaupt sei, halte ich für ziemlich abwegig.“ Durch das Axiom 3 weiß man, dass $0\neq 1$, mit dem Axiom 4 weiß man dann auch, dass $0+1=1\neq 2=1+1$ (denn sonst wäre laut Axiom 4 auch $0=1$), dann weiß man auch, dass $1+1=2\neq 3=2+1$ (denn sonst wäre laut Axiom 4 auch $1=2$), dann weiß man auch, dass $2+1=3\neq 4=3+1$ (denn sonst wäre laut Axiom 4 auch $2=3$) usw. usf. Und dank Axiom 5 weiß man dann auch, dass tatsächlich für alle natürlichen Zahlen $x\neq x+1$ gilt.

Ich hebe meinen Beitrag mal fett hervor, weil er möglicherweise übersehen wurde.--Wikilaser (Diskussion) 10:37, 28. Aug. 2017 (CEST)

Wenn man weiß, daß 0 ungleich 1 ist, und wenn man außerdem weiß, daß 0 + 1 = 1 ist, dann weiß man auch, daß 1 + 1 ungleich 0 + 1 sein muß.--Wikilaser (Diskussion) 00:28, 26. Aug. 2017 (CEST)

Doch bevor man die Axiome 4 und 5 eingeführt hat, weiß man das nicht, bzw. man sieht eben davon ab, dass man es weiß, wendet dieses Wissen nicht an, sondern versucht es erst in möglichst wenig Axiomen zu formulieren und dann alles weitere Wissen nur aus diesen Axiomen zu beweisen, ohne irgendein Wissen zu benutzen, das man sonst schon hat (den Anspruch, warum in dieser Zeit die Axiomatisierungen aufkamen, hat Dedekind sehr schön formuliert: „Was beweisbar ist, soll in der Wissenschaft nicht ohne Beweis geglaubt werden.“).

Ohne die Axiome 4 und 5 könnte es sein (oder könnte man zumindest nicht ausschließlich von den Axiomen 1–3 ausgehend widerlegen), dass es nur die zwei Zahlen 0 und 1 gäbe und $1+1$ wäre wiederum $1$, oder dass es zusätzlich zu den üblichen natürlichen Zahlen noch eine „zweite Null“, ein ${\mathfrak {0}}\neq 0$ mit ${\mathfrak {0}}+1=1$ gäbe, oder es könnte zusätzlich noch eine Zahl $\infty$ mit $\infty +1=\infty$ geben, und viele weitere Möglichkeiten gäbe es. --Chricho ¹ ² ³ 19:31, 25. Aug. 2017 (CEST)

Nochmal als ganz klare Frage an dich, Wikilaser: Kleines Gedankenspiel: Stell dir vor, alle Zahlen größer als 1 gäbe es nicht, die natürlichen Zahlen, das wären nur die 0 und die 1. Und nun wäre $0+1=1$ (1 der Nachfolger von der 0) und $1+1=1$ (1 der Nachfolger von der 1). Wären dann die Axiome 1–3 erfüllt, ja oder nein? --Chricho ¹ ² ³ 19:48, 25. Aug. 2017 (CEST)

Du übersiehst dabei, daß Peano in Axiom 2 bestimmte, daß jede Natürliche Zahl einen Nachfolger hat, der seinerseits ebenfalls eine Natürliche Zahl ist. Und Axiom 3 bestimmt, daß die 0 (und nur diese) kein Nachfolger einer Natürlichen Zahl ist. Daraus folgt unweigerlich, daß es nicht nur zwei Natürliche Zahlen gibt, wie Du es in Deinem Gedankenspiel probierst, sondern unendlich viele. Folglich ist meine Antwort auf Deine Frage: Nein, dann sind die Peano-Axiome 1 bis 3 nicht erfüllt, weil die 1 dann keinen Nachfolger hätte, was aber gegen Axiom 2 verstieße.--Wikilaser (Diskussion) 00:19, 26. Aug. 2017 (CEST)

"Daraus folgt unweigerlich, daß es nicht nur zwei Natürliche Zahlen gibt." Beweise das. (Tipp: Es wird dir nicht gelingen können, da es, wie hier schon mehrfach geschehen, sehr leicht ist, eine zweielementige Menge zusammen mit der Angabe, was 0 und was die Nachfolgerfunktion ist, anzugeben, die die Axiome 1 bis 3 erfüllt.) Die 1 in Chrichos Beispiel hat einen Nachfolger. Der ist 1. Vielleicht gefällt dir das nicht, weil die Bezeichnung "Nachfolger" dann komisch ist. Aber genau zu dem Zweck kommen ja die anderen Axiome ins Spiel: um komische angebliche "Nachfolger"funktionen zu verbieten. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:58, 26. Aug. 2017 (CEST)

Eine weitere 1 als Nachfolger der ersten 1 ist unmöglich, da die Beziehung der ersten 1 als Nachfolger der 0 bereits besteht, und diese Beziehung ist beiderseitig, nicht nur einseitig: 1 ist Nachfolger der 0 und 0 ist Vorgänger der 1. Damit ist ausgeschlossen, daß eine 1 Nachfolger dieser ersten 1 sein kann. Wie kann man bitte so einen Unsinn denken, daß eine Zahl ihr eigener Nachfolger sein kann? Nochmal, das wäre ein Zirkelschluß: 1 ist der Nachfolger der 1 ist der Nachfolger der 1 ist der Nachfolger der 1 etc. Das beißt sich eindeutig mit dem Vorgänger 0 der 1. Man kann nicht einerseits sagen, 1 ist der Nachfolger der 0, um dann andererseits zu behaupten, 0 sei nicht der Vorgänger der 1, um dann eine 1 als Nachfolger dieser 1 zu konstruieren, die den Vorgänger 1 habe. Deshalb: Axiom 4 ist unnötig.--Wikilaser (Diskussion) 10:01, 28. Aug. 2017 (CEST)

@Wikilaser: Nicht eine weitere 1, sondern dieselbe 1. Der Vorgänger-Begriff wird nirgends vorausgesetzt (siehst du in den Axiomen irgendwo eine Vorgängerfunktion?), nur der Nachfolgerbegriff (nur der wird als sprachliches Element vorausgesetzt): Der Nachfolger ist eine Funktion (jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger), dass diese injektiv ist (und deshalb Vorgänger eindeutig sind, was du Beidseitigkeit nennst), wird nirgends vorausgesetzt. Einen Zirkel hätten wir in der Tat (die Nachfolgefunktion kommt in einen Zirkel), mein Schließen jedoch nicht: Ich nehme an, dass 1 der Nachfolger der 1 ist und komme zu keinem Widerspruch mit den Axiomen 1–3.

Versuch doch nochmal mein Gedankenspiel ernst zu nehmen: Sieh von allem ab, was du über natürliche Zahlen weißt (sie sind jetzt für dich eine gänzlich unbekannte Menge), setze nur voraus, dass es eine einstellige Funktion auf ihnen gibt (nenne sie Nachfolgerfunktion), dann nimm an, dass nur 0 und 1 zu den natürlichen Zahlen zählen, und definiere die Nachfolgefunktion so, dass 1 der Nachfolger der 0 und 1 der Nachfolger der 1 ist (stimmst du bis hierhin zu, dass das formallogisch vorstellbar ist?). Jetzt schau dir die Axiome 1–3 an: Sind es wahre Aussagen, ja oder nein? Ich denke ja, Axiom 1 gilt, Axiom 2 gilt, Axiom 3 gilt – wenn du mit mir nicht übereinstimmst, dann sag mir bei welchem Schritt du nicht mehr mitgehen kannst. --Chricho ¹ ² ³ 11:20, 28. Aug. 2017 (CEST)

Aus dem Nachfolgerbegriff erwächst automatisch, zwingend und logisch ein Vorgängerbegriff. Denn ansonsten wäre die 0 nicht Vorgänger der 1, die jedoch ihr Nachfolger ist. Und wenn Du, wie Du jetzt einwirfst, sogar dieselbe 1 als ihren eigenen Nachfolger definieren willst (was ich eben für völlig unsinnig halte), wie willst Du dann eben die 0 von der 1 unterscheiden, die nun einmal aufgrund der Nachfolgerfunktion der einzige Nachfolger (Axiom 2: Jede Natürliche Zahl hat einen (und nicht zwei oder mehr) Nachfolger, der ebenfalls eine Natürliche Zahl ist) der 0 ist? Nach Deiner Sichtweise wäre die 1 dann sowohl Nachfolger der 1 als auch Nachfolger der 0, sie hätte also zwei Vorgänger, was jedoch durch die automatische, zwingende und logische Vorgängerzuordnung, die aus der Nachfolgerregel erwächst, nicht möglich ist. Um also Deine Zwischenfrage nach der formallogischen Vorstellbarkeit zu beantworten: Nein, das ist unlogisch.--Wikilaser (Diskussion) 18:10, 28. Aug. 2017 (CEST)

Zum Beispiel auf der Menge aller russischen Präsidenten ist auch eine Nachfolgerfunktion definiert. Da ist aber Putin sowohl Nachfolger von Jelzin als auch von Medwedew :) -- HilberTraum (d, m) 17:06, 28. Aug. 2017 (CEST)

Nun, Putin wurde zunächst zum 2., dann zum 3. und später zum 5. Präsidenten Russlands gewählt. Die Menge russischer Präsidenten ist jedoch nicht vergleichbar mit der Menge der Natürlichen Zahlen. Keine weitere Stellungnahme zu diesem Einwurf, lieber HilberTraum.--Wikilaser (Diskussion) 18:10, 28. Aug. 2017 (CEST)

Schade eigentlich. Trotz des Smileys war das Beispiel schon als hilfreich gedacht. Ich hatte hier mitgelesen und mir gedacht, so ein Beispiel ganz ohne den Formelkram, mit dem man in einigen der anderen Beiträge zugetextet wird, könnte die Bedeutung der Peano-Axiome vielleicht verständlicher machen. -- 19:34, 28. Aug. 2017 (CEST)

Nur, weil es mir gerade einfiel: Der Putin, der zum 3. Präsidenten Russlands gewählt wurde, ist nicht derselbe Putin wie der, der zum 2. Präsidenten Russlands gewählt wurde. Es handelt sich zwar um dieselbe Person, aber sie hat nicht dieselben Eigenschaften, denn als 3. Präsident war er älter als als 2. Präsident, und als 5. Präsident war er älter als als 2. und 3. Präsident. Man kann also selbst da sagen, es handelt sich nicht um exakt denselben Nachfolger.--Wikilaser (Diskussion) 21:42, 28. Aug. 2017 (CEST)

Es ist aber ein ganz natürliches Konzept, Menschen, die eine bestimmte Eigenschaft gemeinsam haben (z. B. Präsident Russlands zu sein oder gewesen zu sein) zu einer Menge zusammenzufassen, unabhängig von anderen Eigenschaften. Nichts anderes machen auch unsere Kategorien: Kategorie:Präsident der Russischen Föderation enthält das Element Putin und nicht verschiedene „Putins“ unterschiedlichen Alters. -- HilberTraum (d, m) 23:34, 28. Aug. 2017 (CEST)

Man kann nicht das Element Putin zu einem in sämtlichen Eigenschaften unveränderlichen Element erklären, wenn das Element Putin im Rahmen der Legislaturperioden Russlands in einem Teil seiner Eigenschaften (hier das Alter) Veränderungen unterworfen ist. Bezogen auf die Natürlichen Zahlen hieße das, eine Natürlichen Zahl n würde sich in einem Teil ihrer Eigenschaften verändern, was nichts anderes bedeuten würde, daß sie nicht mehr die Natürliche Zahl n wäre, sondern eine andere (möglicherweise nicht einmal mehr Natürliche) Zahl. Wenn man von einem Element spricht, dann stets von einem Element in allen seinen Eigenschaften.--Wikilaser (Diskussion) 23:04, 29. Aug. 2017 (CEST)

@Wikilaser: Da habe ich aber Zweifel, dass das die „herkömmliche Logik“ ist. Wenn du über Beziehungen von Putin zu anderen Entitäten sprichst, sprichst du also immer nur von Putin zu einem einzigen Augenblick? Wenn du einen Satz über Putin in der Gegenwart aussprichst, verlangst du dessen Geltung nur zu einem Augenblick und im nächsten nicht mehr? Vllt. gibt es wesentliche/notwendige Eigenschaften von Putin, genauso wie es wesentliche Eigenschaften von Zahlen gibt, und wir könnten Putin als durch diese wesentlichen Eigenschaften über alle Zeit hinweg bestimmt ansehen? Je nach Verständnis von Notwendigkeit, können übrigens auch Eigenschaften von Zahlen nicht notwendig (etwa nicht beweisbar) sein. Und wer sagt überhaupt, dass die Identität von Eigenschaften abhängt? Sowohl in der Mathematik als auch im Alltag spricht man oft von Objekten, Dingen, Personen, ohne dass man die (geschweige denn wesentlichen) Eigenschaften genau kennt, durch die man sie identifizieren bzw. voneinander unterscheiden könnte. Vllt. lässt sich Identität gar nicht immer durch wesentliche Eigenschaften bestimmen, sondern ist eine Relation, die sich nur aus ihrem Verhältnis zu anderen relationalen Aussagen näher bestimmen lässt? Ein solcher Ansatz ist für die Mathematik jedenfalls sehr fruchtbar, so wird Gleichheit als eine Beziehung aufgefasst, die wechselseitige Ersetzbarkeit in möglichst vielen Kontexten erlaubt. Umgekehrt heißt Ungleichheit aber nicht unbedingt Unterscheidbarkeit auf Grundlage einer Eigenschaft. Das führt jetzt vom Thema ab, solche Fragen weiter zu erläutern. Es ist jedoch keineswegs so, dass das nur die weltfremde Willkür der Mathematiker ist, Begriffe so zu verstehen, nein, dieses Verständnis hat zumindest enge Beziehungen auch zu philosophischen Ansätzen. Für den Fall Putin noch eine einfache Anmerkung: Vllt. gehört es gerade zu Aussagen über die Geschichte dazu, dass man über Individuen auch über die Zeit hinweg spricht. Wenn du nur Aussagen erlauben möchtest, die sich auf Personen zu je einer bestimmten Zeit beziehen – auch wenn man dann über Putin am 2. Januar 2005, 12:19 und Putin am 15. Oktober 2016 um 19:03 spricht, wird es so doch schwer Zusammenhänge darzustellen, du müsstest dann jedes Mal erst erläutern, dass diese beiden sich auseinander entwickelt haben – und woran genau machst du das fest (vgl. personal identity)? Da ist es doch einfacher, wenn man einfach von Putin als einem Individuum spricht (wie das herkömmlich auch alle tun) und nur bei Bedarf auf bestimmte Zeiten einschränkt. Dann hat man auch kein Problem damit, einfach zu sagen, Putin sei Nachfolger von Jelzin und von Medwedew, und schränkt dann nur bei Bedarf auf Putin als 2. Präsidenten und Putin als 4. Präsidenten ein. Schöne Grüße --Chricho ¹ ² ³ 16:48, 30. Aug. 2017 (CEST)

Es ging zunächst um Natürliche Zahlen, von denen man (so nehme ich jedenfalls an) alle Eigenschaften kennt, diese auch alle wesentlich sind und sie sich auch nicht verändern. Deshalb habe ich den Einwurf gebracht, daß man bei Putin eben nicht alle Eigenschaften kennt und sich auch manche verändern können. Nebenbei bemerkt darf ich an dieser Stelle daran erinnern, was Adenauer einst sagte: "Was interessiert mich mein Geschwätz von gestern?". So, und nun würde ich diesen Nebenschauplatz gern verlassen, denn er trägt nichts zum näheren Verständnis der Peano-Axiome bei.--Wikilaser (Diskussion) 22:45, 30. Aug. 2017 (CEST)

Nein, man kennt nicht alle Eigenschaften natürlicher Zahlen, sonst wäre in der Zahlentheorie ja nichts mehr zu erforschen (so weiß zum Beispiel niemand, ob $65537$ die größte Primzahl der Form $2^{2^{n}}+1$ ist, siehe Fermat-Zahl). Außerdem weiß man, dass es Eigenschaften natürlicher Zahlen gibt, für die sich zum Beispiel in der Peano-Arithmetik genau dann beweisen lässt, dass sie einer Zahl zukommen, wenn sich zugleich beweisen lässt, dass sie ihr nicht zukommen (sodass die Peano-Arithmetik widersprüchlich wäre). Oder vereinfacht gesagt: Wenn wir annehmen, dass die Peano-Arithmetik nicht widersprüchlich ist, gibt es eine Eigenschaft einer natürlichen Zahl, für die wir nicht erkennen können, ob sie oder ihr Gegenteil der Zahl zukommt – ob wir trotzdem sagen sollten, dass einer der beiden Fälle zutrifft, wir es aber nicht erkennen können, darüber kann man jetzt streiten. Mit der Philosophie der Mathematik ists nicht unbedingt einfacher bestellt als mit der übrigen Philosophie. --Chricho ¹ ² ³ 11:14, 31. Aug. 2017 (CEST)

Ok, mag sein, daß man noch nicht alle Eigenschaften aller Natürlicher Zahlen kennt. Aber um herauszufinden, ob eine Zahl eine Natürliche Zahl ist oder nicht, ist es völlig nebensächlich, ob sie beispielsweise eine größte Primzahl nach einem bestimmten Muster ist oder nicht. Das Alter eines Russischen Präsidenten ist jedoch sehr wohl wesentlich (jedenfalls wesentlicher als die vorgenannte fragliche Primzahleigenschaft), denn mit dem Alter gehen beispielsweise auch Erfahrungen einher, über die er während seiner Präsidentschaft verfügt. Aber jetzt genug mit diesem Nebenschauplatz!--Wikilaser (Diskussion) 13:43, 31. Aug. 2017 (CEST)

Plakativ gesagt: Man wird sie nie alle kennen und es gibt sogar unerkennbare. Das mag man für eine Beleidigung der Vernunft halten, es ist jedoch eine Beleidigung, die sich die Vernunft aus innerer Konsequenz in Reflexion auf die natürlichen Zahlen selbst zugefügt hat (Satz von Gödel-Rosser). --Chricho ¹ ² ³ 15:36, 31. Aug. 2017 (CEST)

@Wikilaser: „Aus dem Nachfolgerbegriff erwächst automatisch, zwingend und logisch ein Vorgängerbegriff“ – nein, so wie du das verstehst nur bei Injektivität der Nachfolgerfunktion.

Die 1 kann ich in meinem Szenario sehr leicht von der 0 unterscheiden: Die 1 ist ihr eigener Nachfolger, die 0 ist nicht ihr eigener Nachfolger (es ist aber auch nicht zwingend nötig, dass ich sie durch solche Eigenschaften unterscheiden kann, es ist ja die Gleichheitsrelation (und damit auch ein Begriff von Ungleichheit) vorausgesetzt, 0 ist nicht gleich 1).

Ferner habe ich die Eigenschaft, ihr eigener Nachfolger zu sein, nicht als Definition der 1 gebraucht. Ich habe hingegen vorausgesetzt, dass es die 1 gibt, ohne weitere Definition, und dann Eigenschaften angegeben. Ich könnte das Szenario auch mit einer Definition machen, dann würde ich die 1 als Nachfolger der 0 definieren.

Zum Gedankenexperiment: Warum ist es unlogisch? Wäre es auch unlogisch, wenn ich die besagte einstellige Funktion nicht Nachfolgerfunktion, sondern einfach u nennen würde?

Ich formuliere das Gedankenexperiment anders: Sei $u$ eine einstellige Funktion und $A$ die Menge $A=\{0,1\}$. Es sei $u(0)=1$ und $u(1)=1$. Stimmst du mir zu, dass dann die folgenden drei Sätze gelten?

1. $0\in A$
2. $\forall n(n\in A\Rightarrow u(n)\in A)$
3. $\forall n(n\in A\Rightarrow u(n)\not =0)$

Gehst du bis hierhin mit? Ändert sich nun irgendetwas, wenn ich die Funktion $u(\Box )$ in $\Box '$ oder in $\Box +1$ umbenenne (also statt $u(x)$ lieber $x'$ oder $x+1$ schreibe)? Ändert sich etwas, wenn ich $A$ in $\mathbb {N}$ umbenenne? Ändert sich etwas, wenn ich statt $u(x)$ „Nachfolger von x“ sage? Ich denke nein. Wenn ich diese Umbenennungen gemacht habe, habe ich dann etwas anderes als die ersten 3 Peano-Axiome? Ich denke nein. Bis wohin stimmst du zu? --Chricho ¹ ² ³ 19:02, 28. Aug. 2017 (CEST)

@Chricho: Die Nachfolgerfunktion kann nur injektiv sein. Denn wenn sie es nicht wäre, wäre man sofort in der Erklärungsnot, was denn die 0 aus Sicht der 1 sein soll, wenn nicht ihr Vorgänger. Der zwingende Zusammenhang (1 ist Nachfolger der 0, daraus folgt 0 ist Vorgänger der 1) läßt sich meines Erachtens nach nicht wegdiskutieren oder gar wegdefinieren. Mir scheint, gerade der Begriff einer "einstelligen Funktion" ist wohl der Knackpunkt. Und ich halte ihn in diesem Zusammenhang für nicht anwendbar. Man kann nicht sagen, die 1 solle zwar Nachfolger der 0 sein, aber zugleich solle die 0 nicht Vorgänger der 1 sein. Das ist schlicht unlogisch.--Wikilaser (Diskussion) 21:06, 28. Aug. 2017 (CEST)

Wozu soll das wichtig sein, was „die 0 aus Sicht der 1“ ist? Wenn man gemeinsprachlich und in der Mathematik von Vorgänger und Nachfolger spricht, wird übrigens je nach Kontext weder Injektivität vorausgesetzt noch, dass das überhaupt Funktionen sind. Vielmehr werden „Vorgänger sein von …“ und „Nachfolger sein von …“ als zweistellige Relationen aufgefasst, die Präsidenten sind da ein gutes Beispiel, Jean-Bertrand Aristide hat als Staatspräsident vier Amtsvorgänger und vier Amtsnachfolger. Und was ist, wenn ich dir sage, dass Peano eben die Nachfolgerfunktion nicht als injektiv vorausgesetzt hat, und überhaupt keinen Vorgänger-Begriff vorausgesetzt hat?

Ansonsten: Wie stehts mit dem Gedankenexperiment? --Chricho ¹ ² ³ 21:20, 28. Aug. 2017 (CEST)

Laß Dein Gedankenexperiment erst einmal beiseite. Wozu soll das wichtig sein, was die 0 aus Sicht der 1 ist? Es ist nun einmal durch die Nachfolgefunktion eine Beziehung zwischen 0 und 1 vorhanden, die man nicht wegdiskutieren kann. Und diese Beziehung ist nun einmal automatisch und zwingend beidseitig wirksam. Wie kommst Du denn darauf, daß man die Begriffe Nachfolger und Vorgänger isoliert voneinander benutzen könne?--Wikilaser (Diskussion) 21:28, 28. Aug. 2017 (CEST)

Etwas weiter oben schrieb ich noch:

Wenn man weiß, daß 0 ungleich 1 ist, und wenn man außerdem weiß, daß 0 + 1 = 1 ist, dann weiß man auch, daß 1 + 1 ungleich 0 + 1 sein muß.

Vielleicht hast Du es übersehen? Es wäre nett, wenn Du darauf eingehen würdest.--Wikilaser (Diskussion) 21:31, 28. Aug. 2017 (CEST)

Zum ersten Punkt: Wer sollte mich dazu zwingen, auch von Vorgängern zu reden, wenn ich von Nachfolgern spreche? Peano macht es zum Beispiel so: Er nennt eine einstellige Funktion Nachfolgerfunktion, ohne von irgendeinem Vorgängerbegriff auszugehen. Was sollte das Problem sein? Es ist eine bloße Benennung: Es soll eine einstellige Funktion geben und die nenne ich Nachfolgerfunktion – fertig, keine weiteren Voraussetzungen.

Der Zwang ergibt sich aus dem Sachverhalt selbst. Schreib doch mal eine 0 auf ein Blatt Papier. Dann schreibe irgendein Symbol, das Du als Nachfolger haben willst, daneben. Dann siehst Du mit eigenen Augen, daß die Beziehung zwischen der 0 und ihrem Nachfolger beidseitig ist. Du kannst nicht von einem Nachfolger reden, ohne einen Vorgänger zu haben. Die 0 hat ausschließlich nur deshalb keinen Vorgänger, weil Peano das in seinem Axiom 3 ausdrücklich formuliert hat. Damit sagt er glasklar aus, daß alle Natürliche Zahlen mit Ausnahme der 0 eine Natürliche Zahl als Vorgänger haben. Dazu ist nicht erforderlich, daß er den Begriff Vorgänger in irgendeiner Weise explizit gebraucht. Es ist eine Sache der Logik, daß zwei Objekte, die nebeneinander stehen, in gegenseitiger Beziehung zueinander benachbart sind. Da führt kein Weg dran vorbei. Sollte man in der Mathematik tatsächlich in diesem Zusammenhang von einer lediglich einseitigen Beziehung ausgehen, dann ist das ein Logikfehler. Ohne wenn und aber.--Wikilaser (Diskussion) 23:05, 28. Aug. 2017 (CEST)

Zum zweiten Punkt: Man weiß das erst durch Axiom 4 (bzw. du weißt es vllt., weil du Injektivität der Nachfolgefunktion voraussetzt, oder eine Äquivalenzumformungsregel für Additionsterme – Peano macht beides nicht).

Man weiß es auch ohne Axiom 4. Der Unterschied zwischen 0 und ihrem Nachfolger ergibt sich aus Axiom 2 und 3. Jede Natürliche Zahl hat einen Nachfolger, aber nicht jede Natürliche Zahl (nämlich einzig die 0) ist ein Nachfolger. Daraus folgt, daß 0 nicht ihr eigener Nachfolger sein kann, da sie in diesem Falle ja auch Nachfolger wäre, was jedoch durch Axiom 3 ausgeschlossen ist. Damit ist der erste Nachfolger n' ungleich 0, und 0 + n' = n'. Und damit wiederum ist n' + n' ungleich 0 + n'.--Wikilaser (Diskussion) 10:38, 29. Aug. 2017 (CEST)

Jetzt nochmal zum Gedankenexperiment?--Chricho ¹ ² ³ 22:07, 28. Aug. 2017 (CEST) PS: Falls das nicht klar gewesen sein sollte und ich zusätzliche Verwirrung gestiftet habe: Manchmal habe ich Ausdrücke der Form $x+1$ geschrieben, damit habe ich stets den Nachfolger von $x$ bezeichnet, ich habe die Nachfolgefunktion also als $\Box +1$ geschrieben statt $\Box '$. Dieses „+1“ ist als einzelnes Zeichen für eine Funktion zu interpretieren und ist zu unterscheiden von der Addition mit 1, bei der man die Addition als zweistelliges Funktion $\Box +\Box$ auffasst – die übereinstimmende Notation ist dadurch gerechtfertigt, dass sich, nachdem man die Addition definiert hat, die Addition mit 1 als dasselbe wie die Nachfolgerbildung herausstellt. Für den Sachgehalt der Aussagen sollte es nie schlimm gewesen sein, wenn man doch mal an eine Addition gedacht hat, aber für die größtmögliche Klarheit betone ich: alles $+1$, das ich hier geschrieben habe, ist als Nachfolgerbildung zu verstehen (Peano notiert die auch so in der Originalveröffentlichung), über Addition habe ich nie geredet.

Wenn es um die Schreibweise der Nachfolgefunktion geht und Du Verwirrung vermeiden willst, dann sei bitte so gut und schreibe ausschließlich n oder n'.

Zur Injektivität habe ich bereits verdeutlicht, daß sie ohne wenn und aber vorliegt. Reden wir über Peanos Axiom 4, in welchem er von m und n spricht. Woher kommen denn diese m und n? Peano formuliert in Axiom 2 lediglich, daß jedes n Element N einen Nachfolger n' Element N hat, da taucht gar kein m auf.--Wikilaser (Diskussion) 23:34, 28. Aug. 2017 (CEST)

Ergänzung zur Injektivität: Wenn eine Zahl ein Nachfolger ist, dann muß man die Frage beantworten (können), wessen Nachfolger sie ist. Und das ist nun einmal der Vorgänger, auf den sich der Nachfolger bezieht. Existiert für eine Zahl kein Vorgänger (wie im Falle der 0), dann ist diese Zahl kein Nachfolger.

Ergänzung zum Original: Kannst Du hier einen Link zu Peanos Originalveröffentlichung einstellen? Oder wenigstens angeben, in welchem Buch auf welcher Seite ich die von ihm original formulierten Axiome nachlesen kann?--Wikilaser (Diskussion) 10:32, 29. Aug. 2017 (CEST)

Gut, die +1-Schreibweise von Peano verwende ich jetzt nicht mehr.

Und bei meinem oben angeführten Gedankenexperiment, gilt da Injektivität auch?

Ich gehe derzeit noch nicht weiter auf Dein Gedankenexperiment ein. Erst sollten wir die Sache mit der Injektivität klären. Dazu schrieb ich etwas weiter oben einen Beitrag, in welchem ich zeigte, daß 0 + n' ungleich n' + n' ist.--Wikilaser (Diskussion) 23:11, 29. Aug. 2017 (CEST)

Zum m: Die Variablen werden durch den Allquantor eingeführt, es ist prinzipbedingt völlig egal, ob da n und m oder m und n oder n und o oder p und q steht. Das sind Platzhalter für beliebige Elemente – und wenn jedes n einen Nachfolger in den natürlichen Zahlen hat, dann hat auch jedes m einen Nachfolger in den natürlichen Zahlen. Die Allquantoren heißen, dass wir für n und m beliebiges einsetzen können – sowohl andere Variablennamen als auch Terme wie $n'$ und der Satz dahinter gilt (denn er ist ein Axiom).

Ich habe ehrlich gesagt den Eindruck, dass dir die logische Sprache, auf der hier aufgebaut wird, die Prädikatenlogik insbesondere, und was es heißt, ein Axiom oder eine Definition einzuführen, nicht geläufig ist und du Missverständnissen auf dieser Ebene aufsitzt. Sagt dir das principle of charity etwas? Bevor man davon ausgeht, dass Leute an allen möglichen Stellen „Unsinn denken“, sollte man sich überlegen, ob es nicht kleine Differenzen zwischen ihrer Sprache und dem eigenen Verständnis gibt, einen stellenweise anderen Sinn, als man zunächst dachte, der dann aber zum Gesamtzusammenhang konsistent ist. Gerade bei Fragen der Grundlagen der Mathematik sind sprachliche Details wichtig.

Die Originalveröffentlichung von Peano findest du hier (die Axiome stehen auf S. 1 (arabisch 1) los). Beste Grüße --Chricho ¹ ² ³ 11:21, 29. Aug. 2017 (CEST)

Danke für den Link. Zur Prädikatenlogik: Ich habe mich bisher noch nicht damit beschäftigt. Ist das eine andere Logik als die herkömmliche Logik? Falls ja, dann kann man mit ihr sicherlich alles mögliche beweisen, was nach herkömmlicher Logik unlogisch wäre. Wenn das der Kern der Mathematik sein sollte, dann gute Nacht. (ich möchte das nicht als unhöfliche Bemerkung oder gar als Beleidigung verstanden wissen, ok?)--Wikilaser (Diskussion) 23:11, 29. Aug. 2017 (CEST)

Was ist „die“ herkömmliche Logik? Auf diese Frage hatten Leute wie Aristoteles, Thomas von Aquin, Kant, Hegel, Frege und Husserl ganz unterschiedliche Antworten. Allgemein beschreibt die philosophische Logik Gesetze des (menschlichen) Denkens – aber heißt das: beschreibt sie bloß das faktische Denken, beschreibt sie Normen, die sich das faktische Denken setzt, oder soll die Logik gar neue Gesetze für das Denken aufstellen, unabhängig vom faktischen Denken, die jedoch nach gewissen Kriterien höhere Rechtmäßigkeit besitzen, oder gibt es eine Möglichkeit, Gesetze einzusehen, die alles Denken voraussetzt, ohne ihnen im einzelnen stets zu folgen? Das sind philosophische Fragen, auf die gerade wegen der Vielfalt des faktischen Denkens so schwer eine Antwort zu finden ist. Die formale Logik beschreibt nun logische Sprachen und sieht nun – zugunsten der Präzision der Beschreibung und um deren Aufgabe einzugrenzen – von der Beziehung dieser Sprachen zum Denken erst einmal ab. Das heißt aber nicht, dass die Gesetze, die die formale Logik beschreibt, für das Denken keine Rolle spielen, es ist vielmehr eine Frage philosophischer Logik, diese Beziehung weiter auszuloten (und dabei kommt ihr zu Gute, wenn die Gesetze formal gut formuliert sind – sie kann so auch präzisere Einsichten über das faktische Denken gewinnen, indem sie von der formalen Logik Unterscheidungen an die Hand bekommt etc.). Insofern: Was auch immer du unter herkömmlicher Logik verstehst, vmtl. ist die Prädikatenlogik etwas anderes, schöpft nicht alles aus, was für dich zur Logik gehört, birgt aber vllt. auch manche Möglichkeit in sich, die dir nicht vertraut ist. Man formuliert heutzutage die Mathematik gern auf Grundlage der Prädikatenlogik – gute Nacht heißt das aber nicht. --Chricho ¹ ² ³ 23:47, 29. Aug. 2017 (CEST)

Auch wenn im Rahmen der Prädikatenlogik ausschließlich die Gesetze gelten sollen, die man ausdrücklich formuliert (also Nachfolger ja, nicht jedoch Vorgänger), sollte sie sich stets an der Realität von Zusammenhängen orientieren, die offensichtlich sind. Wenn Du einen roten Bauklotz auf einen Tisch stellst und dann aus Deinem Blickwinkel rechts davon einen blauen Bauklotz danebenstellst, dann ist es schlicht unlogisch zu behaupten, der blaue Bauklotz steht rechts neben dem roten Bauklotz, aber der rote Bauklotz steht nicht links neben dem blauen Bauklotz. Ein Verhältniswort wie "rechts" bedingt zwingend einen Gegenpart "links". Und ein "Nach(folger)" bedingt genauso zwingend einen Gegenpart "Vor(gänger)". Wenn man also etwas im Rahmen von Prädikatenlogik formulieren will, sollte man das stets bedenken.--Wikilaser (Diskussion) 22:45, 30. Aug. 2017 (CEST)

Der Prädikatenlogik ist es ganz egal, ob eine einstellige Funktion „Nachfolger“, „Murz“, $\Box '$, „Amtsnachfolger“ oder „Adivino-Pyramide“ heißt, es kommt nur darauf an, welche Aussagen über diese Funktion dann postuliert werden. Ob sie sich „an der Realität von Zusammenhängen orientieren, die offensichtlich sind“ oder nicht: Sie tut dies nur, indem sie das vermeintlich Offensichtliche explizit zum Axiom macht, und ihr (bzw. der axiomatischen Methode) steht es frei, darauf zu verzichten – erst dadurch gewinnt die axiomatische Methode ihre kritische Kraft, zu überprüfen, ob denn alle vermeintlichen Offensichtlichkeiten wirklich miteinander vereinbar sind. Im Fall von Peano: Er hat ja gerade die Axiome 4 und 5 aufgestellt, die diese „Orientierung“, die du einforderst, umsetzen. --Chricho ¹ ² ³ 11:14, 31. Aug. 2017 (CEST)

Willst Du damit sagen, daß Mathematiker mit Hilfe der Prädikatenlogik alle anderen Menschen buchstäblich für dumm erklären, um ihm dann jeden Mist beweisen zu können? Ich meine dies nicht beleidigend, sondern fühle mich in meiner Eigenschaft als vernünftig denkender Mensch verletzt. Es gibt gewisse sprachliche Gegebenheiten, die man durchaus und zu Recht als gegeben annehmen darf (wäre das nicht so, dann müßten Peanos Axiome weitaus mehr Dinge regeln). Überleg mal: Ein "nach" ist ohne ein "vor" schlicht völlig sinnlos. Wenn man also von einem Nachfolger spricht, dann impliziert das automatisch (und zwar genau wegen jener sprachlichen Gegebenheiten) einen Vorgänger. Um sicher zu verhindern, daß es in der Menge N keine zwei gleichen Zahlen gibt, könnte man Axiom 4 durch folgendes Axiom ersetzen:

Für alle n und n' Element N gilt: n' ist ungleich n

also: $\forall n,n'\in \mathbb {N} (n'\neq n)$ (ich hoffe, daß dies in mathematischer Zeichensprache richtig formuliert ist)

Damit wäre sichergestellt, daß keine Natürliche Zahl Nachfolger ihrer selbst sein kann, und es wäre weitaus einfacher formuliert. Besonders dieses irritierende m wäre dann weg.

Alternativ könnte man auch Axiom 3 erweitern:

also $\forall n(n\in \mathbb {N} \Rightarrow n'\neq 0\land n'\neq n)$

Dann hätte man nicht einmal mehr 4 Axiome, sondern nur noch derer 3. Weiterhin halte ich daran fest, daß Axiom 5 gänzlich überflüssig ist. Denn wendet man in dieser Variante die drei Axiome an, kommt man auf unendlich viele voneinander verschiedene Natürliche Zahlen, und genau das soll ja diese Definition leisten. Vergleiche mit anderen Mengen können dann jederzeit angestellt werden, indem man deren Definition neben die der Menge N stellt.--Wikilaser (Diskussion) 13:43, 31. Aug. 2017 (CEST)

Deine Formel stimmt so nicht, den Satz kann man so nicht formulieren: Mit dem Allquantor kannst du nur eine neue Variable einführen, $n'$ ist aber ja keine Variable, sondern ein zusammengesetzter Term (eine Funktion auf die Variable n angewandt). Was du sagen möchtest ist:

$\forall n\in \mathbb {N} (n'\neq n).$

Diesen Satz kann man aus den Peano-Axiomen (aber nicht ohne 4 und 5) beweisen. Ohne die Axiome 4 und 5 genügt dein Axiom jedoch längst nicht, alle üblichen Eigenschaften der natürlichen Zahlen zu beweisen, es würde etwa längere Schleifen zulassen: $1''=1$ könntest du damit nicht widerlegen, wir wären wieder beim selben Spiel.

Der Satz $\forall n,m\in \mathbb {N} (n\neq m)$ ist hingegen falsch, denn es ist auch möglich, dass $n=m$ (zum Beispiel $n=m=0$).

Ansonsten: Nein, die Mathematiker erklären nicht alle anderen für dumm, aber sie verwenden ihre eigene Sprache (wie andere Wissenschaften übrigens auch, bloß noch ein bisschen expliziter als diese). Und in verschiedenen Sprachen herrschen nicht zwangsläufig dieselben Grundgegebenheiten (ich hoffe nicht, dass du dich durch umständliche Höflichkeitsformeln in der französischen Sprache beleidigt fühlst, bei denen im Deutschen ein „Mit freundlichen Grüßen“ genügt, so wenig, wie sich die, die Italienisch muttersprachlich sprechen, dadurch beleidigt fühlen, dass du meinst, es bräuchte in deiner Sprache in jedem Satz zum Prädikat auch ein Subjekt, auch wenn es implizit erschließbar ist). Es geht darum, die Bedingungen klar zu stellen, unter denen man etwas beweist, und nichts ohne Beweis anzunehmen, ohne dies als Annahme explizit zu machen. Dabei schränkt man sich in den Annahmen möglichst ein, damit man eben nicht „jeden Mist“ beweist, doch irgendwelche Annahmen braucht es. Die Peano-Axiome haben im Übrigen auch nicht den Anspruch alles zu regeln und setzen zudem eine klassenlogische Sprache (in Peanos Original zumindest) erst einmal voraus (die zu Zeiten Peanos in ihren Bedingungen noch längst nicht zureichend durchleuchtet war), über die schreibt ja auch Peano, bevor er die Axiome einführt. Auf ein gemeinsprachliches Verständnis von Wörtern wie „natürliche Zahl“ oder „Nachfolger“ greift Peano jedoch an keiner Stelle zurück, und das war für ihn ein Fortschritt. --Chricho ¹ ² ³ 15:33, 31. Aug. 2017 (CEST)

Wozu willst Du erst etwas aus den Peano-Axiomen 4 und 5 beweisen, wenn ich es bereits in den Axiomen 1 bis 3 explizit angebe? Mach es doch einmal in der Praxis: Nimm Dir ein weißes Blatt Papier, schreib oben die Axiome 1 und 2 sowie meine Variante des Axioms 3 hin, und dann beginne systematisch, die Elemente hinzuschreiben. Dann wirst Du genau folgendes hinschreiben:

Zuerst schreibst Du wegen Axiom 1 eine 0 hin. Richtig? (was diese konkret bedeutet, das benennt ja nicht einmal Peano, also lassen wir das mal weg)

Als nächstes schreibst Du wegen Axiom 2 für die 0 einen Nachfolger n' hin. Richtig? (wie dieser Nachfolger konkret aussieht, das benannte Peano auch nicht, also können wir auch das weglassen)

Der dritte Schritt betrachtet Axiom 3, Teil 1: 0 ist selbst kein n'. Richtig? (dadurch wird 0 als erstes Element der Menge festgelegt)

Und nun geht es weiter mit Axiom 2 sowie Axiom 3, Teil 2: n' ist selbst wieder ein n, welches einen Nachfolger n' nach sich zieht, und dieses n' ist ungleich dem n, dessen Nachfolger es ist.

Damit haben wir bis jetzt die Elemente 0, n'(1) und n'(2) auf dem Papier stehen. Dabei ist n'(1) der Nachfolger der 0 und n'(2) der Nachfolger von n'(1).

Da Axiom 2 lautet, daß für alle n Element N die Nachfolgerbedingung gilt, brauchst Du ab jetzt nur noch die Axiome 2 und 3 (in meiner Variante) anzuwenden, und Du wirst unendlich viele voneinander verschiedene Elemente erhalten (zumindest theoretisch, da keiner von uns jemals in der Lage sein wird, tatsächlich unendlich viele Elemente hinzuschreiben).

Das ist in meinen Augen völlig ausreichend für die Induktion, sprich die Einleitung eines Vorgangs, der unendlich viele Schritte umfasst und niemals endet (da die Menge der Natürlichen Zahlen kein größtes Element hat). Wie Du siehst, habe ich die Axiome 4 und 5 nicht benötigt.

Nebenbei möchte ich mal fragen, wie das eigentlich gemeint sein soll, wenn man von vollständiger Induktion spricht. Wie kann man von vollständiger Induktion sprechen, wenn die Menge, für die die vollständige Induktion bewiesen werden soll, niemals vollständig sein kann, da sie kein größtes Element hat?

Peano benutzt (zumindest steht das so im Wikipedia-Artikel) das Symbol $\mathbb {N}$, welches für "Menge der Natürlichen Zahlen" steht. Oder willst Du das bestreiten?--Wikilaser (Diskussion) 18:21, 31. Aug. 2017 (CEST)

1. Richtig nur bis vor „brauchst Du ab jetzt“. Danach vergisst du, dass du nicht nur immer zeigen musst, dass $n''\neq n'$, du musst auch zeigen, dass das jeweils nächste Element ungleich allen vorherigen Elementen (und nicht nur ungleich dem direkten Vorgänger) ist. Der Nachfolger vom Nachfolger von 1 kann jedoch trotz deines modifizierten Axioms 3 wiederum die 1 sein.
2. Siehe Vollständige_Induktion#Etymologie_und_Geschichte, „unvollständige“ gibts in der Mathematik nicht.
3. Peano benutzt es (typographisch etwas anders), setzt allerdings keinerlei Wissen über die damit bezeichnete Menge voraus, sondern möchte dieses gerade erst in Axiomen formulieren, aus denen sich Aussagen über sie beweisen lassen. --Chricho ¹ ² ³ 23:12, 31. Aug. 2017 (CEST)

Zu Punkt 1: Ich habe bereits weiter oben gezeigt, daß $0\neq n'$ sowie $n\neq n'$ ist. Das gilt ja aufgrund des Allquantors $\forall$ für alle weiteren n und n' genauso. Leider hast Du dazu noch nicht Stellung genommen.

Zu Punkt 2: Möglicherweise stellt man sich diese Vollständigkeit in der Mathematik vor, aber ob es sie auch wirklich gibt, ist im Falle der behaupteten Vollständigkeit der Menge $\mathbb {N}$ keineswegs sicher.

Über Punkt 3 sind wir uns endlich einmal einig. Wohlgemerkt aber nicht darüber, ob die Peano-Axiome in ihrer Form aus dem Wikipedia-Artikel dies auch tatsächlich erfüllen.

Wie stehst Du denn zu meiner Aussage, daß es ein allgemeines Verständnis über die Natürlichen Zahlen bereits gab, lange bevor sich irgendjemand darüber Gedanken gemacht hat, wie man diese Menge formal sauber definieren könnte? Peano muß ein solches Verständnis ja gehabt und darauf zurückgegriffen haben.--Wikilaser (Diskussion) 09:22, 1. Sep. 2017 (CEST)

Zu 1: Du kannst damit trotzdem nicht $n\neq n''$ zeigen für allgemeines n zeigen. $n\neq n'$ besagt nur, dass der direkte Nachfolger einer Zahl sich von dieser Zahl immer unterscheidet. Ich habe dich aber nach der Beziehung zum Nachfolger des Nachfolgers gefragt, auf die bist du nicht eingegangen (aus $n\neq n'$ und $n'\neq n''$ folgt ja noch lange nicht $n\neq n''$, Ungleichheiten lassen sich nicht so „verketten“). Mit deiner Fassung des Axioms 3 kannst du nicht einmal das alte Axiom 3 beweisen (es könnte also sogar $0''=0$ sein), aber selbst wenn du das alte Axiom 3 noch dazu nimmst, könnte immer noch $0'=0'''$, also $1=1''$ sein.

Zu 2: Bitte lies nochmal den verlinkten Abschnitt: „vollständige Induktion“ ist nur ein Name – wenn man in der Mathematik nur von „Induktion“ spricht, meint es dasselbe, das adjektiv hat sich nur zur Abgrenzung von einem wissenschafts-/erkenntnistheoretischen Begriff eingebürgert (das sind zwei ganz verschiedene Begriffe mit einer gewissen Ähnlichkeit, es gibt aber keinen gemeinsamen Oberbegriff „Induktion schlechtweg“, von dem aus sich dann „vollständige“ und „unvollständige“ verstehen ließen). Mit der Frage, ob es da ein größtes Element gibt, hat das nichts zu tun.

Zu 3: Habe das jetzt geprüft: Die Peano-Axiome im Wikipedia-Artikel folgen Peanos zweiter Fassung von 1898. Die einzigen Unterschiede ggü. der Erstfassung sind, dass die Axiome für die Gleichheit weggelassen sind (werden vorausgesetzt) und bei 0 angefangen wird zu zählen statt bei 1. Wenn du mir eine E-Mail schickst (geht über meine Benutzerseite), dann schick ich dir den Text der zweiten Fassung (ist auf französisch) als Antwort zurück. Natürlich hat Peano ein Verständnis natürlicher Zahlen gehabt, aber bei der Axiomatisierung geht es darum, die Geltung des Vorverständnisses zunächst auszuschalten, um dann Axiome (« propositions primitives » sagt Peano) aufzustellen, auf denen ein System dieses Verständnisses aufgebaut werden kann – betrachte es wie einen cartesianischen Zweifel, von allem Gelernten absehen, um es dann Schritt für Schritt gesichert aufzubauen. Das ist doch keine Beleidigung für die Vernunft? Übrigens begründet der Text von 1898 auch, warum man keines der Axiome weglassen kann. --Chricho ¹ ² ³ 12:33, 1. Sep. 2017 (CEST)

Du scheinst nicht verstanden zu haben, daß jedes n' für seine eigene Nachfolgerbeziehung (also Nachfolger von n') zu einem n wird.

Genau so und nicht anders ist Axiom 2 zu verstehen:

Jede Natürliche Zahl wird mit n bezeichnet.

Jeder Nachfolger einer Natürlichen Zahl wird mit n' bezeichnet.

Da aufgrund von Axiom 2 jeder Nachfolger n' einer Natürlichen Zahl n selbst ebenfalls eine Natürliche Zahl n ist, die ihrerseits wieder einen Nachfolger n' hat, der nun auch wieder eine Natürliche Zahl n ist, wird hierdurch der Vorgang der Induktion in Gang gesetzt.

Um es klarer auszudrücken, schreibe ich es einmal mit Ziffern des uns geläufigen Dezimalsystems:

Aus $0\neq n'$ folgt, daß 0 die erste Natürliche Zahl n ist.

0 ist also das erste n.

1 ist n' der 0.

Da 1 aber auch einen Nachfolger n' haben soll, gilt:

1 ist n für die 2 und 2 ist n' für die 1.

Da auch 2 einen Nachfolger n' haben soll, gilt weiter:

2 ist n für die 3 und 3 ist n' für die 2.

etc.

Im Klartext: Jede Natürliche Zahl ist ein Nachfolger einer Natürlichen Zahl und hat einen Nachfolger in Form einer Natürlichen Zahl. Lediglich die 0 bildet hier eine Ausnahme, die durch Axiom 3 bestimmt wird: 0 hat zwar einen Nachfolger in Form einer Natürlichen Zahl, ist selbst jedoch kein Nachfolger einer Natürlichen Zahl. Das ist doch nun wirklich nicht so schwer.

Wenn Du nun darauf bestehst, daß $n'\neq n$ nicht reicht, um jeden weiteren Unterschied ebenfalls zu zeigen, ersetzen wir $\neq$ durch >, dann gilt für alle n' > n, und wir sind fertig.--Wikilaser (Diskussion) 00:36, 2. Sep. 2017 (CEST)

Ja, da bestehe ich drauf, denn auch deine weiteren Ausführungen haben keinerlei Beziehung (etwa Ungleichheit) zwischen einer Zahl und dem Nachfolger ihres Nachfolgers nachgewiesen. Du kannst gerne versuchen, die natürlichen Zahlen noch unter Rückgriff auf einen Vergleich $>$ zu axiomatisieren, dann brauchst du aber Axiome, die die Eigenschaften des Vergleichs festlegen (zum Beispiel, dass $n>n$ ausgeschlossen ist). Der Weg Peanos ist ein anderer, in dem der Vergleich sich im Nachhinein definieren lässt ($n>m$ lässt sich dann definieren als $\exists p\in \mathbb {N} m+p=n$, siehe Vergleich (Zahlen)), jedoch nicht als durch Axiome bestimmt vorausgesetzt wird, sie fangen nur mit $\mathbb {N}$, $0$ und der Nachfolgerfunktion an.

Ansonsten würde ich dir empfehlen, dich ein bisschen mit der Prädikatenlogik zu befassen, wie man diese versteht. Da können natürlichsprachliche Beschreibungen/Übersetzungen (wie sie übrigens auch Peano angibt) eine Hilfe sein. Beschreibungen von dir wie „Jede Natürliche Zahl wird mit n bezeichnet.“ kann ich zwar im Kontext deines Gedankengangs mit wohlwollender Interpretation nachvollziehen, die logische Struktur der Axiome treffen sie jedoch höchstens leidlich.

Um mal gerade den Stand der Diskussion zu markieren: Stimmst du mittlerweile zu, dass die Axiome 1–3 alleine nicht ausreichen? Du führst jetzt gerade zum wiederholten Male zusätzliche Alternativaxiome ein (und nimmst das ursprüngliche Axiom 3 jetzt wieder hinzu, nachdem du es zuvor durch ein anderes ersetzt hattest, formulierst nun wiederum mit $>$ um und erweiterst so auch die vorausgesetzte Sprache um ein zusätzliches Zeichen) – das heißt, deine ursprüngliche These verteidigst du jetzt gar nicht mehr? Dass es alternative Axiomatisierungen gibt, hat ja nie jemand bestritten (auch wenn deine bisher genannten Alternativen nicht hinreichen) – nur, dass man von den 5 Axiomen auch nur eines ersatzlos weglassen könnte, stimmt nicht.

Das Angebot mit der E-Mail gilt noch. --Chricho ¹ ² ³ 02:27, 2. Sep. 2017 (CEST)

Was soll denn jetzt Dein Einwand mit n > n? Das ist doch völliger Unsinn. Du scheinst meine Argumentation überhaupt nicht zu verstehen. Ich weiche auch nicht meine eigene Argumentation auf, indem ich die Zeichen $\neq$ bzw. > verwende. Dies tue ich nur, weil Du nicht anerkennen willst, daß die Injektivität der Nachfolger-Vorgänger-Beziehung gegeben ist. Sie ist deswegen gegeben, weil Peano ausdrücklich in Axiom 2 aussagt, daß jede Natürliche Zahl einen Nachfolger hat, der seinerseits eine Natürliche Zahl ist. Damit ist jede Natürliche Zahl ein Nachfolger, mit Ausnamhe der 0 wegen Axiom 3. Und nochmal: Aufgrund der Axiome 1 bis 3 sind bereits die Unterschiede sämtlicher Nachfolger der 0 klar definiert. Eine Zahl zu ihrem eigenen Nachfolger zu deklarieren ist auch weiterhin aus meiner Sicht unmöglich.--Wikilaser (Diskussion) 10:57, 2. Sep. 2017 (CEST)

Na so lange du keine Axiome hast, die beschreiben, was $>$ bedeutet, ist das nicht ausgeschlossen, dass zum Beispiel $0>0$. Du hast jetzt mehrfach neue Axiome eingeführt, um mir zu zeigen, dass der Nachfolger injektiv ist – wie sollen die mich von deiner Ansicht überzeugen, dass die Axiome 1–3 ausreichen? Ich sehe jetzt drei Varianten, wie die Diskussion weitergehen kann, ohne endlos zu verfransen:

1. Du nimmst einmal zu meinem obigen Gedankenexperiment Stellung.
2. Du liest dich etwas in die Prädikatenlogik ein, anhand der Wikipedia oder auch eines Lehrbuchs. Das würde vermeiden, dass es ständig zu groben Missverständnissen schon einzelner Sätze kommt, über die dann immer unsere Diskussion ausfranst.
3. Du liest dich zu Geschichte und Bedeutung der axiomatischen Methode ein (zum Beispiel vermittelt durch das Buch von Arend Heyting, ist leichter zugänglich als etwa Peanos Originaltexte) – dann siehst du in dieser hoffentlich keine Beleidigung der Vernunft mehr. --Chricho ¹ ² ³ 12:26, 2. Sep. 2017 (CEST)

Zu Punkt 1: Nein, vorerst nicht. Denn solange wir uns über die Lesart der Peano-Axiome nicht einig werden, ist das sinnlos.

Zu Punkt 2: Der Artikel Prädikatenlogik bei Wikipedia ist wenig aussagekräftig. Frage zu diesem Thema: Gibt es im Rahmen der Prädikatenlogik keine Zeichenerklärung? Falls nämlich nein, dann wären sämtliche Axiome von Peano ohne jede Bedeutung und damit sein gesamtes Axiomensystem sinnlos. Ich denke eher, es müßte eine solche Zeichenerklärung geben. In seiner Originalschrift liefert er jedenfalls zu seinen 9 (und nicht nur 5) Axiomen eine Zeichenerklärung sowie eine Erläuterung, wie seine Axiome anzuwenden seien, mit.

Zu Punkt 3: Mal sehen, wann ich dazu Zeit finde. Ich muß mich ja auch noch in Peanos Originalschrift tiefer einlesen. Und dann steht ja auch noch die französische Version mit der etwas aktuelleren Fassung aus, deren Zusendung per Mail Du mir zugesagt hast (ich fordere sie bei Gelegenheit an).

Und nun zu meinem obigen Beitrag nochmal: Bestätigst Du, daß Axiom 2 aussagt, daß jede Natürliche Zahl (mit Ausnahme der 0) sowohl einen Nachfolger hat als auch selbst ein Nachfolger ist? Ja oder nein?--Wikilaser (Diskussion) 23:18, 2. Sep. 2017 (CEST)

Das Gedankenexperiment hilft vllt. nicht dabei, sich über die Lesart der Peano-Axiome einig zu werden, aber ich denke, es würde helfen, sich darüber einig zu werden, worin sich unsere Lesarten unterscheiden, was hingegen wir gemeinsam anerkennen. Die Differenz ließe sich dann vllt. auch leichter ausräumen.

Meinst du mit Zeichenerklärungen Übersetzungen dieser Art? Es stimmt aber nicht, dass sie ohne solche Zeichenerklärung sinnlos wäre, denn dann gibt es immer noch Schlussregeln, die erlauben, prädikatenlogische Sätze auseinander zu folgern. Dieser Gebrauch gibt ihnen einen Sinn, auch wenn man auf jede Übersetzung in eine andere Sprache verzichtet. Das Deutsche bekommt seinen Sinn ja auch nicht bloß durch Erklärung in einer anderen Sprache.

Zu deiner letzten Frage: Nein, es sagt nur, dass jede einen Nachfolger in den natürlichen Zahlen hat, mehr nicht. --Chricho ¹ ² ³ 01:49, 3. Sep. 2017 (CEST)

Wenn es erlaubt ist, prädikatenlogische Sätze auseinander zu folgern, warum soll es dann verboten sein, aus der prädikatenlogisch definierten Aufstellung eines Nachfolgers n' zu einem n zu folgern, daß eben dieses n dann der Vorgänger dieses Nachfolgers n' ist? Es erscheint mir nun erst recht unbegreiflich, wie man so einen Mist (entschuldige, daß ich das so deutlich ausdrücke) verzapfen kann.--Wikilaser (Diskussion) 21:06, 3. Sep. 2017 (CEST)

Die Prädikatenlogik stellt kein n' auf, sie erlaubt nur, aus den aufgestellten Axiomen andere Sätze zu folgern, alles geschieht auf Satzebene, mit den bloßen Termen, ohne dass sie in Sätze eingebunden werden, lässt sich nichts machen, insbesondere lassen sich aus denen keine tiefergehenden Strukturen ablesen, wie du dir das vorzustellen scheinst.

Dass $n$ Vorgänger (nicht notwendigerweise der Vorgänger) von $n'$ ist, beweisen wir in der Prädikatenlogik wie folgt:

Definiere $Vorgaenger(a,b)$ (lies: a ist ein Vorgänger von b) als $a'=b$. Da setzt du nun $n$ und $n'$ ein, nun gilt $Vorgaenger(n,n')$ gdw. $n'=n'$, was ein prädikatenlogisches Axiom der Gleichheit ist. Das geht. Aber alles weitere Fabulieren über die Injektivität ist ohne weitere Axiome nicht möglich. --Chricho ¹ ² ³ 21:46, 3. Sep. 2017 (CEST)

Wenn ich Dich richtig verstehe, dann unterscheidet man in der Prädikatenlogik auch noch zwischen "unmittelbarer Nachfolger" und "irgendein späterer Nachfolger" (bzw. zwischen "unmittelbarer Vorgänger" und "irgendein vorheriger Vorgänger")? Und wenn ich weiter richtig verstehe, dann hieße der Ausdruck $n'=n'$ im Rahmen der Prädikatenlogik: n' ist der Vorgänger von n' und n' ist der Nachfolger von n' (was dann äußerst skurril wäre, weil man zwischen Vorgänger n' und Nachfolger n' dann nicht mehr unterscheiden könnte)? Oder müßte man beide Aussagen separat voneinander formulieren?--Wikilaser (Diskussion) 14:10, 4. Sep. 2017 (CEST)

Ich rede immer nur vom unmittelbaren Nachfolger und nur dafür gibt es auch das Symbol $'$. Und nein, $n'=n'$ bedeutet „der Nachfolger von n ist der Nachfolger von n“. Hilft das zum Verständnis? --Chricho ¹ ² ³ 16:11, 4. Sep. 2017 (CEST)

Nochmal ein Versuch, die Verschiedenheit jedes einzelnen Elements von N auf der Grundlage der Axiome 1 bis 3 zu zeigen:

1. 0
2. (0)+n' (der ganze Ausdruck, also nicht nur das +n', heißt Nachfolger der 0, wobei bei diesem und jedem folgenden Schritt das +n' lediglich das Hinzufügen eines Nachfolgers zur 0 symbolisiert)
3. ((0)+n')+n' (der ganze Ausdruck heißt Nachfolger des Nachfolgers der 0)
4. (((0)+n')+n')+n' (der ganze Ausdruck heißt Nachfolger des Nachfolgers des Nachfolgers der 0)
5. ((((0)+n')+n')+n')+n' (der ganze Ausdruck heißt Nachfolger des Nachfolgers des Nachfolgers des Nachfolgers der 0)
6. etc.

Wie Du siehst, ist jedes Element nach der 0 eine Zusammensetzung aus dem bisherigen Element und dem jeweils neuen Nachfolger n'. Und es taucht keine Wiederholung eines schon einmal dagewesenen Elements auf. Und das kommt ausschließlich dadurch zustande, daß Axiom 2 aussagt, daß für jedes n Element N gilt, daß sein Nachfolger n' ebenfalls eine Natürliche Zahl ist. Das bedeutet: Jede Natürliche Zahl hat einen Nachfolger in Form einer Natürlichen Zahl und ist ein Nachfolger in Form einer Natürlichen Zahl. Lediglich die 0 bildet hierzu eine Ausnahme, da Axiom 3 aussagt, daß 0 kein Nachfolger einer Natürlichen Zahl ist. Bestätigst Du das? Ja oder nein?--Wikilaser (Diskussion) 23:32, 2. Sep. 2017 (CEST)

Warum führst du jetzt eine ganz neue Notation für den Nachfolger ein? Wir hatten uns doch geeinigt, den Nachfolger der 0 einfach konsequent $0'$ zu nennen? Was das $n$ in den Ausdrücken jetzt macht, ist mir unbegreiflich. Die Ausdrücke machen Sinn, wenn du $n$ durch $0$ ersetzt, dann stünde da $(0)+0'$ (was $0'$ ist), $((0)+0')+0'$ (was $0''$ ist) etc. Aber du möchtest ja einen „jeweils neuen Nachfolger n'“ in den Formeln sehen – für mich ist das komplett verworren. Und was heißt „Zusammensetzung“ – Summe?

Ansonsten: Du hast einfach ein paar mögliche Terme aufgelistet, weder heißt das, dass alle natürlichen Zahlen sich durch diese Terme ergeben würden (und nicht vllt. durch andere oder auch durch gar keinen Term beschreibbar sind), noch, dass diese alle ungleich zu setzen sind, nur weil die Terme verschieden sind: Zwischen zwei verschiedenen Termen kann trotzdem Gleichheit gelten. „2+1“ und „1+2“ sind verschiedene Terme, aber es gilt 2+1=1+2. Genauso kann $(0)+n'=((0)+n')+n'$ gelten.

Ferner sind deine aufgezählten nummerierten Punkte jeweils nur Terme (wie zum Beispiel 0), nicht aber Aussagen (wie zum Beispiel $0=0$), deshalb können sie auch nicht „gezeigt“ sein – nur Aussagen kann man zeigen/beweisen. --Chricho ¹ ² ³ 02:02, 3. Sep. 2017 (CEST)

Meine Notation greift zum einen das auf, was Du weiter oben bereits als S(0) beschrieben hattest, zum anderen ist der Begriff Nachfolger (bzw. n') völlig sinnlos, wenn nicht klar ist, wessen Nachfolger. Und wessen Nachfolger ein jedes n' sein soll, das hat Peano ja in Axiom 2 und 3 explizit angegeben. Ich habe also lediglich ausgeschrieben, was Peano ohnehin (auch im Rahmen der Prädikatenlogik) schrieb. Meine ausführliche Notation führt nur vor Augen, daß sich Nachfolger und Vorgänger niemals voneinander trennen lassen. Es kann also gar nicht vorkommen, daß irgendein Nachfolger irgendwann vorher schon einmal Nachfolger gewesen ist. Jeder Nachfolger baut nämlich auf einer Zahl (seinem Vorgänger) auf, und diese Zahl ist ebenfalls ein Nachfolger, der auf einer Zahl (seinem Vorgänger) aufbaut, und diese Kette setzt sich so lange fort, bis ein Nachfolger auf der 0 aufbaut. Und was soll jetzt der Hinweis mit den Termen bzw. Aussagen?--Wikilaser (Diskussion) 09:07, 3. Sep. 2017 (CEST)

Ist also $n=0$ bei deiner Liste?

„Mit den Termen und Aussagen“: An deiner Liste sieht man eben überhaupt nicht, dass da irgendetwas ungleich ist.

Du scheinst vorauszusetzen, dass die Axiome eine Konstruktionsanweisung geben, sagen würden, dass die natürlichen Zahlen als iterierte Nachfolger der 0 zu konstruieren sind. Nun scheinst du auch zu meinen, aus der unterschiedlichen Konstruktion von zwei Zahlen deren Ungleichheit folgern zu können. Das stimmt aber alles nicht. Die Axiome geben nicht Konstruktionsanweisungen, sondern machen Aussagen über die natürlichen Zahlen als Ganzes. Aus diesen Aussagen musst du andere Aussagen beweisen. --Chricho ¹ ² ³ 11:58, 3. Sep. 2017 (CEST)

Wenn nur allgemein Aussagen über die Natürlichen Zahlen als Ganzes gemacht werden, dann erkläre mal die Bedeutung von n', wenn Du dieses n' völlig isoliert von der Natürlichen Zahl n betrachtest, deren Nachfolger es sein soll! Ein solches n' ist sinnlos, ich zeige es Dir:

Du sagst, eine Natürliche Zahl n habe einen Nachfolger n' irgendwo in den Natürlichen Zahlen. Nun, solange Du der bereits vorhandenen Natürlichen Zahl n (und als erste hat Peano nun einmal die 0 definiert) keine konkrete Natürliche Zahl n' zuordnest, hat n überhaupt keinen Nachfolger n', sondern bestenfalls einen freien Platz neben sich. Erst, wenn Du aufgrund der Konstruktionsanweisung (und ja, die Peano-Axiome sind genau das - oder etwas abgeschwächt formuliert, man kann sie als Konstruktionsanweisung verstehen) der Natürlichen Zahl n = 0 einen konkreten Nachfolger n' zuordnest, bekommt dieser Nachfolger n' überhaupt erst eine Bedeutung. Bis dahin ist jedes potenzielle n' lediglich irgendein beliebiger potenzieller Nachfolger in den Natürlichen Zahlen, über den man aber sonst nichts erfährt. Begreifst Du das?--Wikilaser (Diskussion) 20:52, 3. Sep. 2017 (CEST)

Das mag in einer bestimmten Philosophie der Mathematik geboten sein, Bedeutungen durch Konstruktionen festzulegen, der axiomatische Ansatz macht das jedoch nicht. Die axiomatische Methode erlaubt es, auch ohne Bedeutungsfestlegung über das $n'$ etwas zu erfahren, nämlich indem Sätze über dieses $n'$ aus den Axiomen bewiesen werden. Dazu ist eine Bedeutungsfestlegung von $n'$ völlig unnötig.

Ich geb mal wieder, wie Heyting die axiomatische Methode beschreibt: Sie setzt „Grundbegriffe“/„Grundrelationen“ (das sind bei uns $\mathbb {N}$, $0$, $'$ und $=$) und Axiome (das sind bei uns die Peano-Axiome und – je nachdem, wie wir es genau machen – vllt. noch Axiome der Prädikatenlogik und Axiome der Gleichheit) fest. Alle Aussagen sind zu beweisen, außer den Axiomen, das sind die, die ohne Beweis als gültig/bewiesen angenommen werden. Alle Begriffe sind zu definieren, bloß die Grundbegriffe/Grundrelationen nicht, das sind die, die ohne Definition (auch ohne Konstruktionsanweisung oder Bedeutungserklärung) einfach benutzt werden. --Chricho ¹ ² ³ 21:46, 3. Sep. 2017 (CEST)

Es mag sein, daß in einer bestimmten Phiolosophie der Mathematik der axiomatische Ansatz keine Bedeutungen durch Konstruktionen festlegt. Tatsache ist, daß man die Peano-Axiome als Handlungsanweisung auffassen kann, und das tue ich, handle entsprechend und erhalte Bedeutungen. Ich sehe da überhaupt kein Problem.

Was sagst Du denn zu meinem Hinweis, daß n gar keinen Nachfolger hat, sondern bestenfalls einen freien Platz, solange man ihm aufgrund von Axiom 2 keinen Nachfolger n' konkret zuordnet?--Wikilaser (Diskussion) 13:49, 4. Sep. 2017 (CEST)

Aus Axiomen mögliche Konstruktionen für Objekte zu gewinnen, die diese Axiome erfüllen, ist eine ehrenwerte Aufgabe, kannst du machen – dadurch wird jedoch nicht die Bedeutung der Axiome festgelegt und mitunter ist es auch gar nicht ohne weiteres möglich; der Sinn der axiomatischen Methode liegt jedenfalls nicht darin, und auch Peano versteht die Axiome nicht als eine solche Handlungsanweisung, wie du sie dir vorstellst. Wäre es nicht gerechter, statt in einige der Axiome eine Handlungsanweisung hineinzulesen, um dann anschließend einen Fehler bei Peano und allen Mathematikern nach ihm zu behaupten, die Axiome so zu nehmen, wie sie da stehen, und sie als Ausgangspunkte für Beweise, statt als Konstruktionsanweisungen aufzufassen, wie sie gedacht sind?

Was ein „freier Platz“ ist, verstehe ich nicht. Und Axiom 2 ordnet keinen Nachfolger konkret zu, es besagt lediglich, dass der Nachfolger eine natürliche Zahl ist. Dass es den Nachfolger einer natürlichen Zahl überhaupt gibt, ist zuvor schon festgelegt (in der ersten Fassung von Peano auf S. XIII unten, in der zweiten Fassung auf S. 216 der Werkausgabe in 001.3).

Offenbar versteht du den ganz elementaren Gebrauch von Variablen in der Prädikatenlogik nicht, was zu abstrusen Verwirrungen führt. Daniel5Ko oder HilberTraum, vllt. habt ihr nochmal eine Anmerkung, die Verfahrenheit etwas aufzulösen? --Chricho ¹ ² ³ 16:11, 4. Sep. 2017 (CEST)

Ich hatte kurz die Idee, nebenbei auch mal von gerichteten Graphen zu sprechen, weil man bei denen oft auch von "Vorgängern" und "Nachfolgern" spricht, und zwar unabhängig davon, ob so ein Graph nun Modell "der Menge der natürlichen Zahlen" ist, oder nicht. Eine leicht abgewandelte Form der Peano-Axiome ist dann auch auf Graphen $(V,E\subseteq V\times V)$ statt Strukturen $(N,0\in N,S\colon N\to N)$ anwendbar. Allerdings bin ich mir jetzt nicht mehr sicher, dass das viel helfen könnte. --Daniel5Ko (Diskussion) 09:24, 5. Sep. 2017 (CEST)

Ich versuche mal, die Sache mit dem freien Platz bildhaft zu beschreiben:

Stell Dir eine Sitzreihe in einem Theater vor. Die einzelnen Sitze in dieser Sitzreihe sind freie Plätze. Setzt sich ein Zuschauer auf einen Sitz, betrachte ich das wie eine Natürliche Zahl n. Der freie Platz daneben bietet nun einem anderen Zuschauer die Möglichkeit, sich auf ihn zu setzen. Aber nur, wenn sich auf diesen freien Sitz tatsächlich ein Zuschauer setzt, ist auch auf diesem Platz eine Natürliche Zahl n. Diese ist dann der Nachfolger n' für die danebensitzende Natürliche Zahl n. Bleibt jedoch der Platz frei, hat der erste Zuschauer bzw. die erste Natürliche Zahl n keinen Nachfolger, sondern eben nur einen freien Platz neben sich. Zur Ergänzung sei noch erwähnt, daß der Zuschauer, der sich auf den allerersten Sitz in der Sitzreihe setzt, der Natürlichen Zahl 0 entspricht. Ich hoffe, das ist so einigermaßen verständlich.--Wikilaser (Diskussion) 23:42, 4. Sep. 2017 (CEST)

Du setzt scheinbar schon voraus, dass sich die Sitze zusammen wie "die Menge der natürlichen Zahlen" verhalten. Und natürlich: wenn man diese Gegebenheiten einfach kopiert, kommt trivialerweise auch etwas heraus, das sich wie "die Menge der natürliche Zahlen" verhält. --Daniel5Ko (Diskussion) 09:24, 5. Sep. 2017 (CEST)

Ich versuche nur bildhaft zu beschreiben, wie ich das mit dem freien Platz und der Aussage "... hat einen Nachfolger" meine.

Wenn Du mein Theatersitzbeispiel auf Axiom 2 überträgst, so meine ich damit, daß eine Zahl n erst dann tatsächlich einen Nachfolger n' hat, wenn ihr ein konkretes Element zugeordnet ist. Solange dies nicht der Fall ist, hat die Zahl n noch keinen Nachfolger, sondern eben nur einen freien Platz neben sich, gewissermaßen ein Potenzial für einen möglichen denkbaren, aber eben noch nicht tatsächlich direkt zugeordneten Nachfolger n'.--Wikilaser (Diskussion) 21:25, 5. Sep. 2017 (CEST)

Mir kommt da nun noch ein anderer Gedanke bzw. eine Frage zu Axiom 5:

Definieren wir mal eine Menge X. Diese besteht aus unendlich vielen Elementen (ich kann hier natürlich nur ein paar wenige angeben, aber wir können uns die weiteren Elemente der Menge dann vorstellen).

1.) 0

2.) Wurzel aus 2

3.) die Eulersche Zahl e

4.) Pi

5.) Wurzel aus 2 + die Eulersche Zahl e

6.) etc.

Kurz gesagt, sämtliche Elemente, die nach der 0 kommen, sind transzendente Zahlen, und sie werden im Verlaufe der Folge immer größer.

Nun überprüfen wir diese Menge X anhand der Peano-Axiome:

Axiom 1 ist erfüllt, die 0 ist Teil der Menge.

Axiom 2 ist erfüllt, jedes Element der Menge X hat einen Nachfolger.

Axiom 3 ist erfüllt, die 0 ist kein Nachfolger.

Axiom 4 ist erfüllt, es gibt keine zwei gleichen Zahlen in der Menge X.

Nun die Frage: Wie können wir herausfinden, ob Axiom 5 erfüllt ist?

Dazu müßten wir ja wissen, welche konkreten Nachfolger zur Menge N gehören. Woher wissen wir das, wenn gemäß der Prädikatenlogik jedes Vorwissen über die Natürlichen Zahlen als nicht existent betrachtet werden soll?

Ich bin gespannt auf Deine Antwort.--Wikilaser (Diskussion) 23:42, 4. Sep. 2017 (CEST)

Die natürlichen Zahlen sind die Sitzreihe selber und die soll erst axiomatisiert werden (es soll etwa bestimmt werden, dass es keinen Zyklus gibt) – so würde ich jetzt antworten, wirklich nachvollziehen kann ich aber nicht, was du mit der Unterscheidung freier und belegter Plätze sagen möchtest.

„Nun überprüfen wir diese Menge X anhand der Peano-Axiome:“ Du meinst, wenn wir dieses $X$ für das $\mathbb {N}$ wählen?

„Dazu müßten wir ja wissen, welche konkreten Nachfolger zur Menge N gehören.“ Also „N“ ist hier das oben von dir genannte $X$?

Dann: Eine Menge besitzt für sich allein betrachtet niemals eine Reihenfolge (und auch niemals zwei gleiche Elemente, das ist deshalb auch nicht die Aussage von Axiom 4). Du verwechselst hier Menge und Folge! Du hast nicht gesagt, wie du $'$ definierst, deshalb kann ich dir auch nicht sagen, ob die Axiome 2–5 in deinem Szenario erfüllt sind. --Chricho ¹ ² ³ 01:07, 5. Sep. 2017 (CEST)

Ich stelle mir meine Menge X mit unendlich vielen transzendenten Zahlen a) total geordnet vor und b) soll diese Menge auch in genau dieser Reihenfolge die Nachfolgerfunktion erfüllen. Jetzt klar?--Wikilaser (Diskussion) 21:25, 5. Sep. 2017 (CEST)

Sofern die Nummerierung deiner Liste über 1, 2, 3, 4, 5, 6 … über alle natürlichen Zahlen und danach nicht weiter geht, erfüllt deine Menge X mit der 0 und der darauf definierten Nachfolgerfunktion alle Peano-Axiome, auch Axiom 5 – dein Modell ist dann isomorph zu den natürlichen Zahlen. Beantwortet das deine Frage? (Wurzel 2 ist übrigens keine transzendente Zahl, aber das ist hier für uns nicht wichtig) --Chricho ¹ ² ³ 21:40, 5. Sep. 2017 (CEST)

"Sofern die Nummerierung deiner Liste über 1, 2, 3, 4, 5, 6 … über alle natürlichen Zahlen und danach nicht weiter geht ..." Dieser Satz erheitert mich. Wie stellst Du Dir das vor, alle Natürlichen Zahlen aufzuschreiben und danach nicht mehr weiterzumachen? Dann müßte es doch eine Natürliche Zahl geben, die die letzte (sprich die größte) Natürliche Zahl wäre, und dann wäre Schluß. Es gibt aber keine letzte bzw. größte Natürliche Zahl, da Axiom 2 aussagt, daß jede Natürliche Zahl eine Natürliche Zahl als Nachfolger hat.

Was die Wurzel aus 2 angeht, so wäre das mal ein eigenes Thema. Aber nicht hier, das führt zu weit. Ok?

Wichtig ist hierbei nur, daß ich mit Wurzel aus 2 eine Zahl ausgewählt habe, die keine Natürliche Zahl ist.

Was Deine Ansicht angeht, Axiom 5 sei erfüllt, muß ich Dich nun fragen: Seit wann kommen e oder Pi in der Menge der Natürlichen Zahlen vor?

Das Axiom sagt ganz klar und deutlich aus, wenn die Menge X die 0 und mit jeder Natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger n' enthält, so bilden die Natürlichen Zahlen eine Teilmenge von X.

Da meine Menge X zwar die 0 enthält, jedoch ansonsten ausschließlich nur Zahlen, die keine Natürlichen Zahlen sind, kann Axiom 5 gar nicht erfüllt sein.

Was die Isomorphie angeht, so mag es sein, daß die Struktur meiner Menge X mit der Struktur der Menge N übereinstimmt, aber die einzelnen Elemente stimmen nicht überein (mit Ausnahme der 0). Um eine Teilmenge sein zu können, müssen aber auch die einzelnen Elemente übereinstimmen. Denn würde nur die Struktur ausreichen, dann wäre eine Menge A mit den Elementen 1, 2, 3, 4, und 5 eine Teilmenge einer Menge B mit den Elementen 1, 2, 4, 5, 6 und 7.--Wikilaser (Diskussion) 16:08, 6. Sep. 2017 (CEST)

Du musst dich schon entscheiden, ob du, wie du es eben bei Axiomen 1–4 gemacht hast, deine Menge X für die Menge $\mathbb {N}$ einsetzt, oder nicht (wie dus mit Axiom 5 zu machen scheinst). --Chricho ¹ ² ³ 16:17, 6. Sep. 2017 (CEST)

Also Du bist mir schon ein lustiger Vogel, ehrlich! Weiter oben verlangst Du steif und fest, man könne eine Menge X beliebig wählen, um anhand der Axiome zu beweisen, ob sie der Menge $\mathbb {N}$ entspricht oder nicht. Dann mache ich das, und nun verlangst Du, man müsse diese beliebig gewählte Menge X für die Menge $\mathbb {N}$ einsetzen. Was soll das denn jetzt?--Wikilaser (Diskussion) 16:31, 6. Sep. 2017 (CEST)

Man kann beides machen, bloß einheitlich. Du machst beides, aber vermischt. Wenn du die Gültigkeit von Axiom 2 zum Beispiel beschreibst als „jedes Element der Menge X hat einen Nachfolger“ (in der Menge X, möchte ich ergänzen), dann hast du offenbar in Axiom 2 $\mathbb {N}$ durch $X$ ersetzt (hast du oder hast du nicht?). Bei Axiom 5 hast du das nicht gemacht (oder hast du?), sondern ein anderes $\mathbb {N}$ vorausgesetzt. --Chricho ¹ ² ³ 18:00, 6. Sep. 2017 (CEST)

Ich mache es doch einheitlich, nur eben einheitlich der Reihe nach. Zuerst überprüfe ich Axiom 1, dann Axiom 2, etc.

Wenn eine Menge X der Menge der Natürlichen Zahlen entsprechen soll, dann muß sie den Bedingungen aller 5 Axiome genügen, nicht nur die Bedingungen des Axioms 5. Das war schließlich Deine eigene Aussage: Die 5 Axiome machen Aussagen über jede Menge, die der Menge der Natürlichen Zahlen entspricht. Also muß sich daran jede Menge messen lassen. Wird von einer Menge nur ein einziges Axiom nicht erfüllt, entspricht die Menge eben nicht der Menge der Natürlichen Zahlen.

Davon abgesehen ist Axiom 5 für sich alleine nicht geeignet, die Menge der Natürlichen Zahlen zu definieren. Zum einen deshalb nicht, weil darin nicht klargestellt wird, daß die 0 nicht Nachfolger einer Natürlichen Zahl ist, und zum anderen eben, weil dieses Axiom Kenntnisse über die Natürlichen Zahlen voraussetzt, die laut Prädikatenlogik gar nicht vorgegeben sein düften.

Jetzt wäre noch interessant, was Du zu meiner Frage bezüglich Deiner Aussage hinsichtlich des Endes der Natürlichen Zahlen zu sagen hast. Du weißt schon, der Satz, der mich erheitert hat.--Wikilaser (Diskussion) 23:27, 6. Sep. 2017 (CEST)

Deine Menge X eingesetzt für $\mathbb {N}$ mit der von dir definierten Nachfolgerfunktion und der 0 erfüllt alle 5 Peano-Axiome (was isomorph ist, erfüllt nämlich auch dieselben Axiome). Was deine Fragen jetzt aber mit deiner ursprünglichen zu tun haben, verstehe ich nicht – deshalb schließe ich mich Daniel an, siehe unten. --Chricho ¹ ² ³ 10:57, 8. Sep. 2017 (CEST)

Weshalb soll denn (m)eine Menge X für die Menge $\mathbb {N}$ eingesetzt werden? Das erschließt sich mir nicht. Meiner Auffassung nach wird die Menge X mit der Menge $\mathbb {N}$ im Rahmen des Axioms 5 verglichen. Das ist in meinen Augen etwas völlig anderes als eine Menge durch eine andere zu ersetzen (oder wie Du es ausdrückst, sie für die andere einzusetzen). Und nochmal die Frage: Wie stehst Du zu meinem Einwand hinsichtlich des Endes der Natürlichen Zahlen?--Wikilaser (Diskussion) 01:00, 9. Sep. 2017 (CEST)

Zum Link zu Peanos Originalfassung: Bei mir öffnet sich da nur die Titelseite. Weiterblättern geht leider nicht. Muß ich mich dazu auf der Seite anmelden?--Wikilaser (Diskussion) 22:54, 30. Aug. 2017 (CEST)

Hast du JavaScript aktiviert? Wenn du das nicht möchtest, kannst dus auch als PDF oder DjVu herunterladen. Eine Anmeldung ist in keinem Fall erforderlich. --Chricho ¹ ² ³ 11:14, 31. Aug. 2017 (CEST)

Danke für den Hinweis, ich sehe mal nach.--Wikilaser (Diskussion) 13:43, 31. Aug. 2017 (CEST)

So, jetzt hat es geklappt. Beim erstmaligen Überfliegen des Textes mußte ich gleich mal zwei Dinge feststellen:

1.) Der Text ist auf Lateinisch abgefasst, es wird also etwas dauern, bis ich ihn komplett gelesen und verstanden habe.

2.) Peano formulierte nicht nur 5 Axiome, sondern gleich 9, und er lieferte sowohl eine Zeichenerklärung als auch eine Demonstration der Anwendung seiner Axiome mit.

Allgemein kann ich aber schon einmal sagen: Wenn man bei Wikipedia einen Artikel über die Peano-Axiome veröffentlicht, dann sollten diese auch genau so wiedergegeben werden, wie er sie seinerzeit formulierte. Man kann im weiteren Artikel dann gern eine modernere Fassung hinzufügen, aber in einem Lexikon sollte schon der Originaltext (lediglich in die jeweilige Landessprache übersetzt) stehen. Diese Kritik richtet sich übrigens nicht gegen Dich oder Daniel5Ko.--Wikilaser (Diskussion) 19:17, 31. Aug. 2017 (CEST)

Die vier zusätzlichen Axiome, die du dort findest, regeln die Gleichheit. Mir ist es auch schon aufgefallen, dass das im Artikel erwähnt werden sollte, hatte aber noch nicht die Zeit dazu, weil man zunächst dann auch mit Peanos eigener späterer Fassung nochmal vergleichen sollte, aber auch nochmal danke für den Hinweis. --Chricho ¹ ² ³ 21:30, 31. Aug. 2017 (CEST)

Nochmal von vorn

Der Aufforderung, Lernbereitschaft zu zeigen, statt wie ein Troll aufzutreten, ist Benutzer:Wikilaser offenbar wieder nicht nachgekommen. Da hat dann natürlich auch keiner Lust, zu antworten. Angebot: Wir vergessen alles und fangen von vorn an. Benutzer:Wikilaser: Stelle Fragen, ohne mit Inkompetenzbezichtigungen um dich zu werfen. --Daniel5Ko (Diskussion) 23:31, 7. Sep. 2017 (CEST)

+1 Und dann bitte ich dich, Wikilaser, dir bei deinen Fragen zu überlegen, welche Fragen wirklich von grundlegender Wichtigkeit für dein Verständnis sind, statt andauernd zu wechseln, nur weil es irgendwie für dich interessant ist, wie wohl darauf geantwortet wird, ohne dass wir der Klärung des Grundsätzlichen dabei näher kommen. Missverständnisse deinerseits wiederholen sich dabei zwar immer wieder, da du aber nicht mal bei einem Problem bleibst, kommen wir deren Klärung nicht näher. Ansonsten gilt noch, was ich am 2. September geschrieben habe. --Chricho ¹ ² ³ 11:12, 8. Sep. 2017 (CEST)

Lieber Daniel5Ko,

erwartest Du von mir, ich solle alles, was Du oder andere mir hier vortragen, kritiklos auswendiglernen? Falls ja, können wir die Diskussion gleich beenden, weil eine solche Erwartungshaltung, verbunden mit dem Vorwurf herumzutrollen, empfinde ich als Affront. Meine Art zu lernen ist nun einmal, die Dinge auseinanderzunehmen, um sie im wörtlichen Sinne begreifen zu können. Nebenbei bemerkt hat in dieser Diskussion, zu der Du mich eingeladen hattest, Chricho bisher weitaus mehr Beiträge geleistet als Du.

Lieber Chricho,

wer bringt denn ständig neue mathematische Formelzeichen ins Spiel? Ich hatte gehofft, es ginge um die Peano-Axiome und ihre Zeichen, und um nichts anderes.

Nochmal in aller Deutlichkeit: Ich lerne auf andere Art, als das so manch andere Menschen tun, und das kann durchaus anstrengend sein, sowohl für mich selbst als auch für Menschen, von denen ich etwas lernen möchte. Es ist aber von meiner Seite aus niemals als Herumtrollen gemeint.

Nach diesen klaren Worten meine Frage an Euch beide: Können wir nun zum Thema zurückkehren?--Wikilaser (Diskussion) 00:53, 9. Sep. 2017 (CEST)

Zum Thema zurückzukehren ist genau das Ziel.

Und vielleicht noch ein sehr wichtiger Hinweis: Vorurteile sind sehr oft die schlimmsten Hindernisse beim Lernen. Deshalb sei bitte zukünftig nicht beleidigt, wenn man dich darauf hinweist, dass du solche hast und bestärkst, sondern arbeite bei ihrer Beseitigung mit. --Daniel5Ko (Diskussion) 01:47, 9. Sep. 2017 (CEST)

Um es mal hart zu formulieren: Wenn man eine fremde Sprache lernen möchte, gehört dazu ein Moment des kritiklosen Annehmens. Es gehört etwa dazu, von den Wortbedeutungen in der eigenen Sprache ganz und gar abzusehen, und die der fremden Sprache aufzunehmen (auch wenn sie durch nichts begründet scheinen als durch Tradition und Konvention); die Annahme von Parallelismen zur eigenen Sprache auszuschalten; zunächst einmal anzunehmen, dass der Kauderwelsch, den man da hört, schon eine Bedeutung haben wird und kein Unsinn ist. Erst wenn man das alles macht, dann kann man auch in der fremden Sprache kritisieren, gelernte Bedeutungen differenzieren und Fehler erkennen und Vergleiche mit der eigenen Sprache und Beziehungen zur Umwelt aufstellen. Natürlich wechseln sich diese beiden Momente ab, bei dir ist aber der erste Schritt bislang weitgehend ausgeblieben.

Die logische und mathematische Tradition, auf die wir uns hier beziehen, ist alles andere als voraussetzungsfrei – deine eigene „normale Logik“ ist es aber eben auch nicht.

Nochmal deutlicher: Ich werde nur noch auf Fragen hier unten antworten. Du kannst gerne etwas von oben wieder aufnehmen, aber geh doch erst die Diskussion noch einmal durch und dann überleg dir, was die zentralen Punkte sind, die du nicht verstehst, was die Fragen sind, an denen ein Übereinkommen bislang gescheitert ist. Bitte entweder Fragen, die direkt auf das Verständnis der Axiome, der Prädikatenlogik oder der axiomatischen Methode zielen, oder, wenn du eine der verzweigten Detailfragen doch wieder aufgreifen möchtest, dann stell sie bitte in geschlossener Form dar (ohne Rückverweise) und erläutere, wieso sie etwas mit dem Verständnis der Peano-Axiome zu tun hat. Du bekommst hier auf völlig freiwilliger Basis ausführliche und fachkundige Antworten, bekommst zahlreiche Querverweise in einem Feld, in dem du offenbar noch nicht sehr bewandert bist, ich recherchiere in Originalveröffentlichungen für dich usw. Nun sind wir der bescheidenen Ansicht, dass ein gewisser Diskussionsmodus nicht weiter führt, und sind nach einigen Anstrengungen nicht mehr zu allen Anstrengungen bereit, die mit deinem Lernmodus einhergehen, sondern fordern nun auch ein paar ganz bestimmte Anstrengungen von deiner Seite. Nun Daniel vorzuwerfen, nach langer Diskussion nicht mehr ganz so viel Zeit und Kraft aufgewendet zu haben, ist eine Unverschämtheit.

Das ist jetzt mein letztes Wort zum neuen Diskussionsmodus, entweder wir kehren jetzt in diesem neuen Modus in diesem neuen Abschnitt zum Thema zurück, oder lassen es ganz bleiben, das ist deine Entscheidung. --Chricho ¹ ² ³ 11:13, 9. Sep. 2017 (CEST)

Der Vergleich mit dem Erlernen einer fremden Sprache trifft meine Situation bzw. den Stand unserer Diskussion meines Erachtens nach nicht wirklich. Immerhin beziehe ich mich in meinen Äußerungen ja auf Grundwissen, welches in jeder Schule gelehrt wird. Dazu gehört, daß die Menge $\mathbb {N}$ die Menge der Natürlichen Zahlen ist, und zwar genau die Menge, die aus den Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... etc. unendlich so weiter besteht. Wenn ich also hier von der Menge $\mathbb {N}$ spreche oder es in Euren Beiträgen lese, dann verstehe ich ausschließlich nur diese Menge darunter. Ich kann (zumindest aktuell) keine andere Menge darunter verstehen. Ist es also möglich, daß unsere unterschiedlichen Auffassungen bzw. Euer Vorwurf an mich, Vorurteile zu haben, darauf beruhen, daß man unter Mathematikern unter der Menge $\mathbb {N}$ etwas ganz anderes versteht, oder zumindest auch etwas anderes verstehen kann als eben diese Menge?--Wikilaser (Diskussion) 23:04, 9. Sep. 2017 (CEST)

Deine Missverständnisse/Vorurteile auf die Frage nach der Bedeutung des Zeichens $\mathbb {N}$ zu reduzieren, langt nicht hin. Du missverstehst vielmehr immer wieder die grammatikalische Funktion dieses und vieler anderer Zeichen in verschiedenen Kontexten. Aber ja, wenn man Axiome aufstellt, muss man auch von all seinem Schulwissen zurücktreten, nicht nur davon, was $\mathbb {N}$ ist, sondern auch davon, was $0,1,2$ sind, was so ein $...$ bedeutet und von vielem mehr. --Chricho ¹ ² ³ 10:57, 10. Sep. 2017 (CEST)

Du wolltest von vorn anfangen, und meine Frage hinsichtlich des Zeichens $\mathbb {N}$ möge dieser Neuanfang sein. Wenn die Peano-Axiome als Definition für die Menge derjenigen Zahlen zu verstehen sein soll, mit denen die Menschheit schon seit einer gefühlten Ewigkeit Dinge zählt (eben der Natürlichen Zahlen), dann müssen wir zunächst klären, was das Zeichen $\mathbb {N}$ für Mathematiker sonst noch bedeutet. Sonst reden wir von Anfang an aneinander vorbei.--Wikilaser (Diskussion) 16:04, 11. Sep. 2017 (CEST)

Antwort: Wenn man axiomatisiert, dann ist $\mathbb {N}$ ein bloßes Zeichen, ohne Bedeutung, abgesehen davon, dass man davon ausgeht, dass es eine Menge ist – das heißt man hat syntaktische Eigenschaften: Man kann Ausdrücke der Form $\ldots \in$ davor schreiben oder $\subseteq \ldots$ dahinter und bekommt so Aussagen. --Chricho ¹ ² ³ 16:55, 11. Sep. 2017 (CEST)

Wozu macht man das? Wozu verwendet man beim Axiomatisieren Zeichen, denen bereits eine bestimmte Bedeutung zugeordnet wurde, völlig ohne Bedeutung? Das muß ja zu Verwirrung führen. Kein Wunder, daß man unter solchen Voraussetzungen sein gesamtes Schulwissen in die Tonne kippen kann. Dann kann man es als Zeitverschwendung ansehen, vor einem Mathematikstudium erst einmal 13 (bzw. mit dem G8 eben 12) Jahre Schulmathematik zu betreiben. Diese Zeit könnte man wirklich sinnvoller nutzen und den Schülern gleich von Anfang an richtig Mathematik beibringen.

Was nun Peanos Verwendung des Zeichens $\mathbb {N}$ angeht, meinte er damit also irgendeine Menge (ohne Voraussetzungen) oder eben doch genau die Menge der Natürlichen Zahlen, die ich darunter verstehe?--Wikilaser (Diskussion) 22:39, 11. Sep. 2017 (CEST)

Er meinte irgend eine zunächst erstmal nicht näher bestimmte Menge. Erst mithilfe der Axiome schränkt sich ein, wie sie strukturiert sein kann. Wie die Elemente konkret aussehen, wird dabei jedoch offengelassen, vor allem, weil dafür die Ausdrucksmöglichkeiten fehlen. Das Ziel ist aber, dass sich eine Menge (zusammen mit Operationen 0,S), die den Axiomen gehorcht, so verwenden lässt, wie du es von den "echten" natürlichen Zahlen gewohnt bist. Und das ganze ohne Rückgriff auf eine schon gegebene Struktur $(\mathbb {N} _{2},0_{2},S_{2})$, von der man bereits weiß, dass sie die Axiome erfüllt. Würde man so einen Rückgriff vornehmen, wüsste man gar nicht so richtig, was die Axiome denn eigentlich aussagen. --Daniel5Ko (Diskussion) 20:36, 14. Sep. 2017 (CEST)

Wenn er tatsächlich nur irgendeine Menge meinte, dann kann man meines Erachtens nach nicht sagen, die Peano-Axiome seien die Definition der Menge der Natürlichen Zahlen. Vielmehr ergibt sich dann, daß er lediglich eine allgemeine Struktur beschrieb, die auf viele Mengen zutreffen kann, und die Menge der Natürlichen Zahlen eben auch diese Struktur aufweist. Das ist vergleichbar mit: Jeder Pudel ist ein Hund, aber nicht jeder Hund ist ein Pudel. Hierbei ist die allgemeine Struktur, die Peano axiomatisierte, ein Hund, während die Menge der Natürlichen Zahlen die Rolle des Pudels einnimmt.--Wikilaser (Diskussion) 02:48, 15. Sep. 2017 (CEST)

In der Analogie wollen Peanos Axiome nur festzurren, was ein Hund ist. --Daniel5Ko (Diskussion) 02:31, 16. Sep. 2017 (CEST)

Gut, dann darf man aber nicht sagen, daß jeder Hund ein Pudel ist, sprich im übertragenen Sinne, daß meine Menge (die mit den Transzendenten Zahlen) gleich der Menge der Natürlichen Zahlen sei, sondern lediglich, daß die schematische Struktur meiner Menge (0, Nachfolgefunktion, unendlich viele Elemente) mit der schematischen Struktur der Natürlichen Zahlen übereinstimmt.--Wikilaser (Diskussion) 20:09, 18. Sep. 2017 (CEST)

Niemand hat gesagt, dass die beiden Mengen gleich wären. Sie würden höchstens beide den Peano-Axiome gehorchen (vorausgesetzt, du hättest auf deiner Menge eine brauchbare Nachfolgerfunktion definiert, und vorausgesetzt, man wüsste, welche der unendlich vielen Möglichkeiten "die Menge der natürlichen Zahlen" ist). Aber um es auch hier nochmal zu betonen: Anhand der Peano-Axiome kann man nicht feststellen, ob man es mit der "echten" Menge der natürlichen Zahlen zu tun hat. Das ist nicht ihr Ziel und sie können es aufgrund ihres tatsächlichen Ziels auch nicht leisten. Wenn du so eine Feststellung treffen willst, bewegst du dich in anderen Sphären, die nur sehr wenig mit dem Thema zu tun haben. Vielleicht erneut das Ziel: Festlegen, wie sich "die natürlichen Zahlen" verhalten sollen, ohne auf ein Beispiel zurückzugreifen.

Vielleicht hilft auch folgende auf die Analogie bezogene Beobachtung, dich aufs richtige Gleis zu befördern: Du versuchst scheinbar, in der Hundedefinition einen Pudel wiederzufinden, und bestehst darauf, dass etwas passendes vorkommen muss, damit die Definition von "Hund" "stimmt". --Daniel5Ko (Diskussion) 00:01, 20. Sep. 2017 (CEST)

Zu Hund und Pudel: Du vermutest falsch. Ich bestehe darauf, daß etwas passendes vorkommen muß, damit die Definition von Pudel stimmt, da man ansonsten nur von Hund reden kann.

Nein, niemand will eine Mauer bauen (um hier ein historisches Zitat zu bemühen). Schon klar. Soll ich den Beitrag zitieren, oder willst Du selbst nachlesen, wo mir gesagt wurde, daß meine Menge der Menge der Natürlichen Zahlen entspricht?--Wikilaser (Diskussion) 22:30, 20. Sep. 2017 (CEST)

Ich habe oben schon gesagt, dass in (meiner Interpretation) der Analogie die Peano-Axiome nur festzurren wollen, was ein Hund ist. Deine Menge (zusammen mit passender Nachfolgerfuntion etc.) kann die Peano-Axiome erfüllen, ohne dass sie gleich einer bestimmten anderen Menge ist, die auch (zusammen mit passender Nachfolgerfunktion etc.) die Peano-Axiome erfüllt. Es gibt einen Zusammenhang zwischen ihnen, den man von mir aus irgendwie mit "entsprechen" zusammenfassen kann, aber der ist nicht Gleichheit. Wenn du meinst, dass es der Sache dient, zitiere. --Daniel5Ko (Diskussion) 23:37, 20. Sep. 2017 (CEST)

Gut, dann sind wir uns hinsichtlich Peano-Axiome und "Hund" einig. Was das Zitat angeht, da hast Du von "isomorph" gesprochen. Das habe ich inzwischen verstanden. Du kannst also nun Deinerseits zugeben, daß meine Menge eben nicht gleich der Menge der Natürlichen Zahlen ist. Etwas stört mich trotzdem daran, nämlich die Sache mit dem nicht verwendbaren Vorwissen beim Axiomatisieren. Wenn im Artikel steht, daß 0 eine Natürliche Zahl sei (Axiom 1), und daß eine Menge X mit der 0 jede Natürliche Zahl n sowie jeden Nachfolger n' enthält (Axiom 5), dann deutet dies entweder darauf hin, daß eben doch auf solches Vorwissen zurückgegriffen wird, oder daß die Formulierung im Artikel irreführend ist, wenn einfach nur irgendeine Menge N gemeint sein soll. Trifft ersteres zu, wäre meine Menge eben nicht isomorph zu $\mathbb {N}$. Wenn zweiteres zutrifft, wäre Isomorphie zu N (nicht jedoch zu $\mathbb {N}$) gegeben.--Wikilaser (Diskussion) 18:40, 21. Sep. 2017 (CEST)

Ich habe nirgends von "isomorph" gesprochen.

Dass deine Menge (zusammen mit passenden 0 und S) sich von allen anderen Mengen (zusammen mit jeweiligen 0 und S) unterscheidet, ist völlig klar, und hat nie irgend jemand betritten. Was soll es bringen, wenn ich das jetzt zugebe?

Welche Axiome man ansetzt, gründet sich natürlich auf Vorwissen. Eigentlich sogar auf Vorurteilen. Worauf Chricho hinauswollte, ist, dass man sich dann beim Beweisen von Dingen nicht auf irgendein schlecht zu kommunizierendes Vorwissen oder Vorurteile stützt, sondern auf die klar und explizit angegebenen Axiome. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:55, 22. Sep. 2017 (CEST)

Du hast Recht, ich muß meine Aussage korrigieren: Chricho sprach von isomorph bezüglich meiner Menge. Es sollte jetzt aber hoffentlich endlich klar sein, daß meine Menge eben nicht gleich der Menge $\mathbb {N}$ ist, sondern ihr lediglich strukturell ähnlich ist.--Wikilaser (Diskussion) 14:12, 25. Sep. 2017 (CEST)

Ich möchte noch einmal auf Deinen obigen Beitrag zurückkommen:

X ist frei wählbar. Das Ergebnis der Anwendung von Axiom 5 ist aber erstmal bloß eine Implikation. Nehmen wir beispielsweise $X:=\{0,7\}$. Dann erhalten wir

$0\in \{0,7\}\land (\forall n\in \mathbb {N} .\ n\in \{0,7\}\Rightarrow {\mathsf {S}}(n)\in \{0,7\})\implies \mathbb {N} \subseteq \{0,7\}.$

Glücklicherweise ist die Voraussetzung falsch. Es gilt nämlich $0\in \{0,7\}$ und ${\mathsf {S}}(0)\notin \{0,7\}$. Denn, angenommen ${\mathsf {S}}(0)\in \{0,7\}$, dann ist ${\mathsf {S}}(0)=0$ oder ${\mathsf {S}}(0)={\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}(0)))))))$. Der erste Fall wird von Axiom 3 verboten, der zweite ergibt mit Axiom 4, dass $0={\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}(0))))))$, was wiederum von Axiom 3 verboten wird.

Wenn man, wie Du sagst, beim Axiomatisieren jegliches Wissen über die verwendeten Zeichen vergessen muß und die Zeichen ohne Bedeutung sein sollen, dann wäre das auch bei Deiner Menge $X:=\{0,7\}$ so, sprich man wüßte dann nicht, ob diese 7 nun genau der 7 entspricht, die wir aus dem Dezimalsystem kennen, oder ob sie beispielsweise der 1 entspricht, die wir aus dem Dezimalsystem kennen. Da Du aber die 7 mit S(S(S(S(S(S(S(0) bezeichnest, statt mit S(0), Setzt Du offenbar doch ein solches Wissen über die Natürlichen Zahlen voraus.--Wikilaser (Diskussion) 10:21, 14. Sep. 2017 (CEST)

Ich habe die 7 als Abkürzung für ${\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}(0)))))))$ benutzt. Ebenso wie 1 als Abkürzung für ${\mathsf {S}}(0)$.

Dass aber z.B. dann $1\neq 7$ gilt (wie man's gerne hätte), stimmt nicht von allein, sondern erst durch die im Zitat genannten und verwendeten Axiome und ein wenig Logik. --Daniel5Ko (Diskussion) 20:36, 14. Sep. 2017 (CEST)

Du hast nur wenige Beiträge weiter oben geschrieben:

Aber ja, wenn man Axiome aufstellt, muss man auch von all seinem Schulwissen zurücktreten, nicht nur davon, was N {\displaystyle \mathbb {N} } \mathbb {N} ist, sondern auch davon, was 0 , 1 , 2 {\displaystyle 0,1,2} 0,1,2 sind, was so ein . . . {\displaystyle ...} ... bedeutet und von vielem mehr.

Mit der jetzigen Antwort, Du hättest die 7 als Abkürzung für ${\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}(0)))))))$ benutzt, gibst Du nun - wenn auch unfreiwillig - zu, daß Du eben doch auf solches Vorwissen zurückgreifst. Ohne dieses Vorwissen wäre nicht klar, ob die 7 dieser Menge der 7 entspricht, die wir aus dem Dezimalsystem kennen, mithin also ob sie ${\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}(0)))))))$ entspricht, oder ob sie der 1 entspricht, die wir aus dem Dezimalsystem kennen, mithin also ${\mathsf {S}}(0)$.--Wikilaser (Diskussion) 02:48, 15. Sep. 2017 (CEST)

Ich würde es mal nicht „Vorwissen“, sondern eine Tradition nennen. Man orientiert sich in der Namensgebung (=bei den Definitionen) an tradiertem, für die Beweise setzt man jedoch keinerlei solches Vorwissen voraus.

Noch zu deinem obigen Punkt: „Vielmehr ergibt sich dann, daß er lediglich eine allgemeine Struktur beschrieb, die auf viele Mengen zutreffen kann, und die Menge der Natürlichen Zahlen eben auch diese Struktur aufweist.“ Richtig (es gibt viele zu den natürlichen Zahlen isomorphe Strukturen), das macht aber nichts, wir fixieren mit den Namen $\mathbb {N} ,0,S$ genau eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und einer einstelligen Funktion, die bestimmte Eigenschaften erfüllen, bestimmen aber auch nicht näher, welche das sein sollen. Es kommt nur darauf an, dass wir $\mathbb {N} ,0,S$ als feste Namen benutzen. --Chricho ¹ ² ³ 12:26, 15. Sep. 2017 (CEST)

Wenn eine solche "Tradition" erlaubt ist, dann sehe ich kein Problem darin, für eine eindeutige und klare Definition der Menge $\mathbb {N}$ eine Nachfolgerfunktion n' = n + 1 zu benutzen. Sollte jedoch jegliche "Tradition" verboten sein, müßte man für eine eindeutige und klare Definition der Menge $\mathbb {N}$ eben auch erst einmal definieren, was unter 0 und 1 zu verstehen sein soll.

Bezüglich dessen, was die Peano-Axiome nun aktuell aussagen, können wir uns hoffentlich darauf einigen, daß sie nicht als die Definition der Menge $\mathbb {N}$ angesehen werden kann, sondern lediglich, daß die Menge $\mathbb {N}$ eben auch die allgemeine Struktur aufweist, die durch die Peano-Axiome beschrieben werden.

Jetzt würde mich aber doch noch interessieren, wie Du Dir das vorstellst, als Du mich fragtest, ob meine Menge (die mit den Transzendenten Zahlen) mit allen Natürlichen Zahlen abgezählt sein solle bis zu deren Ende. Denn aus Axiom 2 ergibt sich für meine Begriffe, daß es kein Ende der Natürlichen Zahlen geben kann.--Wikilaser (Diskussion) 23:53, 15. Sep. 2017 (CEST)

Die Menge $\mathbb {N}$ wird überhaupt nicht definiert, die Nachfolgerfunktion auch nicht und die $0$ auch nicht, wenn man mit den Peano-Axiomen ansetzt. Das sind die nicht zu definierenden Grundbegriffe. Die „eindeutige und klare Definition“ ist bei diesem axiomatischen Ansatz gar nicht gewünscht – denn mit irgendwelchen Grundbegriffen muss man anfangen (denn eine zyklische Definition ist ebenso unerwünscht wie ein unendlicher Regress in diesem prädikatenlogischen Kontext – in anderen Systemen ist das anders, dort kann es auch rekursive Definitionen geben). Die 1 dagegen wird definiert als $S(0)$. Die gemäß Tradition gewählten Definitionen haben dabei immer die Form, dass für einen Ausdruck, der nur aus bereits bekannten Zeichen besteht ein neuer Name gegeben wird. Deine Definition $S(n)=n+1$ wäre hingegen unzulässig, denn die Addition haben wir bislang weder definiert, noch ist sie ein Grundbegriff.

Nun zu deiner anderen Frage: Das meinte einfach nur, ob deine Zahlen eine Folge bilden. Oder anders ausgedrückt: Du sagtest, dass die eine totale Ordnung bilden sollen. Dann besagte meine Frage, ob zwischen zwei deiner Elemente gemäß dieser Ordnung immer nur endlich viele Elemente dazwischen liegen – das „…“ klärt ja nicht zwangsläufig, wie weit es weiter geht, ob nur so weit, wie die natürlichen Zahlen gehen, oder ob dahinter noch etwas kommt. --Chricho ¹ ² ³ 10:38, 16. Sep. 2017 (CEST)

Nun, wenn die Menge $\mathbb {N}$ gar nicht definiert wird, dann ist der Eingangssatz im Artikel nicht ganz richtig formuliert:

"Die Peano-Axiome (auch Dedekind-Peano-Axiome oder Peano-Postulate) sind fünf Axiome, welche die natürlichen Zahlen und ihre Eigenschaften charakterisieren."

Korrekterweise müßte es "... auch die Natürlichen Zahlen ..." sowie "... und einige ihrer Eigenschaften ..." heißen. Dann wäre ich damit einverstanden.

Zu der anderen Frage: Ja, ich beschrieb meine Menge in Form einer total geordneten (nicht jedoch dicht geordneten) Folge, und nein, es sollten zwischen den genannten Elementen keine anderen Elemente liegen. Das "..." sollte lediglich darstellen, daß einfach unendlich viele Transzendente Zahlen zu meiner Folge gehören, aber keineswegs alle in einem bestimmten Intervall.

Und jetzt nochmal, weil Du hier schon wieder "... nur so weit, wie die Natürlichen Zahlen gehen ..." sowie "... ob dahinter noch etwas kommt." schreibst:

Wie weit gehen denn Deiner Auffassung nach die Natürlichen Zahlen, bzw. ab welcher Natürlichen Zahl beginnt Deiner Auffassung nach dieses "dahinter"?--Wikilaser (Diskussion) 20:09, 18. Sep. 2017 (CEST)

Hinter den natürlichen Zahlen ist natürlich keine weitere natürliche Zahl. Aber es sind viele Totalordnungen denkbar, die die natürlichen Zahlen enthalten und überdies noch Zahlen, die größer sind als alle natürlichen Zahlen, zum Beispiel in den Ordinalzahlen (da fängt das „Dahinter“ mit $\omega$ an, siehe die hübsche Grafik in dem Artikel), oder in den hyperreellen Zahlen (da gibts kein kleinstes Element „dahinter“). --Chricho ¹ ² ³ 20:20, 18. Sep. 2017 (CEST)

Und Charakterisieren heißt eben nicht Definieren in diesem speziellen Kontext. Das „einige“ kann man sich sparen, weil es eben alle Eigenschaften sind, die einen normalerweise interessieren und die man auch nur normalerweise mit dem Begriff der natürlichen Zahlen notwendig verbindet – das ist jetzt natürlich schwammig formuliert, aber passt das erstmal so für dich? --Chricho ¹ ² ³ 20:36, 18. Sep. 2017 (CEST)

Aus Deinen Worten und Links entnehme ich, daß dieses $\omega$ die kleinste Ordinalzahl sei, die größer ist als jede Natürliche Zahl. Wenn aber $\omega -1$ dann die größte aller Natürlichen Zahlen sein soll, würde für diese das Axiom 2 nicht gelten, welches jedoch für alle Natürlichen Zahlen gilt. Somit komme ich zu der Ansicht, daß es gar kein solches $\omega$ geben kann. Es sei denn, Du kannst mir konkret, als nicht nur durch dieses Zeichen $\omega$, die Zahl nennen, ab der dieses "dahinter" beginnt.

Zum Charakterisieren: Das "auch" sollte trotzdem in dem Satz enthalten sein, da der Satz ansonsten irreführend wäre.--Wikilaser (Diskussion) 13:11, 19. Sep. 2017 (CEST)

Auf den Ordinalzahlen ist schlichtweg keine Subtraktion definierbar, deshalb gibt es $\omega -1$ auch nicht. Darauf, wie man das $\omega$ näher definiert, kommt es doch überhaupt nicht an, für uns hier relevant ist nur, dass man eine Totalordnung definieren kann, in der man hinter die natürlichen Zahlen noch ein $\omega$ dranhängt. Auf der Menge $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ definiert man dann $a<b$ als genau dann wenn:

* $b=\omega$ und $a\neq \omega$,

* oder $a\neq \omega \neq b$ und $a<b$ gem. dem üblichen Vergleich auf den natürlichen Zahlen.

Deshalb ist mit deinen Angaben „unendlich viel“ und „Totalordnung“ noch nicht gesagt, wie die Ordnung genau aussieht, sondern es hängt davon ab, wie man das $\ldots$ definiert.

Zum Charakterisieren: Wenn ich eine gute Charakteristik von meinem Nachbarn abgegeben habe, dann wird sie nicht dadurch schlechter, dass ich irgendwann seinen Zwilling kennen lerne und feststelle, dass diese Charakteristik auf den Zwilling genauso zutrifft (jdf. solang die Zwecke, für die ich die Charakteristik brauche, sich nicht ändern, und so ists in der Mathematik). Ein Satz, der mit dem Wörtchen „auch“ stimmt, der stimmt auch ohne es, das „auch“ ist nur eine Verdeutlichung und Spezifizierung, die hier in der Einleitung des Artikels aber zu speziell wäre, sie anzubringen. --Chricho ¹ ² ³ 13:44, 19. Sep. 2017 (CEST)

Gut, wenn man $\omega -1$ nicht definieren kann, dann sag mir wenigstens, hinter welcher konkreten Natürlichen Zahl dieses $\omega$ liegen soll. Denn wenn Du das nicht angeben kannst, dann muß ich die Existenz dieses $\omega$ schlicht bezweifeln, bzw. es als Wunschtraum bezeichnen. Mir erscheint es erst einmal nur als bloße Behauptung, es gäbe ein solches "hinter den Natürlichen Zahlen". Deshalb nochmal: Wo ist dieses "hinter den Natürlichen Zahlen" genau?

Ergänzung: Ich finde, man kann sehr wohl eine Art Subtraktion auf den Ordinalzahlen definieren. Die dritte Position unterscheidet sich von der vierten Position um 1, von der fünften Position um 2 und von der sechsten Position um 3, und das kann letztlich sogar im Unendlichen genauso funktionieren. Ich sehe daher kein wirkliches Problem für eine solche Definition. Ferner gebe ich zu bedenken, wenn Du eine Folge der Natürlichen Zahlen schreibst und sie mit den Ordinalzahlen durchnummerierst, müßten ja bei irgendeiner Ordinalzahl die Natürlichen Zahlen erschöpft sein (was ich aufgrund des Axioms 2 für unmöglich halte).

Zur Charakteristik: Welche konkrete Menge ist denn Deiner Ansicht nach ein solcher Zwilling der Natürlichen Zahlen?

Zum "auch" widerspreche ich Deiner Ansicht insofern, als man ohne dieses "auch" denken könnte, die Peano-Axiome würden "nur" die Menge der Natürlichen Zahlen charakterisieren. Es ist also sehr wohl wichtig, dieses "auch" dazuzuschreiben.--Wikilaser (Diskussion) 22:10, 19. Sep. 2017 (CEST)

Zum „auch“: Gut, diskutieren wir hier jetzt nicht, wie die Formulierung im Artikel sein sollte, das wäre ein zweiter Schritt, in der Sache, die für uns da wichtig ist, sind wir uns ja gerade einig.

Zum „hinter“: Das Dahinter ist in den Ordinalzahlen – die Ordinalzahlen sind aber auch nur eine von vielen Möglichkeiten, die natürlichen Zahlen zu nach hinten zu erweitern (und im Übrigen ist das auch nicht viel schwieriger sich vorzustellen, als dass man in den ganzen Zahlen die natürlichen Zahlen nach vorne erweitert, es ist einfach ein Dranhängen). Die Subtraktion kann im Unendlichen genauso funktionieren, muss sie aber nicht, in den Ordinalzahlen tut sie es eben nicht immer – nur für manche Paare von Ordinalzahlen wäre so etwas sinnvoll definierbar, $\omega -1$ ists nicht.

„wenn Du eine Folge der Natürlichen Zahlen schreibst und sie mit den Ordinalzahlen durchnummerierst, müßten ja bei irgendeiner Ordinalzahl die Natürlichen Zahlen erschöpft sein“ – mach ich aber nicht, erübrigt sich damit.

Mein ganzer Punkt (mit Ordinalzahlen etc.) drehte sich ja nur darum, dass die Bedeutung von „…“ nicht völlig selbstverständlich ist. Gibts da noch grundsätzlich Klärungsbedarf?

Für Zwillinge der natürlichen Zahlen hast du oben zahlreiche Beispiele bekommen, zum Beispiel Darstellungen in verschiedenen Stellenwertsystemen. --Chricho ¹ ² ³ 00:08, 20. Sep. 2017 (CEST)

Mal eine persönliche Frage: Findest du das nicht etwas merkwürdig, dass du, wenn dir ein neuer Gegenstand in einigen Aspekten vorgestellt wird (hier die Ordinalzahlen), den du vorher nicht kanntest und auch jetzt nur in wenigen Ansätzen kennst, gleich erst einmal vermutest, dass es sich mit ihm ganz anders verhält, als alle Leute vom Fach, die diesen Gegenstand definieren und untersuchen, bislang gedacht haben? (und dieser Gegenstand hat ja nun auch nicht direkt mit vorherigen Gegenständen der Diskussion zu tun) Ich kann dir jdf. verraten: Auf den Ordinalzahlen gelten etwas andere Rechengesetze als auf den natürlichen Zahlen (so wie sie auf den reellen Zahlen und den komplexen Zahlen auch jeweils etwas anders sind). --Chricho ¹ ² ³ 00:20, 20. Sep. 2017 (CEST)

Zu Deinen Zwillingsbeispielen hatte ich bereits gesagt, daß die Darstellung in verschiedenen Stellenwertsystemen in meinen Augen nicht gilt, da es sich dabei jeweils um ein und dieselbe Menge handelt, die lediglich mittels verschiedener Stellenwertsysteme unterschiedlich ausgedrückt werden kann. Man kann auch das römische Zahlensystem verwenden, es ändert sich nichts daran, daß man damit ein und dieselbe Menge meint.

Zu dem "..." kann ich nur sagen, daß damit stets gemeint ist, daß es immer weiter geht. Nicht zuletzt auch deshalb, weil es nicht möglich ist, eine unendliche Folge tatsächlich niederzuschreiben. Das machte ja auch Georg Cantor nicht.

Was die Ordinalzahlen angeht, so beginnen sie ohne Zweifel genauso wie die Natürlichen Zahlen, nur eben mit dem Punkt dahinter, der ausdrücken soll, daß eine bestimmte Position gemeint sein soll. Aber ob ich jetzt eins oder erstes, zwei oder zweites, drei oder drittes, etc. sage, ändert nichts daran, daß beide Mengen (Natürliche Zahlen wie Ordinalzahlen) letztlich genau gleich aufgebaut sind. Beide Mengen haben unendlich viele Elemente. Wenn nun irgendwer behauptet, es gäbe Ordinalzahlen (wie dieses $\omega$ oder, wie es der Darstellung aus dem Link zu den Ordinalzahlen zu entnehmen ist, $\omega +1,\omega +2,\omega +3,etc.\omega *2,\omega *3,etc.,\omega ^{2},\omega ^{3},etc.\omega ^{\omega }$), die hinter den Natürlichen Zahlen liegen sollen, hieße das ja, daß die Natürlichen Zahlen aus irgendeinem Grund irgendwann erschöpft sein müßten, sprich, daß es eine letzte Natürliche Zahl geben müßte. Und eine solche letzte Natürliche Zahl gibt es nun einmal nicht.

Und hier komme ich auf Deine persönliche Frage zu sprechen: Wenn ich aufgrund solcher logischer und wohl unbestreitbarer Überlegungen zu dem Schluß komme, daß da etwas nicht stimmt, warum soll ich es dann nicht auch sagen?

Solltest Du mir in diesem Punkt widersprechen wollen, so müßtest Du mir jetzt konkret genau die Natürliche Zahl nennen, nach der es aus Deiner Sicht keine weitere Natürliche Zahl mehr geben soll. Diese Frage steht sowieso noch unbeantwortet im Raum. Also los!--Wikilaser (Diskussion) 22:30, 20. Sep. 2017 (CEST)

Es gibt keine größte natürliche Zahl. Da sind wir uns einig. $\omega$ kam ins Spiel, um dir zu zeigen, dass deine alternative Axiomatisierung unzureichend ist. --Daniel5Ko (Diskussion) 23:45, 20. Sep. 2017 (CEST)

Wenn es also keine größte Natürliche Zahl gibt, wie kann es dann ein "dahinter" geben, wo dann dieses behauptete $\omega$ beginnen soll?--Wikilaser (Diskussion) 18:40, 21. Sep. 2017 (CEST)

$\omega$ ist keine natürliche Zahl und liegt per Definition der Anordnung her hinter allen natürlichen Zahlen. Genau so, wie 1 bzgl. der üblichen Ordnung auf $\mathbb {Q}$ hinter allen Elementen von $\left\{{\frac {10^{k}-1}{10^{k}}}\mid k\in \mathbb {N} \right\}$ (in dieser Menge ist 1 übrigens nicht enthalten) liegt. --Daniel5Ko (Diskussion) 23:22, 28. Sep. 2017 (CEST)

Man kann auch die Darstellungen selber (und nicht das mit ihnen gemeinte) als mathematische Menge auffassen, dann sind sie eben nicht dieselbe.

Nehmen wir statt natürlichen Zahlen und Ordinalzahlen mal die endlichen Dezimalbrüche mit $0$ vor dem Komma und nur Neunen nach dem Komma (also die Menge $A=\{0;0,9;0,99;0,999;0,9999;\ldots \}=\left\{{\frac {10^{n}-1}{10^{n}}}\mid n\in \mathbb {N} \right\}$) sowie die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$. Jetzt sage ich: Es gibt rationale Zahlen, die hinter den Zahlen aus $A$ liegen, zum Beispiel die Zahlen 1 und 2, dennoch gibt es unendlich viele Zahlen in $A$ und keine von ihnen ist die letzte/größte. Siehst du, dass „Erschöpftsein“ eben nicht impliziert, dass es ein größtes Element gibt? --Chricho ¹ ² ³ 11:05, 21. Sep. 2017 (CEST)

Als Gegenargument kann ich Georg Cantors erstes Diagonalargument anführen. Darin zeigte er, daß die Natürlichen Zahlen nicht nur ausreichen, um alle Rationalen Zahlen zwischen 0 und 1 abzudecken, sondern sogar um alle positiven und negativen Rationalen Zahlen abzudecken. Die Natürlichen Zahlen werden also nicht erschöpft.--Wikilaser (Diskussion) 18:40, 21. Sep. 2017 (CEST)

Entschuldige, aber du schmeißt alles durcheinander, mit dem Diagonalargument hat das hier rein gar nichts zu tun. Nochmal: In der unendlichen Menge $A$ gibt es kein größtes Element, dennoch gibt es in den rationalen Zahlen ein „Dahinter“, das mit $1$ beginnt. Analog: In der unendlichen Menge $\mathbb {N}$ gibt es kein größtes Element, dennoch gibt es in den Ordinalzahlen ein „Dahinter“, das mit $\omega$ beginnt. So weit einverstanden?

--Chricho ¹ ² ³ 22:54, 21. Sep. 2017 (CEST)

Nein, damit bin ich nicht einverstanden. Wenn Du behaupten willst, es gäbe ein "dahinter" in den Ordinalzahlen, dann mußt Du genau die Natürliche Zahl nennen, die gewissermaßen die letzte Natürliche Zahl vor diesem $\omega$ sein soll. Nochmal zum Verständnisabgleich, was Natürliche und was Ordinalzahlen sind:

Natürliche Zahlen sind eins, zwei, drei, vier, ... und bezeichnen jeweils eine Anzahl, die wiederum durch eine Maßeinheit genauer bezeichnet werden können.

Ordinalzahlen sind Nummer eins, Nummer zwei, Nummer drei, Nummer vier, ... und bezeichnen jeweils eine bestimmte Position in einer Reihenfolge.

Stimmst Du mir zu oder nicht?

Beide Zahlenarten (Natürliche und Ordinal) haben unendlich viele Elemente.

Stimmst Du mir zu oder nicht?

Wenn es nun bei den Ordinalzahlen einen Bereich geben soll, der "hinter" der Natürlichen Zahlen liegen soll, dann müssen die Natürlichen Zahlen ja irgendwann zur Neige gehen, während die Ordinalzahlen mit $\omega$, $\omega +1$, $\omega +2$, ... weitergehen.

Was nun Cantors Diagonalargument angeht, da habe ich viel mehr den Eindruck, als wäre Dir dessen Tragweite nicht bewußt. Überleg mal:

Die Rationalen Zahlen umfassen sowohl die Natürlichen Zahlen als auch die Brüche. Wenn Cantor zeigen kann, daß die Natürlichen Zahlen gleichmächtig zu den Rationalen Zahlen sind, dann bedeutet dies, daß es gewissermaßen mehr Natürliche Zahlen gibt, als es Natürliche Zahlen gibt. Klingt komisch, aber genauso ist es. Und das kommt daher, daß es keine größte Natürliche Zahl gibt. Daraus läßt sich schließen, daß es kein "dahinter" geben kann. Und dies wiederum führt zu dem Schluß, daß dieses $\omega$ schlicht eine Behauptung ist, aber in Wirklichkeit gar nicht existieren kann.--Wikilaser (Diskussion) 14:12, 25. Sep. 2017 (CEST)

Bitte lass die Mutmaßungen, dass mir die Bedeutung bestimmter elementarer Sätze nicht bewusst ist – du bist hier derjenige mit autodidaktischem Stückwerkwissen.

„Ordinalzahlen sind Nummer eins […]“ – nein, Ordinalzahlen sind in der Mathematik etwas anderes als im Alltagssprachgebrauch (sie fangen zum Beispiel mit 0 an, erster Unterschied – zweiter Unterschied: sie gehen nach den natürlichen Zahlen weiter).

„[…] dann mußt Du genau die Natürliche Zahl nennen, die gewissermaßen die letzte Natürliche Zahl […]“ – nein, dass es ein „dahinter“ gibt, heißt nicht, dass es ein größtes Element gibt, siehe mein obiges anderes Beispiel.

„es gewissermaßen mehr Natürliche Zahlen gibt, als es Natürliche Zahlen gibt“ – nein, Cantor definiert „zwei Mengen sind gleich groß, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen beiden gibt“, das heißt, die Menge der natürlichen Zahlen ist gleich groß wie die der rationalen Zahlen, und es ist die Menge der natürlichen Zahlen auch gleich groß wie sie selber. Abgesehen davon hat das alles nichts mit dem von mir aufgeführten zu tun, denn mein „dahinter“ redet nicht davon, dass eine Menge größer ist als eine Teilmenge im Sinne einer größeren Mächtigkeit, sondern davon, dass in einer Menge (hier: die Ordinalzahlen bis einschließlich $\omega$ oder die rationalen Zahlen) Elemente liegen, die bezüglich einer gewissen Ordnung (hier: die auf den Ordinalzahlen bzw. die übliche auf den rationalen Zahlen) größer sind als alle Elemente einer Teilmenge (hier: im einen Beispiel $\mathbb {N}$ im anderen $A$). --Chricho ¹ ² ³ 19:55, 25. Sep. 2017 (CEST)

Bitte hör auf, mir irgendwelche Vorwürfe zu machen. Ich rede hier über Tatsachen, und nichts anderes. Tatsache ist, daß zwischen den Natürlichen Zahlen noch Brüche liegen, und zwar zwischen jeden zwei aufeinanderfolgenden Natürlichen Zahlen unendlich viele Brüche. Tatsache ist, daß Cantor mit seinem Diagonalargument bewies, daß man mit den Natürlichen Zahlen auch die Rationalen Zahlen (die sich nun einmal aus Natürlichen Zahlen und Brüchen zusammensetzen) abzählen kann.

Willst Du das bestreiten? Ich hoffe nicht.

Daraus ergibt sich, daß die Natürlichen Zahlen in der Lage sind, sich gewissermaßen selbst zu übertreffen. Das ist ohne wenn und aber die logische Schlußfolgerung, bewiesen durch Georg Cantor.

Wenn nun Deiner Ausführung nach die Ordinalzahlen mit 0 anfangen, dann können wir gern die Natürlichen Zahlen auch inkl. der 0 danebenstellen. Nun geh mal eine Ordinalzahl nach der anderen durch, und parallel dazu eine Natürliche Zahl nach der anderen durch. Und dann zeige mir exakt die Stelle, an der dieses "dahinter" beginnt. Ich will von Dir ganz konkret die Ordinalzahl genannt bekommen, die die letzte Ordinalzahl vor diesem $\omega$ ist. Denn diese müßte sich ja exakt mit einer Natürlichen Zahl decken, hinter der dann diese Ordinalzahl $\omega$ erscheint. Denn solange Du diese Zahl nicht nennen kannst, halte ich sie für eine reine Behauptung. Nochmal: Die Ordinalzahlen beginnen bei 0 und die Natürlichen Zahlen ebenfalls. Und sie erhöhen sich beide mit jeder folgenden Zahl um jeweils 1. Also entwickeln sich sowohl die Ordinalzahlen als auch die Natürlichen Zahlen von Beginn an praktisch gleich. Wenn es also ein "dahinter" bei den Ordinalzahlen geben soll, dann müssen die Natürlichen Zahlen irgendwo aufhören. Das geht nicht anders. Dein Beispiel mit den Brüchen 9/10, 99/100, 999/1000, etc. habe ich mit Cantor ja bereits widerlegt. Die Natürlichen Zahlen erschöpfen sich da nicht, weil sie sich auch bei der gesamten Menge der Rationalen Zahlen nicht erschöpfen. Das sind nun einmal Tatsachen. Was willst Du daran bestreiten?--Wikilaser (Diskussion) 22:53, 25. Sep. 2017 (CEST)

Du verrennst dich.

Nochmal präziser (oben hatte ich es zusammengefasst als: „nein, dass es ein ‚dahinter‘ gibt, heißt nicht, dass es ein größtes Element gibt“): Sei $X$ eine Menge, total geordnet durch eine Ordnungsrelation $<$. Nun sei $Y$ eine strikt nach oben beschränkte Teilmenge von $X$, das heißt, jedes Element von $Y$ ist auch Element von $X$ und es gibt ein Element von $X$, das kein Element von $Y$, aber größer als alle Elemente von $Y$ ist. Schränken wir uns noch weiter ein, um näher an mein Beispiel zu kommen: $Y$ hat eine kleinste strikte obere Schranke in $X$, das heißt, es gibt eine kleinste strikte obere Schranke von $Y$, ein Element $s\in X$, sodass $s$ größer ist als alle Elemente von $Y$, dies aber für kein kleineres Element in $X$ ebenfalls gilt. Das kann man so formulieren: Das „hinter der Menge $Y$“ fängt mit dem Element $s$ an. Frage 1: Verstehst du die Situation? Frage 2: Erkennst du, dass diese Situation möglich ist? Frage 3: Möchtest du behaupten, nun müsse (oder könne es überhaupt) ein größtes Element von $Y$ geben? Frage 4: Erkennst du die Situation wieder? (als die der früheren Beispiele)

Die Möglichkeit, „sich gewissermaßen selbst zu übertreffen“, heißt nichts anderes, als dass es eine injektive, aber nicht surjektive Abbildung einer Menge in sich selbst gibt. Diese Eigenschaft nennt man Dedekind-Unendlichkeit (oder schlichtweg Unendlichkeit). Dass die natürlichen Zahlen unendlich sind ist durchaus von Cantors erstem Diagonalargument zu unterscheiden (denn daraus, dass die natürlichen Zahlen „sich gewissermaßen selbst [‥] übertreffen“, folgt noch lange nicht, dass sie auch jede andere Menge „gewissermaßen [‥] übertreffen“). Dass du aus letzterem ein Argument gegen mich machst, beruht nur darauf, dass du mehrere Begriffe von „Erschöpfen“ miteinander vermengst, ich spreche hier nämlich ausschließlich von einem „erschöpfen“ und einem „dahinter“ gemäß einer festen Ordnung, während bei Mächtigkeitsvergleichen von Mengen wie im Fall von Cantors Diagonalargumenten die innere Ordnung auf den Mengen gar keine Rolle spielt. --Chricho ¹ ² ³ 14:38, 26. Sep. 2017 (CEST)

Mal sehen, ob ich Deine Beschreibung so verstehe wie Du:

Du beschreibst zwei Mengen X und Y, wobei Y eine Teilmenge von X sei. Dies entspricht in einem konkreten Beispiel der gesamten Menge der Rationalen Zahlen für X und der Teilmenge derjenigen Rationalen Zahlen, die im Intervall [0;1] liegen, für Y. Einverstanden?

Wenn nun Cantor sein Diagonalargument auf Y anwendet, stellt er eine Bijektion fest, weil er jeder Rationalen Zahl im Intervall [0;1] genau eine Natürliche Zahl zuordnen kann. Einverstanden?

Wenn Cantor sein Diagonalargument dann auf X anwendet, stellt er wiederum eine Bijektion fest, weil er jeder Rationalen Zahl im gesamten Zahlenbereich von -∞ bis +∞ eine Natürliche Zahl zuordnen kann. Einverstanden?

Daraus folgere ich, daß es trotz der Unendlichkeit der Menge Y und der Tatsache, daß es in Y keine größte Rationale Zahl gibt, die kleiner als 1 ist, oberhalb (oder eben "dahinter") von 1 und unterhalb von 0 (oder eben "davor") noch weitere Natürliche Zahlen gibt, um die Bijektion mit X zu bilden. Einverstanden?

Und daraus schließlich folgere ich: Es gibt kein solches $\omega$ "hinter" den Natürlichen Zahlen, weil die Natürlichen Zahlen auch hinter irgendwelchen oberen Schranken weitergehen können. Und dies können sie eben genau deshalb, weil es keine größte Natürliche Zahl gibt.--Wikilaser (Diskussion) 21:51, 26. Sep. 2017 (CEST)

Nein, $Y$ ist in meinem einen Beispiel nicht $[0,1]$, sondern $\left\{{\frac {10^{n}-1}{10^{n}}}\mid n\in \mathbb {N} \right\}$.

Kannst du jetzt nochmal mit diesem Beispiel im Kopf die Fragen 1–3 beantworten?

(„und unterhalb von 0 […] noch weitere Natürliche Zahlen“ – bitte?)

„weil die Natürlichen Zahlen auch hinter irgendwelchen oberen Schranken weitergehen können“ – nein, eine obere Schranke ist eine obere Schranke, du magst durch Bijektionen umordnen können, aber von denen rede ich nicht, ich rede von der Schranke bezüglich der Ordnung so wie ich sie gewählt habe, nicht so, wie sie wird, wenn man die Reihenfolge ändert. --Chricho ¹ ² ³ 10:13, 27. Sep. 2017 (CEST)

Sag mal, liest Du meine Beiträge eigentlich aufmerksam? Ich habe den Eindruck, daß dies nicht oder zumindest nicht immer der Fall ist. Denn sonst würden solcherlei Mißverständnisse Deinerseits nicht vorkommen:

Ich schrieb: "in einem konkreten Beispiel", nicht "in Deinem konkreten Beispiel".

Und bei den Rationalen Zahlen (mein Beispiel) gibt es sehr wohl Zahlen unter 0, die Cantor in seinem Diagonalargument mittels Bijektion mit Natürlichen Zahlen verknüpfte.

Bevor Du von einer Schranke bezüglich der Ordnung sprichst, solltest Du erst einmal unmißverständlich darstellen, wie diese Ordnung aufgebaut ist. Ich bot Dir dazu eine Hilfestellung an, indem ich die ersten Ordinalzahlen anführte und sie gewissermaßen neben die ersten Natürlichen Zahlen stellte. Dieser Hilfestellung hast Du widersprochen und behauptet, die Ordinalzahlen seien in der Mathematik etwas anderes.

Also: Was sind in der Mathematik die Ordinalzahlen und wie lauten konkret die ersten sagen wir drei (damit es nicht gleich wieder zu kompliziert wird) Ordinalzahlen?

Und noch eine Anmerkung zu der Schranke: In Deinem Beispiel gibt es eine solche Schranke, es ist die 1. Die konkreten Zahlen Deines Beispiels nähern sich in immer kleiner werdenden Schritten der 1 an, ohne sie jemals erreichen zu können (es sei denn, man akzeptiert die Gleichung 0,(Periode)9 = 1). Aber die Schranke wird niemals überschritten. Bei den Natürlichen Zahlen jedoch gibt es keine solche Schranke, da die Natürlichen Zahlen immer von einer zur nächsten um genau 1 ansteigen. Dadurch wird jede Schranke irgendwann überschritten. Schon von daher bezweifle ich, daß ein solches $\omega$ existieren kann, hinter dem zwar die Ordinalzahlen weitergehen, jedoch nicht die Natürlichen Zahlen.--Wikilaser (Diskussion) 22:34, 27. Sep. 2017 (CEST)

Um noch einmal auf Dein Beispiel und Deine Fragen 1 - 3 zurückzukommen:

zu 1: Ich verstehe die Situation.

zu 2: Die Situation ist möglich.

zu 3: Nein, es muß hier kein größtes Element geben.

Du beschreibst Rationale Zahlen kleiner 1. Deine Schranke ist 1. Aber dennoch übersiehst Du hier etwas ganz Entscheidendes. Die Rationalen Zahlen größer 1 und damit oberhalb Deiner Schranke sind genauso Rationale Zahlen wie die Rationalen Zahlen unterhalb Deiner Schranke.

Wie soll es möglich sein, daß man den Ordinalzahlen unterhalb dieser Schranke $\omega$ Natürliche Zahlen zuordnen kann, aber oberhalb davon nicht mehr? DAS genau möchte ich von Dir erklärt haben. Und natürlich, was genau überhaupt Ordinalzahlen im Sinne der Mathematik sind, wenn nicht die Zahlen, die eine Reihenfolge oder eben eine Ordnung angeben.--Wikilaser (Diskussion) 19:06, 28. Sep. 2017 (CEST)

Vielleicht hilft [10] für den Erwerb von ein paar richtigungsführenden Intuitionen. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:59, 29. Sep. 2017 (CEST)

Entschuldige, dass ich dich falsch gelesen habe, aber dein Beispiel stimmte auch nicht. Es würde stimmen mit dem halboffenen Intervall $[0,1)$ in den rationalen Zahlen, aber nicht wenn man die 1 mit hinein nimmt.

Zum „unter 0“: Du hast von natürlichen Zahlen unter 0 geschrieben und die gibt es nicht – dass sie sich auf gewisse Weise auf natürliche Zahlen abbilden lassen, ändert daran nichts. Du musst dir mal angewöhnen, dass man nicht überall in seine Argumente Bijektionen einfügen darf, wenn es einem passt.

„daß man den Ordinalzahlen unterhalb dieser Schranke $\omega$ Natürliche Zahlen zuordnen kann, aber oberhalb davon nicht mehr“: Davon habe ich nie gesprochen (inwiefern es stimmt oder nicht stimmt, darauf gehe ich nicht ein) – aber die Ordinalzahlen unterhalb von $\omega$ sind die natürlichen Zahlen, diejenigen ab $\omega$ sind keine natürlichen Zahlen. Die ersten drei Ordinalzahlen sind 0, 1 und 2. Ganz einfach ists eigentlich.

„es sei denn, man akzeptiert die Gleichung 0,(Periode)9 = 1“ – nein, $0,{\bar {9}}=1$, das ändert aber nichts, weil eben $1$ kein Element von $A$ ist.

„solltest Du erst einmal unmißverständlich darstellen, wie diese Ordnung aufgebaut ist“ – ich habe die Ordnung auf einem Teil der Ordinalzahlen, nämlich auf $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ unmissverständlich und korrekt in meinem Beitrag von „13:44, 19. Sep. 2017“ definiert, du bist darauf nie eingegangen. Was die Ordinalzahlen allgemein sind und wie ihre Ordnung aussieht habe ich keine Lust dir zu erklären, es wäre auch zu kompliziert, kauf dir bei Interesse eine Einführung in die Mengenlehre (die Bücher von Deiser und von Ebbinghaus sind beliebt), dann kannst du es Schritt für Schritt lernen (wobei sie nicht mit den Axiomen anfangen, aber das ist vllt. gut), ich bin nicht dein Privatlehrer, denk dran, bevor du sowas schreibst wie „Und natürlich, was genau überhaupt Ordinalzahlen im Sinne der Mathematik sind“. Für unsere Argumente hier reicht es, wenn wir uns nur $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ anschauen.

„zu 3: Nein, es muß hier kein größtes Element geben.“ – es ist sogar ausgeschlossen, dass es eines gibt.

„Bei den Natürlichen Zahlen jedoch gibt es keine solche Schranke, da die Natürlichen Zahlen immer von einer zur nächsten um genau 1 ansteigen. Dadurch wird jede Schranke irgendwann überschritten.“ Nein, ob es eine strikte obere Schranke einer Menge gibt hängt erst einmal davon ab, als Teilmenge welcher anderen Menge wir sie auffassen. Wenn ich $A$ als Teilmenge von $A$ selber oder als Teilmenge von $[0,1)$ auffasse, hat sie keine (strikte) obere Schranke. Wenn ich sie als Teilmenge von $A\cup \{1\}$, von $[0,1]$ oder von $\mathbb {Q}$ auffasse, dann schon. Genauso ist es bei den natürlichen Zahlen: Wenn ich sie als Teilmenge von sich selber oder von $\mathbb {Q}$ auffasse, gibt es keine (strikte) obere Schranke, fasse ich sie dagegen als Teilmenge von $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ auf (oder zum Beispiel auch von den erweiterten reelen Zahlen, die außer $\mathbb {R}$ noch $+\infty$ und $-\infty$ enthalten), dann schon. Aus dem ‚Ansteigen um genau 1‘ können wir, wenn wir nicht weitere Einschränkungen machen, keine Schlüsse ziehen – es geht ja auch nur um die Reihenfolge, nicht um die Größe der Abstände, die können also von sich aus gar keinen Unterschied machen. --Chricho ¹ ² ³ 18:30, 29. Sep. 2017 (CEST)

Zu "Du hast von natürlichen Zahlen unter 0 geschrieben" ist zu sagen: Nein, das habe ich nicht. Ich schrieb davon, daß Cantor in seinem Diagonalargument auch den Rationalen Zahlen unter 0 Natürliche Zahlen zugeordnet hat. Deshalb nochmal: Lies bitte genauer!

Zu "ich habe die Ordnung auf einem Teil der Ordinalzahlen, nämlich auf $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ unmissverständlich und korrekt in meinem Beitrag von „13:44, 19. Sep. 2017“ definiert" ist zu sagen: Hättest Du es unmißverständlich definiert, hätten wir jetzt keine Diskussion darüber bzw. würde ich nicht nachfragen.

Zu "Nein, ob es eine strikte obere Schranke einer Menge gibt hängt erst einmal davon ab, als Teilmenge welcher anderen Menge wir sie auffassen." ist zu sagen: Um die Natürlichen Zahlen als Teilmenge einer anderen (ggf. höheren) Menge auffassen zu können, muß man erst einmal zeigen, daß es ein solches $\omega$ überhaupt gibt, das "hinter" den Natürlichen Zahlen liegen soll. Bislang hast Du hier nur die Behauptung aufgestellt, daß es ein solches $\omega$ gäbe, jedoch nicht gezeigt, wo genau es in Bezug auf die Natürlichen Zahlen liegt. Einfach zu behaupten, es läge "dahinter", reicht mir nicht. Ich will es ganz konkret wissen, nicht nur irgendwie angedeutet bekommen. Ist das jetzt deutlich genug?

Ich fordere Dich deshalb jetzt noch einmal auf, zunächst die ersten drei Ordinalzahlen zu nennen und zu begründen, was sie von Natürlichen Zahlen unterscheidet. Wenn Du dies nicht beantwortest, kommen wir nicht weiter.--Wikilaser (Diskussion) 02:44, 1. Okt. 2017 (CEST)

1. „Daraus folgere ich, daß es trotz der Unendlichkeit der Menge Y und der Tatsache, daß es in Y keine größte Rationale Zahl gibt, die kleiner als 1 ist, oberhalb (oder eben "dahinter") von 1 und unterhalb von 0 (oder eben "davor") noch weitere Natürliche Zahlen gibt, um die Bijektion mit X zu bilden.“ Das hast du geschrieben, da steht, dass du folgerst, dass „es […] unterhalb von 0 […] noch weitere Natürliche Zahlen gibt“ – der Satz ist für mich syntaktisch nicht anders zu verstehen und zeugt von großer Verwirrung.
2. Du hättest ja mal nachfragen können, was du an dieser Definition der Ordnung nicht verstehst.
3. Für unsere Zwecke würde es egtl. reichen, dass $\omega$ irgendetwas ist, was keine natürliche Zahl ist. Aber wenn du darauf beharrst, nehmen wir die Standarddefinition: $\omega =\mathbb {N}$.
4. Siehe oben: „Die ersten drei Ordinalzahlen sind 0, 1 und 2.“ (ich lese offenbar genauer als du) Sie sind natürliche Zahlen (aber eben nicht alle Ordinalzahlen sind natürliche Zahlen, $\omega$ zum Beispiel nicht). --Chricho ¹ ² ³ 04:21, 1. Okt. 2017 (CEST)

zu 1.) Ok, so habe ich es geschrieben. Gemeint war, daß auch für die Rationalen Zahlen unterhalb von 0 und oberhalb von 1 genügend Natürliche Zahlen für Cantors Bijektion zur Verfügung stehen.

zu 2.) Ich habe nachgefragt, was ich bezüglich der Ordnung genau wissen wollte. Leider hast Du meine Frage noch immer nicht beantwortet. Das kommt gleich zu 3.) und 4.).

zu 3.) und 4.) Jetzt wird es also endlich konkret. Du bestätigst damit, daß die ersten drei Ordinalzahlen mit den ersten drei Natürlichen Zahlen exakt übereinstimmen. Ich hoffe, Du stimmst auch zu, daß die ersten 1 Mio. Ordinalzahlen mit den ersten 1 Mio. Natürlichen Zahlen exakt übereinstimmen. Nun kannst Du nicht mehr aus, denn jede weitere Ordinalzahl stimmt auch mit jeder weiteren Natürlichen Zahl überein. Sollte es also dieses $\omega$ tatsächlich geben, müßte zu irgendeiner Ordinalzahl plötzlich keine Natürliche Zahl als Pendant mehr zur Verfügung stehen. Ich will von Dir wissen, welche das genau sein soll. Die Frage ist also, auf welche Weise ganz genau dieses $\omega$ zustandekommen soll, wenn laut Peanos Axiom 2 jede Natürliche Zahl n einen Nachfolger n' hat, der ebenfalls eine Natürliche Zahl ist. DAS ganz genau muß Du mir erklären, nicht dauernd behaupten, dieses $\omega$ läge "dahinter" und ich müsse mir das irgendwie vorstellen. Ich bin gespannt.--Wikilaser (Diskussion) 23:38, 1. Okt. 2017 (CEST)

Ich habe das $\omega$ definiert, ich habe die Ordnung definiert, genauer geht es nicht.

„müßte zu irgendeiner Ordinalzahl plötzlich keine Natürliche Zahl als Pendant mehr zur Verfügung stehen. Ich will von Dir wissen, welche das genau sein soll“. Es ist $\omega$, das ist nämlich keine natürliche Zahl.

Schritt 1: $\omega =\mathbb {N}$ ist keine natürliche Zahl – einverstanden?

Schritt 2: Meine Definition der Ordnung auf $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ stimmt für natürliche Zahlen mit der gewöhnlichen Ordnung überein.

Schritt 3: Gemäß meiner Definition der Ordnung auf $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ ist $\omega$ größer als jede natürliche Zahl.

--Chricho ¹ ² ³ 08:15, 2. Okt. 2017 (CEST)

Was ich erkennen kann: Deine Definition erfüllt lediglich den Status einer Behauptung, nicht jedoch den Status einer Tatsache.

Zu Schritt 1: Wenn wir ausschließlich über $\omega$ reden, einverstanden, es soll ja eine Ordinalzahl sein. Wenn wir über $\omega =\mathbb {N}$ reden, nicht einverstanden, da es so etwas wie "alle Natürlichen Zahlen" nicht geben kann, da es bekanntlich (und das hast Du ja bestätigt) keine größte Natürliche Zahl gibt und somit die Menge $\mathbb {N}$ niemals vollständig sein oder als vollständig angesehen werden kann.

Zu Schritt 2: Einverstanden, da die Ordinalzahlen sich genauso entwickeln wie die Natürlichen Zahlen.

Zu Schritt 3: Wenn $\omega$ größer als jede Natürliche Zahl sein soll, dann kann $\omega$ keine feste Position in den Ordinalzahlen einnehmen und muß sich immer weiter von 0 entfernen. Somit muß $\omega$ in sich die Eigenschaft haben, unaufhörlich immer größer zu werden. Und damit steht seine Existenz an sich in Frage, da nun einmal auch die Natürlichen Zahlen in der Reihe (ich verwende jetzt mal dieses Wort) 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... immer größer werden. Wenn $\omega$ eine Ordinalzahl sein soll, aber größer als jede Natürliche Zahl sein soll, dann muß es da irgendwo einen Sprung in den Ordinalzahlen hin zu diesem ominösen $\omega$ geben. Dann jedoch wäre die Frage, welche Ordinalzahl eigentlich die letzte vor diesem $\omega$ ist. Diese Frage stellt sich davon abgesehen ja sowieso. Also beantworte sie bitte endlich.--Wikilaser (Diskussion) 19:44, 2. Okt. 2017 (CEST)

Ich habe keine Lust mehr, dir zu antworten. Definitionen sind Definitionen, bloße Benennungen, keine Behauptungen, man akzeptiert sie von seinem Gegenüber oder kann feststellen, dass sie unpräzise, mehrdeutig oder unüblich ist, aber nach den Maßstäben einer Tatsachenbehauptung ist sie nicht zu beurteilen. Mengen sind in der Mathematik Objekte wie andere auch, die man wiederum in Mengen hineinpacken kann. Dass vor einem „Sprung“ kein letztes Element sein muss, haben wir doch auch schon ausführlich diskutiert.

Mir hilft manchmal, lange und heiß zu duschen und die Gedanken dabei schweifen zu lassen, wenn ich mich in etwas verrannt habe, die Gedanken lösen sich, man denkt an anderes, manches erscheint nicht mehr so wichtig – vllt. hast du ja eine ähnliche persönliche Strategie?

Du bist derzeit nicht gewillt oder in einer anderen Verfassung, die es dir unmöglich macht, dich auf ein dir fremdes Gedankengebäude, eine fremde Sprache und Begriffswelt einzulassen, Vokabular und Regeln zu übernehmen, dort wo du etwas nicht durchdringst, dies offen auszusprechen, nachzufragen, statt Gegenthesen mit ganz anderen Begriffen aufzustellen. Ich mach dir außer der Dusche noch einen systematischeren Vorschlag: Versuch einfach mal zu glauben, dass alles, was Daniel und ich sagen, von ganz eventuell allerkleinsten Ungenauigkeiten abgesehen, in sich kohärent und ohne Widersprüche ist, lies mit dieser Einstellung alles nochmal, überspringe Dinge, die dir gerade zu unübersichtlich, kompliziert oder ganz und gar unauflösbar erscheinen, doch versuche ansonsten die Konsequenzen zu ziehen, die sich dafür ergeben, wie du unsere Aussagen verstehen musst, damit sie – und zwar nach unseren Definitionen, unseren Begriffen und unseren Regeln – alle zusammen passen. Du wirst wohl mitunter auch von deinem Begriffsverständnis und deiner Logik ausgehen müssen, versuche sie jedoch unterzuordnen, sie anzupassen an das, was wir geschrieben haben, und niemals umgekehrt, du hast dafür viele Handreichungen bekommen, bei denen wir gesagt haben, was an deinem Verständnis aus unserer Sicht nicht stimmt. Das ist ein Verfahren der Unterwerfung unter eine Autorität unserer Aussagen, keine Frage (unter anderen Umständen würde Vertrauen ausreichen, aber das müsste noch von innen kommen, deshalb sage ich Unterwerfung als Radikalisierung von Vertrauen). Die Unterwerfung ist aber nur temporär, du kannst sie einfach mal ausprobieren, und dann wieder sein lassen, sie schadet nicht. Mit kritiklosem Auswendiglernen hat das auch nicht primär zu tun: Wenn du es richtig machst, wird es nämlich zu einem Punkt kommen, an dem du nicht mehr bloß wiederholen kannst, was wir gesagt haben, sondern einen inneren Zusammenhang dessen erkennst. Mit dem ersten solchen Zusammenhang, den du zuvor nicht hast sehen können, wäre der erste Schritt gemacht, von wo aus du dann unsere Aussagen verstehen könntest. Dann könntest du sie auch für dich übernehmen, eigene Ansichten revidieren, oder auch unsere Aussagen kritisieren, oder sei es auch sie beiseite legen, sie nicht weiter verfolgen, aber in ihnen nicht mehr bloß Widersinn sehen. Ich denke, diese temporäre Unterwerfung könnte eine Art des Lernens sein, mit der du über deine bisherige Art zu lernen, die hier mit Verlaub zu sehr wenig Fortschritten geführt hat, hinauskommen könntest.

Ansonsten kauf dir ein Buch (zum Beispiel Ebbinghaus über Mengenlehre mit axiomatischem Ansatz) und brüte darüber. Ein gutes Buch, das in beschränktem Rahmen, etwa von Peano-Axiomen, in die axiomatische Methode einführt, kenne ich leider nicht. Das ist mein letztes Wort, was die Diskussion um das $\omega$ angeht. Wenn du noch eine klare Frage zu den Peano-Axiomen (siehe meine Hinweise, wie solche Fragen aussehen sollten, weiter oben), kannst du sie gerne stellen. Herzliche Grüße --Chricho ¹ ² ³ 23:19, 2. Okt. 2017 (CEST)

Dein Beitrag offenbart den Unterschied zwischen unseren Herangehensweisen an dieses Thema. Während ich versuche, mir von diesem $\omega$ ein möglichst konkretes Bild zu machen, um überhaupt seine Existenz herausfinden zu können, gehst Du bereits von der tatsächlichen Existenz dieses $\omega$ aus und verlangst von mir, dies ebenfalls zu tun. Wie sollen wir da auf einen (ggf. am Ende Deinen) gemeinsamen Nenner kommen?

Vielleicht wird mein Vorstellungsproblem zu diesem $\omega$ deutlicher, wenn Du einmal versuchst, Dir vorzustellen, wo dieses $\omega$ auf der Zahlengeraden liegen soll? Ich versuche einmal, die Zahlengerade als Gesamtübersicht darzustellen:

-----|-------------------------|-------------------------|-------------------------|-------------------------|-----

-unendlich ......... 1/2*-unendlich ................. 0 ............... 1/2*+unendlich ........... +unendlich

Hierbei ist weder -unendlich noch +unendlich eine konkrete Zahl.

Wenn nun dieses $\omega$ rechts von +unendlich stünde, dann wäre es unendlich weit von jeder endlichen Natürlichen Zahl entfernt, weil die endlichen Natürlichen Zahlen in dieser Übersicht über die Zahlengerade auf einen unendlich kleinen Bereich rechts von der 0 zusammengedrängt wären. Also kann dieses $\omega$ nicht rechts von +unendlich stehen. Da 1/2*+unendlich immer noch in seiner Eigenschaft unendlich ist, kann $\omega$ auch nicht rechts von 1/2*+unendlich stehen. Wenn dieses $\omega$ überhaupt existiert, dann muß es rechts von jeder endlichen Natürlichen Zahl stehen, aber trotzdem unendlich nah an der 0. Da diese Gesamtübersicht nun aber nicht genau genug ist, um sehen zu können, wo genau dieses $\omega$ nun steht, müßte man also diese Darstellung gewissermaßen unter der Lupe betrachten und die Umgebung der 0 genauer untersuchen. Und hierbei stellen sich dann eben genau die Fragen, die ich bereits stellte: Welche Natürliche Zahl ist die letzte vor diesem $\omega$ bzw. welche Zahl ganz genau ist dieses $\omega$ selbst? Und warum soll kein Nachfolger dieser letzten Natürliche Zahl vor diesem $\omega$ dieses $\omega$ übertreffen können?

Darüber hinaus vermute ich, daß es auch unendlich große Natürliche Zahlen geben müßte, gerade weil es unendlich viele Natürliche Zahlen gibt. Es erscheint mir wie ein Widerspruch in sich, von unendlich vielen lediglich endlich großen Natürlichen Zahlen zu sprechen. (Mir fällt gerade auf, daß wir dieses grundsätzliche Thema noch gar nicht angeschnitten haben.)

Aus eben diesen Fragen heaus ergibt sich für mich mein grundsätzlicher Zweifel an der Existenz dieses $\omega$. Ich hoffe, Du verstehst nun, warum ich so hartnäckig nachbohre.--Wikilaser (Diskussion) 14:43, 3. Okt. 2017 (CEST)

Wie gesagt, ich kommentiere das nicht mehr, deine Herangehensweise ist das Problem, meine Geduld ist am Ende, meine Vorschläge an dich habe ich im letzten Beitrag ausführlich dargelegt. --Chricho ¹ ² ³ 14:55, 3. Okt. 2017 (CEST)

Nicht meine Herangehensweise ist das Problem, sondern Deine Unwilligkeit, mir einen Beweis zu liefern, wo dieses $\omega$ genau liegt. Es heißt doch, daß man in der Mathematik Aussagen beweisen kann. Dann beweise (bzw. widerlege durch Beweis), statt von mir zu fordern, es Dir einfach zu glauben! Es ist das Dümmste, was ein Mensch tun kann: Zu glauben, nur weil irgendjemand irgendeine Autorität für sich in Anspruch nimmt. Es ist mein Recht, Aussagen anzuzweifeln, die ich (noch) nicht verstehe. Erst recht dann, wenn es dafür aus meiner Sicht keinerlei konkreten Anhaltspunkt gibt. Deine Vorschläge sind keine Beweise, sondern nur wiederholte Behauptungen. Deshalb nochmal: Beweise es oder halte Dich aus der Diskussion, zu der Daniel5KO mich eingeladen hatte, heraus!--Wikilaser (Diskussion) 03:09, 4. Okt. 2017 (CEST)

Das immer weitere Anzweifeln von Aussagen ist zwar an sich eine ehrenwerte Sache, führt hier allerdings zu gar nichts, weil du die Aussagen oft nicht im Ansatz verstehst, genauer: Du verstehst insbesondere auch die Beziehung von Aussagen, Beweisen, Axiomen, Annahmen, Definitionen, Namen, Begriffen nicht. Einer Forderung zu folgen ist nicht per se Verlust an Freiheit, vor allem nicht, wenn man jederzeit wieder damit aufhören kann. Du würdest nicht im Mindesten dazu gezwungen, etwas aufzugeben, aber dir würde sich etwas neues eröffnen. Aber bitte sehr, ich möchte nicht weiter deine Diskussion mit Daniel5Ko stören. --Chricho ¹ ² ³ 14:36, 4. Okt. 2017 (CEST)

Solange Du meine Argumente einfach beiseiteschiebst und meine Fragen nicht beantwortest, kann kein Verständnis entstehen. Ich warf zum Beispiel ein, daß die Rationalen Zahlen, die Du in Deinem Beispiel nanntest, sich in immer kleineren Schritten der 1 annähern, während sich die Natürlichen Zahlen in stets gleichmäßigen Schritten gegen unendlich entwickeln und damit jede Schranke überschreiten können, ja sogar müssen. Es ist meines Erachtens nach sinnlos, sich auf etwas Neues einzulassen, wenn die Grundlage dieses Neuen (hier konkret dieses ominöse $\omega$) nicht zweifelsfrei erklärt wurde. Und hier drückst Du Dich ja beharrlich um eine konkrete Antwort herum, bzw. hast Du bereits zum Ausdruck gebracht, daß Du es nicht konkreter sagen kannst. Für mich eine Art Eingeständnis, daß es sich bei diesem ominösen $\omega$ womöglich doch nur um einen Wunschtraum handeln könnte.--Wikilaser (Diskussion) 23:59, 6. Okt. 2017 (CEST)

Überschrift

Ich entrücke mal und stelle folgende Frage: @Wikilaser: Was hast du bisher gelernt, und wie soll es weitergehen? --Daniel5Ko (Diskussion) 22:39, 5. Okt. 2017 (CEST)

Bezüglich der Peano-Axiome habe ich gelernt, daß sie lediglich eine allgemeine Struktur beschreiben, die (mehr oder weniger zufällig) auch auf die Menge der Natürlichen Zahlen zutrifft, ohne jedoch eindeutig genau diese und nur diese Menge zu definieren.

Inzwischen konnte ich auch nachvollziehen, wie die Wirkungsweise des 4. Axioms funktioniert. Nur wundere ich mich nach wie vor darüber, wozu es sich Peano derart umständlich gemacht hat. Eine Nachfolgeregel n' = n + 1 wäre so simpel gewesen, und da nun einmal die 0 selbst abstrakt ist und sie Verwendung findet, sehe ich keinen Grund, die 1 als abstraktes Objekt nicht ebenfalls zu verwenden.

Nach wie vor wundere ich mich darüber, wieso die ersten drei (oder meinetwegen auch vier) Axiome nicht zur vollständigen Induktion ausreichen sollen. Schließlich gibt es in der Menge der Natürlichen Zahlen kein größtes Element, folglich kann man diese angeblich vollständige Induktion sowieso nie abschließen, sprich die Menge der Natürlichen Zahlen kann meines Erachtens nach niemals als vollständig angesehen werden.

Was ich nicht verstehe, wieso man prädikatenlogisch eine Nachfolgerregel aufstellt, ohne zugleich auch die (meiner Meinung nach zwingend dazugehörende) Vorgängerregel aufzustellen. Das halte ich für ein Versäumnis im Rahmen der Prädikatenlogik, welches die Prädikatenlogik unlogisch erscheinen läßt.

Für nach wie vor fragwürdig halte ich die Behauptung, es gäbe tatsächlich dieses ominöse $\omega$. Wenn man nicht ganz konkret die Umgebung dieses $\omega$ beschreiben kann und dessen genaue Position auf der Zahlengeraden angeben kann, dann kann ich die Definition dieses $\omega$ nur für eine Wunschvorstellung halten, nicht jedoch für eine tatsächlich existierende Schranke, hinter der die Ordinalzahlen weitergehen sollen, während die Natürlichen Zahlen vorher aufhören müßten. Außerdem müßte dann ja der Bruch zwischen den Ordinalzahlen und den Natürlichen Zahlen nachvollziehbar erklärt werden. Dafür sehe ich bislang keinen konkreten Anhaltspunkt.--Wikilaser (Diskussion) 23:45, 6. Okt. 2017 (CEST)

Ich weiß nicht, was du mit "abstraktes Objekt" meinst. Vermutlich liegt hier immer noch ein Missverständnis vor. Die Peano-Axiome sprechen über eine Menge $N$ mit einem ausgezeichneten Element, das 0 genannt wird, und einer Funktion $S\colon N\to N$. Man könnte die natürlichen Zahlen auch leicht anders axiomatisieren, so dass es in etwa in die Richtung geht, die du vorschlägst: Gegenstand ist dann eine Menge $N$ mit ausgezeichneten Elementen $0,1$ und einer Funktion $+\colon N\times N\to N$. Damit dieses $+$ auch tatsächlich die Addition auf den natürlichen Zahlen ist, und damit $0\neq 1$ gilt, reicht es dabei jedoch nicht aus, Peanos Axiome zu kopieren und dabei überall $S(x)$ durch $x+1$ zu ersetzen. Die Beschränkung auf 0 und S ist sparsamer, + und 1 kann man auf ihrer Basis definieren.

Wenn du meinst, Axiome 1 bis 4 reichen aus, beweise doch einfach Axiom 5, wobei du nur Axiome 1 bis 4 annimmst und wirlich sonst nichts. Wenn du ein Tupel $(\mathbb {N} ,0,S)$ hast, das die Peano-Axiome erfüllt (wir gehen mal davon aus, dass es sowas gibt), wird dir das aber nicht gelingen, denn $(\mathbb {N} ,S(0),S)$ erfüllt Axiome 1 bis 4, aber nicht Axiom 5. Würde Axiom 5 mit dem modifizierten Tupel nämlich gelten, könnte man über das Originaltupel beweisen, dass alle Elemente von $\mathbb {N}$ ungleich 0 sind.

Wenn man eine Nachfolgerfunktion (und mithin -Relation) hat, kann man auch eine dazugehörige Vorgängerrelation definieren. Für die Axiomatisierung der natürlichen Zahlen wird die aber nicht benötigt.

$\omega$ ist irgendein Objekt, das man von Elementen von $\mathbb {N}$ unterscheiden kann, und per Dekret (also Definition der $<$-Relation auf $\mathbb {N} \cup \{\omega \})$ größer ist als alle Elemente von $\mathbb {N}$. Es hat keinen direkten Vorgänger, aber das ist nicht schlimm, da niemand sagt, dass es sich bei $\omega$ um eine natürliche Zahl ungleich 0 handelt.

Vielleicht hilft es, sich klarzumachen, dass man auch auf $\mathbb {N}$ eine Ordnung definieren kann, nach der erst unendlich viele Elemente kommen, und danach weitere:

$n\sqsubset m:\Leftrightarrow (n{\text{ gerade}}\land m{\text{ ungerade}})\lor (n,m{\text{ ungerade}}\land n<m)\lor (n,m{\text{ gerade}}\land n<m)$.

Die natürlichen Zahlen, in der durch $\sqsubset$ vorgegebenen Reihenfolge, wären

$0,2,4,6,...1,3,5,...$

Man kann sehen: natürlich kommt man durch wiederholte Addition von 2 niemals auf 1. Die 1 liegt aber trotzdem per Definition weiter hinten als die geraden Zahlen.

--Daniel5Ko (Diskussion) 12:57, 7. Okt. 2017 (CEST)

Dein Beispiel $(\mathbb {N} ,S(0),S)$ erfüllt Axiom 3 schon nicht. Beste Grüße --Chricho ¹ ² ³ 15:01, 7. Okt. 2017 (CEST)

Stimmt, ist mir auch gerade aufgefallen. Also nehmen wir $(\mathbb {N} ,0,S\circ S)$. Damit könnte man, wenn es Axiom 5 erfüllen würde, zeigen, dass alle natürlichen Zahlen gerade sind. --Daniel5Ko (Diskussion) 16:23, 7. Okt. 2017 (CEST)

Mit "abstraktes Objekt" meine ich dasselbe wie Du mit "ausgezeichnetes Element". Da steckt auch noch keine Aussage drin, was dieses Element 0 eigentlich sein soll. Deshalb ist die 0 ebenfalls abstrakt.

Ist die Induktion so, wie es im Artikel über die Induktion beschrieben wird, nämlich das Anstoßen eines Vorgangs, der dann automatisch fortgesetzt wird (wie bei den Dominosteinen)? Falls ja, dann wird dieser Anstoß mit Axiom 2 vollzogen, so daß es Axiom 5 nicht mehr braucht. Ich brauche also Axiom 5 gar nicht zu beweisen.

Was Deine Umsortierung der Natürlichen Zahlen in gerade und ungerade Zahlen angeht, so machst Du im Grunde dasselbe wie bei der Frage, wo denn die Hälfte der Natürlichen Zahlen sei. Antwort: Nirgendwo! Es gibt kein Ende der Natürlichen Zahlen, also auch kein dahinter. Und folglich auch keine Hälfte der Natürlichen Zahlen. Ich denke daher nach wie vor, dieses $\omega$ ist eine Wunschvorstellung, die jedoch in der Realität nicht existieren kann. So wie beim Paradoxon des Barbiers von Sevilla: Man kann die Definition dieses Barbiers zwar hinschreiben, aber man kann sie nicht in die Realität umsetzen, weil in der Definition Bedingungen enthalten sind, die einander widersprechen.

Wenn nach Deiner Aussage dieses $\omega$ keinen direkten Vorgänger hat und es größer ist als jede Natürliche Zahl, dann muß es irgendwo eine Unterbrechung in den Ordinalzahlen geben, denn dieses $\omega$ ist doch selbst auch eine Ordinalzahl (richtig?). Und ich will konkret wissen, nach welcher Ordinalzahl diese Unterbrechung bzw. dieses $\omega$ kommt. Ist das so schwer zu verstehen, was ich meine?--Wikilaser (Diskussion) 09:20, 8. Okt. 2017 (CEST)

Induktion ist das, was Axiom 5 sagt (wobei man heute häufig für das $X$ nicht beliebige Mengen zulässt, sondern solche mit $X\subset \mathbb {N}$)

Ja, $\omega$ ist eine Ordinalzahl, und zwar die kleinste oberhalb aller natürlichen Zahlen. Man erreicht sie nicht durch Nachfolgerbildung, aber das ist kein Beinbruch.

Noch ein Beispiel einer Ordnung, wo erst unendlich viele Elemente kommen, und dann weitere: Die Menge W aller endlichen Worte über dem lateinischen Alphabet, lexikographisch angeordnet. Dort kommt erst das leere Wort, dann kommen alle, die mit A anfangen (das sind schon unendlich viele; und man erhält sie auch, indem man allen Worten aus W vorn ein A anhängt), danach kommen die, die mit B anfangen, etc.

--Daniel5Ko (Diskussion) 19:15, 8. Okt. 2017 (CEST)

"Induktion ist das, was Axiom 5 sagt" Was für eine unglaublich aussagekräftige Antwort! Ich staune! Geht es darum, einen unendlichen Vorgang anzustoßen oder nicht?

Wenn $\omega$ die kleinste Ordinalzahl oberhalb aller Natürlichen Zahlen ist, dann müßte unmittelbar vor $\omega$ noch eine Natürliche Zahl stehen. Das Dumme ist nur, daß die Addition von 1 zu eben dieser Natürlichen Zahl dann ja dieses $\omega$ ergäbe, so daß diese Ordinalzahl nicht die kleinste Ordinalzahl oberhalb der Natürlichen Zahlen sein kann. Also kann unmittelbar vor $\omega$ keine Natürliche Zahl stehen. Wenn also unmittelbar vor $\omega$ noch eine andere Ordinalzahl steht, dann müßte diese Ordinalzahl die kleinste Ordinalzahl oberhalb der Natürlichen Zahlen sein, und nicht $\omega$. Und wenn unmittelbar vor $\omega$ weder eine Natürliche noch eine Ordinalzahl steht, dann gibt es eine Lücke in den Ordinalzahlen. Verstehst Du dieses Paradoxon? Das ist, wie ich schrieb, genauso wie mit dem Barbier von Sevilla, dessen Definition von keinem Barbier erfüllt werden kann.

Was verstehst Du unter "endliche Worte über dem lateinischen Alphabet"? Worte, die man beispielsweise im Duden findet? Ich bezweifle, daß es unendlich viele solche Worte mit Anfangsbuchstaben A gibt.--Wikilaser (Diskussion) 22:51, 8. Okt. 2017 (CEST)

Vollständige Induktion ist: Um $\forall n\in \mathbb {N} .P(n)$ zu zeigen für ein Prädikat P auf den natürlichen Zahlen, zeigt man $P(0)$ und $\forall n\in \mathbb {N} .\ P(n)\Rightarrow P(n+1)$. Axiom 5 formuliert (mit Mengen statt Prädikaten) die Aussage, dass dieses Vorgehen auch tatsächlich reicht.

"dann müßte unmittelbar vor $\omega$ noch eine Natürliche Zahl stehen": Beweise das doch. Wenn dir das gelingt, hast du gezeigt, dass $\omega$ in der Tat nicht existiert. Bisher behauptest du es einfach nur.

Ich meine **alle** endlichen Worte, nicht nur die, die man im Duden findet. Wenn man immer von einem Wort zum in der Ordnung unmittelbar nächstgrößeren geht (das ist das, das durch Anhängen eines A entsteht), erhält man die Folge $\varepsilon ,A,AA,AAA,AAAA...$. Das Wort AB ist auch in der Menge, genauso wie BUBE und ZEBRA. Die kommen aber alle viel weiter hinten, und man erreicht sie nicht von $\varepsilon$ aus durch Anhängen von As.

Wählt man eine andere Reihenfolge, kommt man durch eine Nachfolgerbildung an allen Worten vorbei: Nämlich sortieren wir die Worte zuerst nach Länge, dann lexikographisch.

$\varepsilon ,A,B,...,Z,AA,AB,AC,...,AZ,BA,BB,...,BZ,....,ZZ,AAA,...$

--Daniel5Ko (Diskussion) 09:35, 9. Okt. 2017 (CEST)

Wenn Du Buchstabenkombinationen meinst, warum sagst Du dann "Wörter"? Was Du in Wirklichkeit meinst, ist ein Stellenwertsystem mit der Basis 26, wobei keine Ziffern enthalten sind, sondern nur Buchstaben. Einverstanden?

Wenn man diese "Wörter" in einer logisch sinnvollen Reihenfolge anordnen kann, dann kommt man, wie Du selbst ja auch zugibst, an allen Wörtern vorbei. Daher halte ich es für unlogisch, zu behaupten, daß man in einer anderen Reihenfolge nicht an allen "Wörtern" vorbeikäme. Natürlich kommt man auch dann an allen "Wörtern" vorbei, nur bräuchte man dazu eben unendlich lange, wenn man in eben dieser Reihenfolge vorginge, und das ist für Menschen, die nur über eine endliche Lebenszeit verfügen, eben verdammt schwer vorstellbar. Die Funktion, eine solche Reihenfolge zu erstellen, heißt hierbei nicht "Nachfolgerbildung", sondern "Einfügen". Ich sehe also kein Problem.

Warum soll ich beweisen, daß vor $\omega$ eine Natürliche Zahl steht? Ich beschrieb lediglich die unterschiedlichen Möglichkeiten, wie es sein könnte, und zeigte für jeden der Fälle, daß dieses $\omega$ in der Realität gar nicht existieren kann, weil keiner dieser Fälle ein solches $\omega$ hergibt.--Wikilaser (Diskussion) 23:08, 9. Okt. 2017 (CEST)

Es ist üblich, Listen auch als Wörter zu bezeichnen. "Stellenwertsystem zur Basis 26" würde ich nicht sagen, weil keine Interpretation als Zahl vorgesehen ist (was man aber natürlich trotzdem machen kann).

Ich habe nicht gesehen, dass du die Möglichkeit behandelst, dass unmittelbar vor $\omega$ keine natürliche Zahl steht. Du sagst nur ständig, dass es unmittelbar vor Omega diese ominöse Zahl geben muss, das aber nicht sein kann, weil diese ja dann die größte natürliche Zahl wäre, welche es nicht gibt.

--Daniel5Ko (Diskussion) 09:18, 10. Okt. 2017 (CEST)

Ich schrieb: "Und wenn unmittelbar vor $\omega$ weder eine Natürliche noch eine Ordinalzahl steht, dann gibt es eine Lücke in den Ordinalzahlen."

Wenn die Ordinalzahlen genauso wie die Natürlichen Zahlen mit 0, 1, 2, 3, ... beginnen und unendlich weitergehen, aber unmittelbar vor diesem $\omega$ keine Ordinalzahl steht, zugleich aber dieses $\omega$ eine Ordinalzahl sein soll, nach der es mit $\omega$ + 1, $\omega$ + 2, $\omega$ + 3, ... weitergehen soll, dann gibt es eben diese Lücke in den Ordinalzahlen. Wie erklärst Du diese Lücke denn?--Wikilaser (Diskussion) 15:39, 10. Okt. 2017 (CEST)

Ich sehe keine Lücke. Eine Lücke ist für mich ein Ort, wo etwas hingehört, aber nichts ist. --Daniel5Ko (Diskussion) 16:38, 10. Okt. 2017 (CEST)

Was eine Lücke ist, sehen wir also genauso. Aber die Lücke, die Du nicht siehst (oder nicht sehen willst), wäre in dem beschriebenen Fall eindeutig da, denn:

Du hast zugestimmt, daß die Ordinalzahlen mit 0, 1, 2, 3, .... beginnen. Daraus entnehme ich, daß sie immer so weitergehen, also jede weitere Ordinalzahl einen direkten Vorgänger haben müßte.

Nun schreibst Du jedoch auch: " $\omega$ ist irgendein Objekt, das ... größer ist als alle Elemente von $\mathbb {N}$. Es hat keinen direkten Vorgänger, ..."

Nehmen wir mal fiktiv an, dieses $\omega$ wäre bereits bei der 5. Dann wäre die Reihe nach Deinen zitierten Angaben also 0, 1, 2, 3, _, $\omega$, ... Einerseits müßte die 4 also fehlen, weil $\omega$ ja keinen direkten Vorgänger haben soll, andererseits müßte die aber 4 vorhanden sein, weil sie nach der 3 kommen müßte. Das widerspricht sich. Also kann es dieses $\omega$ nicht in dieser Form geben.--Wikilaser (Diskussion) 23:41, 10. Okt. 2017 (CEST)

Die Ordinalzahlen beginnen mit 0,1,2,3..., aber es wird nicht gesagt, dass man alle Ordinalzahlen von der 0 aus mithilfe der Nachfolgerbildung erhält. Wie stellst du dir vor, dass $\omega$ "bei der 5" sein soll? Was soll das heißen? Die Hinzunahme von $\omega$ bewirkt nicht, dass es plötzlich nur noch endlich viele natürliche Zahlen gibt. --Daniel5Ko (Diskussion) 09:11, 11. Okt. 2017 (CEST)

Dieses $\omega$ soll nicht bei 5 liegen und tut es auch nicht. Ich schrieb, daß Du dir das mal fiktiv vorstellen sollst, um dann konkret zeigen zu können, welcher Widerspruch in der Formulierung steckt, daß dieses $\omega$ die kleinste Ordinalzahl sein solle, die größer als jede Natürliche Zahl wäre.

Wenn die Ordinalzahlen nicht von 0 beginnend unendlich lückenlos durchgehen mittels einer Nachfolgerbildung, dann wären die Ordinalzahlen ab $\omega$ aufsteigend eine eigenständige Menge, die nichts, aber auch gar nichts mit den Ordinalzahlen ab 0 zu tun hätte. Man könnte sie nicht auf der Zahlengeraden positionieren, weil es wie gesagt von 0 beginnend keine größte Natürliche und auch keine größte Ordinazlahl gibt. Folglich ist dieses $\omega$ ein reiner Wunschtraum oder eben ein Paradoxon, dessen Bedingungen man zwar formulieren kann, dessen reale Existenz jedoch nicht möglich ist. Man kann zu einer Menge, die kein größtes Element besitzt, keine Zahl definieren, die größer als jedes Element dieser Menge sein soll. Denn nochmal: Bei den Natürlichen Zahlen und bei den Ordinalzahlen ab 0, 1, 2, 3, ... ist der Abstand zwischen den einzelnen Elementen stets 1, also konstant. Der Vergleich mit den Rationalen Zahlen kleiner 1 (0 0,9 0,99 0,999 ...) trifft es einfach nicht, da bei diesen der Abstand zwischen den einzelnen Elementen immer kleiner wird (nämlich 0,9 0,09 0,009 0,0009 ...), also nicht konstant ist. Bei konstantem Abstand werden die Zahlen immer größer und überschreiten jede beliebig gesetzte Zahl. Wie gesagt, die Formulierung für dieses ominöse $\omega$ ist in meinen Augen ein Wunschtraum, aber es existiert in Wirklichkeit gar nicht.--Wikilaser (Diskussion) 13:23, 11. Okt. 2017 (CEST)

Um Abstände geht es nicht, sondern um Anordnungen. Da $\omega$ eh Nebenthema war, schlage ich vor, du ignorierst es und lernst später, was es mit Ordinalzahlen auf sich hat. Sie sind nicht wirklich wichtig, um die Peano-Axiome zu verstehen. --Daniel5Ko (Diskussion) 15:09, 11. Okt. 2017 (CEST)

Ich finde es nicht unwichtig, in Bezug auf die Peano-Axiome über $\omega$ zu reden. Denn da geht es ja um die sogenannte vollständige Induktion, und im Rahmen dieser soll ja $\omega$ eine entscheidende Rolle spielen, da es die Natürlichen Zahlen nach oben hin gewissermaßen begrenzen soll. Und das ergibt für mich keinen Sinn, da es ja keine größte Natürliche Zahl gibt. Wir müssen also sehr wohl darüber reden, wo genau dieses $\omega$ liegen soll.

In jeder Anordnung gibt es Abstände, also geht es sehr wohl um Abstände, und zwar gerade bei dem "dahinter". Wie groß ist der Abstand zwischen "allen Natürlichen Zahlen" (wie gesagt, so etwas wie alle Natürlichen Zahlen kann es sowieso nicht geben, weil es ja keine größte und damit auch keine letzte gibt) und diesem "größer als alle Natürliche Zahlen" bzw. "dahinter" bzw. $\omega$? Und der muß ja bei genauer Überlegung unendlich groß sein und darf auch nicht durch irgendeinen Nachfolger einer Natürlichen Zahl übertroffen werden. Im Grunde kann dieses $\omega$ niemals kommen, da es ja keine größte Natürliche Zahl gibt. Es kann also, wenn es niemals kommen kann, nirgendwo sein. Also kann es nicht existieren.--Wikilaser (Diskussion) 23:29, 12. Okt. 2017 (CEST)

Omega spielt für die vollständige Induktion keine Rolle. In den Axiomen ist ja keine Rede davon.

Bei Ordnungsrelationen geht es nicht um Abstände, auch eindeutig bestimmte unmittelbare Vorgänger oder Nachfolger muss es nicht geben. Mal ein weiteres Beispiel: betrachte die Menge $\mathbb {N}$, nach Teilbarkeit geordnet (das ist eine Halbordnung): $n\sqsubseteq m:\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb {N} .\ kn=m$.

Bezüglich dieses $\sqsubseteq$ ist 1 das kleinste Element, und 0 das größte. Die minimalen Elemente in $\mathbb {N} \setminus \{1\}$ sind die Primzahlen und es gibt in $\mathbb {N} \setminus \{0\}$ keine maximalen Elemente. Hier kann man sagen, dass die 1 ganz viele unmittelbare Nachfolger hat, und 0 keinen einzigen. 0 hat auch keinen unmittelbaren Vorgänger. Man kann hier auch eine Art Abstand definieren: Wenn $kn=m$, habe $n$ den Abstand $k$ zu $m$. Der Abstand einer Zahl ungleich 0 zu sich selbst wäre 1, also die bzgl. der Ordnung kleinste Zahl. Gut. 0 hat zu sich selbst keinen eindeutigen Abstand, aber 1 kommt als Abstand vor. Der Abstand einer Zahl ungleich 0 zu 0 wäre 0, also die größte Zahl bzgl. der Ordnung. Auch nicht schlecht.

Die unmittelbaren Nachfolger einer Zahl hätten dann aber alle einen anderen Abstand von dieser Zahl. Der Abstand zu unmittelbaren Nachfolgern wäre aber immer eine Primzahl. Es haben auch nicht alle Zahlenpaare überhaupt einen Abstand.

Man kann das letzte Beispiel etwas modifizieren, sodass man etwas erhält, was ordnungsisomorph zu $\mathbb {N}$ bzw. $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ mit der jeweils üblichen Ordnung ist: Für irgendeine Primzahl $p$ sei $P:=\{p^{k}\mid k\in \mathbb {N} \}$. $\sqsubseteq$ sei die Teilbarkeitsordnung auf dieser Menge (bzw. später auf $P\cup \{0\}$). Was die Ordnung angeht, verhält sich $(P,\sqsubseteq )$ "genau so" wie $(\mathbb {N} ,\leq )$, und $(P\cup \{0\},\sqsubseteq )$ wie $(\mathbb {N} \cup \{\omega \},\leq )$. So, wie man von 1 durch wiederholte Multiplikation mit p nicht zu 0 gelangt, gelangt man von 0 nicht durch fortgesetzte Nachfolgerbildung zu $\omega$. Wohl aber ist das kgV von $P$ in $(P\cup \{0\},\sqsubseteq )$ gerade 0 und das Supremum von $\mathbb {N}$ in $(\mathbb {N} \cup \{\omega \},\leq )$ gerade $\omega$. --Daniel5Ko (Diskussion) 11:02, 13. Okt. 2017 (CEST)

Ich merke noch an, dass man jede total geordnete Menge und auch die Ordinalzahlen in die surrealen Zahlen einbetten kann. Dort hat man dann einen einigermaßen intuitiven Abstandsbegriff, der mit dem üblichen auf den natürlichen Zahlen kompatibel ist, allerdings gibt es dann eben auch allerhand verschiedene unendlich große und unendlich kleine Abstände. --Chricho ¹ ² ³ 12:49, 13. Okt. 2017 (CEST)

Lieber Chricho, ich möchte Dir wirklich nicht zu nahe treten, aber wolltest Du Dich nicht heraushalten? Danke!--Wikilaser (Diskussion) 20:55, 13. Okt. 2017 (CEST)

Es war mehr ein Hinweis an Daniel. --Chricho ¹ ² ³ 18:06, 14. Okt. 2017 (CEST)

Lieber Daniel, nun hast Du Dir wieder eine Menge Mühe gemacht und einen Artikel verfasst, den ich als Nicht-Mathematiker mangels ausreichender Kenntnisse der von Dir verwendeten Zeichen wieder nicht lesen und auch nicht verstehen kann. Bitte laß solche verwirrenden Aktionen beiseite oder übersetze sie in allgemein verständliche Sprache, damit sie (auch ggf. im Stillen mitlesende) Nicht-Mathematiker verstehen können.

Zu Deinem Beispiel mit der Aufteilung der Natürlichen Zahlen in gerade und ungerade Zahlen noch eine Anmerkung:

Wenn man zuerst die geraden Natürlichen Zahlen notieren möchte und dann erst die ungeraden Natürlichen Zahlen, und man würde erst dann mit den ungeraden Natürlichen Zahlen beginnen wollen, wenn man wirklich alle (!) geraden Natürlichen Zahlen beisammen hätte, dann könnte man niemals mit den ungeraden Natürlichen Zahlen beginnen. Das liegt übrigens ausschließlich nur an dem menschlichen Unvermögen, in endlicher Zeit unendlich viele Arbeitsschritte vollziehen zu können. Man muß sich das also sowieso ausschließlich theoretisch erarbeiten, richtig?

Also müßte man (wie ich ja weiter oben schon erwähnte) mit der Funktion "Einfügen" arbeiten und zwischen 0 und 1 die 2 einfügen, dann die 3 hinten anfügen, dann zwischen 2 und 1 die 4 einfügen, dann hinter der 3 die 5 anfügen, und so weiter. Hierbei würden der 1 und allen weiteren ungeraden Natürlichen Zahlen neben den parallel dazu aufgestellten Natürlichen Zahlen in ihrer üblichen Reihenfolge bei jedem Schritt jeweils eine immer größere Natürliche Zahl zugeordnet und diese Zuordnung wieder durch eine neue noch größere Zuordnung ersetzt, die auch wieder aufgehoben und ersetzt würde, etc. Stellt man sich nun diesen unendlichen Vorgang vollendet und an der Position zwischen allen geraden und ungeraden Zahlen dieses $\omega$ vor, so müßten alle Natürlichen Zahlen (und für jede gerade und ungerade Natürliche Zahl gibt es nun einmal jeweils genau eine Natürliche Zahl), die den ungeraden Natürlichen Zahlen zugeordnet sind, unendlich groß sein. Zudem müßte auch einem Teil der geraden Natürlichen Zahlen vor $\omega$ unendlich große Natürliche Zahlen zugeordnet sein. Folglich muß es auch unendlich große Natürliche Zahlen geben, und von diesen natürlich dann auch unendlich viele.

Nun aber zu dem Problem, sich dieses $\omega$ an bzw. hinter das eigentlich nicht vorhandene Ende aller Natürlichen Zahlen, also der geraden und der ungeraden Natürlichen Zahlen in ihrer üblichen Reihenfolge vorzustellen: Während man bei der Aufteilung in gerade und ungerade Natürliche Zahlen einen konkreten Anhaltspunkt hat, den es tatsächlich gibt (nämlich den Punkt der Unterteilung, auch wenn sich der auf der Zahlengeraden der parallel dazu aufgestellten Natürlichen Zahlen immer weiter ins Unendliche verschiebt), hat man für dieses "hinter" den Natürlichen Zahlen keinen solchen Anhaltspunkt mehr. Die Frage bleibt also offen: Wo ist dieses $\omega$?--Wikilaser (Diskussion) 20:55, 13. Okt. 2017 (CEST)

$\omega$ bzgl. der üblichen Ordnung befindet sich genau an der Stelle, wo analogerweise die 1 ist in der Ordnung mit "erst die geraden, dann die ungeraden". --Daniel5Ko (Diskussion) 01:44, 14. Okt. 2017 (CEST)

An der Stelle, die Du gerade beschreibst, befindet sich lediglich theoretisch die Hälfte der Natürlichen Zahlen, die es jedoch praktisch gar nicht gibt (bei welcher Natürlichen Zahl soll das denn sein?). Wie gesagt, man kann diese Hälfte dadurch definieren, daß man gerade von ungeraden Natürlichen Zahlen trennt. Aber der Punkt auf der Zahlengeraden, wo diese Trennung faktisch erfolgen soll, kann kein fester Punkt sein, da es keine größte gerade Natürliche Zahl gibt. Wollte man nun dieses $\omega$ ans Ende der Natürlichen Zahlen legen (bzw. hinter dieses Ende), scheitert man genau daran, daß es keine größte Natürliche Zahl gibt. Ein solches Ende gibt es also nicht (genausowenig wie die Hälfte, weil es so etwas wie alle Natürlichen Zahlen nicht gibt), folglich auch keinen Punkt, an dem ein solches $\omega$ liegen könnte. Folglich kann dieses $\omega$ praktisch nicht existieren. Es ist ein Wunschtraum, mehr nicht.--Wikilaser (Diskussion) 23:46, 14. Okt. 2017 (CEST)

Du scheinst zu glauben, dass alle Ordnungsrelationen auf einer Menge identisch sind, oder ähnlich falsches. Tipp: dem ist nicht so.

Ich betone aber gerne nochmals: Zum Verständnis der Peano-Axiome (worum's hier ja eigentlich geht) ist $\omega$ gänzlich unwichtig. Verschiebe das auf später. --Daniel5Ko (Diskussion) 20:55, 17. Okt. 2017 (CEST)

Um dieses $\omega$ geht es im Rahmen der Peano-Axiome wohl deshalb, weil wir über Axiom 5 reden. Es geht darum, daß dieses Axiom die Einbettung der Menge $\mathbb {N}$ in eine höhere Menge beschreibt. Dieses $\omega$ soll (so lese ich es aus Deinen Äußerungen heraus) wohl die Grenze zu dieser höheren Menge markieren. Und die Existenz einer solchen Grenze und damit die Existenz einer solchen höheren Menge bezweifle ich eben, aus den bereits genannten Gründen. Für mich reichen die Natürlichen Zahlen in die Unendlichkeit, sie enden niemals und haben somit keine solche Grenze. Wenn Du von Ordnungsrelationen auf einer Menge sprichst, solltest Du dafür schon Beweise liefern, nicht bloß ständig Deine Behauptung wiederholen, es gäbe dieses $\omega$. Wie gesagt, man kann sprachlich Dinge formulieren, die jedoch praktisch nicht umsetzbar sind (siehe der Barbier von Sevilla). Und dieses $\omega$ scheint mir ein solches Ding (Paradoxon) zu sein.--Wikilaser (Diskussion) 01:03, 18. Okt. 2017 (CEST)

Man kann Axiom 5 auch ohne Verlust auf Teilmengen von $\mathbb {N}$ beschränken:

$\forall X\subseteq \mathbb {N} .\ 0\in X\land (\forall n\in \mathbb {N} .\ n\in X\Rightarrow {\mathsf {S}}(n)\in X)\implies \mathbb {N} \subseteq X$

(Peano Arithmetic, Eintrag im nLab. (englisch)). Du siehst: um $\omega$ geht's nicht.

Aber davon ab: da $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ gleichmächtig zu $\mathbb {N}$ ist, kann man sich aus einem gegebenen $\mathbb {N}$ auch $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ basteln: Man definiere eine Ordnung, die sich auf $\mathbb {N} \setminus \{0\}$ wie die übliche verhält, aber 0 als größtes Element erscheinen lässt. Man nenne anschließend 0 fortan $\omega$, 1 fortan 0, 2 fortan 1 etc.

Alternativ kann man sich auch das von-Neuman-Modell der natürlichen Zahlen anschauen. Da "ist" eine natürliche Zahl gerade die Menge aller ihrer (auch indirekten) Vorgänger. $n<m$ ist dann äquivalent zu $n\in m$, und ${\mathsf {S}}(n)=n\cup \{n\}$. Dies kann man bei weiteren Ordinalzahlen einfach beibehalten.

Mit der Setzung $\omega :=\mathbb {N}$ erhält man $\omega$ als die kleinste Ordinalzahl oberhalb aller Elemente von $\mathbb {N}$. --Daniel5Ko (Diskussion) 09:08, 18. Okt. 2017 (CEST)

Was das von-Neumann-Modell angeht, so kann man natürlich jede Natürliche Zahl so betrachten, daß sie jeden ihrer Vorgänger umfasst. Aber die Beibehaltung dieser Betrachtung für weitere Ordinalzahlen setzt voraus, daß es solche weiteren Ordinalzahlen überhaupt gibt. Dies gilt es ja zu beweisen, nicht einfach nur zu behaupten. Und ich bezweifle wie schon x-mal gesagt die Existenz von Ordinalzahlen, die größer als jede Natürliche Zahl sein sollen.

Verstehe ich Dich richtig, daß Du in Deinem Beispiel die Reihenfolge der Natürlichen Zahlen umkehren willst? Also die 0 ans Ende der Aufzählung verlegst? Falls ja, dann beantworte mir die Frage, mit welcher Natürlichen Zahl dann diese Aufzählung beginnt.

Wenn Du "da $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ gleichmächtig zu $\mathbb {N}$ ist" schreibst, dann ist das erst einmal nur eine Behauptung. Diese setzt die Existenz von $\omega$ einfach voraus, ohne sie jedoch zu beweisen.

Und wozu willst Du das Axiom 5 auf Teilmengen von $\mathbb {N}$ beschränken? Es geht doch um die Axiome in genau der Ausprägung, wie Peano sie formuliert hat, oder nicht?--Wikilaser (Diskussion) 11:37, 18. Okt. 2017 (CEST)

Wenn es die $\mathbb {N}$ "gibt", dann auch $\omega$. Ich habe 2 Konstruktionen vorgestellt. Wenn du das nicht zur Kenntnis nimmst, kann ich dir auch nicht helfen.

In der einen kehre ich nicht die Reihenfolge der natürlichen Zahlen um, sondern definiere die Ordnung so, dass die ersten Elemente 1,2,3,... sind, und 0 das größte Element. Danach wird umbenannt, sodass die ersten Elemente 0,1,2... heißen und das größte Element $\omega$.

In der anderen ist $\omega =\mathbb {N}$.

Die Einschränkung von Axiom 5 auf Teilmengen von $\mathbb {N}$ führt zu keinem Verlust. Ich erwähnte das, um zu bekräftigen, dass es eher nicht um die Einbettung von $\mathbb {N}$ in eine größere Menge geht.

--Daniel5Ko (Diskussion) 13:09, 18. Okt. 2017 (CEST)

Daß es $\omega$ gibt, folgt nicht aus der Existenz von $\mathbb {N}$. Insbesondere deshalb nicht, weil es kein größtes Element von $\mathbb {N}$ gibt. Deine erste Konstruktion hast Du noch gar nicht in verständliche Sprache übersetzt, so daß ich sie nicht nachvollziehen kann. Und Deine zweite Konstruktion stellt den Versuch dar, die 0 ans Ende der Natürlichen Zahlen zu stellen, das es jedoch überhaupt nicht gibt, da es (wie Du ja auch bestätigt hast) gar keine größte Natürliche Zahl gibt. Dann diese Ordnung umzubenennen und statt der 0 nun dieses $\omega$ als größtes Element hinzustellen, ist aus meiner Sicht nur noch ein Folgefehler.

Schränkt man Axiom 5 auf Teilmengen von $\mathbb {N}$ ein, insbesondere auf endliche Teilmengen, dann sieht man sehr deutlich, daß die Natürlichen Zahlen auch hinter den von der Einschränkung umfassten Elementen weitergehen. Da auch bei unendlich vielen Elementen die Natürlichen Zahlen immer weitergehen (weil ja laut Axiom 2 jede Natürliche Zahl einen Nachfolger hat, der ebenfalls eine Natürliche Zahl ist, welche auch wieder laut Axiom 2 einen Nachfolger hat, der eine Natürliche Zahl ist, etc.), sehe ich keine Möglichkeit, die Menge $\mathbb {N}$ als abgeschlossene Menge betrachten zu können. Folglich läßt sie sich nicht einbetten in eine höhere Menge, weil kein Ort auf der Zahlengeraden geeignet ist, um als Ort für dieses $\omega$ in Frage zu kommen.--Wikilaser (Diskussion) 00:46, 19. Okt. 2017 (CEST)

Ordinalzahlen von 0 bis ω^ω

Auf deinen Text über $\omega$ gehe ich jetzt nicht ein. Das wird mir gerade zu langweilig.

Bei dir hapert's sehr mit der Logik. Axiom 5 auf Teilmengen einzuschränken ist eben keine Einschränkung. Axiom 5 kann aus der (nicht wirklich) eingeschränkten Variante bewiesen werden:

Axiom 5':

$\forall X\subseteq \mathbb {N} .\ 0\in X\land (\forall n\in \mathbb {N} .\ n\in X\Rightarrow {\mathsf {S}}(n)\in X)\implies \mathbb {N} \subseteq X$

Wir beweisen daraus Axiom 5 (wo X über alle Mengen rangieren soll):

$\forall X.\ 0\in X\land (\forall n\in \mathbb {N} .\ n\in X\Rightarrow {\mathsf {S}}(n)\in X)\implies \mathbb {N} \subseteq X$.

Sei also $X$ eine beliebige Menge. Und gelte $H_{1}:0\in X$ sowie $H_{2}:\forall n\in \mathbb {N} .\ n\in X\Rightarrow {\mathsf {S}}(n)\in X$.

Wir müssen nun zeigen: $\mathbb {N} \subseteq X$. Dafür ist, wegen der Transitivität von $\subseteq$ und wegen $X\cap \mathbb {N} \subseteq X$ hinreichend, $\mathbb {N} \subseteq X\cap \mathbb {N}$ zu zeigen. Da $X\cap \mathbb {N} \subseteq \mathbb {N}$, können wir Axiom 5' auf diese Menge anwenden und würden die gewünschte Aussage erhalten.

Jetzt brauchen wir also nur noch

$0\in X\cap \mathbb {N}$ sowie $\forall n\in \mathbb {N} .\ n\in X\cap \mathbb {N} \Rightarrow {\mathsf {S}}(n)\in X\cap \mathbb {N}$

zu zeigen. Der erste Teil ergibt sich aus $0\in \mathbb {N}$ und $H_{1}$. Für den zweiten Teil sei $n\in \mathbb {N}$ beliebig vorgegeben und gelte $n\in X\cap \mathbb {N}$, also v.a. $n\in X$. Wegen $H_{2}$ ist dann ${\mathsf {S}}(n)\in X$, außerdem ist ${\mathsf {S}}(n)\in \mathbb {N}$, also ${\mathsf {S}}(n)\in X\cap \mathbb {N}$. Fertsch.

Meist wird Axiom 5 aber eh nur auf Teilmengen angewandt, die die Form $X=\{n\in \mathbb {N} \mid P(n)\}$ haben. $\mathbb {N} \subseteq X$ bedeutet dann, dass $P(n)$ für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt. Dass jede natürliche Zahl 0 ist oder einen unmittelbaren Vorgänger hat, kann man z.B. durch Axiom 5' auf die Menge $\{n\in \mathbb {N} \mid n=0\lor \exists m\in \mathbb {N} .\ {\mathsf {S}}(m)=n\}$ angewandt beweisen.

--Daniel5Ko (Diskussion) 10:10, 19. Okt. 2017 (CEST)

Zunächst einmal verbitte ich mir solche Vorwürfe, bei mir hapere es mit der Logik. Insbesondere da Du nicht bereit bist, mir detailliert meine Fehler nachzuweisen (sofern ich denn welche gemacht hätte). Das ist kein fairer Diskussionsstil!

Was nun Deinen Beitrag mit Axiom 5' angeht, so hast Du Dir wieder viel Mühe gemacht, ohne auch nur eine einzige Formel in alltagstaugliche Sprache zu übersetzen. Nochmal: Ich bin Nicht-Mathematiker. Ich vestehe diesen ganzen Formelsalat nicht ohne ausführliche Erklärung. Einzelne Zeichen kenne ich mittlerweile zwar, aber Du bringst immer wieder für mich neue Begriffe (z.B. Transitivität). Bitte übersetze Deinen ganzen Beitrag in alltagstaugliche Sprache, dann kann ich Deinen Ausführungen folgen. Danke!--Wikilaser (Diskussion) 23:51, 19. Okt. 2017 (CEST)

Lerne Logik! Ein Wort wie "Transitivität" wird damit und in Verbindung mit unserem Artikel ganz leicht verständlich. Dass schlimme Wissenslücken oder Übungslücken bestehen, ist zu beseitigen, statt die Erwähnung dieses Fakts zu verbitten. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:27, 20. Okt. 2017 (CEST)

Nun ist zwar der Begriff Transitivität klar, der Rest Deines Beitrags bleibt für mich dennoch im Dunkeln. Ich fordere Dich nochmal auf (und zwar grundsätzlich!), jede Deiner Formeln in alltagstaugliche Sprache zu übersetzen. Dann sparen wir uns eine Menge Klärungsaufwand. Und was die Sache mit den Wissens- bzw. Übungslücken angeht, so erkenne ich in Deinem Hinweis eine indirekte Aufforderung an mich, erst einmal ein komplettes Mathematik-Studium zu absolvieren, bevor Du bereit bist, auf meine angeblichen Fehler einzugehen. Um es nochmal zu betonen: Ich würde auch in einem solchen Mathematikstudium von meinem Professor erwarten, daß er mich hinsichtlich der Existenz dieses $\omega$ überzeugt. Und dazu ist es erforderlich, einen Beweis der Existenz zu erbringen, statt nur eine Definition anzugeben, die im übertragenen Sinne der Definition des Barbiers von Sevilla gleicht. Die Definition dieses $\omega$ ist aus meiner Sicht nicht in die Praxis umsetzbar. Wir können also diese Überzeugungsarbeit gleich hier leisten. Das setzt aber die Bereitschaft Deinerseits voraus, auf meine Beiträge detailliert einzugehen und (sofern vorhanden) die Fehler darin aufzudecken und zu erklären.

Stell Dir mal die Grafik aus dem Artikel "Ordinalzahlen" ausgestreckt auf eine Gerade vor und überleg Dir mal, daß die Abstände der Natürlichen Zahlen nicht abnehmen, wie das die spiralförmige Grafik suggeriert, sondern daß sie gleichbleiben und somit die Natürlichen Zahlen jeden Punkt auf der Geraden irgendwann erreichen. Da kann also kein Punkt kommen, an dem dieses $\omega$ stehen könnte.--Wikilaser (Diskussion) 11:06, 20. Okt. 2017 (CEST)

$\omega$ ist für das Verständnis der Peano-Axiome nicht wichtig. Um meine Formeln zu verstehen, brauchst du kein Mathestudium zu absolvieren. Es reicht, wenn du in ein Logik-Buch schaust oder so. Und nochmal: Wenn $\mathbb {N}$ existiert, dann auch $\omega$, durch die ganz simple Definition $\omega :=\mathbb {N}$. --Daniel5Ko (Diskussion) 14:06, 20. Okt. 2017 (CEST)

Bevor ich mir mühsam jedes Zeichen Deiner Formel anhand eines Buches erarbeite (was einem Teilstudium entspräche), wäre es wirklich einfacher, Du würdest sie direkt in alltagstaugliche Sprache übersetzen. Dies wäre auch möglicherweise still mitlesenden anderen Nicht-Mathematikern zuträglich.

Die Frage ist doch, ob $\mathbb {N}$ überhaupt "existiert", in dem Sinne, ob man bei irgendeiner Natürlichen Zahl sagen kann, daß man mit dieser nun alle Natürlichen Zahlen aufgezählt hat. Und da man das meiner Meinung nach niemals sagen kann, weil laut Axiom 2 nun einmal jede Natürliche Zahl einen Nachfolger hat, der wieder eine Natürliche Zahl ist und ebenfalls einen Nachfolger hat, der eine Natürliche Zahl ist, u.s.w., kann man wohl in diesem Sinne auch nicht sagen, $\mathbb {N}$ "existiere". Folglich kann man auch nicht sagen, $\omega$ "existiere". Wie gesagt, ich halte es für einen Wunschtraum, ein Paradoxon wie die Definition des Barbiers von Sevilla. Man kann Bedingungen für $\omega$ definieren, aber so, wie sie derzeit definiert sind, sind sie in der Praxis nicht realisierbar.--Wikilaser (Diskussion) 23:14, 23. Okt. 2017 (CEST)

Du begehst schon wieder einen Logik-Fehler. Wenn feststeht, dass aus der Existenz von $\mathbb {N}$ die von $\omega$ folgt, und es $\mathbb {N}$ aber nicht gibt, ist es nicht "folglich" so, dass $\omega$ nicht existiert.

Davon abgesehen, ist es für das Verständnis der Peano-Axiome egal, ob es etwas gibt, das sie erfüllt. --Daniel5Ko (Diskussion) 10:10, 24. Okt. 2017 (CEST)

Meiner Ansicht nach begehst in diesem Fall Du den Logikfehler. Da die Existenz von $\omega$ von der Existenz von $\mathbb {N}$ abhängt, weil die Existenz von $\mathbb {N}$ die Voraussetzung hierfür ist, bedeutet die Feststellung der Nicht-Existenz von $\mathbb {N}$ zwangsläufig auch die Nicht-Existenz von $\omega$. Hierbei bedeutet die Nicht-Existenz von $\mathbb {N}$ jedoch nicht, daß es keine Natürlichen Zahlen gäbe, sondern lediglich, daß die Menge $\mathbb {N}$ keine abgeschlossene Menge ist. Viel mehr ist sie eine nach oben hin offene Menge, so daß man bei keiner Natürlichen Zahl sagen kann, daß mit dieser nun alle Natürlichen Zahlen aufgezählt seien. Die Menge $\mathbb {N}$ existiert also nicht, sondern sie befindet sich ständig und unaufhörlich im Erschaffungsprozeß, der auch niemals enden kann. Und somit läßt die Offenheit dieser Menge nach oben hin die Existenz eines solchen $\omega$ nicht zu. Dieses $\omega$ kann nirgendwo kommen, es kann nirgendwo hingesetzt werden.

Nun aber zu Axiom 5: Es ist meiner Ansicht nach deshalb nicht nötig, weil bereits die Axiome 1 bis 4 den oben beschriebenen unaufhörlichen Erschaffungsprozeß der Natürlichen Zahlen in Gang setzt (was nichts anderes ist als eine Induktion). Man kann die Vollständigkeit (oder vollständige Induktion) dieser Menge auch nicht beweisen, weil man zu einem solchen Beweis ein letztes (größtes) Element benötigt, das es ja bekanntlich nicht gibt.--Wikilaser (Diskussion) 17:33, 25. Okt. 2017 (CEST)

Um größte natürliche Zahlen oder ähnliches geht es weder bei $\mathbb {N}$, noch bei Omega, noch bei Axiom 5. Axiom 5 soll u.a. sicherstellen, dass man so tun kann, als enthielte so ein $\mathbb {N}$ wirklich nur Elemente, die von 0 ausgehend durch Nachfolgerbildung erreichbar sind, und nicht darüberhinaus noch anderen Kram. --Daniel5Ko (Diskussion) 22:08, 25. Okt. 2017 (CEST)

Man braucht doch überhaupt nicht so zu tun, als müßte man sicherstellen, daß es über die von 0 ausgehende Nachfolgerbildung erreichbaren Natürlichen Zahlen hinaus "noch anderen Kram" geben könnte. Es gibt keinen solchen "anderen Kram". Es sei denn, Du lieferst einen Beweis hierfür. Dazu reicht es jedoch nicht aus, eine nicht in die Praxis umsetzbare Definition von $\omega$ anzugeben, weil diese wie gesagt ein Paradoxon ist, genauso wie die Definition des Barbiers von Sevilla.--Wikilaser (Diskussion) 13:59, 27. Okt. 2017 (CEST)

Nimm die Menge aller endlichen Wörter über einem zweielementigen Alphabet {a,b} als angebliches IN, dann das leere Wort als 0 und das Anhängen von a an ein Wort als Nachfolgerbildung. Dies erfüllt dann alle Axiome, bis auf Axiom 5. Das Wort aba ist nicht in der Teilmenge der Elemente enthalten, die man von der 0 aus durch Nachfolgerbildung erhält. Um so etwas zu verbieten, ist Axiom 5 da. --Daniel5Ko (Diskussion) 20:24, 27. Okt. 2017 (CEST)

Kommt drauf an, wie man diese Nachfolgerbildung verlangt und ob eine Einfügefunktion erlaubt sein soll oder nicht. Sollen erst alle "Wörter" (ich bevorzuge lieber den Begriff "Buchstabenkombinationen") mit ausschließlich a gebildet werden, also a, aa, aaa, etc., dann dauert es unendlich lange, bis das erste "Wort" mit einem b erscheint. Sollen dagegen gleichberechtigt "Wörter" mit a und/oder b in einer logischen Reihenfolge gebildet werden, kommt zuerst a, dann b, dann aa, dann ab, dann bb, dann aaa, dann aab, dann aba, dann abb, dann baa, dann bab, dann bba, dann bbb, dann aaaa, etc. Wie Du siehst, kommt das "Wort" aba also durchaus doch vor. Genauso ist es mit den Natürlichen Zahlen: Verlangt man zuerst alle geraden Natürlichen Zahlen, dauert es unendlich lange, bis die erste ungerade Natürliche Zahl erscheint. Geht man wechselweise vor (was nun einmal der natürlichen Zählweise entspricht, dann kommen gerade und ungerade Natürliche Zahlen gleichberechtigt wechselweise vor, und jede Natürliche Zahl erscheint irgendwann.

Das Problem ist also die Wahl einer sinnvollen Reihenfolge bzw. die Wahl einer sinnvollen Nachfolgerregel, nicht aber ein Problem der Menge an sich. Und durch die Axiome 1 bis 4 (meiner Ansicht nach reichen die Axiome 1 bis 3 ja aus, aber lassen wir das mal beiseite, denn das betrifft wirklich nur den Part der Logik im Rahmen der Prädikatenlogik) wird bereits eine sinnvolle Reihenfolge bestimmt. Nebenbei bemerkt kann es nicht sein, daß eine Menge X in einer Reihenfolge X1 abzählbar sei, aber in einer Reihenfolge X2 nicht abzählbar sei. Entweder ist sie abzählbar, dann in jeder Reihenfolge, oder sie ist nicht abzählbar, dann ist sie in keiner Reihenfolge abzählbar.

So, und nun beweise mir endlich, wo genau auf der Zahlengeraden dieses $\omega$ bezüglich der Natürlichen Zahlen erscheint, wenn man sie in der natürlichen Zählweise anordnet!--Wikilaser (Diskussion) 00:18, 28. Okt. 2017 (CEST)

Ich habe ein Tupel $(\mathbb {N} ,0,S)$ angegeben, das den ersten 4 Axiomen gehorcht, dem fünften aber nicht (wobei der Name $\mathbb {N}$ dann natürlich schlecht gewählt ist). Ob da eine "gute Reihenfolge" vorliegt, ist überhaupt nicht das Thema. Das Beispiel zeigt, warum Axiom 5 benötigt wird. Auch kannst du eigentlich nicht sagen, dass nach unendlich oftem Anfügen eines as auf einmal ein Wort mit b entsteht.

Auch habe ich schon ca. 72 mal geschrieben, dass es nicht nur um die Grundmenge geht, sondern um das Tupel bestehend aus einer Grundmenge, einem Element namens 0 und einer Funktion namens S.

Alle Mengen, über die wir bisher gesprochen haben, waren höchstens abzählbar. Natürlich spielt es für die Kardinalität keine Rolle, welche Ordnung man auf ihnen definiert.

Omega liegt per Definition hinter allen natürlichen Zahlen. Da gibt's nichts zu beweisen. $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ mit der üblichen Ordnung ist auch nicht überabzählbar, wie du zu glauben scheinst. --Daniel5Ko (Diskussion) 01:03, 28. Okt. 2017 (CEST)

Axiom 5 fordert lediglich "eine Menge X mit 0 und (nachträglich eingefügt) jedem Nachfolger der 0", was ist da Dein Problem? Die 0 ergibt sich aus Axiom 1 und 3, und jeder Nachfolger der 0 ergibt sich bereits aus Axiom 2, ist das so schwer zu verstehen? Damit (und wenn man unbedingt dieser "unlogischen" Prädikatenlogik folgen will, dann meinetwegen noch mit Axiom 4) kann man die ganze Menge $\mathbb {N}$ aufstellen.

Nochmal: Du kannst per Definition Bedingungen auf stellen, wie Du willst. Letztlich mußt Du aber beweisen, daß diese Bedingungen in der Praxis auch möglich sind. Und das eben bezweifle ich, weil die Bedingungen für $\omega$ paradox sind. Ein "hinter allen Natürlichen Zahlen" gibt es nicht, weil es kein Ende der Natürlichen Zahlen gibt. Und ohne Ende auch kein dahinter.

Dieses $\omega$ ist in meinen Augen nicht existent. Von überabzählbar kann da gar keine Rede sein. Soetwas gibt es in meinen Augen ebenfalls nicht. Ich weiß, Du kommst jetzt bestimmt mit Georg Cantor und seinen beiden Überabzählbarkeitsbeweisen. Aber die sind beide fehlerhaft. Man muß nur mal genauer darüber nachdenken:

Stell Dir die Menge $\mathbb {R}$ einmal in einem großen Topf vor, und daneben die Menge $\mathbb {N}$ in einem zweiten Topf. Nun nimmst Du aus Topf 1 irgendeine Reelle Zahl heraus und aus Topf 2 die 1 (oder wahlweise die 0, wenn man die Natürlichen Zahlen inkl. der 0 definiert), und stellst sie nebeneinander. Dann nimmst Du aus Topf 1 irgendeine andere Reelle Zahl heraus und aus Topf 2 die 2 (oder eben die 1), und stellst sie nebeneinander darunter. Dann nimmst Du aus Topf 1 wieder irgendeine Reelle Zahl heraus und aus Topf 2 die 3 (bzw. die 2), und so weiter. Die Reihenfolge, in der Du die Reellen Zahlen aus Topf 1 herausnimmst, spielt hierbei überhaupt keine Rolle. Preisfrage: Bei welcher Natürlichen Zahl gehen Dir hierbei die Natürlichen Zahlen aus (so daß Topf 2 leer ist), während in Topf 1 noch Reelle Zahlen übrig sind? Antwort: Die Natürlichen Zahlen gehen Dir niemals aus, weil es erstens unendlich viele Natürliche Zahlen und zweitens keine größte Natürliche Zahl gibt. Ist doch wirklich nicht schwer.--Wikilaser (Diskussion) 10:19, 28. Okt. 2017 (CEST)

Axiom 5 fordert nicht "eine Menge X mit 0 jedem Nachfolger der 0" (was auch immer das heißen soll).

Es geht auch, wie gesagt, nicht um das "Aufstellen einer Menge". Um praktische Realisierbarkeit auch nicht.

A propos $\mathbb {R}$, nimm mal die nichtnegativen reellen Zahlen, mit der üblichen 0 als 0 und der normalen Addition von 1 als Nachfolgerbildung. Auch dieses Tupel erfüllt die Axiome 1 bis 4, aber nicht Axiom 5. Und das ist gut so. --Daniel5Ko (Diskussion) 11:32, 28. Okt. 2017 (CEST)

Jetzt hör endlich auf, Dinge abzustreiten, die eindeutig so dastehen. Axiom 5 verlangt genau das, daß eine Menge X mit der 0 jede Natürliche Zahl n und deren Nachfolger n' enthalten soll. Nichts anderes ist meine Ausdrucksweise, daß die Menge X die 0 und jeden Nachfolger der 0 enthalten soll.

Selbstverständlich geht es um die praktische Realisierbarkeit. Denn sonst theoretisiert man über die Auswirkungen einer Definition, ohne daß das einen Sinn ergibt.

Wieso soll Dein Tupel mit den nichtnegativen Reellen Zahlen Axiom 5 nicht erfüllen? Davon abgesehen sehe ich keine Notwendigkeit für Axiom 5 in Bezug auf die Natürlichen Zahlen.--Wikilaser (Diskussion) 18:43, 28. Okt. 2017 (CEST)

Axiom 5 spricht von beliebigen Mengen X. Es liefert eine Implikation. Es kann auch auf die leere Menge angewandt werden.

Axiom 5 und $\mathbb {R} ^{+}$: Wie gesagt, geht es um das Tupel $(\mathbb {R} ^{+},0,S)$, wobei 0 die reelle Zahl 0 ist und S einer Zahl $x$ gerade x+1 zugordnet (mit üblicher Addition und üblicher 1). Die Aussage des Axioms ist dann, dass für alle Mengen $X$ gelten soll:

$0\in X\land (\forall x\in \mathbb {R} ^{+}.\ x\in X\Rightarrow x+1\in X)\implies \mathbb {R} ^{+}\subseteq X$.

Jetzt kann man $\mathbb {N}$ auf die übliche Art als Teilmenge von $\mathbb {R} ^{+}$ auffassen. Die 0 von $\mathbb {R} ^{+}$ ist dann die 0 von $\mathbb {N}$, und $S$ bildet Elemente von $\mathbb {N}$ auf Elemente von $\mathbb {N}$ ab.

Wenn Axiom 5 gelten würde, könnten wir $\mathbb {N}$ als $X$ nehmen und würden $\mathbb {R} ^{+}\subseteq \mathbb {N}$ erhalten (weil der Vordersatz damit stimmt). Selbst du willst sicher nicht, dass das stimmt. --Daniel5Ko (Diskussion) 20:03, 28. Okt. 2017 (CEST)

Jetzt schreibst Du aber wirklich Unsinn. Wenn man Axiom 5 auf die leere Menge anwendet, hieße das: Wenn die leere Menge mit der 0 jede Natürliche Zahl n und ihren Nachfolger n' enthält, dann ist $\mathbb {N}$ eine Teilmenge der leeren Menge. Das willst Du ganz sicher nicht behaupten wollen, daß die leere Menge irgendwelche Elemente enthalten soll. Es geht also in Axiom 5 eindeutig nur um solche Mengen X, die (mindestens) die 0 und mit jeder Natürlichen Zahl n auch jeden Nachfolger n' enthalten.

Was nun Dein Tupel $(\mathbb {R} ^{+},0,S)$ angeht, so schriebst Du zunächst, daß für dieses Tupel ausgehend von 0 die Nachfolgerbildung mit der normalen Addition von 1 gelten solle. Es geht also in Deinem Beispiel nicht um ganz $\mathbb {R} ^{+}$, sondern nur um die Natürlichen Zahlen aus $\mathbb {R} ^{+}$.--Wikilaser (Diskussion) 20:38, 28. Okt. 2017 (CEST)

Axiom 5 liefert eine Implikation. Im Fall mit der leeren Menge: $0\in \emptyset \land (...)\implies \mathbb {N} \subseteq \emptyset$. Das ist eine wahre Aussage, und an ihr ist nichts auszusetzen.

Nochmal: $(\mathbb {R} ^{+},0,S)$ erfüllt die Axiome 1 bis 4, aber Axiom 5 nicht. Eben weil das Tupel eben nichts mit den natürlichen Zahlen zu tun hat: es gibt neben den durch Nachfolgerbildung von der 0 aus erreichbaren Elementen noch weitere. Axiom 5 dient dazu, festzulegen, dass ein $\mathbb {N}$ keine solchen Elemente haben soll. --Daniel5Ko (Diskussion) 20:58, 28. Okt. 2017 (CEST)

An der Aussage ist sehr wohl auszusetzen, daß die leere Menge kein Element enthält, nicht einmal die 0. Folglich kann die leere Menge Axiom 5 nicht erfüllen.

Was $(\mathbb {R} ^{+},0,S)$ betrifft, mach doch mal mein Experiment mit den beiden Töpfen und sag mir Bescheid, wenn der Topf mit den Natürlichen Zahlen leer ist. Denn genau dieser Zustand müßte eintreten, damit Deine Aussage wahr wäre, wonach es angeblich "neben den durch Nachfolgerbildung von der 0 aus erreichbaren Elementen noch weitere" Elemente geben solle. Nochmal: Ein "hinter den Natürlichen Zahlen" gibt es nicht, das ist ein Wunschdenken, aber es entspricht nicht der Realität.--Wikilaser (Diskussion) 15:34, 29. Okt. 2017 (CET)

${\mathsf {Falsch}}\implies {\mathsf {Falsch}}$ ist eine wahre Aussage.

$\mathbb {R} ^{+}$ enthält das Element ${\frac {1}{2}}$.

Ein "hinter den natürlichen Zahlen" existiert, wenn man eine entsprechende Ordnung auf $\mathbb {N} \cup {\mathsf {whatever}}$ definiert. --Daniel5Ko (Diskussion) 16:30, 29. Okt. 2017 (CET)

Es geht gerade um die leere Menge, die nun einmal kein Element enthält, auch nicht die 0. Was soll da jetzt der Einwurf ${\mathsf {Falsch}}\implies {\mathsf {Falsch}}$ sei eine wahre Aussage?

Offenbar hast Du Cantors erstes Diagonalargument nicht wirklich verstanden. $\mathbb {Q}$ enthält nämlich auch ${\frac {1}{2}}$, trotzdem gibt es für dieses ${\frac {1}{2}}$ eine Natürliche Zahl, und für jede andere von den Rationalen Zahlen mit Nenner 1 verschiedenen Rationalen Zahlen ebenfalls. Die Funktion, die Cantor dabei nutzt, lautet "einfügen". Und das kann man sebstredend dann auch mit den Reellen Zahlen machen, sprich die Transzendenten Zahlen in die von Cantor vorbereitete Reihe der Rationalen Zahlen einfügen. So erhält man schließlich eine Bijektion der Natürlichen Zahlen mit den Reellen Zahlen. Da gibt es kein Problem. Deshalb nochmal, ein "hinter den Natürlichen Zahlen" gibt es nicht, weil die Natürlichen Zahlen ins Unendliche reichen und selbst dort immer noch weitergehen (siehe Axiom 2).--Wikilaser (Diskussion) 22:14, 29. Okt. 2017 (CET)

$0\in \emptyset$ und $\mathbb {N} \subseteq \emptyset$ kann man beide zu ${\mathsf {Falsch}}$ vereinfachen. Die Implikation, die von Axiom 5 im dem Fall geliefert wird, wird mit der Vereinfachung zu ${\mathsf {Falsch}}\implies {\mathsf {Falsch}}$.

Bei Cantors Diagonalargument geht es um Mächtigkeiten. Hier geht es nicht um Mächtigkeiten. Abgesehen davon ist $\mathbb {R}$ nicht gleichmächtig zu $\mathbb {N}$. Und davon wiederum abgesehen, gibt es für Mengen mit einer bestimmten Mächtigkeit nicht genau eine Ordnungsrelation. So eine Bijektion kann man ja gerade als Umordnung auffassen. Insbesondere von $\mathbb {N}$ nach $\mathbb {N}$ gibt es ziemlich viele Bijektionen.

Man erhält jedoch i.A. nicht aus einer gegebenen Ordnung durch Bijektionen alle anderen möglichen. Die schon einmal genannte Ordnung auf $\mathbb {N}$, die 0 als größtes Element erscheinen lässt und alle anderen Zahlen in ihrer üblichen Ordnung darunter, ist ein Beispiel für eine Ordnung, die man nicht durch eine Bijektion aus der üblichen Ordnung generieren kann (eben weil es keine größte natürliche Zahl bzgl. der üblichen Ordnung gibt).

Statt $(\mathbb {R} ^{+},0,S)$ kann man übrigens auch $(\mathbb {Q} ^{+},0,S)$ nehmen (S wieder die übliche Addition der üblichen 1, 0 die übliche 0). $\mathbb {Q}$ und $\mathbb {N}$ haben zwar gleiche Mächtigkeiten, aber die darauf üblichen Ordnungen sind verschieden, und man kann den Unterschied nicht durch eine Bijektion wegwischen: In einem Fall gibt es zwischen verschiedenen Elementen unendlich viele Elemente, im anderen nicht.

Wie erhältst du in $(\mathbb {Q} ^{+},0,S)$ das Element ${\frac {1}{2}}$ durch Anwendung von 0 und S? --Daniel5Ko (Diskussion) 23:02, 29. Okt. 2017 (CET)

Bei Cantors erstem Diagonalargument geht es nicht nur um Mächtigkeiten, sondern auch um Ordnungen.

Was die angebliche Überabzählbarkeit von $\mathbb {R}$ angeht, so empfehle ich Dir dringend, mein Experiment mit den beiden Töpfen durchzuführen. Wäre $\mathbb {R}$ wirklich überabzählbar, müßte der Topf mit den Natürlichen Zahlen irgendwann leer sein, während im Topf mit den Reellen Zahlen noch unendlich viele Zahlen übrig wären. Mach es einfach mal! Du wirst erkennen, daß ein solcher Zustand niemals eintreten kann.

Was nun die Umordnung von $\mathbb {Q}$ angeht, so beweist dies aus meiner Sicht zweifelsfrei, daß es unendlich große Natürlichen Zahlen gibt. Denn es kann nicht sein, daß ein und dieselbe Menge (hier $\mathbb {Q}$) in einer Ordnung abzählbar, jedoch in einer anderen Ordnung überabzählbar ist. Nochmal: Entweder ist eine Menge abzählbar, dann in jeder Ordnung, oder sie ist nicht abzählbar, dann ist sie in keiner Ordnung abzählbar. Alles andere ist unlogisch!

Das Element ${\frac {1}{2}}$ erhalte ich durch Cantors Ordnung im Rahmen seines ersten Diagonalarguments. Die Anwendung von 0 und S bildet ja nur eine Ordnung, S soll ja nur als Nachfolger im Rahmen einer Ordnung gelten, nicht jedoch die einzelnen Elemente in ihrer jeweiligen Größe bestimmen. Also kein Problem.--Wikilaser (Diskussion) 10:48, 30. Okt. 2017 (CET)

Cantor: Nein, es geht nicht um Ordnungen.

Topfexperiment und Überabzählbarkeit von $\mathbb {R}$: Du schreibst Unfug.

$\mathbb {Q} ^{+}$ wird nicht überabzählbar, indem man irgendeine Ordnung darauf festlegt.

1/2: Schreibe einen Term hin, der nur aus 0 und S besteht, und bei dessen Auswertung in $(\mathbb {Q} ^{+},0,S)$ das Element $1/2$ herauskommt.

--Daniel5Ko (Diskussion) 11:54, 30. Okt. 2017 (CET)

Was verstehst Du denn unter dem Begriff "Ordnung", wenn Du behauptest, es ginge bei Cantor nicht um Ordnungen? Denn was macht Cantor anderes als die Menge $\mathbb {Q}$ in eine andere Ordnung zu bringen, als deren Elemente auf der Zahlengeraden angeordnet sind?

Wenn Du mir den Vorwurf machst, mein Topfexperiment sei Unfug, dann solltest Du das schon konkret begründen. Anderenfalls sehe ich darin lediglich einen Angriff auf der persönlichen Ebene, und das weise ich zurück. Also führe mein Topfexperiment einmal durch und sage mir, wann Dir die Natürlichen Zahlen ausgehen, sprich mit dem Verwenden welcher Natürlichen Zahl der Topf der Natürlichen Zahlen leer ist!

Deinem nächsten Satz stimme ich zu, da Cantor ja gerade durch seine Wahl einer konkreten Ordnung die Abzählbarkeit von $\mathbb {Q}$ und damit auch von $\mathbb {Q} ^{+}$ bewiesen hat.

Was 1/2 angeht, so soll doch (so jedenfalls habe ich Deine bisherigen Ausführungen verstanden) dieses S lediglich eine Nachfolgerfunktion bezeichnen. Dabei spielt der Abstand zwischen den einzelnen Zahlen auf der Zahlengeraden überhaupt keine Rolle. Also kann Cantors erstes Diagonalargument für diese Nachfolgerbildung durchaus herhalten. Ich sehe da kein Problem.

Wenn Du allerdings mit 0 und S bestimmte Einschränkungen forderst, dann ist das so ähnlich, als würde man Cantors erstes Diagonalargument ausschließlich auf die Rationalen Zahlen mit Nenner 1 beschränken wollen. Nur, wozu soll das gut sein? Wir wollen doch herausfinden, ob es dieses $\omega$ an irgendeiner Stelle auf der Zahlengeraden geben kann.--Wikilaser (Diskussion) 12:38, 2. Nov. 2017 (CET)

Eine Bijektion zwischen $\mathbb {N}$ und $\mathbb {Q} ^{+}$ ist kein Ordnungsisomorphismus zwischen den geordneten Mengen $(\mathbb {N} ,\leq )$ und $(\mathbb {Q} ^{+},\leq )$ jeweils mit ihrer normalen Ordnung.

Was das Topfexperiment angeht: wenn das sinnvoll wäre, könntest du damit belegen, dass es keine überabzählbaren Mengen gibt, und zwar allein durch Angabe einer Injektion von $\mathbb {N}$ in die jeweilige für Überabzählbarkeit kandidierende Menge. Kardinalität und Überabzählbarkeit ist so aber nicht definiert.

Das Tupel $(\mathbb {Q} ^{+},0,S)$ war so definiert, dass es sich bei 0 um die übliche 0 als Element von $\mathbb {Q} ^{+}$ handelt, und bei $S$ um die gewöhnliche Addition der gewöhnlichen rationalen Zahl 1.

Die Peano-Axiome legen nicht fest, wie die Menge und die Operationen konkret aussehen sollen, aber *ich* kann doch ein Beispiel angeben, das den ersten 4 Axiomen gehorcht und dem fünften nicht. Das kann beliebig speziell sein, und das Ziel der Übung war, zu zeigen, dass Axiom 5 einem bestimmten Zweck dient: nämlich, sicherzustellen, dass man so tun kann, als würde man alle Elemente durch S-Anwendung von der 0 ausgehend erhält. Nochmal weiter: Fasst man das übliche $\mathbb {N}$ in der üblichen Weise als Teilmenge von $\mathbb {Q} ^{+}$ auf, so ist $\mathbb {Q} ^{+}\not \subseteq \mathbb {N}$ (da die rationale Zahl 1/2 keine natürliche Zahl ist). Die $0$ aus dem Tupel ist die $0$ aus $\mathbb {N}$ und mit jedem $n$ aus $\mathbb {N}$ ist auch $S(n)$ Element von $\mathbb {N}$. Daher würde, wenn Axiom 5 für das Tupel $(\mathbb {Q} ^{+},0,S)$ gelten würde, ein Widerspruch herauskommen (nämlich: $\mathbb {Q} ^{+}\subseteq \mathbb {N}$). Ergo gilt Axiom 5 für das Tupel nicht.

Man kann natürlich auf der Grundmenge $\mathbb {Q} ^{+}$ auch andere 0 und S festlegen (eben zum Beispiel auf der Grundlage einer Bijektion $\mathbb {N} \to \mathbb {Q} ^{+}$), sodass die dann zusammen alle Axiome erfüllen. Hieran sieht man: Du musst immer alles zusammen betrachten: Grundmenge, 0 und S.

--Daniel5Ko (Diskussion) 16:50, 2. Nov. 2017 (CET)

Was soll denn diese Aussage bedeuten, diese Bijektion sei kein Ordnungsisomorphismus zwischen den geordneten Mengen? Willst Du etwa behaupten, daß eine Menge wie $\mathbb {Q}$ oder $\mathbb {Q} ^{+}$ in Cantors Ordnung (Bijektion) abzählbar sei, jedoch in der üblichen Ordnung (also in aufsteigender Ordnung) überabzählbar? Willst Du das ernsthaft behaupten?

Was soll denn an dem Topfbeispiel nicht sinnvoll sein? Nochmal: Wenn es so etwas wie Überabzählbarkeit geben soll, dann muß der Topf mit den Natürlichen Zahlen leer werden, während im Topf der Reellen Zahlen noch unendlich viele Elemente übrig sind. Beweise also, daß der Topf mit den Natürlichen Zahlen leer wird!

Was Dein Beispiel angeht, so mag es sein, daß es dem 5. Axiom nicht gehorcht. Das Problem bei unendlichen Mengen bleibt jedoch, daß das 5. Axiom gewissermaßen alle Elemente der Menge fordert, was jedoch bereits bei den Natürlichen Zahlen niemals erreichbar ist, da diese Menge kein größtes Element besitzt, und auch kein sonstiges Element, bei dem man sagen könnte, daß man mit diesem nun alle Elemente aufgezählt hätte. Deshalb ja mein intensives Interesse an diesem ominösen $\omega$, insbesondere wo genau dieses auf der Zahlengeraden stehen solle. Eine konkrete Antwort hierauf bist Du mir auch weiterhin schuldig, und ich vermute, Du wirst sie mir auch nicht geben können. Du wirst Dich immer nur auf die Definition berufen, die ich jedoch für paradox und für nicht realisierbar halte.--Wikilaser (Diskussion) 00:58, 3. Nov. 2017 (CET)

Die Mengen $\mathbb {Q}$ und $\mathbb {Q} ^{+}$ sind abzählbar, unabhängig davon, unter welcher Ordnung man sie betrachtet. Wie gesagt, hat Kardinalität mit Ordnungen nichts zu tun.

Problem an dem Topf-Ding: Ich könnte ungefähr genauso argumentieren: "Man kann alle natürlichen Zahlen aufzählen, indem man bei 5 beginnt und dann immer 3 hinzuaddiert. Du sagst, das stimme nicht? Dann zeige mir doch, wo die Folge 5,8,11,14,17,... aufhört. Per Topfexperiment. Wenn du das nicht kannst, habe ich recht!" Du siehst: das ist Quatsch.

Den Peano-Axiomen ist es egal, an welche Menge sie Forderungen stellen. Es kann sich nun herausstellen, dass bei den Tupeln $(N,0,S)$, die sie erfüllen, N unendlich groß sein muss. So what. Wenn dir das nicht gefällt, ist das noch lange kein Problem für die Peano-Axiome. Wenn es dann außerdem keine unendlichen Mengen gibt, dann gibt es eben nichts, was die Peano-Axiome erfüllt. Das wäre doch dann aber ein Grund, sie zu ignorieren, statt zu sagen, dass sie falsch seien oder Paradoxien hervorriefen oder so. Sie wären belanglos.

$\omega$ ist keine natürliche Zahl. Auf $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ kann man eine Ordnung definieren, wo $\omega$ ganz oben erscheint, und alles andere zu einander in der üblichen Ordnung. Da ist nichts paradox.

--Daniel5Ko (Diskussion) 09:53, 3. Nov. 2017 (CET)

Und was sollte dann der Satz mit dem Ordnungsisomorphismus?

Zu Deinem 5,8,11,14,17,... Argument möchte ich zwei Dinge anmerken:

Erstens behaupte ich nicht, daß man so alle Natürlichen Zahlen aufzählen kann, und

zweitens ist das ähnlich der Cantorschen Darstellung, wonach es genausoviele gerade Natürliche Zahlen gibt wie Natürliche Zahlen selbst.

Man kann natürlich auch zu Deiner Folge eine Bijektion mit den Natürlichen Zahlen herstellen. Kein Problem. Der Knackpunkt ist doch, daß Cantor sowohl Bijektionen der Natürlichen Zahlen mit "scheinbar kleineren Mengen" wie z. B. den geraden Natürlichen Zahlen als auch mit "scheinbar größeren Mengen" wie z. B. den Rationalen Zahlen zustandebringt. Das läßt darauf schließen, daß die Natürlichen Zahlen sich gewissermaßen selbst übertreffen können, und das wiederum läßt die Schlußfolgerung zu, daß auch eine Bijektion mit den Reellen Zahlen möglich ist. Und mein Topfbeispiel ist eine einfache (fast schon naive) Art und Weise, dies zu zeigen. Es müßte schon jemand beweisen, daß in meinem Beispiel der Topf mit den Natürlichen Zahlen irgendwann doch leer wäre. Nur, wie soll das gehen?

Es geht nicht darum, an welche Menge die Peano-Axiome Forderungen stellen, es geht darum, welche Forderungen sie an irgendwelche Mengen stellen. Und die Forderung, daß eine Menge, die die Peano-Axiome erfüllen soll, alle Elemente der Natürlichen Zahlen beinhalten müsse, ist schlicht unmöglich zu erfüllen, da es wie schon mehrfach gesagt so etwas wie alle Natürlichen Zahlen nicht gibt. Denn dazu müßte es eine Natürliche Zahl geben, über die man sagen können müßte, daß man mit ihr nun endlich alle Natürlichen Zahlen beisammen hätte. Und das geht nicht, da auch diese Natürliche Zahl einen Nachfolger hat, der eine Natürliche Zahl ist (Axiom 2).--Wikilaser (Diskussion) 23:10, 3. Nov. 2017 (CET)

Ja, man kann eine Bijektion herstellen, das tut nichts zur Sache. Es ist $\{5+3k\mid k\in \mathbb {N} \}\neq \mathbb {N}$. Es ist nicht so, dass alle Mengen gleicher Kardinalität gleich sind.

In der Formulierung der Peano-Axiome wird nicht davon ausgegangen, dass man schon eine Menge (mit entsprechender Struktur) hat, die man "die natürlichen Zahlen" nennen könnte. Es wird einfach ein Forderungskatalog an ein Tupel, dessen erstes Glied irgendeine Menge ist, gestellt, der sich ohne die Annahme formulieren lässt. Insofern ist die Behauptung, sie würden fordern, dass die Menge alle natürlichen Zahlen enthält, entweder falsch (wenn man dies als Rückgriff auf eine extern gegebene Menge natürlicher Zahlen interpretiert) oder trivial (natürlich enthält N aus dem Tupel (N,0,S) alle seine Elemente).

Nochmal: Wenn du nebenbei der Meinung bist, unendlich große Mengen gebe es nicht, brauchen dich die Peano-Axiome nicht zu interessieren. Was sie axiomatisieren, gibt es dann in deiner Welt eben nicht. Da ist nichts tragisches dran, und insbesondere muss man deswegen nicht die Peano-Axiome umformulieren. Man erhielte ja sowieso etwas anderes, von dem dann aber zweifelhaft wäre, ob man es noch "Peano-Axiome" nennen sollte. --Daniel5Ko (Diskussion) 23:44, 3. Nov. 2017 (CET)

Daß unterschiedliche Mengen gleicher Kardinalität exakt gleich seien, habe ich nicht behauptet. Ich schrieb lediglich, daß aus den unterschiedlichen Kardinalitätsbeweisen Cantors der Schluß resultiert (ja resultieren muß), daß die Menge der natürlichen Zahlen eine nach oben hin unbegrenzte Menge ist (nebenbei bemerkt ergibt sich das ohnehin bereits aus Axiom 2). Die daraus folgende weitere Schlußfolgerung ist, daß man die Menge der Natürlichen Zahlen nicht vollständig erfassen kann. Das bedeutet nicht, daß sie nicht existiert, sondern lediglich, daß man niemals davon sprechen kann, man habe mit einer bestimmten Natürlichen Zahl alle Natürlichen Zahlen beisammen.

Was nun den Forderungskatalog der Peano-Axiome angeht, so steht da ausdrücklich als Forderung (Axiom 5) drin, daß eine Menge, die die Forderungen der Peano-Axiome erfüllen soll, die 0 enthalten muß und mit ihr auch jedes n und jeden Nachfolger n'. Und das ist nichts anderes als die Forderung, daß sie alle (= jede) geforderten Elemente enthalten muß. Und das geht nun einmal bei den Natürlichen Zahlen nicht, da es so etwas wie alle Natürlichen Zahlen nicht gibt. Die Menge ist nach oben hin offen und nicht vollständig erfassbar!--Wikilaser (Diskussion) 22:45, 4. Nov. 2017 (CET)

Es geht bei Kardinalitäten (und bei den Peano-Axiomen eigentlich auch) nicht um Ordnungen. Die Information, was "nach oben" überhaupt bedeutet, hat man a priori also nicht. Was du vielleicht sagen willst: Cantors Beweis zeigt, dass die Menge der natürlichen Zahlen unendlich groß ist. Nach einer bestimmten Definition dafür, was es heißt, dass eine Menge unendlich groß ist, stimmt das sogar (X ist unendlich groß, wenn X gleichmächtig zu einer echten Teilmenge von X ist): $\mathbb {N}$ ist per Bijektion $h\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {N}$ gleichmächtig zu $\mathbb {Q}$, und da $\mathbb {N}$ echte Teilmenge von $\mathbb {Q}$, ist $\mathbb {Q}$ unendlich groß, und durch ein Lemma (wenn X unendlich und gleichmächtig zu Y, dann auch Y unendlich) dann auch $\mathbb {N}$.

Betrachte nun $\mathbb {Q}$ mit seiner üblichen Ordnung. Für dessen Teilmenge $X:=\{1-2^{-k}\mid k\in \mathbb {N} \}$, immer noch mit der üblichen Ordnung, gilt: es gibt ein kleinstes Element in X, und für jedes Element von $X$ ein größeres; außerdem ist X unendlich groß. Nichts desto trotz existiert in $\mathbb {Q}$ ein Element oberhalb dieser Menge, nämlich 42. 42 ist kein Element von X, aber das ist egal. X ist ordnungsisomorph zu $\mathbb {N}$ mit der üblichen Ordnung, aber nicht zu $X\cup \{42\}$ mit der von $\mathbb {Q}$ übernommenen üblichen Ordnung. Und das, obwohl die drei Mengen gleichmächtig sind. Mache dir das mal gehörig klar.

"daß man niemals davon sprechen kann, man habe mit einer bestimmten Natürlichen Zahl alle Natürlichen Zahlen beisammen" So etwas behauptet niemand.

Deine Zusammenfassung von Axiom 5 ist falsch. Axiom 5 sagt, dass $\mathbb {N}$ Teilmenge jeder Menge ist, die ein paar Dinge erfüllt. Es handelt sich intuitiv gesprochen eher um eine Begrenzung.

--Daniel5Ko (Diskussion) 00:23, 5. Nov. 2017 (CET)

Wenn Du von der üblichen Ordnung sprichst, dann taucht in der üblichen Ordnung auch die 42 irgendwann auf, auch wenn vorher unendlich viele andere Rationale Zahlen in dieser Ordnung erscheinen. Wenn Du nun aus dieser üblichen Ordnung eine Teilmenge herausnimmst, die die 42 nicht enthält, dann ist diese Teilmenge ja nicht gleich $\mathbb {Q}$. Also ist diese herausgenommene Teilmenge nicht in der üblichen Ordnung von $\mathbb {Q}$, weil dieser Teilmenge nicht nur die 42 fehlt, sondern auch viele Rationale Zahlen, die zwischen 0 und 1 liegen. So ein Vorgehen, wie Du es hier zeigst, ist mit "Sand in die Augen streuen" noch sehr diplomatisch bezeichnet.

Wie kommst Du darauf, meine Zusammenfassung von Axiom 5 sei falsch? Willst Du tatsächlich ernsthaft leugnen, daß in Axiom 5 gefordert wird, daß eine Menge, die den Peano-Axiomen gerecht werden soll, die 0 und mit jeder Natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger n' enthalten müsse?

Ich zitiere: Enthält X die 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger n', so bilden die natürlichen Zahlen eine Teilmenge von X.

Da steht eindeutig "jeder", was nichts anderes bedeutet als "alle". Es werden also alle Natürlichen Zahlen gefordert. Deshalb nochmal: Wie soll das gehen, alle Natürlichen Zahlen beisammen zu haben?

Nebenbei bemerkt hat $\mathbb {N}$ nur nach unten hin eine Begrenzung, nämlich die 0. Nach oben hin ist diese Menge unbegrenzt (vgl. Axiom 2). Deshalb existiert in meinen Augen auch dieses $\omega$ (das Du vermutlich als eine solche Begrenzung ansiehst) nicht. Wie gesagt, die Bedingungen für dieses $\omega$ sind paradox, genauso wie die für den Barbier von Sevilla.--Wikilaser (Diskussion) 11:47, 5. Nov. 2017 (CET)

Man kann aus jeder geordneten Menge $(A,\leq )$ eine neue erzeugen, indem man eine Teilmenge $B\subseteq A$ angibt und festlegt, dass die Ordnungsrelation $\leq '$ darauf gerade das originale $\leq$ ist, nur eben eingeschränkt auf $B$. $(B,\leq ')$ ist dann aber nicht immer ordnungsisomorph zu $(A,\leq )$, auch bei gleicher Mächtigkeit. Auch ist $B$ nicht unbedingt gleich $A$. Wieso denkst du, dass soetwas gelten sollte?

Zu Axiom 5: Es sagt folgendes (in einem Kontext, wo eine Menge $N$, ein Element $0\in N$ und eine Funktion $S\colon N\to N$ gegeben ist):

für alle Mengen $X$ gilt: wenn $0\in X$ und mit jedem $n\in N$ mit $n\in X$ auch $S(n)\in X$, so $N\subseteq X$.

Es sagt also nicht, dass $N$ irgendetwas enthalten müsse. Mache dich mit Implikationen, Allaussagen und der Teilmengenrelation vertraut.

--Daniel5Ko (Diskussion) 13:06, 5. Nov. 2017 (CET)

Willst Du schon wieder anfangen, Sand in die Augen zu streuen?

Axiom 5 sagt aus, daß $X$ jedes Element von $N$ enthalten muß, also alle Elemente von $N$, welche auch immer das sein mögen. Wenn man dann dieses Axiom auf $\mathbb {N}$ anwenden will, dann muß eben dieses $X$ jedes Element von $\mathbb {N}$ enthalten, mithin also alle Elemente von $\mathbb {N}$. Und nun beantworte mir meine Frage: Wie soll das möglich sein, von "alle Natürlichen Zahlen" zu sprechen, wenn es keine größte gibt?--Wikilaser (Diskussion) 15:36, 5. Nov. 2017 (CET)

Axiom 5 auf $N$ angewandt ergibt: Wenn N die 0 enthält, und mit jedem $n$ auch $S(n)$, dann ist $N\subseteq N$. Es ergibt sich daraus nicht, dass $N$ irgendwelche Elemente enthalten muss. Dafür sorgen die anderen Axiome.

$\mathbb {N}$ (zusammen mit einem Element 0 und einer Funktion S) soll einfach irgendeine Menge sein, die die Peano-Axiome erfüllt. Es wird also einfach schon vorausgesetzt, dass wir über eine Menge sprechen. Die Notwendigkeit einer größten natürlichen Zahl resultiert daraus nicht. Wie die Menge "zustande kommt", interessiert nicht. Oft wird einfach per Axiom die Existenz einer solchen Menge gefordert.

--Daniel5Ko (Diskussion) 16:59, 5. Nov. 2017 (CET)

Lies bitte genau, was ich schrieb:

"Wenn man dann dieses Axiom auf $\mathbb {N}$ anwenden will, ..."

Und in Axiom 5 heißt es:

Enthält X die 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger n', so bilden die natürlichen Zahlen eine Teilmenge von X.

Da ist also nicht die Rede von irgendeinem $N$, auch nicht von irgendwelchen $n$ bzw. $S(n)$, wie Du schon wieder abzulenken versuchst, sondern von $\mathbb {N}$ und von $n\in \mathbb {N}$.

Und da wird eindeutig jede Natürliche Zahl für diese Menge $X$ gefordert, damit diese Menge $X$ eine Obermenge von $\mathbb {N}$ bzw. die Menge $\mathbb {N}$ eine Teilmenge von $X$ sein kann.

Und jetzt nochmal: Wie soll das möglich sein, von "alle Natürlichen Zahlen" zu sprechen, wenn es keine größte gibt?

Beantworte diese Frage endlich, statt andauernd auszuweichen!--Wikilaser (Diskussion) 23:26, 5. Nov. 2017 (CET)

Die Peano-Axiome greifen für ihre Formulierung nicht auf ein schon gegebenes "richtiges" $\mathbb {N}$ zurück, sondern stellen Forderungen an ein Tupel $(N,0,S)$, die sich ohne einen solchen Rückgriff formulieren lassen. Die Elemente von $N$ werden verbal als "natürliche Zahl" bezeichnet und Bilder unter S als "Nachfolger".

Aber natürlich erfüllt so ein "richtiges" $\mathbb {N}$ mit seiner 0 und Nachfolgerbildung die Axiome. Axiom 5 angewand auf $\mathbb {N}$ sagt dann:

Wenn 0 eine natürliche Zahl ist und mit jeder natürlichen Zahl n auch der Nachfolger von n eine natürliche Zahl ist, dann ist die Menge der natürlichen Zahlen Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen.

Das ist eine trivialerweise immer wahre Aussage und fordert deshalb nichts von $\mathbb {N}$.

Zur letzten Frage: Die Frage ergibt keinen großen Sinn. Wie formulierst du denn, dass es keine größte natürliche Zahl gibt? Die übliche Definition größter Elemente g in einer geordneten Menge $(A,\leq )$ ist, dass $\forall x\in A.\ x\leq g$ gelten soll. Dafür wird also im Fall von $\mathbb {N}$ mit der üblichen Ordnung auch schon über alle natürlichen Zahlen gesprochen.

--Daniel5Ko (Diskussion) 01:16, 6. Nov. 2017 (CET)

Du behauptest lediglich, daß $\mathbb {N}$ dieses Axiom 5 erfülle. Mag sein, daß dies der Lehrmeinung entspricht. Ich bezweifle es aus den bereits genannten Gründen. Axiom 5 fordert jede Natürliche Zahl und deren Nachfolger. Aber bei einer nach oben hin offenen Menge (so formuliere ich das, um Deine Frage zu beantworten) ist es nicht möglich, jemals davon zu sprechen, man hätte alle Natürlichen Zahlen aufgezählt. Meine Frage diesbezüglich halte ich sehr wohl für sinnvoll. Nur scheint es dafür keine hinreichende Antwort zu geben. Außer der meinigen, daß eine nach oben hin offene Menge wie die Menge $\mathbb {N}$ in der Lage ist, für jede beliebige Menge genügend Elemente bereitstellen zu können, um eine Bijektion herstellen zu können. Auch für $\mathbb {R}$ (siehe mein simples Topfexperiment).

Wenn man von einem größten Element g in einer geordneten Menge $(A,\leq )$ spricht, dann geht dies nur, wenn ein solches größtes Element g tatsächlich existiert. Es reicht nicht, sich ein solches Element bloß vorzustellen oder es mittels einer Definition einfach als größtes Element zu bezeichnen. Ein solches größtes Element g muß ja selbst ein Element der Menge $A$ sein. Beispielsweise bei der Teilmenge von $\mathbb {Q}$ im Intervall [0;1] ist dieses g = 1. Aber welche Natürliche Zahl ist bei der Menge $\mathbb {N}$ = g? Da existiert kein solches g. Und die Definition dieses ominösen $\omega$ soll zum einen kein Element von $\mathbb {N}$ sein, und zum anderen halte ich diese Definition wie bereits mehrfach gesagt für paradox, ähnlich der Definition für den Barbier von Sevilla.--Wikilaser (Diskussion) 18:02, 6. Nov. 2017 (CET)

Du verstehst Axiom 5 immer noch falsch. Lerne Logik.

Auch für eine Formulierung wie "nach oben offen" musst du über alle Elemente sprechen, würde ich sagen. Etwa: "Für jedes Element gibt es ein größeres."

Um festzulegen, welche Eigenschaften größte Elemente haben sollen, brauchen diese noch nicht zu existieren. Nur so kann man ja sinnvollerweise Fragen (und dann widerlegen), ob $\mathbb {N}$ ein größtes Element hat.

Richtig, $\omega$ soll keine natürliche Zahl sein. Kann es ja nicht, weil es keine größte natürliche Zahl (in der üblichen Ordnung) gibt.

Ob du die Definition für paradox hältst, ist mir egal. Du brauchst das nicht immer wieder zu erzählen.

--Daniel5Ko (Diskussion) 19:04, 6. Nov. 2017 (CET)

Ich verstehe Axiom 5 genau so, wie es dasteht: Da soll eine Menge $X$ dahingehend überprüft werden, ob sie jedes Element der Menge $\mathbb {N}$ enthält (oder abgeschwächt, wie Du es hier ständig darstellst: ... ob sie jedes Element irgendeiner Menge $N$ enthält), und wenn es zutrifft, sei $\mathbb {N}$ bzw. $N$ eine Teilmenge von $X$.

Zu "nach oben hin offen": Es ist schon ein Unterschied, ob man in einer Rahmenbedingung für Elemente einer Menge festlegt, daß alle Elemente der Menge einen Nachfolger haben sollen, oder ob man im Rahmen einer Überprüfung einer solchen Menge tatsächlich alle Elemente dieser Menge erfassen kann. Ersteres geht, zweiteres geht nicht.

Ich wüßte nicht, in welcher sonstigen Ordnung die Natürlichen Zahlen ein größtes Element haben sollten. Wenn eine Menge ein größtes Element hat, dann kann es in einer aufsteigenden Ordnung das letzte Element sein, in einer anderen Ordnung kann es sich irgendwo mitten drin befinden oder auch ganz am Anfang. Wenn aber wie bei der Menge $\mathbb {N}$ eine Menge kein größtes Element hat, dann trifft das auf jede Ordnung zu.--Wikilaser (Diskussion) 00:04, 7. Nov. 2017 (CET)

Wieder stellst du Axiom 5 falsch dar. Wenn es so wäre, wie du sagst, lautete es

$\forall X.\ \mathbb {N} \subseteq X\implies \mathbb {N} \subseteq X$,

was wieder nur eine trivialerweise wahre Aussage ist und nichts fordert. Man kann es so auch nicht verwenden, um irgend etwas interessantes zu beweisen. Es ist wirklich wichtig, dass der Vordersatz $(0\in X\land \forall n\in \mathbb {N} .\ n\in X\Rightarrow {\mathsf {S}}(n)\in X)$ lautet und nicht $\mathbb {N} \subseteq X$.

Mit der Forderung, alle Elemente hätten einen Nachfolger, spricht man schon über alle Elemente. Außerdem, wie gesagt, kümmern sich die Axiome ja nicht darum, wo die Menge herkommt. Sie sind ein Forderungskatalog an ein Tupel.

Betrachte die Ordnung auf $\mathbb {N}$ definiert durch

$n\sqsubseteq m\quad :\Leftrightarrow \quad m=0\ \lor \ n\neq 0\land m\neq 0\land n\leq m$,

wobei das $\leq$ auf der rechten Seite die übliche Ordnung ist. Unter der Ordnung $\sqsubseteq$ ist $0$ das größte Element.

--Daniel5Ko (Diskussion) 10:10, 7. Nov. 2017 (CET)

Ich habe Axiom 5 lediglich verbal vereinfacht dargestellt, seine inhaltliche Aussage jedoch korrekt wiedergegeben. Verbal korrekt wird die 0 und mit jeder (natürlichen) Zahl n auch deren Nachfolger n' gefordert. Das ist inhaltlich nichts anderes, als daß jedes Element von $\mathbb {N}$ bzw. von $N$ gefordert wird.

Die Forderung, jedes Element hätten einen Nachfolger, bezieht sich zunächst einmal nur auf ein einzelnes Element für sich genommen. Erst die logische Schlußfolgerung daraus führt dazu, daß alle Elemente einen Nachfolger haben und es zudem kein größtes Element geben kann.

Was die Ordnung angeht, so mißachtest Du wieder einmal meine Bitte, zu einer in mathematischen Zeichen angegebenen Formel auch die entsprechende Übersetzung in alltagstaugliche Sprache mitzuliefern.

Sofern ich nun Deine angegebene Ordnung richtig verstehe, so betrachtest Du die 0 als größtes Element. Im Unterschied hierzu betrachte ich die 0 in Deiner Ordnung nicht als größtes, sondern als letztes Element in der Ordnung. Ein größtes Element der Natürlichen Zahlen gibt es ja nicht, wie Du auch bestätigt hast. Bei einer Ordnung geht es also lediglich um Positionen (im Sinne einer Reihenfolge), die von Elementen eingenommen werden können/sollen, nicht aber um deren Größe (als Zahlgröße verstanden).--Wikilaser (Diskussion) 13:22, 7. Nov. 2017 (CET)

"Das ist inhaltlich nichts anderes, als daß jedes Element von $\mathbb {N}$ bzw. von $N$ gefordert wird." Falsch. Axiom 5 mit deiner Version des Vordersatzes wird eine triviale Aussage, die insgesamt nichts fordert. Es hat dieselbe Wirkung wie $\emptyset =\emptyset$.

Ich habe $\sqsubseteq$ so definiert, dass 0 unter ihr größtes Element ist, und alle anderen natürlichen Zahlen in ihrerer gewohnten Ordnung darunter erscheinen. (D.h. 1 ist bzgl. $\sqsubseteq$ das kleinste Element von $\mathbb {N}$; gleich darüber liegt 2, dann kommt 3, etc..)

Wenn man eine Ordnung gegeben hat, ist bereits definiert, was ein "größtes Element" bzgl. der Ordnung ist. Da brauchst du nichts zu finden. Und ohne Angabe einer Ordnung ist es ein sinnloser Ausdruck. Allerdings kennt man ja auf vielen Mengen eine "Standard"-Ordnung. Die ist gemeint, wenn keine angegeben ist.

Mit ist allerdings nicht klar, wozu es gut sein soll, von hinten und vorn zu sprechen, statt von klein und groß. Dass es kein "hinter den natürlichen Zahlen" gibt, bestreitest du doch auch. Wenn's dem Verständis dient, können wird das allerdings so machen.

(und $(\mathbb {N} ,\sqsubseteq )$ ist übrigens ordnungs-isomorph zu $(\mathbb {N} \cup \{\omega \},\leq )$, letzteres mit der Standard-Ordnung.)

--Daniel5Ko (Diskussion) 20:20, 7. Nov. 2017 (CET)

Und nach welcher Natürlichen Zahl soll in Deiner Ordnung die 0 kommen? Nach der 1 nicht, weil vorher noch die 2 kommt. Nach der 2 ebenfalls nicht, weil vorher noch die 3 kommt. Auch nach der 3 kann die 0 nicht kommen, da vorher noch die 4 kommt, und das geht unendlich so weiter. Du siehst, die 0 kommt in Deiner Ordnung trotz Deiner Definition nicht vor, weil sie nach keiner Natürlichen Zahl kommen kann, und dies eben genau deshalb, weil jede Natürliche Zahl einen Nachfolger hat (Axiom 2). Deine Definition ist also genauso paradox wie die Definition von $\omega$ und die Definition des Barbiers von Sevilla.--Wikilaser (Diskussion) 23:31, 7. Nov. 2017 (CET)

Es gibt keine Zahl, hinter der die 0 kommt. Paradox ist das aber nicht. Die Ordnung ist halt so. Du gehst von weiteren, ungenannten, Voraussetzungen aus, um einen Widerspruch zu erhalten. --Daniel5Ko (Diskussion) 23:47, 7. Nov. 2017 (CET)

Deine Aussage "Es gibt keine Zahl, hinter der die 0 kommt." sagt genau das aus, was durch deine Ordnung passiert: Die 0 kommt nicht, sie existiert folglich nicht mehr, und das, obwohl Du sie im Rahmen Deiner Ordnung lediglich an eine andere (letzte oder meinetwegen auch größte) Position verschieben wolltest. Die Voraussetzungen, von denen Du behauptest, ich würde sie nicht nennen, hast Du selbst genannt: Deine Ordnung. Und die bewirkt genau dieses Paradoxon. Sieh es bitte ein, Du befindest Dich mit Deiner Ordnung auf dem Holzweg.--Wikilaser (Diskussion) 23:30, 8. Nov. 2017 (CET)

Du hast behauptet, es gebe bezüglich keiner Ordnung eine letzte/hinterste (Standard-Terminologie: größte) natürliche Zahl. Ich habe ein Beispiel angegeben, in dem das aber so ist (und wo es außerdem ein vorderstes (Standard-Terminologie: kleinstes) Element gibt). Einfaches Umdrehen würde auch gehen, und ein weiteres Beispiel liefern: In der üblichen Ordnung hat $\mathbb {N}$ ein vorderstes, aber kein hinterstes, Element. Definiert man eine neue Ordnung per $n\sqsubseteq m:\Leftrightarrow m\leq n$, gibt es bezüglich dieser ein hinterstes Element, und kein vorderstes.

Die Ordnungsrelation bewirkt nicht, dass Elemente verschwinden. Sie bewirkt höchstens, dass bestimmte Strategien, sich an der Ordnungsrelation entlangzuhangeln, nicht dazu geeignet sind, alle Elemente zu besuchen. --Daniel5Ko (Diskussion) 09:34, 9. Nov. 2017 (CET)

Deine umgekehrte Ordnung ist auch nicht geeignet, alle Elemente zu besuchen. Denn Du magst zwar in Deiner Ordnung die 0 als letztes Element definieren, aber Du mußt mit dem Besuchen aller Elemente auch bei einem Element beginnen. Da Deine Ordnung aber kein kleinstes (bzw. kein erstes) Element besitzt, fällt in diesem Fall der Beginn aus, was nichts anderes bedeutet, als daß auch dieser Versuch scheitert. Nochmal: Du befindest Dich auf dem Holzweg.--Wikilaser (Diskussion) 00:23, 10. Nov. 2017 (CET)

Für die umgekehrte Reihenfolge gibt es auch eine Strategie, alle Elemente zu besuchen: Fange beim letzten Element an und gehe von dort aus immer zum bzgl. der Ordnung unmittelbaren Vorgänger. (Wenn man die Elemente an sich betrachtet, besucht man also die natürlichen Zahlen in ihrer üblichen Reihenfolge.) --Daniel5Ko (Diskussion) 09:12, 10. Nov. 2017 (CET)

Deine umgekehrte Strategie führt auch nicht zum Erfolg, alle Elemente besucht zu haben. Denn in diesem Fall gehst Du ja auch von der 0 beginnend zu immer größeren Natürlichen Zahlen, und Du kommst niemals bei einer größten Natürlichen Zahl an (oder, um es in Deiner umgekehrten Reihenfolge auszudrücken: Du kommst niemals bei der ersten Position Deiner Reihenfolge an, wenn Du an deren letzter Position mit der 0 begonnen hast), weil es keine größte Natürliche Zahl gibt. Kurz gesagt, Du scheiterst schon wieder.--Wikilaser (Diskussion) 10:01, 10. Nov. 2017 (CET)

Es muss dafür keine größte (bzw. mit meiner Reihenfolge: vorderste) natürliche Zahl geben. Bleiben wir mal bei der normalen Ordnung. $X$ sei die Menge der besuchbaren Zahlen, wenn man bei 0 beginnt und immer von $n$ nach ${\mathsf {S}}(n)$ geht. Ich beweise jetzt $\mathbb {N} \subseteq X$, was dann heißt, dass alle Zahlen besuchbar sind. Und zwar wende ich dafür Axiom 5 an, und habe deswegen nur noch zu zeigen, dass 0 besuchbar ist, und dass wenn $n$ besuchbar ist, dann auch ${\mathsf {S}}(n)$. Beides gilt offensichtlich. --Daniel5Ko (Diskussion) 21:21, 10. Nov. 2017 (CET)

Selbstredend sind alle Natürlichen Zahlen potenziell besuchbar. Das ändert jedoch nichts daran, daß man zu keinem Zeitpunkt behaupten kann, alle Natürlichen Zahlen besucht zu haben. Zwischen potenziell besuchen können und tatsächlich besucht haben liegt der Unterschied, daß man niemals damit aufhören darf, weitere Natürliche Zahlen zu besuchen. Denn sobald man mit dem Besuchen aufhört, muß man erkennen, daß man wegen Axiom 2 immer noch nicht alle Natürlichen Zahlen besucht hat. Und aus genau diesem Grund kann man niemals davon sprechen, alle Natürliche Zahlen beisammen zu haben. Es kann dieses $\omega$ nicht geben, es kann sich nirgendwo auf der Zahlengeraden befinden.--Wikilaser (Diskussion) 23:08, 10. Nov. 2017 (CET)

Wenn man die "Zeit"punkte mit gleichem Abstand wählt, also etwa eine Sekunde, stimmt es natürlich, dass man niemals an allen natürlichen Zahlen vorbeigekommen ist.

Aber um Zeiten geht es eigentlich nicht. Und selbst wenn, kann man sich ja etwas besseres ausdenken. Zum Beispiel: die Dauer halbiert sich jedes mal. Zum Zeitpunkt $t_{0}$ wäre man bei der 0, zum Zeitpunkt $t_{0}+1{\mathsf {s}}$ bei der 1, zum Zeitpunkt $t_{0}+1{,}5{\mathsf {s}}$ wäre man bei der 2, zum Zeitpunkt $t_{0}+1{,}75{\mathsf {s}}$ bei der 3 usw. Zum Zeitpunkt $t_{0}+2{\mathsf {s}}$ wäre man an allen natürlichen Zahlen vorbeigekommen. (Ob man dann unbedingt genau bei $\omega$ ist, ist erstmal 'ne andere Frage.) --Daniel5Ko (Diskussion) 00:51, 11. Nov. 2017 (CET)

Mit Deiner Variante des Paradoxons von Achilles und der Schildkröte kannst Du mich nicht überzeugen.

Ich möchte gern wissen, wo auf der Zahlengeraden der Zustand zum Zeitpunkt Deines $t_{0}+2{\mathsf {s}}$ tatsächlich erreicht ist. Denn dazu müßte die Zahlengerade räumlich zusammengestaucht sein, was sie jedoch nicht ist. Bedenke bitte: Auf der Zahlengeraden sind die Natürlichen Zahlen in stets exakt gleichen Abständen angeordnet und es gibt keine größte Natürliche Zahl, also auch kein "dahinter". Interessant in diesem Zusammenhang ist (wie ich bereits erwähnte) Cantors erstes Diagonalargument, welches bei in aufsteigender Reihenfolge angeordneten Rationalen Zahlen (Anmerkung: Cantors Reihenfolge der Rationalen Zahlen springt einem logischen System folgend auf und ab und ist nicht der Größe nach geordnet) in unendlich kleinen Abständen unendlich viele Natürliche Zahlen aufeinander folgen läßt, ohne daß es zu einem Zustand wie zu Deinem Zeitpunkt $t_{0}+2{\mathsf {s}}$ kommt. Denn nach der Rationalen Zahl 1/1 kommen immer noch weitere Natürliche Zahlen, nach der Rationalen Zahl 2/1 ebenfalls, und auch nach den Rationalen Zahlen 3/1, 4/1, 5/1 etc. ebenfalls. Also kann es dieses $\omega$ nicht geben, es existiert nicht. Dieses $\omega$ ist schlicht eine Wunschvorstellung, ein Paradoxon. Ich würde sogar so weit gehen, daß alles, was sich auf die Existenz dieses $\omega$ stützt, als Science Fiction zu bezeichnen ist. Scheinbar sinnvoll weitergedacht vielleicht, aber eben nur erfunden, nicht existent.--Wikilaser (Diskussion) 10:28, 13. Nov. 2017 (CET)

Streich einfach mal die Zahlengerade aus deinem argumentativen Repertoire für diese Diskussion. Axiomatisierungen dienen gerade auch dazu, dass man ohne irgendwelche Begriffe von Zahlengeraden argumentieren kann. Und du siehst: Daniel und ich hatten es für unsere Argumente nie nötig, sich auf „die Zahlengerade“ zu beziehen. Wie du ja auch schon selber festgestellt hast, geht es bei den Ordnungen, über die wir hier reden, nur um die Festlegung eines „davor“ und „dahinter“ (die Ordnung kann man beliebig wählen, Hauptsache sie erfüllt die Definition einer Totalordnung) – „Größe von Abständen“ spielt da gar keine Rolle. Und das, was du „der Größe nach geordnet“ nennst, ist auch nur eine mögliche Ordnung unter vielen, auch nur eine Festlegung von „davor“ und „dahinter“, der man aber einen Namen gegeben hat (zum Beispiel „Standardordnung“ oder dergleichen). --Chricho ¹ ² ³ 12:01, 13. Nov. 2017 (CET)

Wozu soll das gut sein, die Zahlengerade aus meiner Argumentation zu streichen? Entweder stimmt etwas in der Mathematik mit der Realität überein, dann akzeptiere ich das, oder es stimmt nicht mit der Realität überein, dann bezeichne ich das als Science Fiction. Und in der Realität (Du würdest das vermutlich als Standardordnung bezeichnen) liegen die Natürlichen Zahlen nun einmal auf der Zahlengeraden der Größe nach geordnet hintereinander. Dasselbe tun auch die Rationalen Zahlen und die Reellen Zahlen. Mir scheint, Du (oder allgemeiner: manche Mathematiker) versuchst bewußt, die Realität auszublenden, um irgendeinen Quark zusammendefinieren zu können, der (wie mir scheint) nur einen Zweck hat: Die Laien zu verwirren. (ich weiß, das klingt jetzt etwas derb, aber dieser Eindruck drängt sich mir momentan geradezu auf)

Verstehe ich Dich richtig, daß eine Menge die Definition einer Totalordnung auch dann erfüllt, wenn sie nicht in der Standardordnung (also in auf- oder absteigender Reihenfolge) angeordnet ist? Falls ja, was soll dann überhaupt eine Totalordnung sein? Nur als Hintergrund hierzu: In Cantors erstem Überabzählbarkeitsbeweis ist auch von einer Totalordnung die Rede. Allerdings ist sie dort genau so gemeint, daß alle Elemente einer total geordneten Menge ausnahmslos der Größe nach geordnet sind.--Wikilaser (Diskussion) 23:14, 13. Nov. 2017 (CET)

Du sollst sie streichen, damit sie anschließend zum Beispiel durch axiomatisch definierte reelle Zahlen definiert werden kann.

Siehe Totalordnung, dort siehst du die Eigenschaften, die erfüllt sein müssen, die Standardordnung ist da nur ein Beispiel. Kennt jeder vom Computer: Man kann erst nach Name oder erst nach Änderungsdatum sortieren, erst alle Großbuchstaben, dann alle Kleinbuchstaben oder Groß- und Kleinbuchstaben jeweils entsprechend beisamme sortieren, lexikographisch oder erst nach Länge (siehe das Beispiel oben …). Entsprechend kann man auf jeder Menge (wenn man sie gut genug kennt) zahlreiche Ordnungen definieren, auch auf den natürlichen Zahlen eben nicht nur eine. --Chricho ¹ ² ³ 10:40, 16. Nov. 2017 (CET)

Nochmal: Wenn eine Axiomatisierung eine von der Realität abweichende Definition hervorbringt, dann bezeichne ich das als Science Fiction.

Den Artikel Totalordnung habe ich gelesen. Deshalb ja meine Frage, weil dort von Eigenschaften die Rede ist, aber nicht klar ist, ob sie alle stets gleichzeitig gelten sollen. Ansonsten siehe Cantors ersten Überabzählbarkeitsbeweis, wo es um eine Ordnung der Größe nach geht.

Das Vertrackte an Mengen mit unendlich vielen Elementen ist, daß man niemals damit fertig wird, sie umzusortieren (weil wir Menschen nun einmal leider nur endlich viel Zeit hierfür zur Verfügung haben). Das macht es so unübersichtlich. Und es erweckt den Anschein, man könne eine Ordnung angeben, in der bestimmte Elemente nicht mit Natürlichen Zahlen erreicht werden könnten. Ist jedoch eine Menge nachgewiesenermaßen abzählbar unendlich, so stehen in jeder (!) wie auch immer umsortierten Reihenfolge genügend Natürliche Zahlen zur Verfügung, um allen (sofern man das bei unendlichen Mengen überhaupt sagen kann) Elementen dieser Menge jeweils eine Natürliche Zahl zuordnen zu können. Da die Bijektion bereits existiert, bewirkt die Umsortierung in eine Ordnung, in der zuerst alle Elemente mit einer bestimmten Eigenschaft kommen sollen, keineswegs, daß den Elementen mit anderen Eigenschaften keine Natürlichen Zahlen mehr zugeordnet werden könnten. Eine Umsortierung bewirkt lediglich den Austausch von bereits zugeordneten Natürlichen Zahlen gegen andere Natürliche Zahlen.--Wikilaser (Diskussion) 20:20, 16. Nov. 2017 (CET)

Mehr oder minder richtig, bloß beim „Austausch von bereits zugeordneten Natürlichen Zahlen gegen andere Natürliche Zahlen“ kann sich evtl. die Ordnung der natürlichen Zahlen so sehr verändern, dass in der neuen Ordnung zum Beispiel die $1$ erst hinter allen anderen natürlichen Zahlen kommt, die neue Ordnung ist nicht isomorph zur Standardordnung. --Chricho ¹ ² ³ 20:24, 16. Nov. 2017 (CET)

Da hast Du jetzt etwas mißverstanden. Bei der Erstellung einer Bijektion einer Menge $X$ mit der Menge $\mathbb {N}$ befinden sich die Elemente der Menge $\mathbb {N}$ in ihrer Standardordnung (und bleiben es auch für jede andere Zuordnung im Rahmen einer anderen Ordnung der Menge $X$), während sich die Menge $X$ nicht (oder nicht unbedingt) in ihrer Standardordnung befinden muß.--Wikilaser (Diskussion) 17:09, 17. Nov. 2017 (CET)

Du hast eine abzählbare Menge $X$ und eine Menge $\mathbb {N}$ und zwischen beiden eine Bijektion $f:\mathbb {N} \rightarrow X$. $\mathbb {N}$ sei mit der üblichen Ordnung $\leq$ ausgestattet, $X$ mit einer anderen Ordnung (seien zum Beispiel $X$ die rationalen Zahlen mit der üblichen Ordnung, oder die endlichen Wörter über dem Alphabet $A\ldots Z$ in lexikographischer Ordnung), nennen wir sie $\sqsubseteq$. Wir können nun sagen, dass dadurch gewissermaßen die natürlichen Zahlen auch in eine andere Ordnung gebracht werden, indem wir $n\preccurlyeq m$ definieren als genau dann gültig, wenn $f(n)\sqsubseteq f(m)$.

Jedenfalls gibt es viele verschiedene mögliche Ordnungen auf den natürlichen Zahlen (darunter auch einige, bei denen manche Zahlen hinter unendlich vielen anderen kommen), und zu bestimmen, wie die Standardordnung aussieht, ist ein Nebeneffekt der Peano-Axiome, wofür dabei auch Axiom 5 nötig ist. --Chricho ¹ ² ³ 17:25, 17. Nov. 2017 (CET)

Und wieder neue Zeichen ohne Erklärung in alltagstauglicher Sprache. Es nervt langsam!

Was das Thema Bijektion angeht, so geht es doch in der Regel darum, eine Bijektion mit der Menge $\mathbb {N}$ in ihrer natürlichen Ordnung (=Standardordnung) zu bilden. Wenn wir die Menge $\mathbb {Q}$ nehmen, wie Cantor sie anordnete, dann ergibt sich eine Reihenfolge

1/1 - 1/2 - 2/1 - 3/1 - (2/2) - 1/3 - 1/4 - 2/3 - 3/2 - 4/1 - 5/1 - (4/2) - (3/3) - (2/4) - 1/5 - 1/6 ... etc.

(in Klammern die kürzbaren Rationalen Zahlen, die in gekürzter Form schon in der Reihe enthalten sind).

Darunter stehen dann die Natürlichen Zahlen in der Reihenfolge

1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 ... etc.

Wenn man nun die Rationalen Zahlen in die Reihenfolge umsortieren will, in der sie auf der Zahlengeraden angeordnet sind (also der Größe nach aufsteigend bzw. in ihrer Standardordnung), benötigt man unendlich viele Umsortierschritte. Wie gesagt, das kann man als Mensch nicht tatsächlich zu Ende bringen, man muß es sich daher zu Ende gebracht denken. Während in Cantors Ordnung die Rationale Zahl 1/2 auf die Natürliche Zahl 2 fällt, muß am Ende des Umsortierens der Rationalen Zahlen die Rationale Zahl 1/2 auf eine unendlich große Natürliche Zahl fallen, weil in der Standardordnung der Rationalen Zahlen auf der Zahlengeraden zwischen 0 und 1/2 unendlich viele Rationale Zahlen liegen.

Nebenbei bemerkt ist dies ein Anhaltspunkt (wenn nicht sogar ein Beweis), daß es unendlich große Natürliche Zahlen gibt.--Wikilaser (Diskussion) 00:00, 18. Nov. 2017 (CET)

Bei Bijektionen geht es nicht immer um $\mathbb {N}$, und Ordnungen sind irrelevant. Dass $\mathbb {N}$ und $\mathbb {Q}$ gleichmächtig sind, gilt unabhängig von irgendwelchen auf ihnen betrachteten Ordnungen.

Man kann aber, wie Chricho gerade explizit geschrieben hat, und ich vor einer Weile angedeutet habe, anhand einer gegebenen Ordnung $\leq$ auf $X$ und einer Bijektion $h\colon X\to Y$ eine Ordnung $\leq '$ auf $Y$ definieren ($a\leq 'b:\Leftrightarrow h^{-1}(a)\leq h^{-1}(b)$). $(X,\leq )$ und $(Y,\leq ')$ sind dann als geordnete Mengen isomorph. Unter "Umsortierung" (per Bijektion) verstehe ich genau so etwas, nur halt in dem Spezialfall mit $X=Y$. Das wiederum bedeutet, dass $\mathbb {Q}$ mit der, ich nenne sie mal so, "Cantor-Ordnung" gar nicht so umsortiert werden kann, dass die übliche Ordnung auf $\mathbb {Q}$ herauskommt, da die beiden geordneten Mengen nicht isomorph sind. Mit einer Anzahl von Schritten, die ein Mensch durchführen muss, braucht man hier gar nicht zu argumentieren.

Umgekehrt kann man ausgehend von der Standardordnung auf $\mathbb {Q}$ und einer Bijektion zwischen $\mathbb {Q}$ und $\mathbb {N}$ eine neue Ordnung auf $\mathbb {N}$ definieren. Sie ist nicht aus der Standardordnung auf $\mathbb {N}$ durch Umsortieren erreichbar, und sie bedeutet auch nicht, dass es unendlich große natürliche Zahlen gäbe (wollten wir "Größe" nicht ausschließlich auf die Standardordnung beziehen?). --Daniel5Ko (Diskussion) 01:19, 18. Nov. 2017 (CET)

Bijektionen

Moment mal: Unter einer Bijektion versteht man doch, daß eine Menge $X$ genausoviele Elemente enthält wie eine Menge $Y$, sprich daß für jedes Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zur Verfügung steht. Richtig? Wenn man nun die Abzählbarkeit einer unendlichen Menge im Rahmen einer Bijektion betrachten will, dann muß man hierfür den Vergleich mit der Menge $\mathbb {N}$ anstellen. Richtig? Jetzt ist aber das Seltsame an Cantors erstem Diagonalargument, daß die Menge $\mathbb {Q}$ sowohl sämtliche Elemente von $\mathbb {N}$ enthält als auch weitere Elemente, die nicht in $\mathbb {N}$ enthalten sind. Trotzdem ist es Cantor gelungen, eine Bijektion zwischen $\mathbb {Q}$ und $\mathbb {N}$ herzustellen. Das beweist uns, daß es sehr wohl auf die Ordnung im Rahmen einer Bijektion ankommt. Im Grunde ist es immer möglich, die Elemente von grundsätzlich jeder Menge als Objekte aufzufassen, die man abzählen kann. Somit steht die Unendlichkeit der Menge $\mathbb {N}$ gewissermaßen über der Unendlichkeit anderer Mengen. Und zwar nicht im Sinne einer höheren Mächtigkeit, sondern im Sinne einer Heraushebung der Menge $\mathbb {N}$ aus der Menge aller Objekte, die man abzählen kann. Sie ist gewissermaßen das Werkzeug, mit dem andere Objekte abgezählt werden können. Und da sie Werkzeug ist, wird sie selbst nicht "verarbeitet". Ich weiß, das klingt schon fast philosophisch, aber aus einer höheren Warte betrachtet ist der Zusammenhang so. Was nun die Standardordnung angeht, auf die man "Größe" bezieht, so kann man auf der Grundlage meiner obigen Überlegung meines Erachtens nach gar keinen anderen Schluß ziehen als den, daß es unendlich große Natürliche Zahlen geben muß. Denn die Standardordnung der Natürlichen Zahlen bleibt ja bei meiner Umsortierung von $\mathbb {Q}$ erhalten, es werden ihnen nur andere Rationale Zahlen zugeordnet. Und wieso soll die Cantor-Ordnung nicht in eine aufsteigende Ordnung umsortiert werden können? Schritt 1 ist die Umsortierung von 1/1 - 1/2 - 2/1 - 3/1 - 1/3 - 1/4 - 4/1 ... zu 1/1 - 1/3 - 1/2 - 2/1 - 3/1 - 1/4 - 4/1 ..., Schritt 2 ist die weitere Umsortierung in 1/1 - 1/4 - 1/3 - 1/2 - 3/1 - 4/1 ... und so weiter. Wie ich schon sagte, sind zur Vollendung dieser Umsortierung unendlich viele Umsortierschritte erforderlich, was wir Menschen jedoch aufgrund der Endlichkeit der uns zur Verfügung stehenden Zeitspanne unseres Lebens nun einmal nicht leisten können. Folglich muß man sich diesen Umsortiervorgang mit unendlich vielen Arbeitsschritten als vollendet vorstellen, weil sich die Rationalen Zahlen ja auf der Zahlengeraden, also in ihrer Standardordnung, tatsächlich in einwandfrei aufsteigender Ordnung befinden. Ich sehe da kein Problem. Wie schon gesagt, erscheint mir Euer Versuch, mir irgendwelche Ordnungen anzugeben, für die die Natürlichen Zahlen nicht zum Abzählen ausreichen, als untauglicher Versuch, Verwirrung zu stiften. Für mich ist offensichtlich, daß man mit den Elementen der Menge $\mathbb {N}$ genau deswegen ausnahmslos jede Menge abzählen kann, weil sie gemäß Axiom 2 kein größtes Element enthält und folglich nach oben hin offen ist.--Wikilaser (Diskussion) 16:34, 18. Nov. 2017 (CET)

Nein, eine Bijektion ist eine Funktion $f\colon X\to Y$ (sprich: von $X$ nach $Y$), sodass jedes Element von $Y$ genau einmal getroffen wird. Mit Ordnungen hat eine Bijektion an sich nichts zu tun, es kommt auf sie nicht an. Lies diesen Punkt bitte zweimal und schau vllt. auch in den Artikel Bijektion, ohne das Verständnis wirst du nämlich hier nicht weiterkommen!

Und nein, $\mathbb {N}$ hat keine hervorgehobene Stellung unter den abzählbaren Mengen. Wir könnten genauso gut zum Beispiel nur die Menge der geraden Zahlen nehmen, um Abzählbarkeit zu definieren. Und auch wenn $\mathbb {N}$ das „Werkzeug“ ist, wird es trotzdem selber auch „verarbeitet“: Es existieren nämlich Bijektionen (zum Beispiel die identische Abbildung, die jeder natürlichen Zahl sich selbst zuordnet) von $\mathbb {N}$ nach $\mathbb {N}$.

Und wenn wir „Umsortierung“ so definieren, wie Daniel es oben vorgemacht hat, man könnte auch „Umbenennung“ sagen, dann liefert dein Verfahren eben keine Umsortierung: Es zeigt nur, dass sich die Ordnung der rationalen Zahlen in einem gewissen Sinne als Grenzwert von unendlich vielen Ordnungen, die sich durch Umsortierung ergeben, darstellen lässt, dieser Grenzwert selbst, nämlich die Ordnung der rationalen Zahlen, lässt sich aber nicht mehr als solche Umsortierung darstellen. --Chricho ¹ ² ³ 17:33, 18. Nov. 2017 (CET)

Deine Funktion, bei der jedes Element genau einmal getroffen wird, ist nur ein anderer Ausdruck dafür, daß die beiden Mengen genau gleich viele Elemente besitzen. Mag sein, daß man eine Bijektion $\mathbb {N}$ nach $\mathbb {N}$ auch in sehr vielen unterschiedlichen Anordnungen zueinander angeben kann. Aber wozu soll das gut sein? Es ist doch tausendmal besser, wenn eine Zuordnung möglichst übersichtlich ist. Dann weiß man, daß beide Mengen zueinander gleichmächtig sind. Das ändert aber nichts daran, daß $\mathbb {N}$ beim Abzählen den besonderen Status eines Werkzeugs besitzt. Dies deshalb, weil es keinen Sinn ergibt, in Schritten von 2, 4, 6, 8, ... abzuzählen, wenn wir Menschen nun einmal von Kindesbeinen an gelernt haben, in Schritten von 1, 2, 3, 4, 5, ... abzuzählen. Man muß nicht mit Gewalt Dinge anders machen, nur um letztlich zum gleichen Ergebnis zu kommen.

Was nun die Wichtigkeit von Ordnungen angeht, so argumentierst Du ja selbst mit Ordnungen, versuchst jedoch gerade solche Ordnungen anzugeben, bei denen Du aus Deiner Perspektive nicht zu dem Ergebnis kommst, daß die Natürlichen Zahlen für die Abzählung ausreichen. Genau das kann man doch auch bei Cantors Ordnung der Rationalen Zahlen machen. Du gehst einfach zuerst waagerecht durch sämtliche Rationalen Zahlen mit Zähler 1, dann reichen aus Deiner Pespektive die Natürlichen Zahlen nicht für alle Rationalen Zahlen. Oder Du gehst zuerst senkrecht durch sämtliche Rationalen Zahlen mit Nenner 1, dann reichen die Natürlichen Zahlen auch nicht für alle Rationalen Zahlen. Der "Trick", den Cantor benutzte, nennt sich "Einfügen", und schon gelingt das "Wunder", daß eine Menge, die augenscheinlich mehr Elemente besitzt als die Menge der Natürlichen Zahlen, doch nur genausoviele Elemente besitzt. Mit anderen Worten, Cantor hat uns vor Augen geführt, daß die Menge der Natürlichen Zahlen nach oben hin offen ist, und diesen Umstand nutzt er, um eben beweisen zu können, daß unterschiedliche Mengen trotzdem als gleichmächtig gelten können.

Wo ich nicht mitgehe, ist Cantors Behauptung, die Reellen Zahlen seien von höherer Mächtigkeit als die Natürlichen Zahlen. Denn Cantors Methode des Einfügens kann man auf die Reellen Zahlen genauso anwenden. Und gerade weil Du hier jetzt gegen Ordnungen argumentierst, halte ich Dir mein Topf-Experiment entgegen. Hier ist überhaupt keine Ordnung nötig, ja man kann es sogar so machen, daß man jeweils blind in die beiden Töpfe greift, um jeweils eine Natürliche und eine Reelle Zahl herauszunehmen. Der Topf mit den Natürlichen Zahlen wird niemals leer werden, während zugleich im Topf der Reellen Zahlen noch Zahlen übrig sind, denen man nun keine Natürlichen Zahlen mehr zuordnen kann.

Also: Beweise endlich, daß der Topf mit den Natürlichen Zahlen leer wird, wenn Du weiterhin behaupten willst, Recht zu haben!--Wikilaser (Diskussion) 19:39, 18. Nov. 2017 (CET)

„Deine Funktion, bei der jedes Element genau einmal getroffen wird, ist nur ein anderer Ausdruck dafür, daß die beiden Mengen genau gleich viele Elemente besitzen.“ Nein, eine Funktion ist etwas grundsätzlich anderes als eine Aussage! So viel Unterscheidung muss sein. Die Aussage „$X$ und $Y$ sind gleichmächtig“ ist eine Aussage – eine Bijektion $f\colon X\to Y$ ist eine Funktion. Und Gleichmächtigkeit definiert sich durch die Existenz einer Bijektion.

Mag ja sein, dass es „natürlich“ ist, die natürlichen Zahlen und nicht nur die geraden zu nehmen, aber dennoch gilt: „Auch das Werkzeug wird verarbeitet“ (mit sich selbst!).

„Der "Trick", den Cantor benutzte, nennt sich "Einfügen" […]“ – bloß lässt sich dieser „Trick“ nicht durch Umsortieren der rationalen Zahlen im oben genannten Sinne bewerkstelligen – durch „Umsortieren“/„Umbenennen“ bekommt man die rationalen Zahlen nicht in eine Ordnung, die der der natürlichen Zahlen entspricht.

„Cantor hat uns vor Augen geführt, daß die Menge der Natürlichen Zahlen nach oben hin offen ist […]“ Nö, das wussten schon vorher alle Leute seit der Antike.

Zum Topfexperiment: Der Topf mit den natürlichen Zahlen geht im Grenzwert $n\to \infty$ alle, alle natürlichen Zahlen werden erschöpft. Cantors zweites Diagonalargument zeigt, dass, wenn man immer gleichzeitig die nächste natürliche Zahl und eine reelle Zahl entfernt (aus dem „Topf“), das dann auch im Grenzwert notwendig reelle Zahlen übrigbleiben, das heißt, es gibt immer eine reelle Zahl, die nie getroffen wird. --Chricho ¹ ² ³ 20:15, 18. Nov. 2017 (CET)

Vielleicht sollten wir erst einmal grundsätzlich klären, was eine Funktion und was eine Bijektion ist. Eine Funktion ist eine Art Handlungsauftrag, eine Bijektion dagegen ist ein mögliches Ergebnis eines solchen Handlungsauftrages. Es kann dabei je nach Voraussetzung aber auch eine Surjektion oder etwas anderes herauskommen.

Deine Funktion, bei der jedes Element genau einmal getroffen wird, ist eine Funktion mit einem Ergebnis. Nämlich mit dem Ergebnis einer Bijektion. Somit ist meine Aussage völlig richtig, daß Deine Funktion nur ein anderer Ausdruck dafür ist, daß beide Mengen gleich viele Elemente besitzen.

Deine Behauptung, durch Umsortierung/Umbenennung würden die Rationalen Zahlen nicht in eine Ordnung gebracht werden können, wie sie den Natürlichen Zahlen entspricht, ist für mich nicht nachvollziehbar. Ich habe Dir den ersten und zweiten Schritt dargestellt, und jeder weitere von nun einmal unendlich vielen Schritten ist logisch nachvollziehbar. Also werden die Rationalen Zahlen durch diese Umsortierung eindeutig in eine aufsteigende Reihenfolge bzw. Ordnung gebracht. Da kann man nicht dran rütteln.

Was Dein Verständnis von Cantors zweitem Diagonalargument angeht, so liegst Du meines Erachntens nach komplett daneben. Cantor will eine Reelle Zahl definieren, indem er Stelle für Stelle seiner Zahl definiert. Dabei geht er zwar auch jedesmal eine Zahl nach der anderen in der vorgelegten Folge weiter. Die Frage, ob er dabei alle Zahlen der Folge abarbeitet, wird hierdurch jedoch überhaupt nicht beantwortet.

Denn angenommen, die Folge enthielte nur genauso viele Zahlen, wie es Stellen hinter dem Komma gibt, und keine einzige mehr (sprich im Verhältnis n zu n), würde sich für Cantor zwar eine Zahl ergeben, die sich von allen Zahlen der Folge unterscheidet, jedoch könnte man diesem Fall vorbeugen und einfach genau diese Zahl hinten an die Folge anhängen, und man hätte eine Folge, in der jede einzelne Zahl über n Stellen hinter dem Komma verfügt, jedoch würde die Folge selbst dann n + 1 Elemente besitzen, und n + 1 ist gemäß Axiom 2 eine Natürliche Zahl. Legt man nun Cantor diese modifizierte Folge vor, so ist seine eigene Zahl genau eine Position vor der letzten Position der Folge vollendet, was nichts anderes bedeutet, als daß er die Folge eben nicht vollständig abgearbeitet haben kann. Und Cantor hätte zudem eine Zahl definiert, die sich nur von den ersten n Zahlen der Folge unterscheidet, die aber als Element n + 1 trotzdem in der Folge enthalten ist. Nebenbei bemerkt ist das Verhältnis von Stellen eines Stellenwertsystems zu den im Rahmen dieses Stellenwertsystems erzeugbaren Zahlen stets n zu b^n und nicht n zu n.--Wikilaser (Diskussion) 09:31, 20. Nov. 2017 (CET)

Nein, eine Bijektion ist nicht ein „mögliches Ergebnis“, sondern eine Funktion mit bestimmten Eigenschaften. Ohne Verständnis davon hat es keinen Sinn, über die Cantor’schen Argumente zu diskutieren. Klären wir erst einmal, was eine Funktion ist: Eine Funktion $f$ von der Menge $X$ in die Menge $Y$ (man schreibe: $f\colon X\to Y$ – lerne Notationen!) ist grob gesprochen ein mathematisches Objekt, sodass für jedes $x$ aus der Menge $X$ (man schreibe: $x\in X$) das Objekt $f(x)$ ein Element von $Y$ ist (und zwei Funktionen $f\colon X\to Y$ und $g\colon X\to Y$ sind gleich, wenn für alle $x\in X$ gilt: $f(x)=g(x)$). Eine Bijektion ist nun eine Funktion $f\colon X\to Y$, sodass für alle $y\in Y$ genau ein $x\in X$ existiert, sodass $f(x)=y$. Die Funktion $f$ heißt dann Bijektion (Bijektivität ist eine mögliche Eigenschaft von Funktionen), nicht irgendein Ergebnis. Lerne nicht nur Logik, sondern auch mathematische Grundbegriffe von unten auf!

Das Problem mit deinen unendlich vielen Schritten ist, dass du damit nicht eine Umsortierung (im Sinne von Umbenennung, s.o.) angibst, sondern unendlich viele, die nur im Grenzwert die gewünschte neue Ordnung liefern. Aber ohne Verständnis, was eine Bijektion ist, wirst du wohl das auch nicht verstehen (denn wir haben oben „Umsortierung“/„Umbenennung“ über Bijektionen definiert). --Chricho ¹ ² ³ 10:08, 20. Nov. 2017 (CET)

Es gleicht fast einem Wunder, daß ich das noch erleben darf: Du erklärst endlich einmal Deine Notation in verständlicher Sprache. Erst einmal danke hierfür. Weiter so!

Wenn ich nun lese, was Du schreibst, dann erkenne ich, daß es schlußendlich auf dasselbe hinausläuft: Für jedes Element aus X steht ein Element aus Y zur Verfügung und umgekehrt. Was ist das bitte anderes als eine Bijektion? Du scheinst das als eine Aussage anzusehen, ich als einen Vorgang. Oder siehst Du das womöglich umgekehrt?

Zu Cantors zweitem Diagonalargument und meiner Überlegung dazu wäre es schon sinnvoll, wenn Du Dich nicht einer Diskussion verweigern würdest. Mag ja sein, daß es Dir schwerfällt, über so ein Thema in allgemeinverständlicher Sprache zu diskutieren, aber nur so kommen wir meines Erachtens nach weiter.--Wikilaser (Diskussion) 00:43, 21. Nov. 2017 (CET)

Bezüglich der Überabzählbarkeit von $\mathbb {R}$ schlage ich vor, erst einmal etwas simpleres zu betrachten. (Komplizierend wirkt ja, dass z.B. $0{,}39999...$ dieselbe reelle Zahl bezeichnet wie $0{,}40000....$ und $0{,}4$). Nämlich zeigen wir, dass es keine Surjektion $f\colon \mathbb {N} \to D^{\mathbb {N} }$ gibt, wobei $D$ die Menge der Dezimal-Ziffern, $\{0,\dots ,9\}$, ist und $D^{\mathbb {N} }$ die Menge aller unendlichen Folgen über $D$, als Funktionen $\mathbb {N} \to D$ modelliert.

Dazu folgendes Lemma (Lawvere): Sei $f\colon \mathbb {N} \to D^{\mathbb {N} }$ eine Surjektion und $g\colon D\to D$ eine beliebige Funktion. Dann hat $g$ einen Fixpunkt, d.h. ein $d\in D$ mit $g(d)=d$. Beweis: Wir definieren eine Funktion $h\colon \mathbb {N} \to D$ (also ein Element von $D^{\mathbb {N} }$) per $h(x):=g(f(x)(x))$. Da $f$ surjektiv sein soll, existiert ein $n$ mit $f(n)=h$. Mit diesem gilt dann $f(n)(n)=h(n)=g(f(n)(n))$, also ist $f(n)(n)$ Fixpunkt von $g$.

Gehst du bis hierhin mit? (Beachte auch, dass nirgends unendlich viele Schritte gemacht wurden; die Definition von $h$ geschah durch eine einfache Zuordnungsvorschrift.)

Ein Korollar des Lemmas ist jedenfalls : Wenn es eine Funktion $g\colon D\to D$ ohne Fixpunkte gibt, dann gibt es keine Surjektion $f\colon \mathbb {N} \to D^{\mathbb {N} }$.

$g(d):={\begin{cases}5&{\text{falls }}d\neq 5\\4&{\text{falls }}d=5\end{cases}}$

definiert aber eine Funktion $D\to D$ ohne Fixpunkt.

--Daniel5Ko (Diskussion) 11:54, 21. Nov. 2017 (CET)

Nein, da gehe ich nicht mit. Und zwar bereits deshalb, weil Du behauptest, nirgends unendlich viele Schritte gemacht zu haben, aber zugleich von einer Menge aller unendlichen Folgen sprichst. Das widerspricht sich. Ferner widerstrebt es mir, 0,40000... und 0,39999... als gleich anzusehen. Denn die Zahlendarstellungen sind eindeutig unterschiedlich. Ich kenne auch den Artikel über die Uneindeutigkeit von Zahlendarstellungen. Nur stimme ich nicht damit überein, daß zwischen zwei Reellen Zahlen stets eine weitere Reelle Zahl liegen müsse. Wozu auch? Die beiden Zahlen liegen direkt nebeneinander, und ihr Abstand ist unendlich klein. So klein, daß eben keine weitere Reelle Zahl mehr dazwischenpaßt. Ich weiß, Du wirst jetzt behaupten, daß zwischen zwei Reellen Zahlen stets eine weitere, und damit letztlich sogar unendlich viele andere Reelle Zahlen liegen müssen. Aber das gilt nur, solange man zwei Zahlen betrachtet, die einen endlichen Abstand voneinander haben. Bei einem unendlich kleinen Abstand wie hier ist das jedoch nicht mehr der Fall. Man hat bei der Betrachtung dieser beiden Zahlen sozusagen mit dem Zoom unendlich nah herangezoomt.--Wikilaser (Diskussion) 23:09, 22. Nov. 2017 (CET)

Nochmal: Du hast hier keinen Anspruch, dass ich dir ein Lernprogramm nach deinem Gusto gestalte. Ich habe auf deine Überlegungen nicht gewartet, ich bin nicht dazu verpflichtet, dir zu helfen, deine Missverständnisse auszuräumen.

Eine Bijektion (gleichbedeutend: bijektive Funktion) ist eine Funktion, so wie das Gnu eine Antilope ist, ein feminines Substantiv ein Substantiv, eine gerade Zahl eine ganze Zahl oder eine lineare Funktion eine Polynomfunktion ist. Man kann über Unendliches genauso wie über Endliches Aussagen machen, ohne dabei unendlich viele Schritte durchzuführen. --Chricho ¹ ² ³ 14:19, 23. Nov. 2017 (CET)

Was hältst du denn von diesem klassischen Beweis, dass für jede Menge $X$ jede Funktion $f\colon X\to {\mathcal {P}}(X)$ (von $X$ in die Potenzmenge von $X$) nicht surjektiv (insbesondere also auch nicht bijektiv) ist: Definiere die Menge $Y=\left\{x\in X\mid x\notin f(x)\right\}$. Sei nun $x\in X$ beliebig. Dann ist $f(x)\neq Y$, denn wäre $x\in Y$, dann wäre $x\notin f(x)$, also $f(x)\neq Y$; wäre hingegen $x\notin Y$, dann wäre $x\in f(x)=Y$, also wiederum $f(x)\neq Y$. Folglich wird $Y$ von der Funktion $f$ nicht „getroffen“, $f$ ist nicht surjektiv.

Daraus folgt: Es gibt keine Bijektion zwischen $\mathbb {N}$ und der Potenzmenge ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$. Was sagst du? --Chricho ¹ ² ³ 16:32, 23. Nov. 2017 (CET)

Lieber Chricho, Du bist nicht verpflichtet, mir ein Lernprogramm nach meinem Gusto zu liefern, darin stimme ich Dir zu. Allerdings erschwert es unsere Kommunikation über mathematische Inhalte erheblich, wenn Du mit Formelzeichen ohne jegliche Übersetzung herumhantierst. Ich bin nun einmal kein gelernter Mathematiker, sondern ich beschäftige mich mit einzelnen Aussagen der Mathematik.

Was nun Deinen klassischen Beweis angeht, so habe ich ja bereits mehrfach gesagt, daß die Menge $\mathbb {N}$ eine nach oben hin offene Menge ist, die nicht durch ein größtes Element abgeschlossen wird. Dementsprechend stimme ich auch nicht der Aussage zu, es gäbe eine Potenzmenge ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$. Wie willst Du die denn herstellen, wenn Du noch nicht einmal die Menge $\mathbb {N}$ vollständig herstellen kannst. Das ist eine Wirkung bzw. Folgewirkung von Axiom 2.

Nebenbei würde mich noch interessieren, was Du zu meiner Überlegung hinsichtlich Cantors zweitem Diagonalargument sagst. Du erinnerst Dich: In jedem Stellenwertsystem verhalten sich die Anzahl der Systemstellen hinter dem Komma zur Anzahl der hieraus herstellbaren Reellen Zahlen zwischen 0 und 1 nicht wie n zu n, sondern wie n zu b^n. Cantor jedoch geht (wohl ausschließlich wegen der Unendlichkeit beider Parameter) davon aus, daß dabei lediglich n zu n vorliegt. Also würde Cantors zweites Diagonalargument bereits widerlegt, wenn man eine unendliche Folge mit n + 1 Elementen herstellt (wobei das n + 1 ste Element der Folge durch Cantors Methode definiert und der Folge mit n Elementen am Ende hinzugefügt wird). Die wäre davon abgesehen noch lange nicht vollständig hinsichtlich des Intervalls [0;1], würde aber Cantors Zahl, die bereits nach n Definitionsschritten vollständig vorliegt, in doppelter Hinsicht widersprechen: Erstens hätte er nicht die ganze Folge abgearbeitet und zweitens hätte er eine Zahl definiert, die in der Folge enthalten ist.--Wikilaser (Diskussion) 20:00, 23. Nov. 2017 (CET)

Wann immer du davon redest, dass es keine größte natürliche Zahl gibt, dass es eine Bijektion zwischen rationalen und natürlichen Zahlen gibt, von 0,399999… etc. sprichst du über alle natürlichen Zahlen. Ja mehr noch, du sprichst sogar über alle Mengen, sagst, dass alle Mengen abzählbar seien. Mir hingegen willst du meine präzisen Redeweisen, . Ich kann schlichtweg nicht erkennen, dass du ein kohärentes Konzept hast, nach dem du die Grenzlinie ziehst zwischen unerlaubter Rede über das aktual Unendliche und erlaubter Rede über das potenziell Unendliche, vielmehr scheinst du willkürlich dazwischen zu schwanken, selbst ungemein starke Aussagen über Unendliches zu machen, unsere, auf der modernen mathematischen Axiomatik gründende Aussagen dagegen als widersinnig zurückzuweisen.

Zum Thema 0,3999… lies bitte auch den Artikel 0,999… Dein Widerstreben, diese Zahl von 0,4 als verschieden anzunehmen in allen Ehren, da kann man Gründe haben, aber es gibt eben auch sehr sehr gute Gründe, die beiden Zahlen trotz dieses Widerstrebens als gleich anzusehen, weshalb die mathematischen Konventionen sich tatsächlich so festgelegt haben, das die beiden Zahlen tatsächlich gleich sind (es gibt andere mögliche Konventionen, in denen sie es nicht sind, dass entwertet oder widerlegt aber nicht die herrschende Konvention). Es ist wieder einmal bezeichnend, dass du unter bewusster Ignoranz dieses historischen Hintergrunds (einen Artikel, den du gelesen hast, erwähnst du ja sogar) hier nun einfach deine Intuition zum Besten gibst (die wie gesagt nicht illegitim ist, aber nicht der mathematischen Konvention über die reellen Zahlen, der Daniel eben gefolgt ist, entspricht), die auch zum egtl. Diskussionsthema nichts beiträgt.

Die Potenzmenge von $\mathbb {N}$ kannst du übrigens auch als Teilmenge der reellen Zahlen darstellen: Als Zahlen zwischen 0 und 1, deren Nachkommastellen nur 0 oder 1 sind. Ist die n-te Nachkommastelle eine 1, enthält die entsprechende Menge die Zahl n, ist sie 0, dann nicht. Zum Beispiel 0,0110101 würde die Menge $\{2,3,5,7\}$ darstellen. Wenn man von Funktionen von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen reden kann (wie du es tust, wenn du behauptest, es gäbe eine Bijektion), kann man also zurecht ebenso gut über Funktionen von den natürlichen Zahlen in ihre Potenzmenge reden.

Die Zahl der Formelzeichen, mit denen hier hantiert wurde, bewegt sich übrigens in der Größenordnung eines Dutzends. In einer Diskussion, die mehrere Wochen dauert, kann man die mühelos lernen, evtl. muss man dann mal etwas später antworten, als sofort zu klagen.

Die Zahl der von uns benutzten Formelzeichen bewegt sich übrigens in der Größenordnung eines Dutzends. Wir haben hier in keiner Fremdsprache gesprochen, bei einer Diskussion, die mehrere Wochen dauert, kann man die problemlos lernen, es gibt hier eine Liste mathematischer Symbole, und wenn mans dort übersieht, kann man immer noch einfach nachfragen, statt sich über das Gegenüber zu beschweren. Und einige Symbole wurden ja auch einfach nur als beliebige Namen benutzt ($\sqsubseteq ,\preccurlyeq ,\leq '$ als Namen für Ordnungen), da muss man also gar nichts kennen. Grüße --Chricho ¹ ² ³ 12:59, 24. Nov. 2017 (CET)

Ich kenne den Artikel 0,999... ebenfalls. Begründe doch mal, weshalb 1,000... und 0,999... gleich sein sollen, nur weil zwischen ihnen keine andere Reelle Zahl liegt. Ich sehe in dem Artikel nämlich keine akzeptable Begründung. Der Blickwinkel wird für die dort angegebene Begründung zu groß gewählt. Zoome doch mal vor Deinem geistigen Auge so nah an die Zahlengerade heran, daß Du beide Zahlendarstellungen nebeneinander sehen kannst. Wenn Du die Zahlengerade exakt bei der 1,000... abschneidest, so daß die 1,000... abgeschnitten wird, aber jede kleinere Zahl stehenbleibt, dann kann nur die 0,999... als letzte stehenbleibende Zahl in Frage kommen. Das gilt dann für 0,4000... und 0,3999... natürlich in gleicher Weise.

Was nun die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ angeht, so ist sie nicht denkbar. Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen hat stets 2^n Elemente. Das Vertrackte an den Natürlichen Zahlen ist jedoch die bereits x-mal erwähnte Offenheit nach oben hin, bedingt durch Axiom 2: Jede Natürliche Zahl n hat einen Nachfolger n + 1, welcher ebenfalls eine Natürliche Zahl ist. Im weiteren Verlauf hat dann natürlich auch jede Natürliche Zahl n einen späteren Nachfolger 2^n, der ebenfalls eine Natürliche Zahl ist. Da für jedes natürliche n auch jedes 2^n natürlich ist, ist es ausgeschlossen, daß irgendein 2^n die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ sein kann. Ist doch ganz einfach nachzuvollziehen.

In Deinem Zahlendarstellungsbeispiel kann ich nicht erkennen, weshalb die binäre Zahl 0,0110101 der Menge $\{2,3,5,7\}$ entsprechen soll. Das müßtest Du nochmal näher erläutern.--Wikilaser (Diskussion) 16:18, 24. Nov. 2017 (CET)

Ich gebe mal noch einen Grund gegen deine Vorstellung: Auf den reellen Zahlen sind Addition und Division definiert, damit lässt sich auch der Durchschnitt von $x$ und $y$ definieren als ${\frac {x+y}{2}}=x+{\frac {y-x}{2}}=y-{\frac {y-x}{2}}$. Wenn $x<y$, dann ist auch ${\frac {y-x}{2}}>0$, also gilt: $x<{\frac {x+y}{2}}<y$. Das heißt, zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen liegt immer eine weitere dritte. Wenn man das nicht zugestehen möchte, heißt das, dass übliche Rechengesetze nicht mehr gelten würden. Wenn man alles ab der 1 wegschneidet, gibt es schlichtweg keine letzte davor stehenbleibende reelle Zahl. Wenn ich mir eine Gerade vor dem geistigen Auge vorstelle, dann sehe ich dort übrigens nirgends zwei verschiedene Zahlen, zwischen denen keine dritte liegt, egal wie nah ich herangehe (das sagen dir schon Aristoteles und Kant, die haben nämlich anders als die moderne Mathematik durchaus noch mit solchen Anschauungen argumentiert, aber sie kommen zu einem anderen Ergebnis als du).

„daß irgendein 2^n die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ sein kann“ – in der Tat, das ist ausgeschlossen, aber das habe ich ja auch nicht behauptet.

In meinem Beispiel: 0,0110101 soll eine Menge $A$ darstellen. Die 1. Nachkommastelle ist 0, also ist $1\notin A$. Die 2. Nachkommastelle ist 1, also ist $2\in A$. Die 3. Nachkommastelle in 1, also ist $3\in A$. Die 4. Nachkommastelle ist 0, also ist $4\notin A$. Die 5. Nachkommastelle ist 1, also ist $5\in A$. Die 6. Nachkommastelle ist 0, also ist $6\notin A$. Die 7. Nachkommastelle ist 1, also ist $7\in A$. Die 8. Nachkommastelle ist 0, also ist $8\notin A$. Die 9. Nachkommastelle ist 0, also ist $9\notin A$. Die 10. Nachkommastelle ist 0, also ist $10\notin A$. Die 11. Nachkommastelle ist 0, also ist $11\notin A$. Usw. Insgesamt: $A=\{2,3,5,7\}$. Auf diese Weise lässt sich jede Teilmenge der natürlichen Zahlen durch eine reelle Zahl darstellen (die Menge $\mathbb {N}$ selbst wird zum Beispiel durch $0,{\overline {1}}$ dargestellt, die Menge $\{2,3,4,5,\ldots \}$ durch die Zahl $0,0{\overline {1}}$, die geraden Zahlen durch die Zahl $0,{\overline {01}}$ etc.) und jede Funktion von den natürlichen Zahlen in ihre Potenzmenge als Funktion von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen. Wenn du auf diese Weise meinen Beweis oben umformulierst bekommst du im wesentlichen Cantors zweites Diagonalargument, dass die reellen Zahlen überabzählbar sind. --Chricho ¹ ² ³ 17:37, 24. Nov. 2017 (CET)

Du hattest behauptet, daß eine Potenzmenge ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ existiere, und das habe ich dadurch widerlegt, daß ich gezeigt habe, daß kein 2^n die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ sein kann, was Du hier bestätigst. Daraus läßt sich nur schließen, daß Du der Ansicht bist, daß die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ nicht durch 2^n gebildet wird, sondern irgendwie anders. Dies müßtest Du dann aber erklären. Und vor allem, warum diese Potenzmenge nicht genauso wie andere Potenzmengen durch 2^n gebildet werden soll.

Was nun Deine Darstellung von Teilmengen angeht, so scheinst Du vorauszusetzen, daß die Anzahl der Zahlen, die sich durch Nachkommadarstellungen bilden lassen, nur genauso viele seien, wie es auch Nachkommastellen gibt. Das Dumme daran ist, daß dieses Verhältnis aber b^n zu n ist, und eben nicht n zu n. Und die Anzahl der Nachkommastellen ist auch nicht gleich der Menge der Natürlichen Zahlen, weil alle denkbaren bzw. herstellbaren Nachkommazahlendarstellungen über exakt dieselbe Anzahl von Nachkommastellen verfügen, und über keine einzige mehr oder weniger. Die Menge der Natürlichen Zahlen jedoch ist nach oben hin offen und unbegrenzt. Also ist Dein angeblicher Beweis schon vom Ansatz her falsch, auch wenn die Idee erst einmal plausibel erscheint.

Und was nun Deine Einführung hinsichtlich der Addition und Division Reeller Zahlen angeht, so kommt es schon noch darauf an, welche Reelle Zahl man von welcher anderen Reellen Zahl abzieht. Wenn man nur einfach mit x und y arbeitet, scheint es erst einmal plausibel zu sein. Die Frage ist aber, ob es auch Reelle Zahlen gibt, die nicht mehr weiter teilbar sind. Und wenn man $0,{\overline {9}}$ von $1,{\overline {0}}$ abzieht, dann ist die Differenz hiervon nicht mehr teilbar. Wie willst Du denn $0,{\overline {0}}1$ noch weiter teilen? Das heißt, zwischen diesen beiden Zahlen liegt keine weitere Reelle Zahl mehr.--Wikilaser (Diskussion) 10:23, 27. Nov. 2017 (CET)

„Und vor allem, warum diese Potenzmenge nicht genauso wie andere Potenzmengen durch 2^n gebildet werden soll.“ Ich weiß nicht, wie du auf die Idee kommst, dass auch nur irgendeine Potenzmenge „durch 2^n gebildet wird“ – was soll das überhaupt heißen? Für eine endliche Menge der Kardinalität n hat die Potenzmenge die Kardinalität $2^{n}$, das heißt aber nicht, dass sie erst dadurch „gebildet“ würde

„Was nun Deine Darstellung von Teilmengen angeht, so scheinst Du vorauszusetzen, daß die Anzahl der Zahlen, die sich durch Nachkommadarstellungen bilden lassen, nur genauso viele seien, wie es auch Nachkommastellen gibt.“ Nein, keineswegs, habe ich nirgends vorausgesetzt, ich weiß ich nicht, wie du darauf kommst.

„Und die Anzahl der Nachkommastellen ist auch nicht gleich der Menge der Natürlichen Zahlen, weil alle denkbaren bzw. herstellbaren Nachkommazahlendarstellungen über exakt dieselbe Anzahl von Nachkommastellen verfügen, und über keine einzige mehr oder weniger.“ Etwas dahingehendes habe ich auch nie gesagt. Es ist lediglich so, dass sich die Positionen der Nachkommastellen natürliche Zahlen sind. Für jede Stellenwertdarstellung einer reellen Zahl lässt sich für jede natürliche Zahl $n$ die n-te Nachkommastelle angeben, und es gibt keine Nachkommastellen, deren Position nicht durch eine natürliche Zahl angegeben werden kann. Deshalb ist auch $0,{\overline {0}}1$ keine Stellenwertdarstellung einer reellen Zahl (ich wundere mich schon sehr, wie du dich die ganze Zeit dagegen sträubst, dass etwa $\omega$ hinter allen natürlichen Zahlen steht, du nun aber einen Ausdruck $0,{\overline {0}}1$ hinschreibst, der nahelegt, dass die 1 hinter unendlich vielen vorigen Stellen kommt (man könnte vermuten, das soll andeuten, dass die $1$ an der Stelle $\omega$ steht, und man könnte so etwas definieren, bloß eine Darstellung für eine reelle Zahl ist das nach üblicher Konvention nicht)).

„Wenn man nur einfach mit x und y arbeitet, scheint es erst einmal plausibel zu sein.“ Die Sache ist die, dass man die reellen Zahlen so definiert, dass es in der Tat für beliebige $x$ und $y$ gilt. Siehst du nicht den Vorteil, wenn Rechengesetze allgemein gelten und nicht mit unzähligen Ausnahmen behaftet sind? Du kannst dir gerne andere Zahlen definieren, wo diese Gesetze nicht gelten, bloß nennt die dann auch niemand mehr reelle Zahlen. --Chricho ¹ ² ³ 14:59, 27. Nov. 2017 (CET)

Mag sein, daß ich mich etwas unglücklich ausgedrückt habe, aber genau das meinte ich, daß die Kardinalität einer Potenzmenge stets $2^{n}$ ist. Nun sprichst Du aber lediglich von der Kardinalität n endlicher Mengen. Soll das heißen, daß die Potenzmenge einer unendlichen Menge der Kardinalität n nicht mehr die Kardinalität $2^{n}$ haben soll? Wenn ja, aus welchem Grund? Mir erscheint das nämlich nicht logisch, denn die Potenzmenge ist ja als Menge aller Teilmengen definiert. Da es bei der Menge $\mathbb {N}$ keine größte Zahl gibt, ist es nicht möglich, alle Teilmengen zu bilden, da es nicht möglich ist, bei irgendeiner Natürlichen Zahl sagen zu können, daß man nun alle Natürlichen Zahlen beisammen hätte. Folglich kann es kein $2^{n}$ geben, welches als ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ in Frage kommen kann, was Du ja auch bestätigt hast.

Mit $0,{\overline {0}}1$ meine ich keineswegs ein $\omega$, sondern lediglich eine Reelle Zahl, die als Differenz von $1,{\overline {0}}$ und $0,{\overline {9}}$ herauskommt. Denn nach Deiner Darstellung müßte nach diesem $\omega$ ja noch etwas kommen, während rechts von der $0,{\overline {0}}1$ keine Nachkommastelle mehr kommt. Es handelt sich um unendlich viele Nachkommastellen zwischen dem Komma und dieser äußersten rechten Nachkommastelle, an welcher sich bei der $0,{\overline {0}}1$ eben die Ziffer 1 befindet.

Man kann die Gültigkeit für diese x und y nicht verallgemeinern, ohne zu überprüfen, ob das in bestimmten Fällen noch richtig ist. Und wenn es sich in bestimmten Fällen als falsch herausstellt, dann muß man Einschränkungen machen/hinnehmen.--Wikilaser (Diskussion) 22:51, 27. Nov. 2017 (CET)

*Bei einer unendlichen Menge ist die Kardinalität keine natürliche Zahl $n$.

*Die Situation ist dennoch analog: Du hast für jede natürliche Zahl eine Stelle und dahinter noch eine Stelle. Das ist wie bei der Reihenfolge der Ordinalzahlen bis $\omega$ (dass die danach immer noch weitergehen, können wir ja erst einmal ausblenden). Vllt. kannst du dir das $\omega$ jetzt besser vorstellen, wo du es unbewusst selbst benutzt zu haben scheinst?

*Man kann aber umgekehrt die reellen Zahlen so einschränken und die Gleichheit von reellen Zahlen (etwa $0,{\overline {9}}=1$) so festlegen, dass die Gesetze dann tatsächlich für alle x und y der reellen Zahlen gelten. Und genau das macht die Mathematik. Man schließt deine Fälle aus. --Chricho ¹ ² ³ 10:15, 28. Nov. 2017 (CET)

Du mißverstehst mich immer noch. Die 1, die bei meiner Reellen Zahl $0,{\overline {0}}1$ ganz am Ende steht, ist zwar weiter vom Komma weg als alle vorhergehenden Nullen, schließt aber unmittelbar an die letzte Null vor ihr an. Bei Deinem ominösen $\omega$ kommt im Gegensatz hierzu jedoch keine andere (kleinere) Ordinalzahl unmittelbar vorher.

Ich habe nicht für jede Natürliche Zahl eine Stelle und dann noch eine dahinter, sondern ich habe für unendlich viele, aber nicht für alle Natürlichen Zahlen eine Stelle.

Was nun die Sache mit der Kardinalität angeht, so hast Du noch nicht Stellung dazu genommen, daß ich der Ansicht bin, daß es nicht nur endlich große, sondern auch unendlich große Natürliche Zahlen gibt. Begründung: Jede Natürliche Zahl ist um 1 größer als die vorhergehende (außer die 0), und jede Natürliche Zahl läßt sich als Summe entsprechend vieler Größenunterschiede zu je 1 darstellen. Wenn es also unendlich viele Natürliche Zahlen gibt, dann gibt es auch Natürliche Zahlen, die aus der Summe unendlich vieler Größenunterschiede zu je 1 bestehen. Und unendlich mal 1 ist unendlich, und nicht endlich. Trotzdem ist es eine Natürliche Zahl, weil sie durch eine unendliche Summe von Einsen gebildet wird. Und von diesen unendlich großen Natürlichen Zahlen gibt es wiederum unendlich viele, weil es auch hier keine größte gibt (Axiom 2).

Und wozu soll man bitte zwei Reelle Zahlen, deren Zahlendarstellung offensichtlich unterschiedlich ist, künstlich als gleich setzen ($0,{\overline {9}}=1$), oder wie Du es ausdrückst festlegen? Sie sind nicht gleich, weil $1-0,{\overline {9}}=0,{\overline {0}}1$ ist (man kann es auch so ausdrücken: $1,{\overline {0}}0-0,{\overline {9}}9=0,{\overline {0}}1$). Nur ist mir bewußt, daß das derzeit noch nicht Teil der offiziellen Lehrmeinung ist.--Wikilaser (Diskussion) 23:18, 28. Nov. 2017 (CET)

Das leistet gerade Axiom 5: Auszuschließen, dass es unendlich große natürliche Zahlen gibt. Jede natürliche Zahl ergibt sich durch eine (endliche!) Kette von Nachfolgerbildungen ausgehend von der 0. Was sollte auch unendlich häufiges Nachfolgerbilden, eine unendliche Summe sein? Das ist ja erst einmal überhaupt nicht definiert.

Wie gesagt: Die werden „künstlich“ gleichgesetzt, damit die Rechengesetze gelten. Außerdem definiert man üblicherweise die reellen Zahlen nicht einmal über die Stellenwertdarstellung, sondern anders (siehe reelle Zahl) – und dann ist das auch keine künstliche Setzung, sondern es ist vielmehr so, dass wenn man dann mit dieser Definition in der Hinterhand die Stellenwertdarstellung definiert, man zeigen kann, dass diese nicht eindeutig ist. --Chricho ¹ ² ³ 08:58, 2. Dez. 2017 (CET)

@Wikilaser: Bei den natürlichen Zahlen kennt man das ja übrigens auch, dass 0013 und 13 „gleichgesetzt“ werden. --Chricho ¹ ² ³ 20:39, 3. Dez. 2017 (CET)

Dein Darstellungsbeispiel 0013 = 13 ist keine künstliche Gleichsetzung unterschiedlicher Zahlendarstellungen, weil man sich bei der 13 einfach nur die unendlich vielen Stellen davor, die ja alle die Ziffer 0 tragen, lediglich wegdenkt. Diese weggedachten Nullen verändern aber die 13 nicht in ihrer Größe. Wenn man 13 von 0013 (genauer gesagt von ${\overline {0}}13$) abzieht, dann kommt 0 heraus, oder eben ${\overline {0}}$, oder als Reelle Zahl ausgedrückt ${\overline {0}},{\overline {0}}$. Dagegen unterscheiden sich $1,{\overline {0}}0$ und $0,{\overline {9}}9$ in ihrer Größe um genau $0,{\overline {0}}1$.

Jede endliche (!) Natürliche Zahl ergibt sich durch eine endliche Kette von Nachfolgerbildungen ausgehend von der 0. Aufgrund von Axiom 2 gibt es jedoch kein Ende der Kette von Nachfolgerbildungen, so daß es unendlich (!) viele Natürliche Zahlen geben muß. Solange Du beim Entlangschreiten an den Natürlichen Zahlen in Einzelschritten ausgehend von der 0 bei einer endlichen Natürlichen Zahl stehenbleibst, hast Du erst endlich viele Natürliche Zahlen hinter Dir gelassen, während immer noch unendlich viele Natürliche Zahlen vor Dir liegen. Nun liegt es (und das habe ich bereits klargestellt) in der Natur des Menschen, daß er nicht in der Lage ist, in seiner nun einmal nur endlichen Lebenszeit unendlich viele Schritte gehen zu können. Physisch ist es für uns Menschen also nicht möglich, unendlich viele Natürliche Zahlen abzuschreiten, also müssen wir das gezwungenermaßen theoretisch durchdenken. Gehen wir also in Gedanken einmal so lange an den Natürlichen Zahlen entlang, bis wir sagen können, daß wir bereits unendlich viele (wohlgemerkt aufgrund von Axiom 2 nicht alle) Natürliche Zahlen hinter uns gelassen haben. Dann kann die Zahl, bei der wir dann stehenbleiben, nicht mehr endlich sein. Zugleich muß es aber eine Natürliche Zahl sein, weil wir sie durch unendlich viele Einzelschritte ausgehend von der 0 erreicht haben (wegen Axiom 2). Folglich muß es sich bei einer solchen Zahl um eine unendlich große Natürliche Zahl handeln.

Wenn Du das auf logische Art widerlegen kannst, dann bitte!--Wikilaser (Diskussion) 09:24, 4. Dez. 2017 (CET)

Axiom 5 stellt gerade sicher, dass nicht nur physisch sondern auch logisch-gedanklich ausgeschlossen ist, dass es eine natürliche Zahl gibt, bei der „wir sagen können, daß wir bereits unendlich viele […] Natürliche Zahlen hinter uns gelassen haben“. (Du siehst das mit Axiom 5, indem du für $X$ die Menge der endlichen natürlichen Zahlen einsetzt und dann feststellst, dass $\mathbb {N} \subseteq X$) Das ist der Witz bei den natürlichen Zahlen: Jede einzelne ist endlich, aber es gibt unendlich viele. Das ist übrigens auch keine schwer verständliche Festlegung der modernen Mathematik oder von Peano – die natürlichen Zahlen werden seit der Antike so verstanden. In den Ordinalzahlen oder in den hypernatürlichen Zahlen ist das dann anders, dort gibt es Zahlen, vor denen unendlich viele andere liegen.

Wenn man nach den üblichen Regeln schriftlicher Subtraktion (nicht deinen modifizierten mit Nachkommastellen an unendlicher Position, sondern nur mit Nachkommastellen an endlicher Position) übrigens von $1,{\overline {0}}$ die $0,{\overline {9}}$ abzieht, kommt übrigens auch genau $0,{\overline {0}}$ heraus. --Chricho ¹ ² ³ 09:45, 4. Dez. 2017 (CET)

Nach den üblichen Regeln der Subtraktion schreibt man die Zahl (nennen wir sie A), von der eine andere abgezogen werden soll, über die Zahl (nennen wir sie B), die von ihr diese andere Zahl abgezogen werden soll. Und zwar so, daß das Komma, beider Zahlen an derselben Stelle steht. Dann beginnt man von rechts nach links, die untere von der oberen Zahl abzuziehen. So habe ich es in der Grundschule gelernt. Beginnst Du bei Deiner Variante der Subtraktion von links nach rechts?

Davon abgesehen habe ich einzuwenden, daß Du von Nachkommastellen an endlicher Position sprichst. Bei der $1,{\overline {0}}$ und bei der $0,{\overline {9}}$ gibt es aber unendlich viele Nachkommastellen, nicht nur endlich viele. Wenn Du nur endlich viele Nachkommastellen betrachtest, hast Du kein Ergebnis Deiner Subtraktion.

Sollte Axiom 5 tatsächlich aussagen, was Du behauptest, nämlich daß es ausgeschlossen sei, daß es eine Natürliche Zahl gäbe, bei der wir sagen können, daß wir bis zu dieser bereits unendlich viele Natürliche Zahlen hinter uns gelassen haben, dann ist das ein Hinweis dafür, was ich schon mehrmals im Rahmen dieser Diskussion befürchtet habe: Nämlich daß man mit Axiomen dann jede beliebige Aussage beweisen kann, ob sie nun richtig oder falsch sei. Sprich jeden Mist. Das lehne ich jedoch ab.

Nochmal: Ich stütze mich bei meinem Gedankengang auf Axiom 2, welches eine immer wiederkehrende Regel beinhaltet. Und diese verursacht, daß es unendlich viele Natürliche Zahlen gibt. Davon abgesehen braucht man dazu dieses Axiom gar nicht, wenn man einfach wie jedes Kind in der Grundschule bereits begreifen kann, daß man zu jeder Natürlichen Zahl noch eine 1 hinzuzählen kann und dadurch eine noch größere Natürliche Zahl erhält. Wenn also jede Natürliche Zahl einen Nachfolger hat, dann muß es unendlich viele Natürliche Zahlen geben. Also können wir auch gedanklich an unendlich vielen Natürlichen Zahlen entlanggehen und nach unendlich vielen Einzelschritten zurückblicken auf unendlich viele Natürliche Zahlen (was Du ja abstreitest, und statt dessen schaust Du immer noch bereits nach endlich vielen Natürlichen Zahlen zurück, das ist jedoch zu wenig).

Wer behauptet denn, daß jede Natürliche Zahl ausschließlich endlich zu sein hätte?--Wikilaser (Diskussion) 22:42, 4. Dez. 2017 (CET)

$0{,}{\overline {9}}$ hat zwar unendlich viele Nachkommastellen, aber alle diese haben einen endlichen Index (nämlich: eine natürliche Zahl).

Es gibt keine natürliche Zahl, die unendlich viele (nicht unbedingt unmittelbare) Vorgänger hat. Das kann man direkt mit Hilfe von Axiom 5 beweisen. Wenn man der (ersten) Position, die man erreicht, wenn man "unendlich oft" eine Nachfolgerbildung vornimmt, einen Namen geben will, wäre z.B. $\omega$ geeignet. Wie schon ein paar mal gesagt wurde, ist $\omega$ aber eben keine natürliche Zahl. Die Position, an der sich deine letzte Ziffer 1 in "$0{,}{\overline {0}}1$" befinden würde, wäre $\omega$. --Daniel5Ko (Diskussion) 09:23, 5. Dez. 2017 (CET)

„Wer behauptet denn, daß jede Natürliche Zahl ausschließlich endlich zu sein hätte?“ Zum Beispiel Aristoteles (ob sichs auch schon bei Zenon von Elea explizit oder implizit findet, müsste man diskutieren, bin ich nicht sicher, ein mehr oder minder klarer Begriff von Unendlichkeit entstand ja erst in der Zeit, bei den Pythagoreern etwa erscheint das sehr verworren) und seitdem die gesamte daran anknüpfende Tradition bis zur heutigen Mathematik – und das nennst du „jeden Mist“. In der Tat kann man durch die Wahl der Axiome beliebig festlegen, was man beweisen kann, bloß ist es hier eben gerade kein „Mist“.

„Beginnst Du bei Deiner Variante der Subtraktion von links nach rechts?“ Genau – für nicht abbrechende Dezimalbrüche muss man das Verfahren aus der Grundschule etwas anpassen –, dann muss man bloß immer dann, wenn man einen Übertrag bekommt, nochmal so viele Schritte wie nötig nach links zurückgehen und das Ergebnis an der jeweiligen Stelle korrigieren (das kann aber höchstens einmal passieren pro Stelle, das heißt nach einer Korrektur können wir uns sicher sein, dass die Ziffer endgültig festgelegt ist). Etwa so: Wir rechnen 1,00000… − 0,99999…, da gibts dann diese Zwischenergebnisse:

1. 1,00000… − 0,99999…
2. 1,10000… → Übertrag beachten und dafür vorige Stelle korrigieren: 0,10000… − 0,09999… → vor dem Komma steht im Ergebnis eine 0 ist sicher
3. 0,11000… → Übertrag beachten und dafür vorige Stelle korrigieren: 0,01000… − 0,00999… → 1. Nachkommastelle des Ergebnisses ist 0 ist sicher
4. 0,01100… → Übertrag beachten und dafür vorige Stelle korrigieren: 0,00100… − 0,00099… → 2. Nachkommastelle des Ergebnisses ist 0 ist sicher
5. 0,00110… → Übertrag beachten und dafür vorige Stelle korrigieren: 0,000100… − 0,000099… → 3. Nachkommastelle des Ergebnisses ist 0 ist sicher
6. 0,00011… → Übertrag beachten und dafür vorige Stelle korrigieren: 0,000010… − 0,000009… → 4. Nachkommastelle des Ergebnisses ist 0 ist sicher

Wie du siehst, stellen wir fest, dass die 1., die 2., die 3. usw. Nachkommastelle der Differenz 0 ist. Es sind also alle Nachkommastellen der Differenz 0. Die Differenz ist also genau 0. --Chricho ¹ ² ³ 11:00, 5. Dez. 2017 (CET)

Zunächst an Chricho:

Mag sein, daß das Zahlenverständnis für Natürliche Zahlen des Aristoteles keine unendlich großen Natürlichen Zahlen zuließ, weil er durch physisches Abzählen immer nur endlich große Natürliche Zahlen erreichen konnte (weil er eben auch nur endlich viele Natürliche Zahlen abzählte). Aber das gründet sich eben auf die von mir erwähnte physische Existenz und die damit verbundenen physischen Fähigkeiten des Menschen mit seinem nun einmal nur endlichen Leben, und nicht auf die Tatsache, daß man zu jeder Natürlichen Zahl noch eine 1 hinzuaddieren kann und dadurch immer nur jeweils eine weitere Natürliche Zahl, letztendlich unendlich viele Natürliche Zahlen und somit auch unendlichgroße Natürliche Zahlen erreichen kann (dies natürlich nur noch gedanklich, nicht physisch).

Wenn ich von "Mist" rede, dann meine ich etwas, das von den von mir geschilderten und nicht bestreitbaren Tatsachen und deren logischen Folgen abweicht. Wie gesagt, man kann natürlich schon Axiome aufstellen, die von den tatsächlichen Gegebenheiten abweichen. Nur ist das, was man auf solchen Axiomen aufbaut, dann eben "nur" Science Fiction und hat mit wirklicher wissenschaftlicher Mathematik nichts mehr zu tun. Deshalb ja meine Kritik am Axiomatisieren, daß man dabei unbedingt darauf achten muß, nicht die normale Logik zu verletzen.

In Deiner Berechnung 1,000... - 0,999... zeigst Du lediglich Zwischenzustände nach endlich vielen Rechenschritten. Aber wie sieht das Ergebnis endgültig aus, wenn Du nach unendlich vielen Rechenschritten sämtliche Nachkommastellen berechnet hast? Dazu ist ein Ende der Nachkommastellen nach unendlich vielen Nachkommastellen (die alle unmittelbar nacheinander kommen) zwingend notwendig, denn ansonsten hast Du keine Zahl als Ergebnis und immer nur Zwischenzustände.

Nun an Daniel5Ko:

Wenn Du von einem endlichen Index sprichst, dann meinst Du eine endliche Natürliche Zahl. Aber jede endliche Natürliche Zahl kann auch nur eine endliche Nachkommastelle als Position bezeichnen. Da aber die $0,{\overline {9}}$ unendlich viele Nachkommastellen hat, bleiben nur zwei Möglichkeiten, ihre Nachkommastellen zu bezeichnen: 1.) Sie hat auch Nachkommastellen, die nicht durch Natürliche Zahlen bezeichnet werden, oder 2.) ihre Nachkommastellen werden ausschließlich durch Natürliche Zahlen bezeichnet, aber dann gibt es unendlich große Natürliche hierfür.

Denn nochmal: Jede Nachkommastelle folgt direkt und in einem Einzelschritt auf ihre vorhergehende Nachkommastelle (bis auf die erste, die folgt direkt auf das Komma und die erste Vorkommastelle). Da jede Natürliche Zahl einen direkten Nachfolger hat, der durch einen Einzelschritt erreicht wird, wird auch jede Nachkommastelle durch eine Natürliche Zahl bezeichnet. Meine Zahl $0,{\overline {0}}1$ besteht aus unendlich vielen Nachkommastellen, die alle unmittelbar aufeinanderfolgen. Und sie besitzt ein Ende, an welchem diese letzte Ziffer 1 steht. Das steht im Widerspruch zu diesem ominösen $\omega$, vor dem angeblich (wie gesagt, ich bezweifle die Existenz dieser Ordinalzahl sowieso grundsätzlich, weil ich deren Definition für ein Paradoxon halte) keine Natürliche Zahl unmittelbar vorher steht. Und meine Zahl $0,{\overline {0}}1$ nutzt zwar unendlich viele Natürliche Zahlen zur Bezeichnung ihrer Nachkommastellen, jedoch nicht alle Natürlichen Zahlen, weil selbstverständlich auch dann nicht ein Ende der Natürlichen Zahlen erreicht ist (weil es das ja wegen Axiom 2 nicht geben kann).

Jede Natürliche Zahl wird durch Einzelschritte (oder auch durch die Addition von 1) erreicht. Die Summe aus Einzelschritten macht die Größe der Natürlichen Zahl aus. Wenn es unendlich viele Natürliche Zahlen gibt, dann gibt es für unendlich viele Natürliche Zahlen auch unendlich viele Einzelschritte, durch die sie jeweils erreicht werden. Und die Summe aus unendlich vielen Einzelschritten kann nicht mehr endlich sein. Also gibt es unendlich große Natürliche Zahlen, und wegen Axiom 2 eben auch unendlich viele davon.--Wikilaser (Diskussion) 13:16, 5. Dez. 2017 (CET)

Du wiederholst ständig die Behauptung, dass es unendlich große natürliche Zahlen gäbe, und begründest das damit, dass es unendlich viele natürliche Zahlen gibt. Das ist falsch.

Hier mal ein Satz: Für alle $n\in \mathbb {N}$ ist $\{k\in \mathbb {N} \mid k<n\}$ endlich. Also: keine natürliche Zahl hat unendlich viele (nicht unbedingt unmittelbare) Vorgänger.

Beweis: Per Induktion (also Axiom 5). Zu zeigen ist also nur noch: $\{k\in \mathbb {N} \mid k<0\}$ endlich und für alle $n\in \mathbb {N}$, wenn $\{k\in \mathbb {N} \mid k<n\}$ endlich, so auch $\{k\in \mathbb {N} \mid k<n+1\}$ endlich. Der erste Teil: $\{k\in \mathbb {N} \mid k<0\}=\emptyset$ ist offensichtlich endlich. Zweiter Teil: Angenommen, $\{k\in \mathbb {N} \mid k<n\}$ sei endlich. Dann ist $\{k\in \mathbb {N} \mid k<n+1\}=\{k\in \mathbb {N} \mid k<n\}\cup \{n\}$ ebenfalls endlich, weil es aus $\{k\in \mathbb {N} \mid k<n\}$ entsteht, indem ein einziges Element hinzugefügt wird. QED. --Daniel5Ko (Diskussion) 15:53, 5. Dez. 2017 (CET)

In Deinem Beweis sind alle k, alle n und alle n+1 endlich. Dein Beweis umfasst also nur endlich viele Natürliche Zahlen, wenn auch beliebig endlich viele, aber eben nicht unendlich viele. Die Menge $\mathbb {N}$ umfasst jedoch unendlich viele Natürliche Zahlen. Und das macht Deinen Beweis falsch.

Ich drücke Deinen Beweis einmal stark vereinfacht aus:

Aus 0 + 1 = 1 und 1 = endlich und $1\in \mathbb {N}$ folgt 1 + 1 = 2 und 2 = endlich und $2\in \mathbb {N}$, und weiter folgt dann 2 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 und 3 = endlich und $3\in \mathbb {N}$, und so weiter.

Soweit ist das ja auch noch richtig.

Die Schlußfolgerung, daß daraus folgt, daß jede endliche (!) Summe von Einsen eine endliche Natürliche Zahl ergibt, ist auch noch richtig.

Die letztendliche Schlußfolgerung, daß alle (!) Natürlichen Zahlen, insbesondere unendlich (!) viele endlich sein müßten, ist jedoch falsch.

Denn um zu unendlich vielen Natürlichen Zahlen zu gelangen, muß man irgendwann auch unendlich viele Einsen zu einer Zahl addieren, und diese Zahl kann, weil es sich um eine Addition von ausschließlich nur Einsen handelt und damit um eine Nachfolgerbildung im Sinne von Axiom 2, nur eine Natürliche Zahl sein.

Daraus folgt zwingend, daß es unendlich große Natürliche Zahlen gibt. Und wegen Axiom 2 eben dann auch unendlich viele unendlich große Natürliche Zahlen.--Wikilaser (Diskussion) 23:17, 5. Dez. 2017 (CET)

"In Deinem Beweis sind alle k, alle n und alle n+1 endlich. Dein Beweis umfasst also nur endlich viele Natürliche Zahlen" ← Falsch. --Daniel5Ko (Diskussion) 04:19, 10. Dez. 2017 (CET)

Daniel5Ko, Du solltest nicht einfach "falsch" hinschreiben, das genügt (mir) nicht. Viel mehr solltest Du sachlich begründen und falls möglich auch beweisen, warum es falsch sei. Ich halte Dir allerdings dagegen:

Für jede endliche Natürliche Zahl gilt, daß sie sich lediglich aus einer endlichen Summe von Einsen zusammensetzt und es bis zu ihr hin lediglich endlich viele andere Natürliche Zahlen gibt. Richtig?

Für jede endliche Natürliche Zahl gilt ebenfalls, daß noch unendlich viele Natürliche Zahlen nach ihr kommen. Richtig?

Solange jedoch in Deinem Beweis jede Natürliche Zahl endlich sein soll, kann Dein Beweis also gar nicht unendlich viele Natürliche Zahlen enthalten.--Wikilaser (Diskussion) 22:38, 10. Dez. 2017 (CET)

Richtig, richtig, falsch. (Das „unendlich viele natürliche Zahlen enthalten“ lese ich mal als „über unendlich viele Zahlen sprechen“, da sich mir sonst kein Sinn in der Aussage erschließt.)

Wenn du keine Begründung für dein also angibst, kann ich nicht genauer sagen, was an ihr falsch ist. Fakt ist, dass ohnehin alle natürlichen Zahlen endlich sind, und dass man u.a. per Induktion Aussagen über sie alle beweisen kann. --Daniel5Ko (Diskussion) 01:52, 11. Dez. 2017 (CET)

Die Begründung für mein "also" steht bereits da.

Du sprichst von k < n. Solange dieses n endlich ist, kann auch k nur endlich sein. Dasselbe gilt auch für n + 1.

Vereinfacht ausgedrückt: Durch endlich viele Einzelschritte von n + 1 gelangst Du nur zu einer endlichen Natürlichen Zahl, solange n selbst endlich ist.

Die Menge der Natürlichen Zahlen besteht jedoch nicht nur aus endlich vielen n, sondern aus unendlichvielen n. Und hier machst Du Deinen Fehler. Denn solange Du in Deinem Satz nur endlich viele Schritte von n + 1 betrachtest, kommst Du auch nur zu endlich vielen Natürlichen Zahlen, nicht jedoch zu unendlich vielen.

Um es mit konkreten Natürlichen zahlen zu zeigen:

Die 5 besteht aus einer endlichen Summe von genau 5 Einsen addiert zur 0, nämlich 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5. Hier hast Du endlich viele Einsen.

Die 123 besteht aus einer endlichen Summe von genau 123 Einsen addiert zur 0, nämlich (und das stelle ich nicht mehr vollständig dar, weil das bereits zuviele Einsen wären, um sie hier noch hinzuschreiben) 0 + 1 + 1 + (120 einzelne Einsen) + 1 = 123. Und wieder hast Du nur endlich viele Einsen.

Und das gilt für jede endliche Summe von Einsen und damit für jede endliche Natürliche Zahl.

Wenn Du aber zu unendlich vielen Natürlichen Zahlen gelangen willst, bleibt Dir nichts anderes übrig, als unendlich viele Einsen zu einer Zahl zusammenzuzählen. Eine solche Zahl kann nur eine Natürliche Zahl sein, weil sie einer unendlich fortgesetzten Nachfolgerbildung gemäß Axiom 2 entspringt. Und genau da liegt der entscheidende Fehler, den Du machst: Du betrachtest gerade nicht unendlich viele Natürliche Zahlen, auch wenn Du dies permanent behauptest.

"Fakt ist, dass ohnehin alle natürlichen Zahlen endlich sind" Diese Aussage gilt eben nicht für alle Natürlichen Zahlen, sondern nur für diejenigen Natürlichen Zahlen, die sich in endlich viele Einsen zerlegen lassen. Diese Auffassung entspringt, und das habe ich inzwischen schon mehrfach erklärt, ausschließlich der physischen Begrenztheit der menschlichen Handlungsfähigkeit. Wenn man jedoch von der Existenz von unendlich vielen Natürlichen Zahlen sprechen will, dann muß man sich (wohlgemerkt in Gedanken) in die Situation versetzen, unendlich viele Natürliche Zahlen in unendlich vielen Einzelschritten gemäß Axiom 2 hinter sich gelassen zu haben. Und genau das tust Du noch nicht.--Wikilaser (Diskussion) 12:32, 11. Dez. 2017 (CET)

Alle natürlichen Zahlen sind endlich und lassen sich in endlich viele Einsen zerlegen. Das ergibt sich aus Axiom 5. Es ist einfach nicht der Fall, dass deshalb nur endlich viele natürliche Zahlen existieren. Deine Argumentation dafür solltest du mal vernünftig klar machen, damit man sieht, wo der Fehler liegt. --Daniel5Ko (Diskussion) 21:26, 11. Dez. 2017 (CET)Z

Dadurch, daß Du es andauernd wiederholst, ändert sich nichts daran, daß Deine Behauptung falsch ist. Geh doch einmal in Gedanken von der 0 beginnend an unendlich vielen Natürlichen Zahlen vorbei (wohlgemerkt nicht an allen (das geht sowieso nicht wegen Axiom 2), das ist nicht nötig, es genügt, wenn Du an unendlich vielen vorbeigegangen bist, denn es sollen ja unendlich viele Natürliche Zahlen existieren), und dann bleib bei einer Natürlichen Zahl stehen, über die Du gerechtfertigt aussagen kannst, daß bis zu ihr hin bereits unendlich viele Natürliche Zahlen hinter Dir liegen. Und dann begründe mal, weshalb sich diese Natürliche Zahl in lediglich endlich viele Einsen zerlegen lassen soll. Bedenke dabei, daß, solange Du eine Natürliche Zahl in endlich viele Einsen zerlegen kannst, Du bis zu ihr hin auch erst an endlich vielen Natürlichen Zahlen vorbeigegangen bist.--Wikilaser (Diskussion) 01:44, 12. Dez. 2017 (CET)

Es gibt keine natürliche Zahl, vor der unendlich viele natürliche Zahlen liegen. Das ist ein Korollar aus obigem Satz. --Daniel5Ko (Diskussion) 12:58, 12. Dez. 2017 (CET)

Erkennst Du an, daß Du beginnend von der 0 innerhalb der bereits abgeschrittenen Natürlichen Zahlen erst endlich viele Natürliche Zahlen beisammen hast, wenn Du Dich bei einer endlichen Natürlichen Zahl befindest, und daß Du bis zu dieser Zahl noch nicht unendlich viele Natürliche Zahlen beisammen hast? Ja oder nein?--Wikilaser (Diskussion) 00:58, 13. Dez. 2017 (CET)

Ergänzend möchte ich Dich auf die Bemerkung am Ende Deines Satzes hinweisen:

"... indem ein einziges Element hinzugefügt wird. QED."

Indem Du von einem einzigen Element sprichst, sprichst Du vom Abstand zwischen einem Element und seinem direkten Nachfolger. Daß der Abstand zwischen einer Natürlichen Zahl und ihrem direkten Nachfolger stets endlich ist, bestreitet niemand.

Es geht hier aber um die Gesamtanzahl der Elemente, und die ist nicht endlich, sondern unendlich. Wenn es also unendlich viele Natürliche Zahlen gibt, dann gibt es auch unendlich viele dieser Abstände. Und unendlich mal 1 ist nun einmal nicht endlich, sondern unendlich.--Wikilaser (Diskussion) 00:58, 14. Dez. 2017 (CET)

Zur ersten Frage: Ja.

Zum Rest: die Menge der natürlichen ist unendlich. Es gibt auch unendlich viele Abstände zwischen natürlichen Zahlen (das sind jeweils selbst natürliche Zahlen). Es ist aber kein Abstand unendlich. Du schließt andauernd aus dem Vorhandensein unendlich vieler natürlicher Zahlen auf die Existenz von so etwas wie unendlich großen Zahlen. Der Schluss ist unberechtigt. Du gibst noch immer keine brauchbaren Details an, an denen man erkennen könnte, wo genau der Fehler liegt. Der Schluss muss andererseits sogar falsch sein, da man beweisen kann, dass es keine unendlich großen natürlichen Zahlen gibt, wie weiter oben geschehen (naja, jedenfalls, wenn wir kurzer Hand Konsistenz unterstellen, da sonst eh alles etwas schwieriger wird).

Ergänzung: Möglicherweise hilft es ja, sich zum Beispiel in zweidimensionale und kontinuierliche Gefilde zu begeben. Sei $E=\mathbb {R} ^{2}$ die Menge aller Punkte mit reellen Koordinaten in der Ebene. Picke nun zwei Punkte $(a,b),(c,d)$ aus E heraus ($a,b,c,d$ sind dann ganz normale reelle Zahlen) und berechne auf gewöhnliche Art ihren Abstand: ${\sqrt {(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}}$. Die Bildung von Differenzen, Produkten, Summen und Wurzeln führt nicht aus $\mathbb {R}$ heraus, also ist das Ergebnis auch wieder eine ganz normale reelle Zahl (i.e. keine in irgendeiner Art "unendliche" "reelle Zahl"). --Daniel5Ko (Diskussion) 22:02, 14. Dez. 2017 (CET)

Zur ersten Frage: Dann beantworte mir bitte die darauf folgende Frage: Bei welcher endlichen Natürlichen Zahl hast Du denn unendlich viele Natürliche Zahlen beisammen?

Du begreifst offenbar nicht, daß unendlich viele endliche Abstände zusammenaddiert nicht mehr endlich sein können.

Was Dein letztes Argument angeht, so habe ich weiter oben bereits nachgewiesen, daß es keine Potenzmenge der Natürlichen Zahlen geben kann. Und die Argumentationsweise ist analog zu Deiner jetzigen mit den Reellen Zahlen und deren Abständen in einer Ebene. Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen soll genau $2^{n}$ sein. Es führt aber kein $2^{n}$ aus den Natürlichen Zahlen heraus. Und das eben liegt an Axiom 2, dessen Auswirkung Du immer noch erheblich unterschätzt.--Wikilaser (Diskussion) 10:10, 16. Dez. 2017 (CET)

Ergänzung: Vielleicht hilft es Dir ja, Dir meine obige Frage auf folgende Weise vorzustellen:

Stell Dich bei der 0 auf. Vor Dir liegen dann in sicht- und überschaubarer Entfernung die ersten Natürlichen Zahlen 1, 2, 3, etc.

Die Natürlichen Zahlen seien also in ihrer Natürlichen Reihenfolge angeordnet, und es liegen folglich noch unendlich viele Natürliche Zahlen vor Dir, in letztlich unüberschaubarer, weil ins Unendliche reichender Entfernung.

Nun nimm einen Topf und sammle die Natürlichen Zahlen genau in dieser Reihenfolge eine nach der anderen ein (also in Einzelschritten und damit in endlichen Abständen).

Und nun die Frage: Bei welcher endlichen Natürlichen Zahl hast Du denn unendlich viele Natürliche Zahlen in Deinem Topf drin?

Auch hier wieder der Hinweis: Auch wenn Du bereits unendlich viele Natürliche Zahlen in Deinem Topf drin hast, dann liegen trotzdem noch unendlich viele Natürliche Zahlen vor Dir (wegen Axiom 2).

Und der zweite Hinweis: Solange Du Dich bei einer endlichen Natürlichen Zahl befindest, hast Du erst endlich viele Natürliche Zahlen in Deinem Topf drin (was Du ja auch bestätigt hast).

Und wenn (bzw. ich bin davon überzeugt, Du wirst es sagen) Du sagst "bei keiner endlichen Natürlichen Zahl", dann befindest Du Dich in Deinem Denken immer noch in der physischen Begrenztheit unserer menschlichen Existenz.

Denn nochmal: Unendlich viele endliche Abstände zusammenaddiert sind unendlich mal 1, und das ist nun einmal nicht endlich, sondern unendlich.

Du hast es hier nämlich mit zwei Faktoren zu tun, einem endlichen (der endliche Abstand 1 zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Natürlichen Zahlen) und einem unendlichen (der unendlichen Anzahl dieser Abstände und damit auch der Natürlichen Zahlen selbst). Das kannst Du nicht ernsthaft bestreiten wollen.--Wikilaser (Diskussion) 00:00, 19. Dez. 2017 (CET)

Es wird langsam langweilig. Es gibt keine natürliche Zahl, "bei der man alle natürlichen Zahlen aufgesammelt hat". Die Existenz einer solchen Zahl behauptet niemand. --Daniel5Ko (Diskussion) 02:33, 24. Dez. 2017 (CET)

Das habe ich doch gar nicht behauptet. Es geht darum, wenigstens überhaupt erst einmal unendlich viele Natürliche Zahlen aufzusammeln bzw. aufgesammelt zu haben. Daß man selbst dann noch nicht alle Natürlichen Zahlen aufgesammelt hat, liegt an Axiom 2. Das sagte ich aber bereits.

Was die Existenz von unendlich vielen Natürlichen Zahlen angeht, so ist wohl unstrittig, daß unendlich viele Natürliche Zahlen tatsächlich existieren. Also muß man auch an den Natürlichen Zahlen so lange entlanggehen (und sie aufsammeln) können, bis man unendlich viele Natürliche Zahlen beisammen hat. Dies wohlgemerkt nur theoretisch, da man dies (wie ebenfalls schon mehrfach angemerkt) rein physisch nicht tun kann (denn dazu müßte man in endlicher Zeit unendlich viele Elemente aufsammeln oder auch aufzählen können, was uns jedoch einzig und allein aufgrund der physischen Begrenztheit unserer menschlichen Handlungsfähigkeit nicht möglich ist). Denke daran: Bleibe dabei innerhalb der Natürlichen Zahlen, von denen es ja unendlich viele gibt.

Also nochmal: Bei welcher endlichen Natürlichen Zahl willst Du bitteschön unendlich viele Natürliche Zahlen beisammen haben? Beantworte diese Frage!--Wikilaser (Diskussion) 22:00, 24. Dez. 2017 (CET)

Bei der Gelegenheit:

FROHE WEIHNACHTEN!

Und danke für die spannende Diskussion bisher. Mal sehen, was dabei noch herauskommt.--Wikilaser (Diskussion) 22:00, 24. Dez. 2017 (CET)

Frohe Weihnachten.

Es behauptet niemand die Existenz einer endlichen natürlichen Zahl, "bei der man unendlich viele natürliche Zahlen beisammen hat". --Daniel5Ko (Diskussion) 23:22, 24. Dez. 2017 (CET)

Es ist aber allgemeiner Konsens, daß es unendlich viele Natürliche Zahlen gibt, sprich daß in der Menge (alltagssprachlich ausgedrückt: im Topf) unendlich viele Natürliche Zahlen drin sind. Zugleich steht die Behauptung im Raum, daß alle Natürlichen Zahlen endlich sein müßten. Fügt man beide Aussagen zusammen, müßte mindestens eine endliche natürliche Zahl existieren, über die die Aussage richtig ist, daß bis zu ihr hin bereits unendlich viele Natürliche Zahlen in der Menge bzw. im Topf drin sein müßten. Daß dies nicht sein kann, hast Du ja bestätigt. Aber Du eierst ständig mit dem (Schein)argument herum, Axiom 5 würde angeblich die Endlichkeit aller Natürlicher Zahlen beweisen. Ich kann diesen Beweis nicht erkennen, da er nicht zweifelsfrei unendlich viele Elemente betrachtet, sondern lediglich den endlichen Abstand zwischen einer Natürlichen Zahl, ihrem direkten und ihrem nächsten Nachfolger, und damit immer nur eine endliche Anzahl von Nachfolgern, nicht jedoch eine unendliche Anzahl von Nachfolgern. Die Menge der Natürlichen Zahlen enthält jedoch nicht nur endlich viele Nachfolger, sondern unendlich viele Nachfolger.

Betrachtet man tatsächlich unendlich viele Elemente, dann muß man ein Element betrachten, bis zu dem bereits unendlich viele andere Elemente hinter einem liegen. Dazu bist Du offenbar nicht bereit. Du sprachst auch schon mehrfach die Erreichbarkeit bzw. Nicht-Erreichbarkeit einer solchen Zahl an. Ich habe Dich ebenso bereits mehrfach darauf hingewiesen, daß es bei der Nicht-Erreichbarkeit nur um die Einschränkung der physischen Fähigkeiten unserer menschlichen Existenz geht.

Deine Argumente beginnen zwar logisch, enden jedoch unlogisch, weil sie nicht konsequent zu Ende gedacht sind.--Wikilaser (Diskussion) 15:25, 25. Dez. 2017 (CET)

Der Satz, der mit "Fügt man beide Aussagen zusammen" anfängt, ist falsch. Da du nicht detailliert genug (genauer: überhaupt nicht) beschreibst, mit welchen Mitteln du zu dem Schluss kommst, kann ich dir aber nicht sagen, wo der Fehler liegt. Das gleiche gilt für den Satz, der mit "Betrachtet man tatsächlich unendlich viele Elemente" beginnt.

Axiom 5 sagt folgendes: Um zu beweisen, dass eine Aussage $A(n)$ für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt, genügt es, $A(0)$ und $\forall n\in \mathbb {N} .\ A(n)\to A({\mathsf {S}}n)$ zu zeigen. (Da es im Artikel mit Mengen formuliert ist, nehme man die Menge $\{n\in \mathbb {N} \mid A(n)\}$.)

Anwendung hier: Setze $A(n):=\{m\in \mathbb {N} \mid m<n\}{\text{ endlich}}$. Also: "Die Menge aller (nicht unbedingt unmittelbaren) Vorgänger von $n$ ist endlich."

Es ist dann also, wenn man mittels Axiom 5 beweisen will, dass für alle natürlichen Zahlen $n$ die Menge aller (nicht unbedingt unmittelbaren) Vorgänger von $n$ endlich ist, hinreichend zu zeigen, dass $\emptyset$ endlich ist und für jede endliche Menge $M$ und jedes $x\notin M$ auch $M\cup \{x\}$ endlich ist. Beides ist leicht zu sehen, oder?

(Bei der Verwendung einer gebräuchlichen und passenden Definition des Begriffs der Endlichkeit einer Menge geht's auch ganz trivial und ohne Verwendung der Induktion: $M$ heißt endlich, gdw. es ein $k\in \mathbb {N}$ gibt sowie eine Bijektion $\{m\in \mathbb {N} \mid m<k\}\to M$. Für jedes $n$ bedeutet unsere Aussage $A(n)$ damit also: es gibt ein $k\in \mathbb {N}$ und eine Bijektion $\{m\in \mathbb {N} \mid m<k\}\to \{m\in \mathbb {N} \mid m<n\}$. Dies ist aber leicht zu zeigen: wähle $k:=n$ und die Identität.)

Es ergibt sich jedenfalls der Satz: Vor jeder natürlichen Zahl liegen nur endlich viele natürliche Zahlen.

Und damit kann keine unendlich groß sein. (Das ist ein Grund, warum außer uns hier niemand von endlichen natürlichen Zahlen spricht: es ist ein trivialer Begriff.)

Oder man macht es abstrakter und direkter: wie auch immer der Begriff der Endlichkeit einer natürlichen Zahl definiert sein soll: Man kann sich sicher darauf einigen, dass 0 endlich ist und mit jedem endlichen $n$ auch ${\mathsf {S}}n$ endlich ist. Daraus folgt mit Axiom 5 ebenfalls, dass alle natürlichen Zahlen endlich sind.

Ähnlich leicht ist es, mittels Axiom 5 zu beweisen, dass jede natürliche Zahl von 0 aus durch endlich ofte Anwendung der Nachfolgeroperation erreicht werden kann. Es gibt also auch keine so nicht erreichbaren natürlichen Zahlen. --Daniel5Ko (Diskussion) 22:28, 25. Dez. 2017 (CET)

Ich probiere es mal mit der aristotelischen Erklärung, wie man das zu denken hat (ist ja nicht so, dass du der erste wärst, der P; Aristoteles’ Erklärung entspricht zwar nicht dem, wie man in der modernen Mathematik und mathematischen Logik damit umgeht, und dafür gibts auch Gründe, weil es doch ein paar potentielle Unklarheiten dabei gibt, die die Leute auch lange beschäftigt haben, aber dennoch hat es über Jahrtausende beim Verständnis sehr geholfen und hilft mitunter auch noch heute): Die natürlichen Zahlen sind potentiell unendlich, das heißt: Ich erkläre es zunächst mit dem Fall, von dem Aristoteles ausgeht (nicht den natürlichen Zahlen): Wann immer wir eine Strecke gegeben (etwa sinnlich wahrnehmbar, oder in der Vorstellung) haben, ist es möglich, sie in zwei Strecken zu zerteilen. Mit diesen Strecken ist dies wiederum möglich, sie werden dabei immer kürzer, wir erhalten also immer neue, immer kleinere Strecken. Wir können sagen: Strecken sind potentiell unendlich teilbar. Doch das ist nur die Möglichkeit immer weiterer Teilung. Wann immer wir die Strecke tatsächlich (aktual) geteilt haben, haben wir sie nur endlich oft geteilt. Wir kommen durch Teilung nie zu einem Punkt, nie zu einem Atom, das man nicht mehr teilen könnte, oder zu irgendeiner unendlich kleinen Größe. Nun analog mit natürlichen Zahlen: Für jede tatsächlich gegebene natürliche Zahl, kann man eine größere angeben. Die natürlichen Zahlen sind potentiell unendlich (es gibt die Möglichkeit, immer noch eine zu ergänzen). Doch jede tatsächlich gegebene natürliche Zahl ist selbst bloß endlich und sagen wir mal, mit ihr sind auch ihre Vorgänger tatsächlich gegeben (sie sind ja von ihr umschlossen), dann sind das auch stets nur endlich viele – es gibt in den natürlichen Zahlen also keine aktuale Unendlichkeit, man redet immer nur über endliche Zahlen. Hilft das? Du kannst den relevanten Abschnitt bei Aristoteles auch in Übersetzung hier nachlesen („der Möglichkeit nach unbegrenzt“ heißt hier so viel wie „potentiell unendlich“ (das Wort „unbegrenzt“ gibt das griechische Wort in seinem Bedeutungsspektrum wohl besser wieder, für unsere Zwecke können wir aber ruhig auch „unendlich“ übersetzen), „der That“ oder „der Wirklichkeit nach unbegrenzt“ heißt „aktual unendlich“). --Chricho ¹ ² ³ 23:28, 25. Dez. 2017 (CET)

Oder schauen wir uns wie Aristoteles die Zeit an: Klar, ein einzelner Mensch mag sterben und kann aufgrund physischer/physiologischer Grenzen in seinem Leben nur endlich weit zählen. Also reden wir nicht von einem Menschen, der die Zeit zählt, sondern von Ereignissen. Nehmen wir Aristoteles’ Beispiel: die olympischen Spiele. Es gab irgendwann einmal die ersten olympischen Spiele (in Olympia) und immer nach vier Jahren (mit einigen Unterbrechungen) gab es dann die nächsten. Wann immer olympische Spiele stattfinden, sind es erst die x-ten, wobei x eine endliche natürliche Zahl ist (dass x endlich ist, hat dabei nichts mit einer physischen Beschränkung zu tun, von so etwas wie einer Implosion der Sonne sehen wir ja gerade ab, und wir können uns ja auch nicht sicher sein, dass das wirklich eintreten wird, zumindest denkbar ist es, dass es immer weiter geht). Dennoch gibt es (potentiell) niemals die letzten olympischen Spiele, sondern es können sich immer noch Menschen entscheiden, sie erneut abzuhalten. Sie sind also potentiell unendlich, es sind aber niemals bereits unendlich viele olympische Spiele gewesen. Die natürlichen Zahlen sind gerade die Nummern, die wir diesen olympischen Spielen geben können. Es sind also alle natürlichen Zahlen endlich. Was hältst du von dem Argument? Das Beispiel mit den olympischen Spielen macht uns die Redeweise von der potentiellen Unendlichkeit (Unendlichkeit der Möglichkeit nach) auch noch einmal verständlicher: Denn Ereignisse in der Zukunft sind typische Beispiele für das, was für uns (im Gegensatz etwa zu einem alles vorhersehenden Gott) bloß als Möglichkeit, nicht als aktuelle/aktuale Wirklichkeit erscheint (es ist möglich, dass die 503. olympischen Spiele stattfinden, heute finden sie aber nicht statt). --Chricho ¹ ² ³ 00:11, 26. Dez. 2017 (CET)

@Daniel5Ko: Der Beweis, daß der Abstand zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Natürlichen Zahlen stets endlich ist, beweist nur die Endlichkeit des Abstands zwischen Natürlichen Zahlen, nicht jedoch, daß unendlich viele Natürliche Zahlen endlich seien. Zweiteres ist schlicht eine Fehlinterpretation dieses Beweises. Denn nochmal: Wenn unendlich viele Natürliche Zahlen existieren, dann existieren auch unendlich viele endliche Abstände jeweils dazwischen. Und unendlich mal 1 ist nun einmal nicht endlich, sondern unendlich.

@Chricho: Allein schon die Aussage, man käme durch eine Teilung nie zu einem Atom, halte ich für falsch. Begründung: Die Planck-Länge (die kleinste physikalisch relevante Länge, ca. 1,6 x 10^-35m, also deutlich kleiner als ein Atom, dessen Größe im Bereich Femtometer, also ca. 10^-15m liegt) liegt in ihrer dezimalen Darstellung 36 Stellen hinter dem Komma. Teilt man mathematisch einen Meter durch 10^50, kommt man auf eine Länge, die bereits deutlich unterhalb der physikalischen Relevanz liegt, nämlich 50 Stellen hinter dem Komma. Und da ist man noch nicht besonders weit in die Tiefe des Dezimalsystems eingedrungen. Zum Vergleich: Die Nachkommadarstellung von $\pi$ wurde bereits auf mehrere Billionen Stellen hinter dem Komma berechnet, und selbst da ist noch lange nicht Schluß mit dem Dezimalsystem und damit mit der mathematischen Teilbarkeit.

Allein schon aus dieser Betrachtung heraus wird deutlich, daß Aristoteles sich in seinem Denken gerade nicht mit tatsächlich unendlich vielen Natürlichen Zahlen beschäftigt haben kann. Du sagst ja selbst, die Natürlichen Zahlen seien nur potenziell unendlich. Aber genau da sind wir doch bei dem Punkt: Wenn man lediglich von potenziell unendlich vielen Natürliche Zahlen ausgeht, dann können die natürlich auch immer nur vor einem, niemals aber hinter einem liegen. DAS jedoch ist genau mein Kritikpunkt. Ihr betrachtet immer nur diejenigen Natürlichen Zahlen (und zwar stets nur endlich viele), die man physisch oder auch gedanklich tatsächlich erreicht hat, nicht jedoch die unendlich vielen, die noch vor einem liegen. Ich jedoch betrachte auch die unendlich vielen, die noch vor Euch liegen, aus einem Blickwinkel, wenn sie gedanklich bereits hinter mir liegen. Denn wenn eine Natürliche Zahl existiert, dann kann man von ihr aus zurückblicken zur 0, und wenn von einer Natürlichen Zahl aus zurückblickend auf unendlich viele vor ihr liegende Natürliche Zahlen zurückgeblickt werden kann, dann kann diese Natürliche Zahl selbst nicht endlich sein, da vor ihr unendlich viele Abstände zu je 1 liegen.

Nebenbei bemerkt: Wenn man nach der Aristoteles'schen Überlegung nur diejenigen Zahlen als Natürliche Zahlen anerkennt, die man tatsächlich hinzufügt (bzw. erreicht), dann müßte man wohl mit gutem Grund eine Natürliche Zahl wie G64 (Grahams Zahl) als Natürliche Zahl ablehnen, denn die ist so unfaßbar groß, daß sie trotz ihrer Endlichkeit nicht in dezimaler Schreibweise hingeschrieben bzw. auf der Zahlengeraden tatsächlich erreicht werden kann.--Wikilaser (Diskussion) 23:49, 28. Dez. 2017 (CET)

wenn von einer Natürlichen Zahl aus zurückblickend auf unendlich viele vor ihr liegende Natürliche Zahlen zurückgeblickt werden kann „wenn“ – es ist aber nicht so und du gibst keinen Grund dafür an, dass es so sein könnte.

Es gab ein Missverständnis: Mit Atom meine ich nicht das, was wir heute so nennen, sondern den griechischen Sinn eines unteilbaren Teilchens. Und so etwas gibt es für Aristoteles nicht. In der modernen Physik kennen wir freilich Elementarteilchen (auch wenn die nicht punktförmig oder kugelförmig oder überhaupt als irgendeine bloß räumliche Form vorzustellen sind – da wir hier in der Quantenwelt sind …), die würden aus heutiger Sicht also eher den antiken Atomen entsprechen, aber wenn wir von einigen Annahmen abstrahieren, bleibt Aristoteles für die moderne Physik aktuell: Für Aristoteles nämlich gibt es keinen strikt von der Materie getrennten Begriff vom Raum, es gibt keinen leeren Raum, sondern bloß die Ausdehnung von Materie (mit der Idee eines leeren Raumes stehen uns auch da die Atomisten näher). Aber übertragen wir das, was Aristoteles über die Materie sagt nun auf unseren Raum, dann trifft er noch immer die Vorstellung in der modernen Physik: Der Raum, räumliche Ausdehnungen sind immer weiter teilbar, potentiell unendlich teilbar, durch solche Teilung können wir beliebig klein werden, aber es gibt keine kleinste, „atomare“ Ausdehnung. Die Planck-Länge ist das keineswegs, die moderne Physik stellt sich in aller Regel weiterhin den Raum als Kontinuum vor, auch die Planck-Länge ist teilbar, sie gibt nur eine ungefähre Abschätzung dafür an, auf welcher Größenordnung unsere gut geprüften Theorien nicht mehr gelten können. Eine kleinste Ausdehnung wäre so etwas wie dein $0,{\overline {0}}1$, aber das gibt es eben nicht in den Zahlen, mit denen die Physik den Raum beschreibt.

Was Grahams Zahl angeht: auch die $G_{64}$-ten olympischen Spiele werden irgendwann tatsächlich stattfinden – das ist zumindest denkmöglich. Vllt. sprechen physikalische Bedingungen dagegen, aber es ist sogar denkmöglich, dass eine Strichliste geführt wird, mit der sich dann prüfen ließe, dass es tatsächlich die $G_{64}$-ten sind. Sie kann also tatsächlich erreicht werden. Und in einem gewissen Sinne hast du schon, wenn du nur von $G_{64}$ schreibst, diese Zahl schon tatsächlich erreicht. Denn all die Pfeiloperatoren sind ja auch nur Kurzschreibweisen, Zeichen für endlich viele Nachfolgerbildungen, genauso wie die Dezimalschreibweise auch.

Was sagst du zu meinem obigen Argument mit der Zeit, mit den olympischen Spielen alle 4 Jahre? --Chricho ¹ ² ³ 02:05, 29. Dez. 2017 (CET)

Hmmm, solange die Zeit an sich nicht durch eine Art Umkehrurknall endet, könnte man von potenziell unendlicher Zeit sprechen. Das ist genauso wie von potenziell unendlich vielen Natürlichen Zahlen zu sprechen. Bleiben wir also gleich bei den Zahlen, alles andere sorgt womöglich noch mehr für Verwirrung.

Daniel5Ko und Du haben ja bereits zugestimmt, daß man, wenn man sich bei einer endlichen Natürlichen Zahl befindet (bzw. diese aufsammelt und in seinen Topf legt), erst endlich viele Natürliche Zahlen beisammen hat. Das gilt für alle endlichen Natürlichen Zahlen. Der Streitpunkt, um den wir hier gerade diskutieren, dreht sich darum, ob es auch unendlich große Natürliche Zahlen geben kann, oder ob dies unmöglich sei.

Daniels Beweis zeigt lediglich, daß Abstand zwischen je zwei direkt aufeinanderfolgenden Natürlichen Zahlen endlich ist. Das ist auch vollkommen unstrittig.

Mein Kritikpunkt an diesem Beweis richtet sich gegen die Schlußfolgerung, daß dies für unendlich viele Natürliche Zahlen dazu führt, daß sie alle stets endlich seien. Und hier sage ich ganz klar, daß es nur für diejenigen Natürlichen Zahlen gilt, die man mit endlich vielen Schritten erreichen kann. Aber dann hat man stets noch unendlich viele Natürliche Zahlen vor sich, über die man noch keine solche Aussage treffen kann.

Der Kern des Problems dürfte nach meiner Einschätzung wohl darin liegen, daß man keine konkrete Zahl benennen kann, ab der die Unendlichkeit beginnt.

Unbestreitbar (und unbestritten) ist die Tatsache, daß es unendlich viele Natürliche Zahlen gibt. Aus meiner Sicht kann man diesen Satz aber nur sagen, wenn man nicht nur von potenziell unendlich vielen Natürlichen Zahlen ausgeht, sondern auch die Existenz von aktual unendlich vielen Natürlichen Zahlen akzeptiert. Denn wenn unendlich viele Natürliche Zahlen existieren sollen, dann muß man unendlich viele Schritte absolvieren, um unendlich viele Natürliche Zahlen aufgesammelt und in seinen Topf gelegt zu haben (was wir wie gesagt weder als menschliche Individuen, noch als menschliche Spezies tatsächlich getan haben können - das deckt sich nämlich mit Deinem Olympia-Beispiel - deshalb muß man sich diese Situation ja gedanklich vorstellen). Wenn man also gedanklich unendlich viele Schritte zurückgelegt hat, dann ist man ganz im Sinne der unendlichen Nachfolgerbildung entsprechend Axiom 2 keinesfalls mehr bei einer endlichen Natürlichen Zahl (siehe oben). Aber man muß sich eben wegen dieser Nachfolgerbildung bei einer Natürlichen Zahl befinden, weil Axiom 2 dies bewirkt. Wenn diese Natürliche Zahl also nicht endlich sein kann, dann muß sie unendlich sein (oder weißt Du eine dritte Möglichkeit?). Und sie muß wegen Axiom 2 auch weiterhin unendlich viele Nachfolger nach sich ziehen, da es Axiom 2 nicht zuläßt, daß es eine größte Natürliche Zahl gibt.

Was nun die Pfeiloperatoren und die Kurzschreibweise angeht, so ist das wie mit $\pi$. Diese Zahl kann man auch nicht ausschreiben. Aber genau dieses Ausschreiben meine ich, wenn ich davon spreche, eine solche Zahl auf der Zahlengeraden erreichen zu wollen. Klar könnte man theoretisch auch G64 ausschreiben (praktisch wohl nicht), wenn man genügend Papier und Tinte zur Verfügung hätte und genügend Zeit investierte, aber wer könnte überprüfen (und wie sollte das gehen), ob dies Zahl tatsächlich stimmt? Ich halte das für ein ernsthaftes Problem. Noch dazu, wo im Artikel über G64 lediglich die Bildung von G1 erklärt wird, nicht jedoch darauf aufbauend, wie G2, G3 und folgende gebildet werden (das wäre nebenbei bemerkt ein Verbesserungsvorschlag für diesen Artikel). Folglich ist gar nicht sicher, ob diese Zahl selbst theoretisch erreicht werden kann oder nicht. Wie auch immer, selbst bei G64 hätte man erst endlich viele Natürliche Zahlen aufgesammelt, und es lägen immer noch unendlich viele Natürliche Zahlen vor einem. Meine Überlegung wie gesagt geht jedoch davon aus, wie eine natürliche Zahl aussehen müßte, bis zu der hin man zumindest schon einmal überhaupt unendlich viele andere natürliche Zahlen hinter sich gelassen hat. Und diese Überlegung scheinst Du nicht nachvollziehen zu können, weil Du immer noch bei endlich vielen Schritten verharrst, statt in Gedanken unendlich viele Schritte zu absolvieren.

Wie gesagt, die Formulierung "für alle n Element N gilt der Abstand 1 zwischen n und n', und 1 ist endlich" sagt nur etwas über jeden einzelnen Abstand aus, nicht jedoch über die Summe aller Abstände (wenn man bei den Natürlichen Zahlen überhaupt von "alle" sprechen kann), das ist etwas anderes. Denn wie schon mehrfach gesagt: Unendlich viele Abstände zu je 1 zusammen sind unendlich mal 1 und das ist wegen des Faktors unendlich für die Anzahl der Abstände unendlich, und nicht endlich.

Was nun meine Zahl $0,{\overline {0}}1$ angeht, so ist sie aus meiner Sicht im Rahmen des Dezimalsystems (bzw. auch jedes anderen Stellenwertsystems) nicht mehr weiter teilbar. Und sie existiert wegen der unterschiedlichen Zahlendarstellungen von $1,{\overline {0}}$ und $0,{\overline {9}}$, sie ist schlicht und einfach die Differenz dieser beiden Zahlen.--Wikilaser (Diskussion) 00:33, 30. Dez. 2017 (CET)

„Hmmm, solange die Zeit an sich nicht durch eine Art Umkehrurknall endet“ – einen Big Crunch habe ich nirgendwo vorausgesetzt und auch Aristoteles nicht. „Unsere“ Behauptung ist: auch wenn das Universum nie endet (was übrigens derzeit die Standardannahme in der Kosmologie ist), sind die olympischen Spiele nur potentiell unendlich. Also stell dir vor das Universum endet nicht irgendwann, kannst du dann Aristoteles’ Argument folgen? Nehmen wir die Zeit also doch wieder ins Spiel, die war immerhin auch über Jahrtausende, bevor die Arithmetik axiomatisiert wurde, ganz entscheidend für die Fragen, die wir hier diskutieren. Was sagst du dann zu meinem Szenario mit den olympischen Spielen?

„Daniel5Ko und Du haben ja bereits zugestimmt, […]“ dito.

„Daniels Beweis zeigt lediglich […]“ Daniel hat viel mehr gezeigt, ich sehe ehrlich gesagt nicht, auf welchen seiner vielen Beweise du dich da gerade beziehst.

„Aber dann hat man stets noch unendlich viele Natürliche Zahlen vor sich, über die man noch keine solche Aussage treffen kann.“ – doch, das kann man, weil man jede natürliche Zahl in jeweils endlich vielen Schritten erreicht (aber man hat niemals in endlich vielen Schritten all natürlichen Zahlen erreicht, aber für jede einzelne, feste, gegebene kann man sie in endlich vielen Schritten erreichen).

„Aber man muß sich eben wegen dieser Nachfolgerbildung bei einer Natürlichen Zahl befinden, weil Axiom 2 dies bewirkt.“ Nein, schau dir Axiom 2 doch an, es sagt nur, dass man zu jeder einzelnen natürlichen Zahl noch einen Nachfolger hat, es sagt nichts darüber, ob noch etwas hinter unendlich vielen ist. Und Axiom 5 schließt das eben aus.

„aber wer könnte überprüfen (und wie sollte das gehen)“ Das könnte ein Computer überprüfen, der viele viele Generationen laufen würde, oder Menschen, die zwar zwischendrin sterben, aber ihren Nachkommen jeweils Botschaften hinterlassen, an welcher Stelle der überprüfenden Rechnung sie stehen geblieben sind. Es müssen sich nur alle an die einmal festgelegte Regel halten (die müssen sich eben vertrauen …), und die ist nicht so kompliziert, die kann man problemlos aufschreiben. Für ein Gedankenexperiment kein Problem

„Aber genau dieses Ausschreiben meine ich, wenn ich davon spreche, eine solche Zahl auf der Zahlengeraden erreichen zu wollen.“ Warum sollte das Ausschreiben im Dezimalsystem irgendwie „wirklicher“ sein als das Aufschreiben in Pfeilnotation? 100000000000000 hab ich in Windeseile im Dezimalsystem ausgeschrieben, dennoch werde ich mein Lebtag nicht mit meiner Strichliste (Unärsystem) bis zu dieser Zahl kommen. Im Artikel zu $G_{64}$ steht doch die rekursive Definition von $G_{k}$ für beliebiges $k$.

„Und diese Überlegung scheinst Du nicht nachvollziehen zu können, weil Du immer noch bei endlich vielen Schritten verharrst, statt in Gedanken unendlich viele Schritte zu absolvieren.“ Nein, ich (im Gegensatz zu Aristoteles) absolviere gerne unendlich viele Schritte, etwa indem ich, wie oben geschehen, über Ordinalzahlen wie $\omega$ oder hyperreelle Zahlen spreche. Bloß, wenn ich innerhalb der natürlichen Zahlen bleibe. Gedankenexperiment: Nimm die Menge der natürlichen Zahlen, wie du sie dir vorstellst. Jetzt betrachte einmal nur die endlichen natürlichen Zahlen. Jetzt sage ich dir: Diese Menge, die aller endlichen natürlichen Zahlen, das sind genau die, die Daniel und ich die natürlichen Zahlen nennen. Oder noch anders: Unserer Begriff einer natürlichen Zahl ist nichts anderes als dein Begriff einer endlichen natürlichen Zahl. Jetzt behauptest du, das was wir sagen würden, wäre in sich widersprüchlich, unser Begriff der natürlichen Zahl ist widersprüchlich. Das müsste doch heißen, dass auch in deiner Welt der Begriff der endlichen natürlichen Zahl in sich widersprüchlich sein müsste. Dennoch machst du die ganze Zeit Aussagen, die auch diesen Begriff involvieren. Einwände.

„Summe aller Abstände […]“ Bloß kann man diese unendliche Summe eben innerhalb der natürlichen Zahlen nicht bilden.

„Was nun meine Zahl $0,{\overline {0}}1$ angeht […]“ Was sagst du denn zu folgendem Argument: Du behauptest ja, zwischen $0,1{\overline {9}}$ und $0,2$ liegt dieser sehr kleine, aber positive Abstand. Jetzt schreiben wir aber die $0,2$ im Dualsystem, da schreibt sich diese Zahl dann $0,{\overline {0011}}$ – was ist denn dann im Dualsystem geschrieben diejenige Zahl, die nur den kleinen Abstand $0,{\overline {0}}1$ vor der $0,{\overline {0011}}$ liegt? Es scheint sie nicht zu geben … Grüße --Chricho ¹ ² ³ 19:07, 30. Dez. 2017 (CET)

Was Du über die potenziell unendlichen Olympischen Spiele sagst, deckt sich mit meiner Feststellung, daß wir Menschen (als Individuen und als Spezies) in der Endlichkeit unseres Handelns gefangen sind. Da kommen wir nicht aus. Das ist der Knackpunkt, weswegen Du offenbar nicht bereit bist, meinem Gedankengang zu folgen, tatsächlich unendlich viele Natürliche Zahlen in den Topf gelegt zu haben.

Zum Thema G64 kann ich nicht sagen, ob G2 nun mit einem oder mit drei weiteren Pfeilen geschrieben werden soll, oder wie sonst noch anders. Woraus geht das bitte genau hervor? Ich kann da keine eindeutig verständliche Definition von Gk erkennen. Am besten, Du schreibst mir mal G2 in Pfeilschreibweise auf, und ich versuche auf dieser Grundlage, G3 in Pfeilschreibweise aufzuschreiben. Mal sehen, wie wir dann weiterkommen.

In meiner Denkweise ist der Begriff einer endlichen Natürlichen Zahl in sich keineswegs widersprüchlich. Warum sollte er das auch sein? In meiner Denkweise verändert sich lediglich die Zahleneigenschaft der Natürlichen Zahlen, wenn es vom endlichen in den unendlichen Bereich der Zahlengeraden übergeht.

Was nun die duale Schreibweise von $0,{\overline {2}}$ angeht, also $0,{\overline {0011}}$ (ich gehe mal ungeprüft davon aus, daß das stimmt), so wäre es sinnvoll, wenn Du nun auch die duale Schreibweise von $0,1{\overline {9}}$ dazuschreibst.

Wenn man von Deiner dualen Zahl $0,{\overline {0011}}$ den dualen Wert $0,{\overline {0}}1$ abzieht, kommt man auf $0,{\overline {0011}}0010$, addiert man diesen dualen Wert zu $0,{\overline {0011}}$, erhält man $0,{\overline {0011}}0012$. Ich sehe da kein Problem.--Wikilaser (Diskussion) 23:39, 30. Dez. 2017 (CET)

$G_{2}$ wird mit $G_{1}$ vielen Pfeilen geschrieben, das steht eindeutig im Artikel.

Im Dualsystem gibt es keine Ziffer $2$, wenn dann müsstest du also statt $0,{\overline {0011}}0012$ bitte $0,{\overline {0011}}01$ schreiben (Übertrag!). Was mich aber sehr wundert: Du scheinst davon auszugehen, dass es eine letzte Wiederholung der Periode gibt, (oder wie kommst du sonst auf die Identität $0,{\overline {0011}}=0,{\overline {0011}}0011$? Ich sehe diese Behauptung sofort in Widersprüche rennen: So ist doch auch $0,{\overline {0011}}=0,0{\overline {0110}}$. Wenn ich davon nun nach deinen Regeln $0,{\overline {0}}1$ abziehe, dann kommt $0,0{\overline {0110}}0110-0,{\overline {0}}1=0,0{\overline {0110}}0101$ heraus, also ein anderes Ergebnis, als du eben noch angegeben hast, nicht? Im Dezimalsystem gibt es ähnliche Widersprüche mit deinen Rechenregeln: Betrachte die Zahl $0,{\overline {45}}=0,4{\overline {54}}$. Wenn ich davon jetzt $0,{\overline {0}}1$ abziehe, kommt (nach deinen Rechenregeln!) in der einen Schreibweise $0,{\overline {45}}44$ heraus, in der anderen $0,4{\overline {54}}53$ ($=0,{\overline {45}}53$?), habe ich die von dir angenommenen Regeln richtig interpretiert? Siehst du da immer noch kein Problem?

Was sagst du denn nun dazu, wenn ich behaupte, dass unserer Begriff von natürlichen Zahlen dasselbe bedeutet wie deiner von endlichen natürlichen Zahlen? Insbesondere behaupten wir: Die endlichen natürlichen Zahlen erfüllen die Peano-Axiome. Auf den endlichen natürlichen Zahlen gilt insbesondere auch Axiom 2, denn jede endliche natürliche Zahl besitzt eine endliche natürliche Zahl als direkten Nachfolger. Stimmst du mir da zu? Wenn ja: Was soll das Problem damit sein, dass eben die ganze Welt das, was du endliche natürliche Zahl nennt, mit dem anderen Namen, nämlich dem der natürlichen Zahl versieht? --Chricho ¹ ² ³ 10:40, 31. Dez. 2017 (CET)

Was die Ziffer 2 im Dualen System aneht, hast Du natürlich Recht. Das Ergebnis muß nach der Addition richtigerweise lauten: $0,{\overline {0011}}0100$.

Dein Beispiel mit $0,{\overline {45}}=0,4{\overline {54}}$ halte ich für falsch. Nach meiner Auffassung gilt $0,{\overline {45}}=0,{\overline {45}}45$, dagegen ist $0,4{\overline {54}}?$ unklar, da beide Zahlen dieselbe Anzahl von Systemstellen haben müssen und man nicht weiß, welche Ziffer hinter der letzten vollständigen Periodensequenz {54} noch kommt (ich habe an dieser Stelle ein Fragezeichen eingefügt). In Deiner Darstellung hätte die $0,{\overline {45}}$ eine gerade Anzahl von Systemstellen hinter dem Komma, während die $0,4{\overline {54}}$ eine ungerade Anzahl von Systemstellen hinter dem Komma hätte. Es sei denn, die $0,4{\overline {54}}$ würde mit einer unvollständigen Periodensequenz enden. Nur in diesem Fall wären $0,{\overline {45}}$ und $0,4{\overline {54}}$ gleich. Aber das verstieße gegen die Bildungsregel von Periodensequenzen. Also sind nach meiner Auffassung die beiden Zahlen nur dann gleich, wenn an der Stelle meines Fragezeichens eine 5 stünde, was aber aus Deiner Zahlendarstellung nicht klar hervorgeht.

Man muß immer eine komplette Periodensequenz am Ende extra sichtbar machen (ACHTUNG: Das ist nicht gleichbedeutend mit "weitere Stellen hinzufügen, die vorher nicht da waren"!), um dann von dieser die letzte 1 meiner Zahl $0,{\overline {0}}1$ abziehen oder zu ihr hinzuaddieren zu können.

Dieses extra Sichtbarmachen einer (oder ggf. mehrerer) Periodensequenz(en) muß man ja auch dann tun, wenn man direkt hinter dem Komma etwas addieren oder subtrahieren will. Also z. B. $0,{\overline {45}}+0,13=0,45{\overline {45}}+0,13=0,58{\overline {45}}$ oder $0,{\overline {45}}-0,13=0,45{\overline {45}}-0,13=0,32{\overline {45}}$.

Was nun Euer Verständnis der Peano-Axiome angeht, so gilt das Endliche nur für beliebig endlich viele Natürliche Zahlen (solange also noch unendlich viele Natürliche Zahlen vor Euch liegen und lediglich endlich viele hinter Euch), nicht jedoch für aktual unendlich viele Natürliche Zahlen.

Axiom 2 endet nicht bei endlich vielen Natürlichen Zahlen, das ist der springende Punkt. Axiom 2 setzt sich auch im Unendlichen fort und endet auch dort niemals.

Du sagst doch, es gibt unendlich viele Natürliche Zahlen. Und Du bestätigst, daß der Abstand zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Natürlichen Zahlen stets 1 ist. Beantworte also bitte meine grundsätzliche Frage:

Ist unendlich mal 1

a) endlich

b) unendlich?

Nur so kommen wir momentan weiter.--Wikilaser (Diskussion) 21:06, 31. Dez. 2017 (CET)

Das ist Unsinn, dass es eine letzte Periode gibt. Siehst du nicht, dass deine Rechenregeln ins Absurde geraten? Sollte denn nicht $0,{\overline {0011}}0100=0,{\overline {0011}}01$ sein? Kann man nicht am Ende hinter dem Komma Nulle hinzufügen oder entfernen?

Lies bitte das Axiom 2 angewandt auf die endlichen natürlichen Zahlen, dann steht da: Für jede endliche natürliche Zahl $n$ ist auch $n'$ eine endliche natürliche Zahl. Stimmt das oder stimmt es nicht?

Was ist „unendlich“? Eine ganz bestimmte Zahl? Oder möchtest du sagen „jede unendliche Zahl multipliziert mit 1 ist wieder eine unendliche Zahl“? --Chricho ¹ ² ³ 11:25, 1. Jan. 2018 (CET)

Das mit der letzten Periodensequenz halte ich weiterhin für korrekt, denn ansonsten könnte Georg Cantor mit seinem Zweiten Diagonalargument kein abschließendes Ergebnis für seine Diagonalzahl erhalten.

Was die Zahlendarstellung hinsichtlich Weglassen der letzten Nullen angeht, hast Du natürlich Recht, das kann man tun. Wenn man aber dann meine Zahl $0,{\overline {0}}1$ noch einmal addieren bzw. subtrahieren will, muß man die weggelassenen Nullen wieder sichtbar machen. Daher ist es aus meiner Sicht unumgänglich, beim Rechnen am Ende des Stellenwertsystems jede Null hinter der letzten anderen Ziffer, die nur endlich viele Stellen davor steht, vollständig auszuschreiben.

Axiom 2 spricht aber nicht von endlichen Natürlichen Zahlen, sondern von Natürlichen Zahlen allgemein.

Unendlich ist keine ganz bestimmte Zahl, sondern nur eine Eigenschaft, die jede unendliche Zahl besitzt. In diesem Sinne ist es richtig, daß jede unendliche Zahl mit 1 multipliziert unendlich ist. Und da die 1 für den Abstand zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Natürlichen Zahlen steht und es unendlich viele Natürliche Zahlen gibt, gibt es unendlich viele solche Abstände zu je 1, die in Summe eine Natürliche Zahl ergeben, weil es sich bei der 1 um genau das Element handelt, welches die Nachfolgerbildung im Sinne von Axiom 2 ausmacht. Und da es unendlich viele Nachfolger gibt, die wegen Axiom 2 jeweils Natürliche Zahlen sein müssen, gilt: Unendlich mal 1 ist unendlich. Das kann doch nicht so schwer zu verstehen sein!--Wikilaser (Diskussion) 18:58, 1. Jan. 2018 (CET)

„muß man die weggelassenen Nullen wieder sichtbar machen“ – und wie soll das gehen? Woran soll man erkennen, ob man 2 oder 15 Nulle „wieder sichtbar machen“ soll?

„Axiom 2 spricht aber […]“ Lass dich doch bitte einmal darauf ein, einen anderen Standpunkt einzunehmen. Nimm doch mal an, ich und der Artikel, wir würden mit dem Ausdruck „natürliche Zahl“ das bezeichnen, was du mit „endliche natürliche Zahl“ bezeichnest. Dann sagt Axiom 2 das, was ich oben gesagt habe, und es gilt. So wie die andern Axiome auch. Oder wo siehst du das Problem?

„die in Summe eine Natürliche Zahl ergeben“ Wie kommst du darauf, dass man Summen von unendlich vielen natürlichen Zahlen bilden kann? Wie definierst du denn diese Summen? --Chricho ¹ ² ³ 19:57, 1. Jan. 2018 (CET)

Die weggelassenen (eigentlich ja nur weggedachten, denn sie gehören streng genommen ja trotzdem zu der Zahl, weil sie zum Stellenwertsystem gehören) Nullen kann man anhand der Länge der Periodensequenz bestimmen. Es geht bei der von mir geforderten Sichtbarlassung nur darum, keine Flüchtigkeitsfehler zu begehen, wenn man mit einer solchen Zahl weiterrechnen will.

Der Punkt ist doch, daß Du, solange Du nur von endlichen Natürlichen Zahlen sprichst, immer erst endlich viele von ihnen in Deinem Topf drin hast. Und das hast Du ja auch bestätigt. Also sprichst Du zu keinem Zeitpunkt tatsächlich von unendlich vielen endlichen Natürlichen Zahlen, sondern immer nur von endlich vielen. Nochmal: Du mußt Deinen Standpunkt verlassen und einen Zustand betrachten, bei dem Du gerechtfertigt sagen kannst, daß Du bereits unendlich viele Natürliche Zahlen in Deinem Topf drin hast. Wenn ich also Deine Sichtweise einschätze, wonach das, was ich als lediglich endliche Natürliche Zahlen ansehe, Du bereits als DIE Menge der Natürlichen Zahlen ansiehst, dann umfaßt die Menge der Natürlichen Zahlen in Deiner Sichtweise nur endlich viele Elemente und wäre folglich nicht unendlich. Ich weiß inzwischen, Du sprichst ja von potenziell unendlich vielen Natürlichen Zahlen. Aber solange Du die nicht in Deinem Topf drin hast, ist Deine Menge nicht aktual unendlich. Meiner Ansicht nach jedoch umfaßt die Menge der Natürlichen Zahlen nicht nur potenziell, sondern tatsächlich aktual unendlich viele Elemente.

Wieso soll man keine unendliche Summe bilden können? Das ist doch eine ganz normale Operation in der Mathematik. Das kannst Du nicht ernsthaft leugnen wollen.--Wikilaser (Diskussion) 11:05, 2. Jan. 2018 (CET)

Nochmal: Gelten die Peano-Axiome, insbesondere Axiom 2, wenn du bei ihnen den Begriff „natürliche Zahl“ überall durch „endliche natürliche Zahl“ ersetzt – ja oder nein?

Zur Periodenlänge: Die ist doch nicht eindeutig, denn $0,{\overline {34}}=0,{\overline {3434}}$.

Wenn du behauptest, $0,{\overline {45}}\neq 0,4{\overline {54}}$, dann sag mir, welche Zahl von beiden größer ist? Und welche von beiden ist ${\tfrac {5}{11}}$? Und ich versuch nochmal deine Rechenregeln anzuwenden: $0,{\overline {1}}-0,{\overline {0}}1=0,{\overline {1}}1-0,{\overline {0}}1=0,{\overline {1}}0=0,{\overline {1}}$. Wie erklärst du dir das? Ich sags mal ganz drastisch: Du hast dir aus irgendwelchen Versatzstücken von dem, was du in der Schule über rationale und reelle Zahlen gelernt hast, einen Begriff zurechtgelegt und dir Rechenregeln ausgedacht, die mit den etablierten Begriffen, Strukturen und den darauf bewiesenen Eigenschaften kaum etwas zu tun haben. Und die trägst du hier nun im Brustton der Überzeugung vor. Wie kommst du zu dieser Selbstsicherheit? Wundert dich das nicht selbst?

„Wieso soll man keine unendliche Summe bilden können? Das ist doch eine ganz normale Operation in der Mathematik.“ Nein, ist es nicht. Normalerweise wird die Addition für je zwei Zahlen definiert. Wenn man zwei Zahlen addieren kann, kann man durch wiederholte Anwendung auch endlich viele Zahlen miteinander addieren. Unendliche Summen werden nur als Grenzwerte definiert. Sie lassen sich nicht in jedem Rahmen (Zahlbereichen etc.) definieren, auf dem man Summen definieren kann. Und auch dort, wo sie sich definieren lassen, existieren sie nicht immer (siehe auch Reihe (Mathematik)). --Chricho ¹ ² ³ 11:40, 2. Jan. 2018 (CET)

Das Axiom 2 gilt nur noch bedingt, wenn der Begriff "Natürliche Zahl" durch den Begriff "endliche Natürliche Zahl" ersetzt wird. Und zwar deshalb, weil dann nur noch die Rede von endlich vielen "endlichen Natürlichen Zahlen" sein kann, nicht jedoch von unendlich vielen.

Die Periodenlänge ist eindeutig, weil es unnötig ist, eine Periodenlänge wie in Deinem Beispiel künstlich zu verdoppeln.

Um herauszufinden, welche Deiner beiden genannten Zahlen größer ist oder ob beide Zahlen gleich sind, mußt Du mir sagen, welche Ziffer bei der $0,4{\overline {54}}?$ an der Stelle des Fragezeichens stehen soll. Denn ohne die Stelle des Fragezeichens hätte diese Zahl eine ungerade Anzahl von Stellen, während die andere Zahl eine gerade Anzahl von Stellen hat. Ein Stellenwertsystem kann aber nur genau eine Anzahl von Stellen haben, nicht je nach Zahl zwei oder mehr unterschiedliche Anzahlen von Stellen (hier sei das fehlerfreie Wegdenken von Stellen einmal unberücksichtigt).

Was nun die Frage angeht, welche der beiden Zahlen ${\tfrac {5}{11}}$ sei: keine von beiden. Die Antwort hierfür gibst Du Dir selbst weiter unten bei dem Thema unendliche Summen, welche nach Deiner Darstellung nur einen Grenzwert bilden. Beide können also maximal ein Grenzwert zu ${\tfrac {5}{11}}$ sein.

Nun zu Deiner Anwendung $0,{\overline {1}}-0,{\overline {0}}1=0,{\overline {1}}1-0,{\overline {0}}1=0,{\overline {1}}0=0,{\overline {1}}$: Man darf keine Anzahl von Nullen in vollständiger Periodenlänge oder einem ganzzahlig Vielfachen einer Periodenlänge weglassen, wenn dadurch das Ergebnis uneindeutig würde. Richtig muß es heißen: $0,{\overline {1}}-0,{\overline {0}}1=0,{\overline {1}}1-0,{\overline {0}}1=0,{\overline {1}}0$, aber: $0,{\overline {1}}1>0,{\overline {1}}0$. Beispiel für das Sichbarmachen eines ganzzahlig Vielfachen einer Periodenlänge: $0,{\overline {1}}-0,{\overline {0}}111=0,{\overline {1}}111-0,{\overline {0}}111=0,{\overline {1}}000$, und auch hier gilt: $0,{\overline {1}}111>0,{\overline {1}}000$.

Wenn in der Mathematik unendliche Summen als Grenzwert definiert werden, dann kann nicht gelten $1,{\overline {0}}=0,{\overline {9}}$, da der zweite Wert dann nur der Grenzwert zur 1 wäre, der aber eben doch etwas kleiner als 1, nur eben im Rahmen eines Stellenwertsystems nicht mehr eindeutig darstellbar kleiner.

Für meine Begriffe ist aber die $0,{\overline {9}}$ eine eigenständige reelle Zahl und kein Grenzwert.--Wikilaser (Diskussion) 09:17, 3. Jan. 2018 (CET)

„Denn ohne die Stelle des Fragezeichens hätte diese Zahl eine ungerade Anzahl von Stellen“ Nein, beide haben schlichtweg unendlich viele Stellen. Hältst du deinen Wust von einem Regelapparat, bei dem man nicht einmal für beliebige periodische Dezimalbrüche entscheiden kann, welcher von beiden größer ist, wirklich für einfacher als die simple Feststellung, dass eben manche rationale Zahlen zwei verschiedene Darstellungen im Dezimalsystem haben?

„weil es unnötig ist“ Was sollte mich davon abhalten? Ob ich immer wieder die 1 oder immer wieder die 11 wiederhole kommt doch offenbar auf dasselbe heraus?

„Beide können also maximal ein Grenzwert zu ${\tfrac {5}{11}}$ sein.“ Wenn du darüber reden möchtest, dann lerne bitte erst einmal, was ein Grenzwert ist. Es ist nicht eine Zahl „Grenzwert zu“ einer anderen Zahl, sondern eine Zahl ist der Grenzwert zu einer Folge. $0,{\overline {9}}$ ist definiert als der Grenzwert der Folge:

$\left(\sum _{k=1}^{n}9\cdot 10^{-k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$

Und dieser Grenzwert ist 1.

„Man darf […], wenn […]“ Merkst du egtl. nicht, was du tust? Du denkst dir ad hoc neue Regeln aus, änderst deine vorher erfundenen Regeln ab und tust dann so, als hätte man das schon immer wissen müssen.

„weil dann nur noch die Rede von endlich vielen "endlichen Natürlichen Zahlen" sein kann, nicht jedoch von unendlich vielen.“ Es soll die Rede sein von allen endlichen natürlichen Zahlen. In Worten: „Für jede endliche natürliche Zahl $n$ ist auch $n'$ eine endliche natürliche Zahl“. Erkennst du das Axiom? Stimmt die Aussage oder stimmt sie nicht? --Chricho ¹ ² ³ 10:11, 3. Jan. 2018 (CET)

Perioden

"Nein, beide haben schlichtweg unendlich viele Stellen." Beide haben unendlich viele Stellen. Aber nochmal: Kann die eine Zahl eine gerade Anzahl von unendlich vielen Stellen und die andere Zahl eine ungerade Anzahl von unendlich vielen Stellen haben? Nein, entweder haben beide Zahlen eine gerade Anzahl von unendlich vielen Stellen, oder beide Zahlen haben eine ungerade Anzahl von unendlich vielen Stellen. Und zwar genau deshalb, weil das Stellenwertsystem, in welchem beide Zahlen dargestellt werden, nun einmal nur eine einzige Anzahl von unendlich vielen Stellen hat. Ja oder nein? Falls nein, begründe es schlüssig!

Ob Du die 1 oder die 11 immer wieder wiederholst, kommt nicht zwingend aufs selbe heraus. Denn wenn Du die 1 ungerade oft wiederholst, kannst Du nicht auf dasselbe Ergebnis kommen, wie wenn Du die 11 gerade oft wiederholst. Deshalb ja meine Hinweis darauf, daß ein Stellenwertsystem nur eine einzige Anzahl von unendlich vielen Stellen hat, und diese eine Anzahl kann nur entweder gerade oder ungerade sein, und das dann für jede beliebige Zahl, die mit diesem Stellenwertsystem dargestellt werden soll.

Das "$\left(\sum _{k=1}^{n}9\cdot 10^{-k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$" soll eine Folge sein? Das ist eine unendliche Summe, nämlich 0,9 + 0,09 + 0,009 + etc.

Eine Folge wäre es, wenn alle diese Zahlen wie in einer Liste untereinander notiert und Element für Element durchnummeriert würden. Das ist aber hier nicht der Fall.

Ich denke mir nicht einfach ad hoc neue Regeln aus. Das mag vielleicht auf Dich so wirken, aber es ist lediglich so, daß ich Dir meine Regeln immer entsprechend Deiner Beispiele zu erklären versuche.

"„Für jede endliche natürliche Zahl $n$ ist auch $n'$ eine endliche natürliche Zahl“. Erkennst du das Axiom? Stimmt die Aussage oder stimmt sie nicht?" Sie stimmt, hat jedoch den Haken, daß bei keiner endlichen Natürlichen Zahl tatsächlich unendlich viele Elemente in der Menge enthalten sind. Und das hast Du auch bestätigt. Also geht es nur um endlich viele endliche Natürliche Zahlen, deren genaue Anzahl Du jedoch niemals angeben kannst. Nochmal: Wenn es um tatsächlich unendlich viele Natürliche Zahlen gehen soll, dann ist die Existenz von unendlich großen Natürlichen Zahlen zwingend erforderlich.--Wikilaser (Diskussion) 03:05, 4. Jan. 2018 (CET)

Was soll das denn heißen, dass $0,{\overline {1}}$ gerade oder ungerade viele Stellen haben soll? Wenn es gerade viele sind: Wie sähen denn halb so viele Stellen aus? (das sind jetzt Fragen zu deiner Gedankenwelt – in der etablierten Mathematik sind gerade und ungerade schlichtweg nur für (endliche) ganze Zahlen definiert, während man in der Stellenwertdarstellung eine Nachkommatelle für jede natürliche Zahl hat)

Du hast jetzt nur Regeln angegeben, wie du bei Zahlen mit periodischer Darstellung $0,{\overline {0}}1$ addieren und subtrahieren willst. Wie ist es bei solchen ohne periodische Darstellung? Was ist zum Beispiel ${\sqrt {2}}+{\overline {0}}1$, wie haben wir uns dessen Darstellung im Dezimalsystem vorzustellen? Oder um es einfacher zu machen: Nehmen wir die irrationale Zahl $x=0,1010010001000010000010000001\ldots$ (lässt sich definieren durch die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }1\cdot 10^{\frac {k\cdot \left(k+1\right)}{2}}$), wie addierst du dort ${\overline {0}}1$?

Zu meiner Folge: Ja, das ist eine Folge von reellen Zahlen (durchnummeriert mit natürlichen Zahlen $n$), die ersten vier Glieder der Folge sind $0,9;0,99;0,999;0,9999$. Wenn du über unendliche Summen sprechen möchtest, dann lern erstmal die Grundbegriffe. Das ist kein VHS-Kurs hier, ich kann nicht alles erklären.

Ich halte fest: Du hast dir einen eigenen Begriff von rationalen und reellen Zahlen ausgedacht, der bereits allem widerspricht, was man in der 6ten Klasse in der Schule lernt ebenso wie allen etablierten Begriffen, Strukturen, Sätzen und Zahlenverständnissen einer mehrtausendjährigen Mathematikgeschichte widersprechen. Bitte sehr, tu das ruhig, du musst dir dafür unzählige absurde Regeln ausdenken. Aber ist es denn für dich absolut unmöglich, nachzuvollziehen, dass andere eben die reellen Zahlen so definieren, dass die Stellenwertdarstellung nicht immer eindeutig ist und $1=0,{\overline {9}}$? Ein Vorteil davon ist, dass man deutlich weniger Regeln braucht, als du sie hier vorgestellt hast, und zum Beispiel einfach Stelle für Stelle (unter Beachtung von Überträgen) Zahlen miteinander addieren kann. Ein weiterer Vorteil ist, dass die Zahlen mit abbrechenden oder periodischen Stellenwertdarstellungen gerade genau die rationalen Zahlen, also die Brüche sind (6. Klasse …).

„in der Menge enthalten sind“ Welche Menge? „Also geht es nur um endlich viele endliche Natürliche Zahlen“ – nein, es geht um alle endlichen natürlichen Zahlen. Hast du ja selber zugegeben. Und das sind nicht nur endlich viele.

Halten wir fest: Die endlichen natürlichen Zahlen erfüllen die Peano-Axiome, deine natürlichen Zahlen hingegen nicht (Axiom 5 gilt für sie auf keinen Fall (wenn du für $X$ die Menge der endlichen natürlichen Zahlen einsetzt, siehst dus)). Folglich: Wenn wir von den natürlichen Zahlen als nur endlichen sprechen, stehen wir in der Tradition von Aristoteles bis Peano, wir reden über dasselbe. Du dagegen sprichst über irgendetwas ganz anderes, was niemand außer dir „natürliche Zahlen“ nennt. --Chricho ¹ ² ³ 12:19, 4. Jan. 2018 (CET)

Statt mit oberlehrerhaften Zurechtweisungen zu reagieren, wäre es besser angebracht, Du würdest erst einmal meine Frage nach der Anzahl von Stellen in einem Stellenwertsystem beantworten: Kann ein Stellenwertsystem für zwei Zahlen unterschiedlich viele Stellen zur Verfügung stellen oder werden in einem Stellenwertsystem sämtliche Zahlen mit ein und derselben Anzahl von Stellen dargestellt?

Was nun den Streitpunkt Folge vs. Summe angeht, so bestätigst Du ja, daß es sich dabei um eine Summe handelt. Klar kann man die einzelnen Zwischenergebnisse auch in einer Folge darstellen:

1) 0,9

2) 0,9+0,09=0,99

3) 0,9+0,09+0,009=0,999

4) 0,9+0,09+0,009+0,0009=0,9999

etc.

Denn genau das, nämlich die Aufsummierung sämtlicher einzelner Berechnungsergebnisse (die durch Einsetzen konkreter Natürlicher Zahlen für n in der Formel entstehen), ist es, was die Formel "$\left(\sum _{k=1}^{n}9\cdot 10^{-k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$" bewirkt.

Aber schlußendlich handelt es sich beim Endergebnis dieser Formel $0,{\overline {9}}$ um die unendliche Summe (!) von 0,9+0,09+0,009+...+$0,{\overline {0}}9$. Ohne wenn und aber!

"Was ist zum Beispiel ${\sqrt {2}}+{\overline {0}}1$,...?" Wenn schon, dann ${\sqrt {2}}+0,{\overline {0}}1$. Das ist nicht so einfach, da ich weiß, daß Du mir nicht sagen kannst, auf welche letzte Ziffer ${\sqrt {2}}$ in der dezimalen Darstellung endet. Das liegt daran, daß wir Menschen nun einmal in der Endlichkeit unseres Handelns gefangen sind. Bei periodischen Zahlen gibt es da kein Problem, bei nicht periodischen Zahlen ist diese Addition nicht möglich.

Ich habe nicht behauptet, daß meine Ansicht vollkommen problemlos sei. Dies ist ein solches Problem. Möglicherweise gibt es noch mehr davon. Aber eines ist sicher: Solange Du Dich davor drückst, bei den Natürlichen Zahlen auch einmal in den Bereich zu gehen, über den Du gerechtfertigt sagen kannst, daß Du bereits unendlich viele Natürliche Zahlen in Deinem Topf drin hast, kommen wir nicht weiter. Fakt ist (und das hast Du ja auch bestätigt), solange Du eine endliche Natürliche Zahl betrachtest, hast Du auch erst endlich viele in Deinem Topf drin. Da beißt die Maus keinen Faden ab!

Vorschlag: Beantworte bitte erst einmal die obige Frage, dann sehen wir weiter.--Wikilaser (Diskussion) 22:32, 4. Jan. 2018 (CET)

Dass du mich als Oberlehrer nicht haben möchtest, meinetwegen, aber sind dir denn die Autoritäten der Geistesgeschichte vollkommen gleichgültig? Du ignorierst regelmäßig meine dahingehenden Hinweise oder tust sie lässig mit Verweis auf irgendeines deiner Argumente ab. Es ist jedoch keineswegs so, dass das argumentum ad verecundiam stets nur ein Scheinargument, ein Fehlschluss wäre (vgl. den Artikel). Es ist sogar ab einem bestimmten Punkt unausweichlich, nämlich wenn es um sprachliche Konventionen geht.

Noch zu deiner Anmerkung „Was Du über die potenziell unendlichen Olympischen Spiele sagst, deckt sich mit meiner Feststellung, daß wir Menschen (als Individuen und als Spezies) in der Endlichkeit unseres Handelns gefangen sind.“ Gerade das ist eine Stärke des bewährten Begriffs der natürlichen Zahl, diese Endlichkeit widerzuspiegeln. Wenn ich das nicht möchte, dann brauche ich eben andere Begriffe.

Zu der Reihe: Man muss trotzdem die Folge und ihren Grenzwert voneinander unterscheiden. Und einen letzten Summanden $0,{\overline {0}}9$ gibt es dabei nicht, sondern immer nur Summanden mit endlich vielen Nullen. Ich hab ja schonmal vor längerer Zeit dargestellt: Die etablierte Definition in der Mathematik läuft so, dass in der Dezimaldarstellung einer reellen Zahl es für jede natürliche Zahl (und die sind immer endlich) eine Nachkommastelle gibt. Zusammen mit der Definition der reellen Zahlen kann man dann beweisen, dass jede reelle Zahl genau ein oder zwei Dezimaldarstellungen besitzt (zwei sind es, wenn es eine Zehnerpotenz gibt, die multipliziert mit der Zahl eine natürliche Zahl ergibt, sonst ist es nur eine). So weit, so einfach, dann lässt sich die Addition zum Beispiel so einfach beschreiben, wie ich es oben gemacht habe.

Nun zu deiner Frage: „bei den Natürlichen Zahlen auch einmal in den Bereich zu gehen, über den Du gerechtfertigt sagen kannst, daß Du bereits unendlich viele Natürliche Zahlen in Deinem Topf drin hast“ Bloß wenn ich in den Bereich gehe, bin ich nicht mehr bei den natürlichen Zahlen, sondern zum Beispiel bei der Ordinalzahl $\omega$. Warum möchtest du mir und der gesamten Tradition verbieten, mathematische Objekte, die hinter allen (endlichen) natürlichen Zahlen liegen, eben nicht mehr natürliche Zahlen, sondern anders zu nennen? --Chricho ¹ ² ³ 11:10, 5. Jan. 2018 (CET)

Was diesen letzten Summanden $0,{\overline {0}}9$ angeht, so ist er aus meiner Sicht zwingend erforderlich, da man sonst keine Zahl (und auch keinen Grenzwert) vollendet hat.

Zum argumentum ad verecundiam ein Zitat aus dem verlinkten Artikel:

Da Autorität als solche keine Garantie für Wahrheit ist, handelt es sich nicht um eine logisch zwingende Schlussfolgerung.

Wie ich bereits zu Beginn unserer Diskussion klargestellt habe, halte ich gewisse Behauptungen in der Mathematik auf dem Stand der derzeitigen Lehrmeinung für einen Irrtum und versuche, dies mit entsprechenden Argumenten zu untermauern. Eines davon hast Du ja bereits bestätigt. Leider scheust Du Dich davor, die logische Konsequenz daraus zu ziehen. Ich kann ja verstehen, daß das, was ich hier darstelle, den Grundfesten Deiner Überzeugungen widerspricht. Es nützt aber nichts, denn wenn man bei jeder endlichen Natürlichen Zahl nur endlich viele beisammen hat, aber nach Deiner Darstellung jede Natürliche Zahl endlich sei (was nach meiner Überzeugung nicht durch die Peano-Axiome bewiesen wird), dann kann es nicht unendlich viele endliche Natürliche Zahlen geben. In der Behauptung, es gäbe doch unendlich viele Natürliche Zahlen, aber eben nur potenziell, und zudem eine Ordinalzahl $\omega$ zu postulieren, für die Du keinen Punkt auf der Zahlengeraden zeigen kannst, steckt die Scheu, sich der Überlegung zu stellen, was denn sein mag, wenn man eine Natürliche Zahl (!) betrachtet, über die man sagen kann, daß man tatsächlich unendlich viele Natürliche Zahlen (und noch kein $\omega$, falls es dies überhaupt geben sollte, wofür ich bislang noch keinen standfesten Anhaltspunkt in Deiner Argumentation gefunden habe) in seinem Topf drin hat. Wenn man sich die Menge der Natürlichen Zahlen als einen Topf vorstellt, in dem alle (und damit unendlich viele) Natürlichen Zahlen drin seien (sofern man überhaupt jemals von allen Natürlichen Zahlen sprechen kann, aber lassen wir das mal für den Moment beiseite), dann muß man sich auch vorstellen können, sie von der Zahlengeraden Element für Element aufzusammeln, so lange, bis man sie alle (oder zumindest überhaupt unendlich viele) in seinem Topf drin hat. Das kann man nicht voneinander trennen. Leider drückst Du Dich beständig davor, Dir vorzustellen, wie eine Natürliche Zahl aussieht, wenn Du schon unendlich viele andere Natürliche Zahlen vor ihr in Deinen Topf hineingelegt hast. Das unbeugsame Festhalten an der (meines Erachtens nach irrtümlichen) Ansicht, alle Natürlichen Zahlen müßten stets endlich sein, ist meines Erachtens nach das (bzw. Dein) Problem.

Ich will niemandem verbieten, an Traditionen festzuhalten. Ich will Dich bzw. Euch überzeugen, daß in der Tradition ein Irrtum steckt.

Nun hast Du leider wieder nicht meine Frage bezüglich der Anzahl von Stellen in einem Stellenwertsystem beantwortet. Los, beantworte sie!--Wikilaser (Diskussion) 20:07, 5. Jan. 2018 (CET)

„so ist er aus meiner Sicht zwingend erforderlich, da man sonst keine Zahl (und auch keinen Grenzwert) vollendet hat“ – Nein, Grenzwerte bedürfen keinerlei „letzten Wert“, um wohldefiniert zu sein. Lerne, was Grenzwerte sind, wenn du darüber sprechen möchtest!

Autorität kann einen auch einmal dahin bringen, die eigenen Meinungen zu überdenken. In diesem Sinne lies zum Beispiel mehr als bloß die Einleitung des Artikels zum Autoritätsargument – unter bestimmten weiteren Bedingungen ist es eben durchaus gerechtfertigt. Der von dir zitierte Satz bedeutet nicht, dass Autoritätsargumente unter keinen Umständen hinreichend sind. Wer mit bloß rudimentären mathematischen Kenntnissen und ohne Wille, sich auch nur einige grundlegende Notationen und Begrifflichkeiten selbstständig anzueignen, lässt für meine Begriffe damit eine charakterliche Schwäche vermuten, während es sehr unwahrscheinlich erscheint, dass seine Intuition, die mangels Verständnis eben der von dir genannten Tradition eben nur eine sehr oberflächliche Beziehung zu dieser eingehen kann, tatsächlich auf tiefliegende Irrtümer in dieser hinweist. Stimmst du mir denn nicht zu, dass du dir erst sicher sein kannst, dass es sich um einen Irrtum in der Tradition handelt, wenn du ihre sprachlichen und begrifflichen Festlegungen hinreichend verstanden hast? Andernfalls ist es ständig möglich, dass der scheinbare Widerspruch nur an einer sprachlichen Verwechslung hängt. Wie wäre es einmal mit bescheideneren Erwartungen als einem grundlegenden Irrtum in der Tradition? Zum Beispiel denke ich, dass deine Überlegungen durchaus einige interessante Probleme ansprechen, für die die Tradition allerdings durchaus auch Lösungen bereithält.

Ich weise dich noch auf etwas hin (ich habe einen ähnlichen Hinweis gegeben, als ich mit Aristoteles angefangen habe): Mit der Unterscheidung von aktualer und potenzieller Unendlichkeit habe ich lediglich die Erklärung des Aristoteles referiert. In der Sichtweise der modernen Mathematik wird diese Unterscheidung nicht gebraucht, es gibt schlichtweg unendlich viele natürliche Zahlen, jede von ihnen ist jedoch endlich. Für Aristoteles gibt es zum Beispiel auch kein $\omega$. Scheu hab ich keine, über alle endlichen natürlichen Zahlen, ja sogar über alles auf der Zahlengerade darstellbare, wie du das zu sagen pflegst, hinauszugehen. Das mache ich etwa mit den Ordinalzahlen. Bloß sind die Objekte, die sich dabei ergeben eben keine natürlichen Zahlen. Das liegt nicht an einer Scheu, sondern an der konsequenten Anwendung etablierter Definitionen der natürlichen Zahlen (etwa auch der Peano-Axiome, wie Daniel unzählige Male gezeigt hat).

Deine Frage zu der Anzahl der Stellen hab ich im wesentlichen schon beantwortet: Es gibt eine Nachkommastelle für jede natürliche Zahl, es gibt also so viele Stellen wie natürliche Zahlen, das sind abzählbar unendlich viele, als Kardinalzahl ausgedrückt $\aleph _{0}$ viele. Die Begriffe gerade und ungerade benutzt man in der Regel auf Kardinalzahlen nicht, wenn man es jedoch unbedingt möchte, dann ist die Anzahl wie jede unendliche Kardinalzahl gerade, denn $2\cdot \aleph _{0}=\aleph _{0}$.

„bis man sie alle“ – bloß ist man dann nicht mehr bei einer natürlichen Zahl. Die Geschichten wiederholen sich, du bringst keine neuen Argumente.

Aussagen über alle natürlichen Zahlen machst du übrigens andauernd, nicht nur gerade, wo du darauf explizit hinweist. Die Prädikatenlogi. Wenn du die Möglichkeit von Allaussagen (und sei es nur im Unendlichen) verneinen möchtest, kommst du aller Erwartung nach in schwierwiegende logische Probleme, wie du überhaupt deine Regeln formulieren möchtest. Die modernen mathematischen Systeme gehen von der Möglichkeit von Allaussagen aus. Wenn du daran etwas kritisieren möchtest, müsstest du noch auf einer ganz anderen – nämlich sprachlich-logischen – Ebene ansetzen, als du es hier tust. --Chricho ¹ ² ³ 23:07, 5. Jan. 2018 (CET)

Ich habe nicht grundsätzlich etwas gegen Autorität, aber sehr wohl gegen Autorität, die mich nicht überzeugt. Ich erwarte also grundsätzlich von jedem Menschen (und damit auch von jeder Autorität), daß er mich überzeugt, statt auf Autoritäten hinzuweisen.

Bevor Du zu den Ordinalzahlen übergehst, die jenseits von $\omega$ liegen, mußt Du ja auf der Zahlengeraden erst einmal unendlich viele Natürliche Zahlen tatsächlich beisammen haben. Und diesen Bereich umgehst Du leider ständig. Du befindest Dich in Deinem ganzen Denken immer nur bei endlich vielen Natürlichen Zahlen, bevor Du dann einen unendlich großen Sprung zu diesem ominösen $\omega$ machst. Wenn also gemäß einer Allaussage der Prädikatenlogik die Natürlichen Zahlen stets nur endlich seien, dann gibt es auch nur endlich viele von ihnen. Du hast ja schon den letzten Gedankenschritt davor bestätigt, daß Du immer erst endlich viele Natürliche Zahlen in Deinem Topf drin hast, solange Du eine endliche Natürliche Zahl betrachtest. Jetzt geht es doch nur noch darum, im Rahmen der Natürlichen Zahlen so weit auf der Zahlengeraden zu gehen, bis Du tatsächlich unendlich viele Natürliche Zahlen (nicht Ordinalzahlen ab einschließlich $\omega$) in Deinem Topf drin hast. Und diesen letzten Schritt, meine Argumentation zu verstehen, weigerst Du Dich beständig zu vollziehen. Nochmal: Du bist dann noch nicht bei diesem ominösen $\omega$, dessen Existenz ich aufgrund von Axiom 2 sowieso grundsätzlich bezweifle.

"– bloß ist man dann nicht mehr bei einer natürlichen Zahl. Die Geschichten wiederholen sich, du bringst keine neuen Argumente." Nun, das genau halte ich Dir ja entgegen, Du bringst keine neuen Argumente, sondern überspringst den Bereich, den ich zu beschreiben versuche, um gleich bei diesem $\omega$ zu landen.

Was nun die Stellenanzahl im Rahmen eines Stellenwertsystems angeht, so ist mir Deine Antwort nicht präzise genug. Deshalb versuche ich, Dir diese Frage etwas anders erneut zu stellen:

Nimm die beiden Transzendenten Zahlen $\pi$ und $e$. Beide haben unendlich viele Stellen in einem dezimalen Stellenwertsystem hinter dem Komma und beide Nachkommadarstellungen sind nicht periodisch. Und jetzt meine Frage:

Kann $\pi$ auch nur eine einzige Stelle mehr hinter dem Komma haben als $e$, oder umgekehrt, oder haben beide exakt gleich viele Stellen hinter dem Komma?

Begründe Deine Antwort auch.

Deine Begründung, weshalb diese Stellenanzahl gerade sein muß, finde ich interessant. Ich komme zur selben Meinung, jedoch aus einem anderen Grund:

Zwei ungerade Periodensequenzen zusammen ergeben eine gerade Periodensequenz (dann sind es insgesamt nur noch halb so viele Periodensequenzen im Stellenwertsystem). Zwei oder mehr gerade Periodensequenzen können jedoch niemals eine ungerade Periodensequenz ergeben. Also muß die Stellenanzahl eines Stellenwertsystems, in dem es Zahlen mit geraden und Zahlen mit ungeraden Periodensequenzen geben kann, auf jeden Fall gerade sein.

Jetzt nochmal zu der Allaussage im Rahmen der Prädikatenlogik: Wenn es heißt, daß der Abstand zwischen zwei direkt aufeinandefolgenden Natürlichen Zahlen stets 1 ist, dann betrifft das stets nur und ausschließlich den Abstand der Natürlichen Zahlen zueinander, nicht jedoch zugleich auch stets deren Zahlengröße. Denn solange man endlich viele Abstände betrachtet, ist auch die Zahlengröße der betrachteten Natürlichen Zahl endlich. Soweit so richtig. Betrachtet man jedoch unendlich viele dieser Abstände (und damit unendlich viele Natürliche Zahlen - Du siehst, ich gehe gerade nicht über die Natürlichen Zahlen hinaus (was man meiner Ansicht nach sowieso nicht kann)), wird die Behauptung, die Natürliche Zahl sei endlich groß, falsch (s.o.).

Wenn Du nun darauf bestehst, daß in der Mathematik nur die Addition von endlich vielen Summanden definiert sei, dann ist diese Definition meines Erachtens nach unzureichend, und damit in Bezug auf die Betrachtung von unendlich vielen Natürlichen Zahlen schlicht falsch.--Wikilaser (Diskussion) 13:16, 6. Jan. 2018 (CET)

„Bevor Du zu den Ordinalzahlen übergehst, die jenseits von $\omega$ liegen, mußt Du ja auf der Zahlengeraden erst einmal unendlich viele Natürliche Zahlen tatsächlich beisammen haben.“ Das mach ich sozusagen gleichzeitig. Ich definiere $\omega$ als die Menge aller natürlichen Zahlen bzw. definiere, dass es größer ist als jede natürliche Zahl (siehe oben), fertig. Da muss ich nicht vorher schonmal irgendwas anderes unendliches gehabt haben.

$\pi$ und $e$ haben nicht nur gleich viele Nachkommastellen, es ist sogar bei beiden (wie bei allen anderen reellen Zahlen auch, wenn man Nullen am Ende nicht weglässt, sondern ausschreibt) genau eine Nachkommastelle zu jeder natürlichen Zahl als Position (es könnten ja auch gleich viele Positionen sein, aber die Ordnung der Positionen verschieden – aber nein, die Struktur der Positionen ist immer dieselbe). Die Stellenwertdarstellung wird schlichtweg so definiert. Dass es keinen Sinn macht, Stellen an unendlicher Position zu haben, ist eine Folge des archimedischen Axioms (bzw. des Satzes von Eudoxos), das auf den reellen Zahlen gilt: Für jede reelle Zahl $x>0$ existiert eine (endliche) natürliche Zahl $n$, sodass ${\tfrac {1}{n}}<x$. Betrachten wir nun eine Zahl $x=0,00\ldots 001$ und wählen ein solches $n$, wie eben beschrieben. Dann ist ${\tfrac {1}{10^{n}}}\leq {\tfrac {1}{n}}<x$. Also ist die Nummer der Stelle, an der die 1 in der Darstellung von $x$ steht, höchstens $n$, also endlich (denn natürliche Zahlen sind endlich). Somit folgt, dass es nur Sinn ergibt, dass jede Stelle eine endliche Nummer hat (es sind aber insgesamt unendlich viele). Möchte man $0,{\overline {0}}1$ als Darstellung einer Zahl akzeptieren, so könnte diese Zahl nach dem Satz von Eudoxos/dem archimedischen Axiom nicht größer als 0 sein, am plausibelsten wäre wohl, dass es sich schlichtweg um eine esoterische Schreibweise der 0 handelt.

Zu meiner Begründung einer geraden Anzahl: Der Begriff „gerade“ ist auf unendlichen Kardinalzahlen nicht sonderlich interessant, denn es gibt keine ungeraden unendlichen Kardinalzahlen.

„wird die Behauptung, die Natürliche Zahl sei endlich groß […]“ – welche denn? Von welcher redest du? --Chricho ¹ ² ³ 18:15, 6. Jan. 2018 (CET)

"Das mach ich sozusagen gleichzeitig. Ich definiere $\omega$ als die Menge aller natürlichen Zahlen bzw. definiere, dass es größer ist als jede natürliche Zahl (siehe oben), fertig." Indem Du eine solche Ordinalzahl $\omega$ definierst (was ich wie schon so oft gesagt für paradox halte) und diese Zahl betrachtest, begibst Du Dich an einen Ort auf der Zahlengeraden, an welchem tatsächlich (und nicht nur potenziell) unendlich viele Natürliche Zahlen hinter Dir liegen. Von diesem Ort aus müßtest Du ja auf der Zahlengeraden wieder zurückgehen können in Richtung 0 und irgendwann zum ersten mal auf eine Natürliche Zahl treffen (welche dann ja die größte Natürliche Zahl sein müßte, die es aber - von Dir bestätigt - gar nicht geben kann), und wenn diese Natürliche Zahl dann nach Deiner Behauptung auch noch endlich wäre, weil nach Deiner Behauptung ja alle Natürlichen Zahlen endlich seien, dann gäbe es insgesamt nur endlich viele Natürliche Zahlen. Und das ist schlicht falsch! Also kann es dieses $\omega$ nicht geben.

Wenn also $\pi$ und $e$ gleich viele Nachkommastellen haben, dann kann diese Anzahl von Nachkommastellen nur entweder gerade oder ungerade sein. Daß sie gerade sein muß, darin stimmen wir überein. Wir sind also wieder einen kleinen Schritt weiter. In Deiner weiteren Darstellung zu diesem Thema beziehst Du Dich aber leider wieder auf die meiner Ansicht nach unhaltbare Behauptung, daß jede Natürliche Zahl endlich sein müsse ("eine (endliche) natürliche Zahl", und "(denn natürliche Zahlen sind endlich)"). Das wäre also der Knackpunkt, den wir als nächstes klären sollten.

"– welche denn? Von welcher redest du?" Ich rede von einer beliebigen Natürlichen Zahl, über die Du gerechtfertigt die Aussage treffen kannst, daß Du bis zu dieser hin bereits unendlich viele Natürliche Zahlen von der Zahlengeraden aufgesammelt in Deinen Topf gelegt hast. Und nochmal: Das geht nur rein gedanklich, physisch ist uns das unmöglich, weil wir Menschen in der Endlichkeit unserer Existenz gefangen sind.--Wikilaser (Diskussion) 22:00, 7. Jan. 2018 (CET)

„müßtest Du ja auf der Zahlengeraden wieder zurückgehen können in Richtung 0 und irgendwann zum ersten mal auf eine Natürliche Zahl treffen“ Nein, ein erstes Mal gibt es eben nicht. Ich kann zurückgehen zu einer natürlichen Zahl, das wird jedoch niemals die erstmögliche sein, eine solche gibt es nicht, es wäre immer noch möglich gewesen, zu einer früheren (das heißt in dem Fall größeren) zurückzuspringen.

Dann nochmal dein obiger Satz: „Betrachtet man jedoch unendlich viele dieser Abstände (und damit unendlich viele Natürliche Zahlen - Du siehst, ich gehe gerade nicht über die Natürlichen Zahlen hinaus (was man meiner Ansicht nach sowieso nicht kann)), wird die Behauptung, die Natürliche Zahl sei endlich groß, falsch (s.o.).“ Erkläre mir bitte dieses Argument. Der Satz hat eine logische Struktur analog zu „Betrachtet man jedoch die einige 100.000 Generationen zurückreichende Stammesgeschichte der Affen (und damit Millionen von Affen), wird die Behauptung, der Affe erreiche nur ein Lebensalter von einigen Jahrzehnten, falsch.“ Die Sätze sind schon grammatikalisch falsch, denn einen bestimmten Artikel verwendet man nur, wenn der eindeutige Bezug bereits zuvor geklärt ist – von „der Natürlichen Zahl“ (bzw. „dem Affen“) war in den vorliegenden Sätzen jedoch nirgends zuvor die Rede. Welche ist es? In deiner jetzt ergänzten Erklärung sehe ich leider keinen Zusammenhang zu deinem vorigen Satz, bei dem ich nachgehakt habe – dass du behauptest, dass es unendlich große natürliche Zahlen gibt, weiß ich bereits, aber warum sollte das aus der Betrachtung von unendlich vielen natürlichen Zahlen folgen? --Chricho ¹ ² ³ 09:49, 8. Jan. 2018 (CET)

"Nein, ein erstes Mal gibt es eben nicht. Ich kann zurückgehen zu einer natürlichen Zahl, das wird jedoch niemals die erstmögliche sein, eine solche gibt es nicht,..." Endlich beginnst Du zu begreifen, was das Problem dieses ominösen $\omega$ ist: Es soll der Definition entsprechend größer als jede Natürliche Zahl sein, müßte also auf der Zahlengeraden irgendwie hinter den Natürlichen Zahlen liegen, aber wenn man dann von diesem Ort aus Richtung 0 geht, müßte man irgendwann erstmals auf die Natürlichen Zahlen treffen, was aber wegen Axiom 2 (das betone ich die ganze Zeit schon!) gar nicht möglich ist. Genau aus diesem Grund ist die Existenz dieses ominösen $\omega$ schlicht unmöglich. Denn ein solches "hinter den Natürlichen Zahlen" gibt es nicht, gerade weil jede Natürliche Zahl wegen Axiom 2 einen Nachfolger hat, der ebenfalls eine Natürliche Zahl ist!

Ich wollte dabei allerdings auf noch einen anderen Punkt hinaus, nämlich die Sache mit der von Dir behaupteten Endlichkeit jeder Natürlichen Zahl. Wenn man von $\omega$ aus rückwärts gehend in Richtung 0 auf die Natürlichen Zahlen treffen würde (schon das ist ja nicht möglich, wie Du bestätigt hast), und wenn die Natürliche Zahl, auf die man dann träfe, auch noch endlich wäre, dann gäbe es bis zu dieser Natürlichen Zahl hin auch nur endlich viele Natürliche Zahlen (was falsch ist, da es unendlich viele Natürliche Zahlen gibt).

"... es wäre immer noch möglich gewesen, zu einer früheren (das heißt in dem Fall größeren) zurückzuspringen." Das wäre wieder derselbe Eiertanz, den Du schon mit dem Sprung über die Natürlichen Zahlen hinaus versuchst. Du drückst Dich drum herum, genau in den Bereich einzudringen, in dem man gerechtfertigt sagen kann, daß man tatsächlich unendlich viele Natürliche Zahlen in seinem Topf drin hätte. Du springst gedanklich permanent drüber hinweg, statt mittendrin zu landen!

"... dass du behauptest, dass es unendlich große natürliche Zahlen gibt, weiß ich bereits, aber warum sollte das aus der Betrachtung von unendlich vielen natürlichen Zahlen folgen?" Weil die Betrachtung von jeder lediglich endlich großen Natürlichen Zahl stets zu der Aussage führt, daß man dann auch erst endlich viele Natürliche Zahlen beisammen (also in seinem Topf drin) hat. Deshalb muß man ja einen Bereich betrachten, in dem man bereits unendlich viele Natürliche Zahlen (und auch noch nichts anderes als Natürliche Zahlen) in seinem Topf drin hat und dann wegen Axiom 2 den nächsten Nachfolger betrachten kann. Dieser Nachfolger (und damit selbst auch eine Natürliche Zahl) kann nicht endlich sein, weil dann hätte man ja nicht unendlich viele, sondern nur endlich viele Natürliche Zahlen in seinem Topf drin. Da wir aber einen Bereich betrachten, in dem wir bereits unendlich viele Natürliche Zahlen in unserem Topf drin haben, muß der nächste Nachfolger unendlich groß sein. Eine andere (womöglich dritte) Möglichkeit gibt es nicht.

Was nun Dein Affenbeispiel angeht, so liegst Du vollkommen daneben. Die logische Struktur bezieht in meinem Fall die Unendlichkeit mit ein, in Deinem Affenbeispiel eben nicht. Du übersiehst, daß der einzelne Abstand zwischen jeden zwei direkt aufeinander folgenden Natürlichen Zahlen endlich ist, während die Gesamtanzahl der Natürlichen Zahlen unendlich ist, und vergleichst in falscher Logik die endliche Länge eines Affenlebens mit der ebenfalls endlichen Länge einer endlichen Anzahl von Affengenerationen. So argumentierst Du Dich selbst ins Abseits!--Wikilaser (Diskussion) 17:18, 8. Jan. 2018 (CET)

@Wikilaser: „müßte man irgendwann erstmals auf die Natürlichen Zahlen treffen“ – nein, gibt kein „erstmals“, genauso wenig, wie es eine erste reelle Zahl vor der 1 gibt.

„Du springst gedanklich permanent drüber hinweg, statt mittendrin zu landen!“ Nein, ich setze eine Punktlandung auf $\omega$.

Was das Affenbeispiel angeht: Dort kommen natürlich keine unendlichen Größen vor, die Gemeinsamkeit ist die, dass du mit kaum einer Rechtfertigung (und in dem von mir oben zitierten Satz tatsächlich mit keiner besseren Rechtfertigung als mein Affensatz) die Größe einer Gesamtheit auf die Größe von etwas einzelnem überträgst. Mit meinem Affenbeispiel habe ich nur die unlogische Struktur eines einzelnen Satzes deinerseits demonstriert, der hat nämlich nirgends auf eine Differenz von Endlichem und Unendlichem Bezug genommen, sondern völlig unvermittelt auf einmal von „der Natürlichen Zahl“ gesprochen und auf diese die Unendlichkeit übertragen. Gut, woanders bringst du noch andere Argumente, dazu siehe den nächsten Absatz:

„Deshalb muß man ja einen Bereich betrachten, in dem man bereits unendlich viele Natürliche Zahlen (und auch noch nichts anderes als Natürliche Zahlen) in seinem Topf drin hat und dann wegen Axiom 2 den nächsten Nachfolger betrachten kann. Dieser Nachfolger (und damit selbst auch eine Natürliche Zahl) kann nicht endlich sein“. Eine Menge von unendlich vielen natürlichen Zahlen kannst du betrachten, du kannst sie auch Bereich oder Topf nennen (oder heißt Bereich oder Topf etwas anderes als Menge?), doch wer sagt dir, dass es eine natürliche Zahl geben muss, die größer ist als alle Zahlen in jener Menge/jenem Topf? Axiom 2 sagt das entgegen deiner Behauptung nicht. Axiom 2 spricht nur von Nachfolgern zu jeder einzelnen natürlichen Zahl, nicht von Nachfolgern zu einem ganzen „Topf“. --Chricho ¹ ² ³ 13:19, 13. Jan. 2018 (CET)

"nein, gibt kein „erstmals“" Die Natürlichen Zahlen größer 0 liegen nach Deiner Definition dieses $\omega$ doch zwischen 0 und $\omega$, richtig? Betrachten wir uns das mal auf einer Linie, dann liegt die 0 ganz links, dann kommen alle Natürlichen Zahlen größer 0, und dann kommt $\omega$ rechts von den Natürlichen Zahlen. Wenn Du jetzt von $\omega$ aus auf dieser Linie nach links gehst, und wir uns zudem noch vorstellen müssen, daß $\omega$ die kleinste Ordinalzahl sein soll, die größer sei als alle Natürlichen Zahlen, dann dürfte links von $\omega$ keine kleinere Ordinalzahl als $\omega$ mehr kommen, sondern Du müßtest auf eine Natürliche Zahl treffen. Wie gesagt, Dein Drüber- oder Hineinspringen über bzw. in die Natürlichen Zahlen ist nicht erlaubt, sondern Du mußt auf der Linie bleiben. Wie Du schon richtig sagst, gibt es keine natürliche Zahl, die man von $\omega$ aus als erstes erreichen kann, da man ja vorher die nächst größere Natürliche Zahl erreicht haben müßte. Also gibt es überhaupt keine Natürliche Zahl, die man durch einen Gang auf der Linie nach links in Richtung 0 erstmals erreichen kann. Da man aber nun einmal auf die 0 zugeht, was erreicht man denn dann? Man müßte (!) irgendwie auf die Natürlichen Zahlen größer 0 treffen, wenn sie gemäß der Definition von $\omega$ zwischen 0 und $\omega$ liegen. Also bleibt als einzige Möglichkeit, dieses Phänomen zu deuten, daß es dieses $\omega$ überhaupt nicht geben kann. Denn die 0 gibt es, und die Natürlichen Zahlen größer 0 gibt es auch, und es gibt keine größte Natürliche Zahl, weil jede Natürliche Zahl wegen Axiom 2 einen Nachfolger hat, der ebenfalls eine Natürliche Zahl ist. Also existiert $\omega$ selbst nicht. Die Definition ist, wie ich schon mehrfach sagte, paradox. Genauso wie die Definition des Barbiers von Sevilla.

Du machst eben keine Punktlandung bei $\omega$, weil es das nicht gibt. Du bist einfach nicht bereit, Dir einen Zustand vorzustellen, bei dem Du ausschließlich nur Natürliche Zahlen eingesammelt und in Deinen Topf gelegt hast und sich nun nicht nur endlich viele, sondern unendlich viele Natürliche Zahlen in Deinem Topf befinden. Du denkst ständig nur an potenziell unendlich viele Natürliche Zahlen, nicht jedoch an aktual unendlich viele Natürliche Zahlen. DAS ist das Problem. DEIN Problem.

"doch wer sagt dir, dass es eine natürliche Zahl geben muss, die größer ist als alle Zahlen in jener Menge/jenem Topf?" Die Peano-Axiome sagen mir, daß jede Natürliche Zahl größer ist als ihr jeweiliger Vorgänger (mit Ausnahme der 0) bzw. jede Natürliche Zahl kleiner ist als ihr jeweiliger Nachfolger (inkl. der 0). Ich behaupte gar nicht, daß es eine Natürliche Zahl geben müsse, die größer sei als alle (anderen) Natürlichen Zahlen, denn das müßte ja dann eine größte Natürliche Zahl sein. Die gibt es aber wegen Axiom 2 nicht. Ich behaupte nur, daß immer die nächste Natürliche Zahl, die man aufsammelt und in seinen Topf legt, größer ist als alle vorherigen. Und ich behaupte, daß eine Natürliche Zahl, die man aufsammelt, nachdem man bereits unendlich viele Natürliche Zahlen aufgesammelt hat, nicht endlich groß sein kann, sondern unendlich groß sein muß. Und daß jede weitere Natürliche Zahl (die es wegen Axiom 2 nun einmal gibt), ebenfalls unendlich groß ist. Und daß der Abstand zwischen zwei solchen Natürlichen Zahlen trotzdem noch endlich ist und genau 1 beträgt.--Wikilaser (Diskussion) 22:23, 15. Jan. 2018 (CET)

„Also bleibt als einzige Möglichkeit […]“ Bis zum Punkt davor alles richtig, deine Schlussfolgerung, dass es das nicht gibt, ist es dann nicht mehr. Das Phänomen ist – wie schonmal dargestellt – durchaus möglich, wie auch das Beispiel das „von der 1 nach links in die Menge $\{0;0,9;0,99;0,999;0,9999;\ldots \}=\left\{{\frac {10^{n}-1}{10^{n}}}\mid n\in \mathbb {N} \right\}$“-Springens zeigt.

„Du bist einfach nicht bereit, Dir einen Zustand vorzustellen, bei dem Du ausschließlich nur Natürliche Zahlen eingesammelt und in Deinen Topf gelegt hast und sich nun nicht nur endlich viele, sondern unendlich viele Natürliche Zahlen in Deinem Topf befinden.“ Mein Topf heißt $\omega$ oder $\mathbb {N}$, ist aktual unendlich und enthält alle natürlichen Zahlen. Wenn das kein „Zustand“ ist, dann definiere „Zustand“.

„immer die nächste Natürliche Zahl“ – die nächste von wo aus?

„Und ich behaupte, daß eine Natürliche Zahl, die man aufsammelt, nachdem man bereits unendlich viele Natürliche Zahlen aufgesammelt hat […]“ – deine Folgerung ist richtig, bloß stimmt die Prämisse nicht: Wenn du durch Nachfolgerbildung unendlich viele natürliche Zahlen aufgesammelt hast, dann hast du alle aufgesammelt, also sammelst du auch danach keine mehr auf. Wenn du widersprechen möchtest: Beweise (mit den Axiomen), warum du für unendlich viele aufgesammelte natürliche Zahlen noch eine, die größer ist als all diese, aufsammeln kannst.

„der Abstand zwischen zwei solchen Natürlichen Zahlen“ – „solche“? Welche? --Chricho ¹ ² ³ 09:43, 16. Jan. 2018 (CET)

Lieber Chricho, ohne Dich jetzt persönlich beleidigen zu wollen, aber Deine sogenannte Logik ist dermaßen fehlerhaft, daß ich mich nur wundern kann:

"Das Phänomen ist – wie schonmal dargestellt – durchaus möglich, wie auch das Beispiel das „von der 1 nach links in die Menge $\{0;0,9;0,99;0,999;0,9999;\ldots \}=\left\{{\frac {10^{n}-1}{10^{n}}}\mid n\in \mathbb {N} \right\}$“-Springens zeigt." Da liegst Du falsch. Und zwar deshalb (ich meine, dies schon einmal erwähnt zu haben), weil bei Deiner Folge der Abstand zwischen den einzelnen Elementen immer weiter abnimmt, während der Abstand zwischen den Natürlichen Zahlen stets konstant 1 beträgt. Bei Deiner Folge kann man drüberspringen und dahinter landen, wenn man sie auf der Zahlengeraden betrachtet, aber bei den Natürlichen Zahlen geht das nicht, weil es kein dahinter gibt. Würde man die Elemente Deiner Folge einfach als Folge untereinanderschreiben, so könntest Du mir bereits nicht mehr sagen, hinter welcher Zahl Deiner Folge Du landen würdest. Du könntest dann nur noch den Kunstgriff anwenden, den Grenzwert Deiner Folge als "Landeplatz" anzugeben. Allerdings könntest Du diesem Landeplatz keine konkrete Natürliche Zahl als Positionsnummer mehr zuordnen. Merkst Du, wie löchrig Deine Theorie ist?

Dein Topf heißt $\mathbb {N}$ und enthält alle Natürlichen Zahlen, wenn man sich diesen Topf als mit allen Natürlichen Zahlen vollendet gefüllt vorstellen mag. Wenn Du nun die letzte Natürliche Zahl (die es ja, wie Du bestätigt hast, gar nicht geben kann) aus Deinem Topf herausnähmest und auf die Zahlengerade zurücklegtest, dann wären in Deinem Topf nicht mehr alle Natürlichen Zahlen drin, aber trotzdem noch unendlich viele (nämlich unendlich viele minus 1). Das Dumme ist nun, daß die letzte noch nicht herausgenommene Natürliche Zahl nach Deiner Darstellung endlich groß sein müßte, was aber nicht sein kann, weil Du ja zugegeben hast, daß immer dann, wenn Du eine endlich große Natürliche Zahl betrachtest, Du auch erst endlich viele Natürliche Zahlen in Deinem Topf drin hast. In Deinem Topf sind aber in dieser Betrachtung unendlich minus 1 viele Natürliche Zahlen drin, also in der Eigenschaft eben immer noch unendlich viele. Somit liegt hier ein Widerspruch in Deiner Theorie vor, der so nicht sein kann. Also ist Deine Theorie falsch, daß alle Natürlichen Zahlen endlich groß seien.

"Wenn du widersprechen möchtest: Beweise (mit den Axiomen), warum du für unendlich viele aufgesammelte natürliche Zahlen noch eine, die größer ist als all diese, aufsammeln kannst." Axiom 2 sagt eindeutig, daß jede Natürliche Zahl, die man aufsammelt, einen Nachfolger hat, der ebenfalls eine Natürliche Zahl ist. Wäre die Menge der Natürlichen Zahlen begrenzt auf unendlich viele Natürliche Zahlen, dann müßte es eine letzte (größte) Natürliche Zahl geben, für die Axiom 2 nicht mehr gelten dürfte. Da es aber kein Axiom gibt, welches für einen solchen Fall Axiom 2 für ungültig erklärt, gibt es keine größte Natürliche Zahl und somit zu jeder Natürlichen Zahl noch einen (und damit letztlich unendlich viele weitere) Nachfolger, der ebenfalls eine Natürliche Zahl ist, und zwar sowohl dann, wenn man erst endlich viele Natürliche Zahlen in seinem Topf drin hat, als auch dann, wenn man bereits unendlich viele Natürliche Zahlen in seinem Topf drin hat. Für ein $\omega$ ist auf der sich ins Unendliche erstreckenden Zahlengeraden kein Platz, es existiert nicht. q.e.d.--Wikilaser (Diskussion) 17:19, 16. Jan. 2018 (CET)

„weil bei Deiner Folge der Abstand zwischen den einzelnen Elementen immer weiter abnimmt“ Die Abstände sind völlig egal für die Situation, es geht nur ums Vorher und Nachher, nicht um Abstände.

„könntest Du diesem Landeplatz keine konkrete Natürliche Zahl als Positionsnummer mehr zuordnen“ Tu ich auch nicht und muss ich auch nicht, ich nenne diese Position nämliche $\omega$. Was ist das Problem?

„Wenn Du nun die letzte Natürliche Zahl […]“ Die gibt es nicht und ich behaupte auch nicht, dass es sie gibt, und du tust es auch nicht – wie kommst du dann darauf, mit dieser Annahme gegen mich zu argumentieren?

„Wäre die Menge der Natürlichen Zahlen begrenzt auf unendlich viele Natürliche Zahlen, dann müßte es eine letzte (größte) Natürliche Zahl geben“ – „begrenzt auf unendlich viele“, was soll das denn heißen?

„und zwar sowohl dann, wenn man erst endlich viele Natürliche Zahlen in seinem Topf drin hat, als auch dann, wenn man bereits unendlich viele Natürliche Zahlen in seinem Topf drin hat“ – definiere deinen Topf, sind das alle natürlichen Zahlen bis zu einer bestimmten natürlichen Zahl? (und warum soll ein Topf nicht alle natürlichen Zahlen enthalten?) Und kannst du deine Aussage nicht so umformulieren, dass wir nicht mehr über Töpfe reden müssen? Denn Axiom 2 redet nicht über Töpfe, wenn du es benutzen möchtest, dann musst du erklären, wie du die Brücke zu deinem Topf genau schlägst.

„ist auf der sich ins Unendliche erstreckenden Zahlengeraden kein Platz“ – ich rede von rein formalen Objekten, die ich über Formeln definieren kann, ob man sich das auf einer Zahlengerade vorstellen kann oder nicht, ist mir egal. Die Mathematik kommt problemlos ohne die Zahlengerade aus. --Chricho ¹ ² ³ 18:10, 16. Jan. 2018 (CET)

"Die Abstände sind völlig egal für die Situation, es geht nur ums Vorher und Nachher, nicht um Abstände." Die Abstände sind sogar entscheidend! Denn nur bei kleiner werdenden Abständen, bei denen die Folge auf einen Grenzwert zuläuft, diesen aber nicht übersteigt, ist ein "dahinter" überhaupt denkbar. Bei gleichbleibenden Abständen ist ein "dahinter" nicht möglich!

Die restlichen Anmerkungen Deinerseits kommentiere ich nicht mehr. Das führt uns nicht weiter. Ich gewinne immer mehr den Eindruck, Du willst gar nicht das Paradoxe an der Definition dieses $\omega$ erkennen. Diese Definition führt zwangsläufig zu Widersprüchen, so daß dieses $\omega$ schlicht nicht möglich ist.--Wikilaser (Diskussion) 23:51, 16. Jan. 2018 (CET)

Es war von Abständen in der Beschreibung der Situation nirgends die Rede, auch nicht indirekt, also kommt es nicht auf sie an.

In der Tat, an meinen Ausführungen zu $\omega$ ist nichts paradox, Widersprüche hast du keine aufzeigen können, deshalb erkenne ich da auch nichts an. Dir würde ich für dein weiteres Lernen dagegen empfehlen, zu versuchen, dich weiter auf die Begriffswelt der Mathematik einzulassen und zu versuchen, auch einmal ausschließlich in diesen Begriffen zu argumentieren und so die innere Kohärenz der mathematischen Argumente nachzuvollziehen, statt immer deine eigenen privaten Vorstellungen mit hineinzuwerfen. --Chricho ¹ ² ³ 09:11, 17. Jan. 2018 (CET)

"Es war von Abständen in der Beschreibung der Situation nirgends die Rede, auch nicht indirekt, also kommt es nicht auf sie an." Die Abstände der Elemente Deiner Folge $\{0;0,9;0,99;0,999;0,9999;\ldots \}=\left\{{\frac {10^{n}-1}{10^{n}}}\mid n\in \mathbb {N} \right\}$ sind

0,9-0=0,9

0,99-0,9=0,09

0,999-0,99=0,009

0,9999-0,999=0,0009

etc.

also gilt 0,9>0,09>0,009>0,0009 etc. Die Abstände zwischen diesen Zahlen nehmen immer weiter ab, die Folge selbst konvergiert gegen 1.

Die Abstände der Natürlichen Zahlen sind jedoch:

1-0=1

2-1=1

3-2=1

4-3=1

etc.

also gilt 1=1=1=1 etc. Die Abstände zwischen den Natürlichen Zahlen bleiben stets konstant, die Folge selbst konvergiert überhaupt nicht.

Also kommt es sehr wohl auf die Abstände an.

Oder willst Du behaupten, die Folge der Natürlichen Zahlen würde gegen $\omega$ konvergieren?

Nochmal: Wenn man von $\omega$ aus in Richtung 0 geht, müßte man irgendwie erstmals auf eine Natürliche Zahl treffen, da die Natürlichen Zahlen angeblich zwischen 0 und $\omega$ liegen und $\omega$ größer sein soll als alle Natürlichen Zahlen. Der Widerspruch, den ich sehr wohl aufgezeigt habe, liegt genau darin, daß uns dabei Axiom 2 im Weg steht. Denn laut Axiom 2 müßte man zuerst auf den Nachfolger der fraglichen Natürlichen Zahl gestoßen sein, der seinerseits selbst zudem auch eine Natürliche Zahl ist. Wie kann also $\omega$ größer sein als alle Natürlichen Zahlen, wenn man von $\omega$ aus in Richtung 0 auf diesen Widerspruch stößt? Wenn $\omega$ überhaupt existieren kann, dann nur zwischen zwei Natürlichen Zahlen, die auf der Zahlengeraden unendlich weit von 0 entfernt liegen. Nur ergibt sich durch diese Variante der Widerspruch, daß $\omega$ doch nicht größer als alle Natürlichen Zahlen wäre. Folgerichtig kann $\omega$ überhaupt nicht existieren. Die Definition dieses $\omega$ ist eindeutig paradox.--Wikilaser (Diskussion) 19:32, 17. Jan. 2018 (CET)

Ich muß eine Aussage von mir weiter oben korrigieren:

"Würde man die Elemente Deiner Folge einfach als Folge untereinanderschreiben, so könntest Du mir bereits nicht mehr sagen, hinter welcher Zahl Deiner Folge Du landen würdest." Du würdest hinter der $0,{\overline {9}}$ landen. Nur wäre die Positionsnummer von $\omega$ dann eine unendlich große Natürliche Zahl, da sie lediglich um 1 größer wäre als die Positionsnummer der $0,{\overline {9}}$. Und $0,{\overline {9}}$ hat deshalb eine Natürliche Zahl als Positionsnummer, weil jede Zahl Deiner Folge eine Natürliche Zahl als Positionsnummer hat. Nur kann die Positionsnummer von $0,{\overline {9}}$ nicht endlich sein, da die $0,{\overline {9}}$ dann nur endlich viele Nachkommastellen hätte. Sie hat aber unendlich viele Nachkommastellen.--Wikilaser (Diskussion) 20:01, 17. Jan. 2018 (CET)

Ja und? Die Abstände gibts, trotzdem, für die Aussagen spielten sie keine Rolle. Und ja, die Folge der natürlichen Zahlen konvergiert gegen $\omega$, in der Ordnungstopologie, man kann Konvergenz nämlich auch ganz ohne Abstände definieren.

„müßte man irgendwie erstmals auf eine Natürliche Zahl treffen, da die Natürlichen Zahlen angeblich zwischen 0 und $\omega$ liegen und $\omega$ größer sein soll als alle Natürlichen Zahlen“ Nein, wenn man nach links geht, dann trifft man auf eine natürliche Zahl $n$, die nicht größer ist als alle anderen. Man hätte auch zu $n+1$ gehen können, hat man aber nicht. Was nicht möglich ist, ist, nur einen Schritt nach links zu gehen, also ohne dabei weitere natürliche Zahlen zu überspringen. Da ist kein Widerspruch. „Wenn man von $\omega$ aus in Richtung 0 geht, müßte man irgendwie erstmals auf eine Natürliche Zahl treffen […]“ Wenn das „in Richtung 0 gehen“ hier bedeutet sich Zahlen $n_{0}>n_{1}>n_{2}\in \mathbb {N}$ (und vllt. noch ein paar mehr) auszusuchen, die alle eben kleiner als $\omega$ sind, dann ist $n_{0}$ eben die erste natürliche Zahl, auf die man trifft, aber nicht die erstmögliche, eine solche gibt es nicht, denn man hätte auch immer eine größere wählen können. Reden wir über dasselbe „in Richtung 0 gehen“? --Chricho ¹ ² ³ 20:32, 17. Jan. 2018 (CET)

"Ja und? Die Abstände gibts, trotzdem, für die Aussagen spielten sie keine Rolle." Wenn die Abstände für Deine Aussagen keine Rolle spielen, dann redest Du von Science-Fiction, aber nicht von Mathematik, insbesondere dann, wenn man Konvergenz ganz ohne Abstände definiert. Wie soll denn diese Konvergenz dann aussehen, bzw, wie soll man sich diese Konvergenz dann vorstellen, wenn sie anders definiert ist als die Konvergenz, die auf Abständen basiert?

Was nun dieses "erstmals auf eine Natürliche Zahl treffen" angeht, so beschreibe ich das einmal anhand einer kleinen endlichen Menge:

X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Ordnet man diese Menge auf der zahlengeraden an, so sieht das so aus: 0_1_2_3_4_5

Wenn Du nun ein $\omega$ definierst, welches größer sei als jede Zahl der Menge X, dann liegt $\omega$ rechts von der 5.

Das sieht dann so aus: 0_1_2_3_4_5_$\omega$

Wenn Du nun von $\omega$ aus in Richtung 0 gehst, kommst Du zuerst an der 5 vorbei. Somit triffst Du erstmals mit der 5 auf ein Element der Menge X.

Hast Du dieses einfache Beispiel verstanden?

Und nun beantworte mir die Frage: Auf welche Natürliche Zahl triffst Du erstmals, wenn Du von dem $\omega$ aus Richtung 0 gehst, das größer sei als jede Natürliche Zahl?--Wikilaser (Diskussion) 13:35, 18. Jan. 2018 (CET)

Das ist nicht „Science Fiction“, sondern das, was alle Mathematikerinnen und Mathematiker der Welt als übliche Mathematik anerkennen, Topologie nennt man das, wenn man von Konvergenz auch ohne Abstände sprechen kann. Wenn man eine durch $<$ geordnete Menge $X$ hat, dann lässt sich Konvergenz ganz einfach definieren: Eine Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ von Elementen von $X$ konvergiert genau dann gegen $y$, wenn für alle $a>y$ ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ existiert, sodass für alle $n>n_{0}$ gilt: $x_{n}<a$; und ferner für alle $b<y$ ein $m_{0}\in \mathbb {N}$ existiert, sodass für alle $n>m_{0}$ gilt: $x_{n}>b$. So einfach ist das. Auf $\mathbb {R}$ erhältst du damit eine Definition, die Äquivalent ist zu der üblichen mit $\epsilon$. Man muss aber nur über Vorher und Nachher sprechen, nicht über Abstände.

Bei deinem Beispiel verstehe ich nun, dass du mit „in Richtung 0 gehen“ einen eindeutig bestimmten Vorgang meinst. Jdf. verständigen wir uns darauf, dass wir nur über (ggf. irgendwann abbrechende) Folgen sprechen, wenn wir von „Gehen“ sprechen? Das heißt, es muss bei einem „Gang“ einen ersten, zweiten, dritten, … Schritt geben (bloß evtl. bricht das irgendwo ab). Einverstanden? Dann wäre zum Beispiel in deinem Beispiel nicht nur $\omega ,5,4,3,2,1,0$ ein Gang in Richtung 0, sondern auch $\omega ,4,2,1,0$ oder $\omega ,5,3$? Einverstanden? Ebenso wären auf dem Intervall $[0,1]$ die Folgen $1,{\frac {3}{4}},{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},0$ oder $1;0,1;0,01;0,001;0,0001;\ldots$ Gänge in Richtung 0? Einverstanden? Auf der Menge $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ ist nun zum Beispiel $\omega ,8,3,0$ ein Gang in Richtung 0. Dabei ist dann 8 die erste Zahl, auf die du stößt. Wenn du hingegen fordern möchtest, dass der Gang in Richtung 0 alle Zahlen dazwischen erwischen soll (tust du das?), dann gibt es in diesem Beispiel ebenso wie im Beispiel $[0,1]$, wenn man bei der 1 startet, keinen solchen Gang. Einverstanden? Wenn nicht, dann sag mir, ab wo du nicht mehr einverstanden bist und wie sich unser Verständnis von einem „Gang“ unterscheidet. --Chricho ¹ ² ³ 14:06, 18. Jan. 2018 (CET)

Ich weiß, daß das, was ich hier als Science Fiction bezeichne, von Mathematikern als übliche Mathematik anerkannt wird. Für mich ist aber meine Kritik keineswegs ausgeräumt, nur weil Du mit diesem Hinweis daherkommst. Du mußt mich schon sachlich inhaltlich überzeugen. Und da sehe ich bislang kein einziges geeignetes Argument.

In meinem Beispiel wäre der Gang $\omega ,4,3,2,1,0$ zwar ein Gang Richtung 0, aber die 5, die bei einem korrekten Gang von $\omega$ beginnend zuerst erreicht wird, wird hier ausgelassen. Somit erfüllt der Gang $\omega ,4,3,2,1,0$ nicht meinen Anspruch, daß alle Elemente der Menge X in der richtigen (hier umgekehrten) Reihenfolge erreicht werden. Man kann das $\omega$ dieses Beispiels eindeutig verorten. Im Falle der Menge $\mathbb {N}$ kann man dieses $\omega$ jedoch überhaupt nicht verorten, weil es so etwas wie "alle Natürlichen Zahlen" deshalb nicht gibt, weil es keine größte Natürliche Zahl gibt. Genau deshalb bin ich der Ansicht, daß es dieses $\omega$ in Bezug auf die Menge $\mathbb {N}$ überhaupt nicht geben kann.

"Auf der Menge $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ ist nun zum Beispiel $\omega ,8,3,0$ ein Gang in Richtung 0." Welche Elemente gehören denn zu dieser Menge? Sind 8, 3 und 0 die einzigen Elemente, oder gibt es noch andere wie beispielsweise 10, 9, 7, 6, 5, 4, 2, und 1?

"Wenn du hingegen fordern möchtest, dass der Gang in Richtung 0 alle Zahlen dazwischen erwischen soll (tust du das?), dann gibt es in diesem Beispiel ebenso wie im Beispiel $[0,1]$, wenn man bei der 1 startet, keinen solchen Gang. Einverstanden?" Wenn $\omega$ größer sein soll als alle Natürlichen Zahlen, dann muß man beim Gang Richtung 0 auch alle Natürlichen Zahlen erwischen, und zwar in umgekehrter Reihenfolge, sprich die größte zuerst. Und genau hier entsteht doch der Widerspruch, der die Existenz dieses $\omega$ unmöglich macht: Es gibt keine größte Natürliche Zahl. Das hast Du sowohl explizit bestätigt als auch dadurch, daß Du hier schreibst: "dann gibt es in diesem Beispiel ... keinen solchen Gang." Richtig, es gibt keinen solchen Gang, weil es dieses $\omega$ nicht geben kann.

Oder sagen wir es anders: Es gibt einen Gang in Richtung 0, aber er kann nicht oberhalb irgendeiner Natürlichen Zahl und somit bei $\omega$ beginnen, weil es keinen Ort gibt, wo dieses $\omega$ widerspruchsfrei existieren kann.--Wikilaser (Diskussion) 22:35, 18. Jan. 2018 (CET)

Okay, da sind wir ja nun terminologisch einander nähergekommen. Also: Es gibt Gänge allgemein und manche von ihnen sind „korrekt“, nämlich die, die keinen Wert überspringen, sondern alle treffen.

„weil es so etwas wie "alle Natürlichen Zahlen" deshalb nicht gibt“ Die Alltagssprache ebenso wie die formale Logik erlauben, darüber zu sprechen, über alle natürlichen Zahlen, und auch du tust dies andauernd, etwa, wenn du sagst, dass es keine größte natürliche Zahl gibt, also erlaube ich mir dasselbe. Dass ich die zusammenfasse zu einer Menge ist nicht viel mehr als eine Kurzschreibweise.

Zu deiner Frage: Zu der Menge $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ gehören alle natürlichen Zahlen und zusätzlich noch $\omega$.

Auf dieser Menge gibt es nun ganz viele von $\omega$ ausgehende Gänge Richtung 0, doch keiner von denen ist „korrekt“ nach deiner Definition. Ein Widerspruch ist das nicht. Auf der Menge $[0,1]$ haben wir dieselbe Situation: Kein von der 1 ausgehender absteigender Gang ist „korrekt“. Wo ist der Widerspruch? Warum sollte es denn einen „korrekten Gang“ geben?

Wenn du verstehen willst, wieso man für Konvergenz keine Abstände braucht, versuch eben nachzuvollziehen, was ich geschrieben habe. --Chricho ¹ ² ³ 23:22, 18. Jan. 2018 (CET)

Was den alltagssprachlichen Ausdruck angeht, so kann man natürlich schon von "alle Natürlichen Zahlen" sprechen. Die Frage, die im mathematisch korrekten Zusammenhang wichtig ist, lautet jedoch: Kann man wirklich jemals von "alle Natürlichen Zahlen" sprechen? Nach meiner Überzeugung ist die Menge $\mathbb {N}$ eine nach oben hin offene Menge, die man sich nicht als abgeschlossen denken kann, eben weil es keine größte Natürliche Zahl gibt. Ein $\omega$ ist nach meiner Überzeugung nur dann möglich, wenn es in einer Menge ein größtes Element gibt, auf das sich die Formulierung dieses $\omega$ beziehen kann, wonach $\omega$ größer sei als jedes Element der fraglichen Menge.

"Auf dieser Menge gibt es nun ganz viele von $\omega$ ausgehende Gänge Richtung 0, doch keiner von denen ist „korrekt“ nach deiner Definition. Ein Widerspruch ist das nicht." Doch, genau darin liegt der Widerspruch. Denn wenn keiner der Gänge korrekt ist, dann gibt es keinen Ort, an dem dieses $\omega$ liegen kann.

"Auf der Menge $[0,1]$ haben wir dieselbe Situation: Kein von der 1 ausgehender absteigender Gang ist „korrekt“. Wo ist der Widerspruch?" Nun, der korrekte Gang lautet: $1,0,{\overline {9}}9,0,{\overline {9}}8,0,{\overline {9}}7,0,{\overline {9}}6$ etc. bis schließlich $0,{\overline {0}}4,0,{\overline {0}}3,0,{\overline {0}}2,0,{\overline {0}}1,0$.

Der Unterschied zwischen der Menge $\mathbb {N}$ und der Menge $[0,1]$ liegt darin, daß die Menge $\mathbb {N}$ zwar eine kleinste, aber keine größte Zahl hat, während die Menge $[0,1]$ sowohl eine kleinste als auch eine größte Zahl hat. Genau deshalb ist bei der Menge $[0,1]$ ein solches $\omega$ möglich, während es bei der Menge $\mathbb {N}$ nicht möglich ist.--Wikilaser (Diskussion) 10:57, 19. Jan. 2018 (CET)

„Kann man wirklich jemals von "alle Natürlichen Zahlen" sprechen?“ Ja, kann man. Wenn du keine formale Logik lernen möchtest, kannst du es dir so verständlich machen: „Natürliche Zahl“ ist ein Begriff, eine Aussage über alle natürliche Zahlen ist dann eine Aussage über die Implikationen dieses Begriffs, zum Beispiel sind alle natürlichen Zahlen gerade oder ungerade, anders ausgedrückt: Der Begriff der natürlichen Zahl schließt notwendig ein, gerade oder ungerade zu sein. Wenn das nicht erlaubt sein soll – über die Implikationen eines Begriffes zu sprechen – kann man jegliches Argumentieren gleich aufgeben.

„Denn wenn keiner der Gänge korrekt ist, dann gibt es keinen Ort, an dem dieses $\omega$ liegen kann.“ – ich brauche keinen „Ort“, insbesondere keinen auf der „Zahlengeraden“, ich definiere mir einfach Begriffe (wie Ordinalzahl und den Vergleich auf den Ordinalzahlen) und arbeite mit denen. Was ist das Problem? Mag dir nicht gefallen diese Arbeitsweise, du magst sie Science Fiction nennen, aber einen inneren Widerspruch konntest du bislang nicht nachweisen.

Bei deiner angeblichen Abzählung deiner angeblich reellen Zahlen: Was kommt denn nach $0,{\overline {9}}0$?

Auch die Menge $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ hat übrigens ein kleinstes (0) und eine größtes ($\omega$) Element. --Chricho ¹ ² ³ 19:14, 19. Jan. 2018 (CET)

Wenn Deine formale Logik die herkömmliche Logik verletzt, ist sie für mich nicht logisch. Wenn Mathematiker sich mit Hilfe formaler Logik irgendwelche Begriffe definieren, um dann mit ihnen zu arbeiten, dann muß es möglich sein, die Ergebnisse ihrer Arbeit mit Hilfe herkömmlicher Logik auf Plausibilität zu prüfen. Genau das mache ich hier gerade mit diesem ominösen $\omega$ sowie mit der Behauptung, alle Natürlichen Zahlen seien ausschließlich endlich.

"ich brauche keinen „Ort“, insbesondere keinen auf der „Zahlengeraden“, ich definiere mir einfach Begriffe (wie Ordinalzahl und den Vergleich auf den Ordinalzahlen) und arbeite mit denen." Weißt Du, wie mir Deine Argumentation vorkommt? "Ich mach mir die Welt, wiedewiedewie sie mir gefällt."

"Was kommt denn nach $0,{\overline {9}}0$?" Ganz einfach: $0,{\overline {9}}89$

An der Nachkommastelle, wo nun die 8 auftaucht, steht bei der $0,{\overline {9}}0$ eine 9, die jedoch in der Periode 9 enthalten ist, solange man sie noch nicht sichtbar machen muß. Das sieht bei der hier angesprochenen Subtraktion so aus: $0,{\overline {9}}0$ = $0,{\overline {9}}90$ - $0,{\overline {0}}01$ = $0,{\overline {9}}89$. Jetzt kann man weiter subtrahieren, bis man bei $0,{\overline {9}}00$ angekommen ist, dann muß man die nächste 9 aus der Periode sichtbar machen, um zu subtrahieren: $0,{\overline {9}}00$ = $0,{\overline {9}}900$ - $0,{\overline {0}}001$ = $0,{\overline {9}}899$. Und so geht es weiter.

Was ist bitte der Unterschied zwischen der Menge $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ und der Menge $\mathbb {N}$? Mir scheint, Deine Variante soll nur dazu dienen, diesem $\omega$ einen "Ort" zu geben, der in Wirklichkeit gar nicht existiert.--Wikilaser (Diskussion) 22:33, 19. Jan. 2018 (CET)

Gut, vllt. haben alle Mathematiker und ich eine andere Welt als du. Aber du könntest doch versuchen, nachzuvollziehen, wie diese andere Welt funktioniert. Dann könnte auch ein Dialog zwischen diesen Welten möglich werden und dann könntest du auch wirklich etwas lernen. Statt dessen suchst du immer Widersprüche, die aber keine Widersprüche innerhalb dieser Welt sind, sondern nur Widersprüche zu deiner Welt. Was denkst du?

„Ganz einfach: $0,{\overline {9}}89$“ – okay, wenn wir dann aber nur endliche natürliche Zahlen haben wollen (wie das in meiner Welt ist), wird man durch einen solchen Gang nach Links immer nur Zahlen erreichen, deren Nachkommastellen mit unendlich vielen 9en anfangen. Mit deinen unendlichen natürlichen Zahlen mag das anders sein (die zahlreichen Nachteile deines Verständnisses der reellen Zahlen bestehen natürlich dennoch).

$\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ enthält alle natürlichen Zahlen und zusätzlich noch $\omega$. $\mathbb {N}$ enthält nur die natürlichen Zahlen. --Chricho ¹ ² ³ 22:52, 19. Jan. 2018 (CET)

Das, was Du als "nur Widersprüche suchen" bezeichnest, ist lediglich die Plausibilitätsprüfung meinerseits. Denn daß es Ungereimtheiten in der Mathematik gibt, wie sie der derzeitigen Lehrmeinung entspricht, ist ja kein Geheimnis.

Wenn wir durch eine Addition des Elements $0,{\overline {0}}1$ endliche Natürliche Zahlen erreichen wollen, müssen wir unendlich viele Einheiten dieses Elements addiern. Nur so lassen sich unendlich viele Nachkommastellen überwinden. Will man die 0,1 erreichen, sind es aber nur ein Zehntel so viele, wie zum Erreichen der 1 notwendig sind, zum Erreichen von 0,01 sind es nur ein Hundertstel so viele, und zum Erreichen der 10 sind es zehnmal so viele. Ich sehe in diesem Punkt keinen Nachteil in meinem Verständnis der Reellen Zahlen.

Was nun den Unterschied zwischen $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ und $\mathbb {N}$ angeht, habe ich verstanden, wie das gemeint ist. Wobei ich es aber genau so interpretiere, daß mit $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ prädikatenlogisch versucht wird, diesem $\omega$ einen Ort zuzuweisen, der auf der Zahlengeraden in Wirklichkeit gar nicht existieren kann. Deshalb ja meine Kritik, daß man mit der Prädikatenlogik sehr vorsichtig umgehen muß, um nicht die herkömmliche Logik zu verletzen.--Wikilaser (Diskussion) 10:16, 20. Jan. 2018 (CET)

Nein, über irgendeine Zahlengerade wird da nichts gesagt. $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ kannst du als Kurzschreibweise ansehen für „Menge von allem, was natürliche Zahl oder $\omega$ ist“. --Chricho ¹ ² ³ 13:58, 20. Jan. 2018 (CET)

Deine "Argumentation" kommt mir vor wie eine politische Rede. Du drückst Dich davor, der Realität ins Auge zu sehen und redest um den heißen Brei herum. Es ist doch völlig klar, daß kein Politiker gern zugibt, wenn er mit seiner Ansicht falsch liegt. Also versucht er, den heiklen Punkt gar nicht erst anzusprechen. Bei der Menge $\mathbb {N}$ muß man die Zahlengerade zwar nicht erwähnen, aber in der Realität sind die Natürlichen Zahlen auf der Zahlengeraden angeordnet (oder können dort angeordnet werden - das reicht schon). Bei mir hast Du da aber Pech, ich lasse mich auf solche Spielchen nicht ein. Also: Wo genau auf der Zahlengeraden (sprich hinter welcher konkreten Natürlichen Zahl) befindet sich dieses $\omega$?--Wikilaser (Diskussion) 21:34, 20. Jan. 2018 (CET)

Auch politische Ideologien muss man in ihrer inneren Logik versuchen zu verstehen. Wenn du nichts mehr lernen und erfahren möchtest, gut, dann hören wir an dieser Stelle eben auf, dann bleibst du eben bei der leeren Feststellung, dass es in der Mathematik anders zugeht, als du es dir vorstellst.

Die Zahlengerade ist übrigens nicht der „heikle Punkt“, sie ist ein didaktisches Mittel zur Veranschaulichung, mehr nicht, nicht sie macht die Realität der natürlichen Zahlen aus. --Chricho ¹ ² ³ 11:27, 21. Jan. 2018 (CET)

Nenn es, wie Du willst, von mir aus Mittel zur Veranschaulichung. Dann zeig mir anhand dieses Mittels zur Veranschaulichung, wo $\omega$ sich ganz genau befindet.

Ich habe mir inzwischen nochmal den Begriff "Axiom" zu Gemüte geführt. Ein Axiom ist laut Wikipedia ein "Satz, der nicht in der Theorie bewiesen werden soll, sondern beweislos vorausgesetzt wird." Das heißt, solange man auf der Grundlage von Axiomen arbeitet, befindet man sich auf der Ebene einer Annahme. Das bedeutet nicht zwangsläufig sofort, daß es sich bei der Annahme bereits um eine bewiesene Tatsache handelt. Alles, was dann auf der Grundlage einer solchen Annahme weitergeführt wird, steht dann ebenfalls nur auf dieser Ebene. Erst, wenn man die Annahme auf ihren Wahrheitsgehalt hin überprüft und die Annahme bewiesen wird, kann man von einer Tatsache und damit von Realität sprechen.

Alles, was ich hier mache, ist der Versuch, die Annahme der Existenz dieses $\omega$ auf den Prüfstand zu stellen. Und dabei komme ich nun einmal zu dem Ergebnis, daß es dieses $\omega$ nicht geben kann. Ob Du das nun akzeptieren willst oder nicht, ist Deine Sache. Wie schon mehrfach gesagt, lasse ich mich gern überzeugen (wohlgemerkt überzeugen, nicht überreden!), wenn Du mir zeigen kannst, wo auf der Zahlengeraden bzw. hinter welcher konkreten Natürlichen Zahl sich dieses $\omega$ befindet. Ich habe nichts dagegen, wenn es Dir gelingt. Aber zeige es mir bitte, wenn Du von der Existenz dieses $\omega$ so überzeugt bist.

Nebenbei bemerkt habe ich kein Problem, mir vorzustellen, was wohl wäre, wenn ich die Annahme der Existenz dieses $\omega$ einmal bedingungslos als Voraussetzung akzeptiere. Aber da ich bislang noch keinen Beweis für die Existenz dieses $\omega$ erkennen kann, ja sogar daß alles, was ich bisher an Überlegungen dazu angestellt habe, gegen die Existenz dieses $\omega$ spricht, ist mein Standpunkt zum gegenwärtigen Zeitpunkt noch nicht ansatzweise erschüttert. Also liefere bitte Beweise, statt ständig von mir zu fordern, den Stand der Lehrmeinung widerspruchslos zu erlernen.--Wikilaser (Diskussion) 19:21, 21. Jan. 2018 (CET)

Ums kurz zu machen: Macht mir nichts, wenn wir uns auf der Ebene von Annahmen bewegen (und vor allem benutzen wir auf dieser Ebene nichts außer den Axiomen (entweder die Peano-Axiome oder die Axiome der Mengenlehre, wenn wir zum Beispiel allgemein über Ordinalzahlen sprechen wollen) und den logischen Schlussregeln). Was ich lediglich versuche, dir zu zeigen, ist dass das, was du für Widersprüche hältst, die aus diesen Annahmen folgen, keine Widersprüche sind bzw. nicht aus diesen Annahmen folgen, während meine Aussagen über die natürlichen Zahlen strikt aus diesen Annahmen folgen. Ferner haben wir versucht dir zu zeigen, dass dafür tatsächlich auch die Annahme aller 5 Peano-Axiome notwendig ist. Einverstanden, die Diskussion auf diese Punkte zu beschränken? Das heißt, wir lassen den Realitätsgehalt aus dem Spiel (doch auch über jene Ebene hinaus hat meine Auffassung der natürlichen Zahlen gegenüber deiner noch den Vorteil, der „Endlichkeit der Existenz“ angemessen zu sein).

Wie gesagt: $\omega$ ist größer als alle natürlichen Zahlen, kommt also nicht nur hinter einer ganz bestimmten, sondern hinter allen (bloß niemals direkt dahinter). Wenn du es genauer verstehen möchtest, hast du verschiedene Möglichkeiten: Die Definition in der Mengenlehre durch $\omega =\mathbb {N}$, oder indem du Aussagen über die Elemente von $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$, insbesondere durch Vergleiche zwischen ihnen, als Kurzschreibweise für Aussagen über den natürlichen Zahlen auffasst, oder indem du einfach Axiome zu den Peano-Axiomen hinzufügst, die den Vergleich definieren: Außer Transitivität und Trichotomie für den Vergleich von natürlichen Zahlen untereinander und mit $\omega$, der Definition $\forall n,m\in \mathbb {N} (n<m\Leftrightarrow n\neq m\wedge \exists X\subseteq \mathbb {N} n,m\in X\wedge \forall p\in Xp'\neq n\wedge p'\in X)$ (in Worten: eine natürliche Zahl $n$ ist kleiner als eine natürliche Zahl $m$ genau dann, wenn m durch Nachfolgerbildung von n aus erreichbar ist) fügst du dann noch das Axiom $\forall n\in \mathbb {N} n<\omega$ hinzu. Was ist jetzt das Problem?

Auf die Zahlengerade lasse ich mich nicht weiter ein, ich weiß nicht, wie du darauf kommst, dass die irgendeine Rolle spielt, nur weil sie in der Schule gelehrt wird. --Chricho ¹ ² ³ 10:39, 22. Jan. 2018 (CET)

Fazit: Du möchtest auf der Grundlage von unbewiesenen Annahmen arbeiten. Damit habe ich kein Problem, wenn Du das tust. Aber ich halte das für Science-Fiction, nicht für Mathematik.

In meinen Augen war die Mathematik bereits vollkommen vorhanden, bevor der erste Mensch begann, sich mit Zahlen und dem Zählen zu beschäftigen. Es gilt also nicht etwa, die Mathematik zu erschaffen, sondern die Mathematik zu entdecken. Jede Lösung eines mathematischen Problems ist in meinen Augen nur eine Entdeckung von etwas Vorhandenem, nicht eine Erfindung von etwas Neuem. Wir sollten daher jede Annahme zu beweisen versuchen, statt auf der Grundlage unbewiesener Annahmen weitere Annahmen zu treffen.

Daniel5Ko, wenn Du noch etwas zu dieser Diskussion beitragen möchtest, dann bin ich gern dazu bereit. Was Dich angeht, lieber Chricho, so denke ich, daß zwischen uns alles gesagt ist. Wenn Du einen Beweis für die Existenz von $\omega$ liefern kannst, der ohne unbewiesene Axiome auskommt und ausschließlich logische Argumente nutzt, dann können wir die Diskussion gerne fortsetzen. Für den Moment jedoch halte ich jeden weiteren Beitrag für überflüssig. Trotz aller Meinungsverschiedenheit aber vielen Dank für Deinen Einsatz!--Wikilaser (Diskussion) 12:04, 22. Jan. 2018 (CET)

Ich frage mal folgendes: Du hast scheinbar eine Vorstellung davon, was "Realität" ist. Wie beweist du denn Dinge über diese angebliche Realität? Bisher habe ich nichts dergleichen von dir gesehen (was nachvollziehbar ist: es geht halt i.A. nicht). Das gute an, wie du es nennst, Science Fiction, ist, dass extrem klar ist, worüber man spricht. Die ggf. vorhandenen Beziehungen zu einer "Realität" sind lediglich ein Bonus.

Axiomatisiere als Übungsaufgabe doch mal deine natürlichen Zahlen; insbesondere würde mich interessieren, wie deine unendlich großen natürlichen Zahlen immun werden ggü. deiner Kritik an $\omega$. --Daniel5Ko (Diskussion) 01:15, 4. Feb. 2018 (CET)

Beweise

Was ist denn für Dich ein Beweis? Etwa nur eine Formulierung mit Hilfe von Formelzeichen?

Meine Kritik an diesem ominösen $\omega$ liegt ja bereits vor:

Laut Definition soll $\omega$ die kleinste Ordinalzahl sein, die größer ist als jede Natürliche Zahl.

Ich habe das untersucht:

Geht man von $\omega$ aus einen Schritt zurück Richtung $0$ (also $\omega -1$) und trifft dort noch nicht auf eine Natürliche Zahl, dann ist die Zahl (nennen wir sie $A$), auf die man dann trifft, kleiner als $\omega$ selbst.

Wenn diese Zahl $A$ eine Ordinalzahl ist, jedoch keine Natürliche Zahl, dann ist $\omega$ nicht die kleinste Ordinalzahl, die größer ist als jede Natürliche Zahl. Also ein Widerspruch zur Definition von $\omega$.

Ist jedoch diese Zahl $A$ eine Natürliche Zahl, dann müßte auch $\omega$ selbst eine Natürliche Zahl sein, weil für jede Natürliche Zahl Axiom 2 gilt, wonach jede Natürliche Zahl $n$ einen Nachfolger $n'$ hat. Also auch ein Widerspruch zur Definition von $\omega$.

Wenn diese Zahl $A$ weder eine Natürliche Zahl noch eine Ordinalzahl ist, was ist sie dann? Diese Frage hast Du (und auch Chricho) nicht beantwortet.

Ebenso fehlt eine Antwort darauf, weshalb man diesen Schritt von $\omega$ Richtung $0$ nicht gehen können soll. Aus meiner Sicht muß man das können.

Solange das nicht zweifelsfrei geklärt ist, halte ich $\omega$ für Science Fiction.--Wikilaser (Diskussion) 10:22, 9. Feb. 2018 (CET)

Du hast deine unendlich großen natürlichen Zahlen vergessen. Was sind ihre unmittelbaren Vorgänger? Tipp übrigens: es wird einfach nicht behauptet, dass es einen unmittelbaren Vorgänger von $\omega$ (also etwas, was man "mit einem Schritt in Richtung 0" erreicht) gibt. Dass $\omega$ die kleinste Ordinalzahl oberhalb der natürlichen Zahlen sein soll, bewirkt nur, dass jeder Übergang zu einer kleineren Ordinalzahl unbedingt bei einer natürlichen Zahl landen muss. Und dass es keine größte solche gibt (was erforderlich wäre, wenn man zu einem unmittelbaren Vorgänger übergehen will), ist hier ja schon oft thematisiert gewesen. --Daniel5Ko (Diskussion) 22:11, 12. Feb. 2018 (CET)

Der unmittelbare Vorgänger einer unendlich großen Natürlichen Zahl ist ebenfalls unendlich groß, aber eben um 1 kleiner.

Es braucht nicht behauptet zu werden, daß es einen unmittelbaren Vorgänger von $\omega$ gibt. Es reicht, wenn ich nach einem solchen Vorgänger frage (und diese Frage stellt sich ja praktisch von selbst, wenn man ein bisschen logisch nachdenkt), um die Paradoxie der Definition dieses $\omega$ vor Augen zu führen.

Dass $\omega$ die kleinste Ordinalzahl oberhalb der natürlichen Zahlen sein soll, bewirkt nur, dass jeder Übergang zu einer kleineren Ordinalzahl unbedingt bei einer natürlichen Zahl landen muss. Das genau ist doch das Paradoxe: Wenn der Übergang zu einer kleineren Ordinalzahl (um 1 kleiner als $\omega$) bei einer Natürlichen Zahl landet, dann ist der Nachfolger dieser Natürlichen Zahl gleich $\omega$ selbst, wie oben bereits dargestellt. Wäre der von Dir angedachte Übergang unendlich groß, gäbe es eine Lücke zwischen den Ordinalzahlen, die durch nichts begründbar ist.

Und dass es keine größte solche gibt (was erforderlich wäre, wenn man zu einem unmittelbaren Vorgänger übergehen will), ist hier ja schon oft thematisiert gewesen. Eben, und genau deshalb kann es dieses $\omega$ schlicht überhaupt nicht geben. Denn um zu einem solchen $\omega$ gelangen zu können, müßte man ja von der 0 beginnend abzuzählen an allen Natürlichen Zahlen vorbeikommen können, was wegen Axiom 2 jedoch unmöglich ist. Es gibt kein "dahinter", ohne wenn und aber!

Wie schon so oft gesagt, die Definition von $\omega$ kann man zwar in Worten ausdrücken, genauso wie man die Definition des Barbiers von Sevilla in Worten ausdrücken kann, aber man kann weder die eine noch die andere Definition in die Praxis umsetzen, weil beide Definitionen paradox sind.--Wikilaser (Diskussion) 23:17, 12. Feb. 2018 (CET)

Dieses "um-1-kleiner" hast du gerade hinzuerfunden, und es basiert auf nichts. Mir fehlt übrigens immer noch die Argumentation dafür, dass deine unendlich großen natürlichen Zahlen immun sind gegen diese Kritik. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:09, 13. Feb. 2018 (CET)

Dieses "um 1 kleiner" basiert auf den allgemeinen Rechenregeln, wonach man zu jeder Zahl 1 addieren oder von ihr subtrahieren kann. Gelten diese Rechenregeln in der Mathematik oder nicht? Es gibt für mich keinen Grund, weshalb man von $\omega$ nicht 1 subtrahieren können sollte.

Weshalb sollten unendlich große Natürliche Zahlen gegen meine Kritik an diesem ominösen $\omega$ immun sein? Die Kritik lautet: Es gibt keine größte Natürliche Zahl, also kann es keine Ordinalzahl $\omega$ geben, welche größer sein solle als jede Natürliche Zahl. Denn wo auch immer auf der Zahlengeraden Du eine Ordinalzahl positionierst, sie wird von den Natürlichen Zahlen irgendwann erreicht und dann übertroffen. Diese Ordinalzahl $\omega$ kann also keine (!) Position auf der Zahlengeraden einnehmen, und folglich kann sie auch nicht existieren.--Wikilaser (Diskussion) 21:32, 13. Feb. 2018 (CET)

Was ist nun? Beantworte mir die Frage, aus welchem Grund man von $\omega$ nicht $1$ abziehen können soll oder darf.--Wikilaser (Diskussion) 22:19, 16. Mär. 2018 (CET)

$\omega$ ist, wie auch 0, eine Zahl ohne unmittelbaren Vorgänger. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:42, 20. Apr. 2018 (CEST)

Im Gegensatz zur 0 hat jedoch $\omega$ keine Position auf der Zahlengeraden. Denn hätte sie eine Position auf der Zahlengeraden, dann könnte man auch 1 von $\omega$ abziehen und gelangte dadurch zu einer kleineren Zahl als $\omega$, woraus unmittelbar folgen würde, daß $\omega$ nicht die Kriterien seiner eigenen Definition erfüllen würde. Also hat $\omega$ keine Position auf der Zahlengeraden und existiert folglich nicht.--Wikilaser (Diskussion) 17:21, 31. Mai 2018 (CEST)

Das Schließen von "hat Position auf der Zahlengerade" nach "man kann 1 abziehen" ist inkorrekt. --Daniel5Ko (Diskussion) 01:37, 23. Jun. 2018 (CEST)

Das Schließen von "hat Position auf der Zahlengerade" nach "man kann 1 abziehen" ist korrekt. Und nun?

Begründe erstmal, weshalb es inkorrekt sein soll. Dann können wir der Sache auf den Grund gehen.--Wikilaser (Diskussion) 13:48, 27. Jun. 2018 (CEST)

Man kann beweisen: Das übliche $\omega$ hat keinen unmittelbaren Vorgänger. Denn: Der müsste eine natürliche Zahl sein, weil $\omega$ als kleinstmöglich oberhalb $\mathbb {N}$ definiert ist. Dieser Vorgänger wiederum hat einen Nachfolger, und der wäre eine natüriche Zahl (und insbesondere nicht $\omega$).

Daher hast du, wenn wir annehmen, wir hätten Konsistenz, etwas falsch gemacht. --Daniel5Ko (Diskussion) 02:54, 30. Jun. 2018 (CEST)

Der Unterschied zwischen unseren beiden Sichtweisen liegt im Rückschluß, den wir jeweils ziehen. Du sagst, laut Definition dürfe $\omega$ keine Natürliche Zahl als Vorgänger haben, ich sage, die Definition dieses $\omega$ ist überhaupt nicht in die Praxis (sprich auf die Zahlengerade) umsetzbar. Wer hat aber nun Recht? Und weshalb? Tatsache ist, daß die Natürlichen Zahlen kein größtes Element haben, das ist unbestreitbar. Also kann es gar keinen Ort auf der Zahlengeraden für dieses $\omega$ geben, der jenseits der Natürlichen Zahlen sein kann. Ich bleibe dabei: $\omega$ existiert nicht!--Wikilaser (Diskussion) 00:32, 4. Jul. 2018 (CEST)

Das Argument mit Zahlengeraden ist eben unsinning. Ich würde "Zahlengerade" nur als Veranschaulichung einer sowieso gegebenen total geordneten Menge verstehen (wobei vielleicht manchmal "Strahl" oder "Strecke" angemessener wäre). Die Frage ist: Zahlengerade für welche "Zahlen" denn? Auf der Zahlengeraden für reelle Zahlen gibt es zu je zwei Punkten einen echt dazwischenliegenden. Das gilt für die Zahlengerade für ganze Zahlen nicht. Man kann mit dem Begriff argumentativ nicht mehr anfangen, als mit dem damit visualisierten.

Eine Zahlengerade für $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ in der üblichen Anordnung kann man basteln und auch tatsächlich visualisieren -- d.h. z.B. auf einem endlichen Stück Papier genau genug approximieren, dass jeder weiß, was gemeint ist (ggf. noch mit ein paar begleitenden Worten), und sogar so, dass man sieht, wo an beiden Enden der Bereich anfängt, in dem keine Elemente mehr liegen -- sie sieht fast genau so aus, wie die Zahlengerade für $\mathbb {N}$. Es kommt eben nur ein Punkt hinzu.

Und nochmals: Ich habe nie behauptet, $\omega$ sei eine natürliche Zahl. Ganz im Gegenteil habe ich immer wieder betont, dass es keine sei (denn wenn es eine wäre, hätte es ja einen unmittelbaren Vorgänger etc.).

Ich stelle übrigens erneut fest: wir drehen uns in sinnlosen Kreisen. Aber hast du denn inzwischen auf magische Art trotzdem verstanden, dass das Induktionsaxiom in der Liste der Peano-Axiome nicht überflüssig ist? (Darum ging's ja ganz ursprünglich, und $\omega$ war eigentlich nie relevant für die Diskussion.) --Daniel5Ko (Diskussion) 00:09, 7. Jul. 2018 (CEST)

Gut, nehmen wir mal Dein Beispiel eines endlichen Stück Papiers, sagen wir 10 cm lang. Wo ganz genau (also bei wieviel cm) auf diesem Stück Papier ist $\omega$, und wo ganz genau seien die $0$ und die $1$? Damit ich mir vorstellen kann, wie Du das meinst.--Wikilaser (Diskussion) 22:25, 17. Jul. 2018 (CEST)

$\omega$ wäre z.B. bei 10cm, und 1 bei 1 cm, und 0 bei 0 cm. Das Bild ist perspektivisch zu interpretieren. Schieße einmal (vll. rein gedanklich) ein Foto einer unendlich ausgedehnten Ebene. --Daniel5Ko (Diskussion) 23:06, 17. Jul. 2018 (CEST)

Wenn Du das Papier nicht perspektivisch betrachtest, dann wäre $\omega$ bei der $10$ und damit innerhalb von $\mathbb {N}$. Das Problem an der von Dir angedachten perspektivischen Betrachtung liegt darin, daß es einen Horizont bei $\omega$ geben soll, den es aber bei den Natürlichen Zahlen eben nicht geben kann, da es keine größte Natürliche Zahl gibt. Und selbst, wenn in Deiner perspektivische Betrachtung dieses $\omega$ sichtbar wäre, ließe sich in dieser Perspektive nicht feststellen, bis wohin die Natürlichen Zahlen reichen. Und man müßte ja diese perspektivische Betrachtung wieder dadurch rückgängig machen können, daß man sich auf einen gewissermaßen erhöhten Aussichtspunkt begibt, von wo aus man die ganze Menge $\mathbb {N}$ einschließlich diesem $\omega$ komplett überblicken kann, so daß man die Abstände zwischen den einzelnen Natürlichen Zahlen wieder als exakt gleich groß erkennen kann, was sie ja im Sinne der Menge $\mathbb {N}$ auch tatsächlich sind. Und aus eben diesem erhöhten Blickwinkel heraus möchte ich jetzt von Dir wissen, wo $\omega$ sein soll. Oder machen wir es anders: Wir betrachten unser Blatt Papier von oben statt perspektivisch (und interpretieren es auch nicht perspektivisch) und legen die $0$ an den linken Rand und $\omega$ an den rechten Rand des Papiers. Und nun zeige mir, wo die $1$ oder auch die $100$ liegt (natürlich mit cm-Angabe).--Wikilaser (Diskussion) 22:56, 18. Jul. 2018 (CEST)

Das perspektivische ist ja gerade eine Möglichkeit, die ganze Menge anschauen zu können (egal, ob nun $\mathbb {N}$ oder $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$, und in der Praxis ist das natürlich nur eine extrem schlechte Approximation, aber man weiß, was gemeint ist). Anders geht es auf einem endlichen Stück Papier kaum. Lässt man die Perspektive weg, und will einen endlichen konstanten Abstand d zwischen den Nachbarn, dann gibt es auf einem endlichen Stück Papier eine größte natürliche Zahl, die auf dem Blatt dargestellt ist. Nimmt man ein "unendliches" Stück Papier, dessen Punkte irgendwie durch reelle Zahlen verortet werden, dann kann man auf diese Art nur $\mathbb {N}$ darstellen, $\omega$ wäre nicht drauf. Die Realität haben wir nun eh schon verlassen, also können wir das Blatt Papier auch noch um einen "Punkt in der Unendlichkeit" ergänzen, und da $\omega$ hinmalen. Es hat dann aber nicht den Abstand d zu einem der Punkte, die mit natürlichen Zahlen markiert wurden. Das beweist aber höchstens, dass man eine schlechte Strategie zur "Visualisierung" -- sofern man hier überhaupt von einer sprechen kann -- gewählt hat. --Daniel5Ko (Diskussion) 01:17, 19. Jul. 2018 (CEST)

Das, was Du mit "$\omega$ wäre nicht drauf" bezeichnest, nenne ich "$\omega$ existiert überhaupt nicht". Jetzt bleib mal bei dem endlichen Stück Papier ohne (!) perspektivische Sicht. Links am Rand ist $0$, rechts am Rand ist $\omega$. Wo ist nun die $1$, wo ist die $100$ und wo ist Grahams Zahl G64?--Wikilaser (Diskussion) 09:44, 20. Jul. 2018 (CEST)

Ohne Perspektive geht das nicht gut. Wenn man will, dass benachbarte natürliche Zahlen auf dem Papier denselben Abstand haben, kann man nicht alle hinmalen, oder man kann sie nicht unterscheiden, völlig egal, ob man außerdem noch Omega markiert hat. Hier bleibt nur die Wahl, den Abstand auf 0 zu setzen. D.h. G64 befindet sich dann am linken Rand, genau an derselben Stelle wie die 0 und alle anderen natürlichen Zahlen. --Daniel5Ko (Diskussion) 13:45, 20. Jul. 2018 (CEST)

Mit Perspektive geht es sowieso nicht gut, weil man dann die großen Natürlichen Zahlen so nicht mehr von dem $\omega$ unterscheiden kann. Zudem hat eine unendliche Ebene, die man perspektivisch betrachtet, keinen Horizont, sprich kein "hinteres Ende". Diesen Horizont kennen wir nur deshalb, weil unsere Erdoberfläche gekrümmt ist. Also kann man perspektivisch betrachtet dieses angebliche $\omega$ sowieso nicht sehen, es wäre nicht auf dem Papier drauf, weil sich auf dem Papier nur unendlich viele Natürliche Zahlen befinden, und zu jeder gibt es eine noch größere Natürliche Zahl. Das geht also immer so weiter, auch perspektivisch gesehen. Und wenn ohne Perspektive alle Natürlichen Zahlen an derselben Stelle wie die 0 stehen müßten, dann wären sie auch gleich 0, was jedoch nicht der Fall ist. Davon abgesehen wäre dann noch viel Platz, zwischen Deinem $\omega$ und den Natürlichen Zahlen eine Vielzahl kleinerer Ordinalzahlen als $\omega$ unterzubringen. Beide Möglichkeiten schließen also ein $\omega$ aus, das seiner eigenen Definition genügen könnte. Mit anderen Worten: $\omega$ existiert nicht.--Wikilaser (Diskussion) 00:44, 21. Jul. 2018 (CEST)

Wenigstens kann man bei perspektivischer Darstellung die Punkte *prinzipiell* unterscheiden (eine Animation mit fortgesetztem Heranzoomen dürfte dies verdeutlichen). Ohne Perspektive und mit Insistierung auf einen konstanten Abstand und Darstellung aller natürlichen Zahlen auf einem endlichen Stück Papier bleibt nur der Abstand 0 und damit die prinzipielle Ununterscheidbarkeit natürlicher Zahlen in dieser Darstellung.

Für einen Horizont ist keine Krümmung nötig. Wenn man eine unendliche Ebene (sagen wir mal $\mathbb {R} ^{2}$, nichts komisches mit Punkten in der Unendlichkeit) geeignet fotografiert, ergibt sich ein solcher. Es stimmt aber, dass die Punkte auf dem Foto, die zusammen den Horizont auf dem Foto ausmachen, nicht zu Punkten der Ebene korrespondieren, und dass im Fall eines Horizontes, den man auf einem Planeten beobachten kann, die Punkte auf dem Horizont sehr wohl real vorhandenen Punkten auf der Planetenoberfläche entsprechen. Das lässt sich geometrisch recht leicht modellieren: Im Fall der Ebene kommt der Horizont durch zur Ebene parallele "Sehstrahlen" zustande, die eben keinen Schnittpunkt mit der Ebene haben (und alle Sehstrahlen, die weiter nach oben zeigen, haben natürlich auch keinen). Im Fall des Planeten hätten die Sehstrahlen, die für den Horizont verantwortlich sind, einen Schnittpunkt mit der Planetenoberfläche.

$\omega$ "sieht man" (bzw. weiß, wo es hingehört) auf dem perspektivischen Bild ganz genau: es ist dort, wo sich die Horizontlinie mit der Geraden, auf dem sich die natürlichen Zahlen befinden, schneidet.

Von Bebilderung abgesehen: zwischen $\omega$ und den natürlichen Zahlen befindet sich per Definition keine weitere Ordinalzahl.

--Daniel5Ko (Diskussion) 03:07, 22. Jul. 2018 (CEST)

Auf die Definition für dieses $\omega$ brauchst Du Dich nicht zu berufen. Deren Bedingungen stehen ja gerade zur Diskussion. Es geht ja gerade darum, zu beweisen (nicht nur zu definieren), wo genau dieses $\omega$ sein soll. Und einen solchen Beweis lieferst Du nicht.

Eine Animation mit fortgesetztem Entlangschreiten an den Natürlichen Zahlen dürfte wohl zweifelsfrei verdeutlichen, daß man niemals an den Natürlichen Zahlen vorbeikommt zu einem Punkt, der angeblich hinter den Natürlichen Zahlen liegt. Und zwar genau deshalb, weil es keine größte Natürliche Zahl gibt. Egal, wo man sich auf der Zahlengeraden befindet, man befindet sich immer innerhalb der Natürlichen Zahlen, niemals an deren (ohnehin nicht vorhandenem) Ende und schon gar nicht irgendwo dahinter.

Eine unendliche Ebene (also eine Ebene, die sowohl in der Breite als auch in der Länge unendlich ist) kann keinen Horizont haben, an dem sich irgendwelche Linien perspektivisch schneiden. Man kann lediglich ab einer gewissen Entfernung a zwei am Ort des Betrachters endlich von einander entfernte parallele Linien nicht mehr voneinander unterscheiden und sie in noch weiterer Entfernung überhaupt nicht mehr sehen. Aber zwei weiter von einander entfernte parallele Linien, die zudem eine größere Linienbreite haben, kann man in der Entfernung a noch von einander unterscheiden und auch dahinter noch sehen. Nach Deiner Darstellung müßte in der Entfernung a der Horizont sein. Da ist aber kein Horizont, wie auch in sonst keiner Entfernung.--Wikilaser (Diskussion) 22:42, 24. Jul. 2018 (CEST)

Wenn man ZFC oder ähnliches als Grundlage nimmt, kann man auf viele Arten ein Modell von $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ basteln, von denen ich einige schon angegeben habe. Eine unendliche Ebene kann, richtig abgebildet, einen Horizont ergeben. Für letzteres nehme man einen Raytracer seiner Wahl. Nochmal: Die Grenze zwischen der Ebene und, sagen wir mal, "dem Himmel" ist genau dort, wo die Sehstrahlen parallel zur Ebene sind. Die sich schneidenden Geraden zwecks Positionierung von omega sind bezüglich der Abbildung gemeint. --Daniel5Ko (Diskussion) 01:24, 29. Jul. 2018 (CEST)

Ich verstehe schon, was Du meinst. Als Betrachter dieser zwei unendlichen Ebenen (nennen wir sie "Erde" und "Himmel" ohne Krümmung) steht man zwischen diesen beiden Ebenen, die Erde unterhalb der Blickachse und der Himmel oberhalb der Blickachse. Auch die Blickachse ist parallel zu den beiden Ebenen. Richtig beschrieben?

Jetzt hast Du das Problem, daß Deine Sehschärfe nicht ausreicht, unendlich weit zwischen diesen Ebenen zu schauen, weil bereits in endlicher Entfernung die Perspektive bewirkt, daß sich die beiden Ebenen Himmel und Erde am - wohlgemerkt scheinbaren (!) - Horizont berühren. Und Dort nimmst Du dieses $\omega$ an. Würdest Du jedoch heranzoomen, kann das $\omega$ nicht dort sein, sondern muß sich perspektivisch noch weiter hinten befinden, wo jedoch derselbe Effekt erneut auftritt. Mit anderen Worten: Dieses $\omega$ kann nirgends auf der unteren Ebene (Erde) sein. Und die Draufsicht, das hast Du ja bereits bestätigt, offenbart, daß zwischen den Natürlichen Zahlen (die sich in der Draufsicht nicht voneinander unterscheiden dürfen) und diesem $\omega$ noch viel Platz ist, wo noch andere Ordinalzahlen postiert werden können, die kleiner sind als $\omega$ und größer als jede Natürliche Zahl.

Aus meiner Sicht kann (und das habe ich nun schon mehrfach wiederholt) dieses $\omega$ schlicht und ergreifend überhaupt nicht existieren. Es gibt keinen Beweis dafür.--Wikilaser (Diskussion) 00:30, 31. Jul. 2018 (CEST)

Wenn man geeignet zoomt, bleibt das Omega auf dem perspektivisch aufgenommenen 2d-Bild immer an derselben Stelle. Dagegen verschwindet jede beliebige natürliche Zahl irgendwann nach außerhalb des Bilds. Natürlich ist die Auflösung in der Praxis ein Problem. :)

Aus einer graphischen Darstellung kann man nicht sehr viel schließen. Du sagst, dass das Bild, wo alle natürlichen Zahlen an einem Punkt versammelt sind, und Omega sich an einer anderen Stelle befindet, irgendwie ein Beweis dafür wäre, dass sich zwischen den natürlichen Zahlen und Omega weitere Ordinalzahlen befinden würden. Das ist aber ungefähr genau so Quatsch, als würde man anhand eines Bildes, auf dem sich die natürlichen Zahlen 1 und 2 an verschiedenen Stellen befinden, schließen, dass zwischen 1 und 2 weitere natürliche Zahlen sein würden.

Du darfst natürlich der Meinung sein, dass es dieses Omega nicht gibt. Wie auch schon zigmal gesagt, ist es für die Frage, ob das Induktionsaxiom überflüssig ist (das war ja ursprünglich das Thema), irrelevant. Grund vor allem: es ist keine natürliche Zahl. --Daniel5Ko (Diskussion) 18:22, 2. Aug. 2018 (CEST)

Solange Dein "geeignetes Zoomen" nicht unendlich weit heranzoomt, ist das klar. Aber wenn Du tatsächlich unendlich heranzoomst, kommst Du trotzdem an keine Stelle, an der Dein $\omega$ sich befinden kann.

Was den Mittelteil Deiner letzten Antwort angeht, so solltest Du Rabulistik lieber vermeiden. Du selbst hast gesagt, wenn man an den einen Rand des endlichen Blattes die 0 und an den anderen Rand des Blattes $\omega$ schreibt, dann kann man die übrigen Natürlichen Zahlen, die größer sind als 0, nicht mehr von 0 unterscheiden. Und Dein Ablenkungsargument, ich wolle angeblich aus dem Abstand zwischen 1 und 2 schließen, daß es da noch andere Natürliche Zahlen dazwischen gäbe, packst Du auch besser wieder ein. Das ist Quatsch mit Soße.

Was nun Dein letztes Argument angeht, so geht es nicht darum, daß $\omega$ keine Natürliche Zahl sein soll, denn es soll ja eine Ordinalzahl sein. Viel mehr geht es darum, wo genau (!) im Bezug zu den Natürlichen Zahlen denn dieses $\omega$ liegen soll. Und diesen Ort kannst Du in der Draufsicht nicht benennen, weil es zwischen $\omega$ und den Natürlichen Zahlen noch viel Platz geben muß, wo noch andere Ordinalzahlen liegen können, die kleiner als $\omega$ und ebenfalls größer als die Natürlichen Zahlen sind. Und somit widerspricht sich die Definition für dieses $\omega$ selbst.

Man kann selbstverständlich Definitionen hinschreiben, wie man will. Ob sich diese Definitionen aber in die Praxis umsetzen lassen, ist damit allein nicht gesagt. Es muß bewiesen werden. Und einen Beweis lieferst Du nicht.--Wikilaser (Diskussion) 01:36, 3. Aug. 2018 (CEST)

Unkenntnis nicht-klassischer Logik

Hallo Daniel5Ko! Du sagst, von nicht-klassischer Logik hat doch Lothario Hederich keine Ahnung. Ich habe wohl etwas nachzuholen, um diese Logik zu verstehen, vielleicht kannst du mir auf die Beine zu helfen:

Ich betrachte zwei eingliedrige reellzahlige Folgen: $(a_{0}),(a_{1})$.

1. Es gilt: $\forall a_{0},a_{1}\!\in \mathbb {R} \colon (a_{0})\not =(a_{1})$, da gemäß Definition $(a_{0})=\{\langle 0,a_{0}\rangle \}$ und $(a_{1})=\{\langle 1,a_{1}\rangle \}$
2. Daraus folgt für $a_{0}=a_{1}=\pi$, das $(\pi )\not =(\pi )$.

Wo habe ich hier gefehlt, der nicht-klassischen Logik zu folgen? Für eine eingehende Antwort wäre ich dir sehr dankbar. Grüße --Lothario Hederich (Diskussion) 23:42, 28. Sep. 2017 (CEST)

Hallo Hederich, rein logisch hast du nichts falsch gemacht. Die verwendete Folgendefinition ist aber offenbar ungünstig, da sie davon ausgeht, dass die Indizierung Teil des Informationsgehalts so einer Folge sein soll. Wie es besser geht (wenn auch erstmal auf unendliche Folgen beschränkt) habe ich im "Ich komme mit dem Folgebegriff immer noch nicht zurande"-Abschnitt in Diskussion: Folge (Mathematik) kurz skizziert. Mit der Überschrift dieser Diskussion hat das aber m.E. wenig zu tun.

Wo es offensichtlich ist, dass du (bisher, es kann nur besser werden) keine Ahnung von nichtklassischer Logik hast, ist z.B. der Abschnitt "Der Funktionsbegriff ist sehr eng" auf derselben Seite. Abgesehen davon, dass deine erste Formel da auch klassisch falsch ist, enthält sie als wesentlichen Bestandteil $\lnot A\implies \lnot B$. Dies ist im Allgemeinen schwächer als $B\implies A$. Um etwas interessantes auf der Grundlage deiner Definition zu beweisen, wird man also in klassische Gefilde gedrängt. Nicht gut. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:53, 29. Sep. 2017 (CEST)

Es ist mir peinlich, ${\mathfrak {Fkt}}$ versehentlich fehlerhaft angegeben zu haben. Bin ich jetzt der nichtklassiklogischen Mathematik näher gekommen?: Die drei Terme ${\begin{array}{|c|}\hline (f_{-1},f_{0},f_{1},\dotsc );~f_{i}:={\begin{cases}1,{\text{ wenn }}i<1,\\f_{i-2}+f_{i-1},{\text{ sonst}}\end{cases}}\\\hline \end{array}},$ ${\begin{array}{|c|}\hline (f_{0},f_{1},f_{2},\dotsc );~f_{i}:={\begin{cases}1,{\text{ wenn }}i<2,\\f_{i-2}+f_{i-1},{\text{ sonst}}\end{cases}}\\\hline \end{array}},$ $~{\begin{array}{|c|}\hline (f_{1},f_{2},f_{3},\dotsc );~f_{i}:={\begin{cases}1,{\text{ wenn }}i<3,\\f_{i-2}+f_{i-1},{\text{ sonst}}\end{cases}}\\\hline \end{array}}$ bezeichnen drei verschiedene mathematische Objekte, in der klassiklogischen Mathematik bezeichnen alle drei dasselbe Objekt wie der Term ${\begin{array}{|c|}\hline (1,1,2,3,5,8,13,21,\dotsc )\\\hline \end{array}}$ --Lothario Hederich (Diskussion) 17:25, 29. Sep. 2017 (CEST)

Wie schon gesagt, hat das Folgenthema nichts mit klassischer oder nichtklassischer Logik zu tun. Aber egal. Ich sehe es so: Die ersten drei Objekte, also die Funktionen, sind Codes für die eigentlich gemeinte Folge ("bestehend aus" erstem Glied und Restfolge). Und natürlich können verschiedene Codes dasselbe Objekt bezeichnen. Umgekehrt kann man so einer Folge einen Code zuordnen, wobei man recht viel Freiheit bei der Wahl der Indexmenge hat. --Daniel5Ko (Diskussion) 20:16, 29. Sep. 2017 (CEST)

Vielleicht wird es deutlicher worauf ich hinauswill, wenn ich auf das Obige zurückkomme: Ich hatte gezeigt, dass gemäß des Folgeartikels $(\pi )\not =(\pi )$ gilt. Ich hätte noch anführen sollen, dass gemäß der Einleitung des Folgeartikels endliche Folgen Tupel sind und diese dem Gleichheitsaxiom unterliegen, gemäß des Tupel-Artikels, so dass aus $(\pi )\not =(\pi )$ folgt $\pi \not =\pi$. Diesen Unsinn führe ich auf Eure so genannte nichtklassische Logik zurück, deren Nichtkenntnis du mir ankreidest, ich dir jedoch nicht verüble, Daniel5Ko. Beste Grüße --Lothario Hederich (Diskussion) 23:59, 29. Sep. 2017 (CEST)

Warum du von "Eure so genannte nichtklassische Logik" sprichst, weißt wohl nur du. Wer wären "wir" denn da? Nochmal ganz langsam zum Mitmeißeln: Das Problem der Folgendefinition hat echt überhaupt gar nichts mit klassischer vs. nichtklassischer Logik zu tun. Dass die meisten Autoren genau wie du bzgl. nichtklassischischer Logik ahnungslos sind, ist ein anderes Thema. --Daniel5Ko (Diskussion) 01:29, 30. Sep. 2017 (CEST)

Worauf ich hinauswill: zu zeigen, dass hier ein Mathematikverständnis vorherrscht, welches zu so absurden Aussagen wie $\pi \not =\pi$ führt. Ich hätte auch Beispiele aus anderen Artikeln (z.B. Funktion, Relation, Tupel) bringen können und auf Ungereimtes hinweisen. Der Folgenbegriff, wie er im Artikel vorgelegt ist, lässt sich klassisch-logisch (formal) nicht definieren, daher meine Vermutung, die für Artikel im Portal Mathematik Verantwortlichen (Sichter) arbeiten mit nichtklassischer Logik, was immer das für Logik ist, jedenfalls keine mathematische. Vermutlich wird es dir zu viel Mühe bereiten, in kurzen Worten diese zu beschreiben. --Lothario Hederich (Diskussion) 12:42, 30. Sep. 2017 (CEST)

Mit nichtklassischer Logik meine ich vor allem Logik ohne die Annahme des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten. (Diese Worte waren jetzt zwar nicht alle kurz, aber dafür waren es relativ wenige.) --Daniel5Ko (Diskussion) 16:27, 30. Sep. 2017 (CEST)

PS. Ich komme noch einmal auf deinen Text von oben 20:16, 29. Sep. 2017 zurück: dort sprichst du von für die eigentlich gemeinte Folge. Kann das ein Ansatz für mich sein, nichtklassische Logik zu verstehen? --Lothario Hederich (Diskussion) 16:36, 30. Sep. 2017 (CEST)

Nein. --Daniel5Ko (Diskussion) 17:04, 30. Sep. 2017 (CEST)

Jetzt erst ist bei mir dein Text von 16:27 angekommen und ich meine die nichtklassische Logik nun wenigstens ansatzweise zu verstehen: sie ist eine Methode, einem Mathematiktext Lesenden anheim zu stellen, diesen nach persönlichem Geschmack zu interpretieren. --Lothario Hederich (Diskussion) 17:22, 30. Sep. 2017 (CEST)

Wenn du meine Antworten ignorieren und dir selber irgendetwas ausdenken willst, brauchst du mich doch nicht zu fragen. --Daniel5Ko (Diskussion) 17:27, 30. Sep. 2017 (CEST)

Ich versuch hier mal etwas zu vermitteln:

• An Lothario:

1. Dein Fokus auf klassische Prädikatenlogik/Mengenlehre/Klassenlogik ist eine Sache, die hat mit deinen Wünschen für die Ausrichtung der Artikel zu tun; die von dir behaupteten Fehler im Artikel sind eine andere Sache, hat mit der ersteren nichts zu tun (da bestätige ich Daniel).
2. Mal ganz allgemein: Die Oberschelp-Mengenlehre/Klassenlogik ist ein (insb. dein) Liebhaberstück. Was darin die allgemeinstmögliche Definition ist, kann keineswegs als Bestimmung dafür dienen, womit der Artikel einsteigen sollte oder was über den „Unterricht in Schulen“ hinausgeht und was nicht.
3. Darüber, ganz allgemein einmal eine Formulierung zu wählen, in der nicht von vorne herein ein Wertebereich gegeben sein muss: Da kann man drüber reden (das mit Oberschelp-Mengenlehre brauchts für den Artikel aber doch genauso wenig wie Überlegungen über Folgen, die keine Mengen sind oder deren Wertebereich keine Menge ist, weil das Ersetzungsaxiom nicht gilt und ähnliche Späße).
4. Nichtklassische Logik meint „vor allem Logik ohne die Annahme des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten“, das ist nicht nur Daniels Äußerung. Worauf er aber anspielt, ist, dass gerade in konstruktiven Kontexten, Typentheorien u.a.m. (die eben oft in jenem Sinne nichtklassisch sind, und die Vorteile die sich daraus ergeben hängen eben auch vom Status der Funktionen ab) Funktionen einen andern Status haben, als dass sie als Paarmengen definiert würden. Insofern man auch solchen Ansätzen gerecht werden sollte, sollte nicht irgendeine klassische mengentheoretische/klassenlogische Funktionsdefinition das Maß aller Dinge für die Artikel sein, insb. nicht für den Artikel über Folgen, für den Artikel über Funktionen haben sie zurecht einen große Bedeutung.
5. Nun zu deinem Problem mit $(a_{0}),(a_{1})$:
   1. Die Sache ist eine, die du mit Frogfol auf der Diskussionsseite beredet hattest, Daniel hat dazu nie etwas gesagt (a fortiori hat er in dem Kontext auch nie auf nichtklassische Logik verwiesen). Insofern musst du dich nicht wundern, wenn dieser verständnislos antwortet, wenn du damit hier ankommst.
   2. Halten wir uns mal an die Voraussetzung, dass wir in einem prädikatenlogischen, mengentheoretischen Kontext mit üblichen mengentheoretischen Definitionen von Funktionen und Folgen arbeiten (mit Daniels Vorschlag würde sich das Problem auf andere Weise sofort erledigen), dann muss man folgendes feststellen: Die alltäglichen mathematischen Notationen sind nicht unmittelbar als prädikatenlogischer Grammatik folgend anzusehen. Insbesondere ist $(\Box )$, das „In-Klammern-Setzen“, in diesem Kontext kein Funktionssymbol im prädikatenlogischen Sinn, deshalb macht es auch keinen Sinn, erst über $a_{0}$ zu quantifizieren und dann über $(a_{0})$ zu reden. Damit es etwas näher am Alltag ist, reden wir mal lieber über den Ausdruck $(a_{0},a_{1},a_{2})$. Wir müssen das als metasprachliche Bestimmung ansehen, wie das in der Prädikatenlogik dann aussehen müsste (das gesamte „immer denselben Buchstaben mit fortlaufenden Indizes durch Kommata getrennt zwischen Klammern“ ist dann ein metasprachlicher Operator). Frogfol hat bereits eine sinnvolle Deutung angegeben: Das Ganze $(a_{0},a_{1},a_{2})$ lässt sich als typisierte Variable verstehen, was heißt, dass bei Einführung der Variable über einen Quantor man in der prädikatenlogischen Ausformulierung die Bedingung, dass $(a_{0},a_{1},a_{2})$ ein Tupel mit drei Elementen, nummeriert beginnend bei der 0, ist, hinzu geschrieben werden muss. Dass man schlicht durch Aufzählung der Elemente angibt, wie eine Folge indiziert ist, ist ganz und gar üblich. Oft impliziert man damit auch, dass die Folge/das Tupel selbst den Namen $a$ tragen soll. Natürlich wird die Notation $(\ldots )$ auf verschiedene Weisen benutzt – wie das immer so ist, hängt alles davon ab, dass man nicht verschiedene Varianten in so großer Nähe zueinander verwendet, dass sie verwechselt werden können. Kurzum: In der Mathematik ist es Gang und Gäbe, $(\ldots ,\ldots ,\ldots )$ nicht als Funktionssymbol zu verwenden, sondern über das, was man da reinschreibt, metasprachliche zusätzliche Verständnisanweisungen gibt. Man kann darüber reden, ob man so etwas im Artikel aus didaktischen Gründen erstmal etwas zurückhält und dann erst explizit erwähnt – du solltest aber nicht so tun, als gäbe es das nicht oder wäre per se falsch.

• An Daniel:

1. Eine Aussage wie „schlage ich vor, dass du dich ein wenig mit Logik (ab späte 2. Hälfte des 20. Jhdts.) beschäftigst“ muss doch wirklich nicht sein, sie verkennt auch, dass die Logik auch heute noch mehr Zweige hat, als die, an die du wahrscheinlich dachtest, und in denen teils auch in den letzten 40 Jahren viel passiert ist, ohne dass sie vom klassisch-prädikatenlogisch-mengentheoretischen Rahmen sich gelöst hätten. Es ist doch schon etwas arrogant, einen Zweig allein zum Maßstab dafür zu machen, ob man auf der Höhe der Zeit ist oder nicht? (die von Lothario geschätzte Oberschelp-Mengenlehre ist übrigens auch nicht älter als zum Beispiel ML-Typentheorie oder kategorielle Logik, soviel zur Chronologie, bloß aus ihr ist nicht viel geworden; die Idee Folge=„‚bestehend aus‘ erstem Glied und Restfolge“ gibts mindestens seit Lisp (wer schlägt was älteres vor?), hängt gar nicht unbedingt alles vom neusten Schrei ab) Vor allem spielt deine Formulierung auf ein Nichtwissen seinerseits an, sie verstellt ihm jedoch zugleich – eben wegen seines Unwissens – den Weg, genauer herauszufinden, worin dieses besteht (mit dem Suchbegriff „Logik der letzten 40 Jahre“ wird er wohl kaum weit kommen und vllt. denkt er da schlichtweg auch an anderes als du). Da ist eine brüskierte Reaktion sehr verständlich, auch wenn du an anderen Stellen konkretere Hinweise gegeben haben magst.
2. Ich stimm ja völlig mit dir überein, dass die Probleme gewisser Formalismen nicht im Vordergrund stehen sollten. Dennoch sind die Probleme dieser Art (auch wenn sich einzelne von Lothario genannte Fällen doch als unproblematisch erweisen) mindestens solange wichtig, wie solche Formalismen wichtig bleiben, da kann man sich für eine enzyklopädische Darstellung nicht einfach mit Verweis auf seinen bevorzugten Formalismus als drüber erhaben positionieren. Im Übrigen kommt die schöne neue Welt natürlicher Definitionen auch immer sehr schnell zu der Situation, in der eine Konstruktion zwar kanonisch, aber nicht funktoriell ist, und dann muss man wählen und hat sehr ähnlichen Buchhaltungsstress wie in der alten Welt. Und in Typentheorien hat man immer seine Sorge, ob man nun gerade extensional oder intensional etwas sagen möchte … Das sei nur mal so allgemein gesagt, unabhängig jetzt vom konkreten Thema Folgen, gegen die rauschhafte Beteuerung, jetzt würde alles so gehen, wie man es sich wünscht, wäre das „eigentlich gemeinte“ immer problemlos direkt verfügbar – das ist es keineswegs, auch jüngste Neuerungen in der Logik lassen einen nicht immer direkt das „eigentlich gemeinte“ hinschreiben (das taugt also nicht als kategorischer Imperativ), Vorteile gibts natürlich trotzdem, manchmal fällt der Stress ganz weg, und manchmal lässt er sich besser handhaben.
3. Correct me if I’m wrong, was meine Hinweise an Lothario angeht, worauf du wohl angespielt hast.

Hilft das vllt.?

Beste Grüße --Chricho ¹ ² ³ 04:10, 1. Okt. 2017 (CEST)

Deine obigen Ausführungen, lieber Chricho, sind interessant und für mich recht aufschlussreich, sie erlauben eine Sicht auf die Mathematik, mit der Aussagen wie $\pi \not =\pi$ hinnehmbar sind. Mir fällt es schwer, der von dir erläuterten Logik zu folgen und ich werde weiterhin wenigstens in meinem Benutzerbereich meine Vorstellungen über Folgen-, Tupel- und Funktions-Artikel darlegen. Mit Grüßen --Lothario Hederich (Diskussion) 12:22, 1. Okt. 2017 (CEST)

Lieber Lothario, das wäre schade, wenn dass alles wäre, was du meinen Anmerkungen hättest entnehmen können, und wir nicht gemeinsam über Verbesserungen der Darstellung im Artikelnamensraum weiter diskutieren könnten. Schlag doch einfach mal irgendeinen mathematischen wissenschaftlichen Text sagen wir aus der Analysis auf – solche metasprachliche, suggestive Notationen wirst du dort zuhauf finden, an die grundsätzliche Sicht auf die Mathematik rühren sie nicht, geschweige denn, dass die Analytiker $\pi \neq \pi$ hinnehmbar machen würden – diese Notationen sind vielmehr in den allermeisten Fällen genauso unproblematisch wie zum Beispiel eine $\ldots$-Notation für eine Folge (und in ähnlich sehr sehr wenigen Fällen Quelle für Missverständnisse oder gar Fehler) – so ein $\ldots$, um eine unendliche Folge zu notieren, dürfte bei dir ja gar nicht erlaubt sein, weil es in der Prädikatenlogik keine unendlich langen Terme gibt …

Ansonsten nimm doch wenigstens noch mit, dass du einer Verwechslung aufgesessen bist und einen Punkt, den Daniel nicht thematisiert hat, unbegründet mit deiner Reaktion auf einen unfreundlichen Beitrag Daniels vermischt hast, was zu viel Verwirrung geführt hat. Zieh auch mal in Erwägung, dass hier vllt. nicht ein Mathematikverständnis seine ‚Vorherrschaft‘ gegen dich ausspielt, sondern dass etwa auch Daniel, HilberTraum, Frogfol und ich auch untereinander Mathematik, zumindest in Teilen, ganz anders verstehen. Obs das eine richtige gibt, lässt sich zumindest schwer sagen, mit Blick auf die realen Mathematikerinnen und Mathematiker gibt es das nicht. --Chricho ¹ ² ³ 20:12, 1. Okt. 2017 (CEST)

Zu deiner an mich gerichteten Liste:

1. Eine Aussage wie „schlage ich vor, dass du dich ein wenig mit Logik (ab späte 2. Hälfte des 20. Jhdts.) beschäftigst“ muss nicht sein, richtig. Aber man kann ja trotzdem probieren, ob sie 'was bringt. Zumal Hederich auch dauernd Leuten, die seinen Dogmen widersprechen, ebenfalls vorschlägt, sich zu bilden. Würde er alle neuen Entwicklungen kennen, würde er entweder nicht klassische Prädikatenlogik + ZFC oder ähnliches als non-plus-ultra ansehen, oder aber brauchbarere Argumente für die Verteidigung dieser Ansicht haben. Es gibt eben viele Möglichkeiten, naive Mathematik zu formalisieren. Dass die Idee "Folge=„‚bestehend aus‘ erstem Glied und Restfolge“" neu sei, habe ich nicht behaupten wollen, und ziemlich sicher auch nicht behauptet.
2. Ich lehne es ab, dass irgendein Formalismus bevorzugt wird. Die Konzepte, um die es geht, sollten nach Möglichkeit portabel sein. Ohne einen Formalismus ist es natürlich schwer, anderen mitzuteilen, was man überhaupt sagen will. Aber man sollte nicht in die Falle tappen, das Erklärungsmittel mitsamt all seinen Artefakten für das Konzept zu halten. Nur darum geht's mir. Die Frage, ob eine Formalisierung adäquat ist, ist immer für Diskussionen offen.
3. Habe nichts zu korrigieren.

@Hederich: Möchtest du Literaturempfehlungen haben?

--Daniel5Ko (Diskussion) 23:07, 1. Okt. 2017 (CEST)

D’accord, abgesehen davon, dass er ja Oberschelp-Klassenlogik präferiert. Ehrlich gesagt hatte ich Lothario mit Wilfried Neumaier verwechselt (bzw. hatte nur noch etwas dunkel in Erinnerung), weil ich mir nicht hab vorstellen können, dass es hier mehr als eine Person gibt, die eine Vorliebe für die nahezu bedeutungslose Oberschelp-Klassenlogik hat (wo nichts gegen zu sagen ist), und von WN war ich andere Beiträge gewohnt. --Chricho ¹ ² ³ 23:35, 1. Okt. 2017 (CEST)

Lasst mich in meiner klassischen Prädikaten Logik verweilen, ich trete ja nur in Erscheinung, wenn mir Widersprüchliches und Ungereimtes auffällt. Ansonsten schreibe ich die Grundlagenartikel in meinem Benutzerbereich. (Nebenbei: Oberschelp besticht durch seine brillante Darstellung und klare Begriffsbildung ohne allerdings wirklich Neues zu bringen, so sieht es mW. auch WN.) Grüße --Lothario Hederich (Diskussion) 01:42, 3. Okt. 2017 (CEST)

Das ist ja auch eine feine Sache. Dann alles klar, aber dann nicht enttäuscht sein, wenn das nicht als Maß aller Dinge gesehen wird. Schöne Grüße --Chricho ¹ ² ³ 02:37, 3. Okt. 2017 (CEST)

JIT-Kompiler

Hallo Daniel5Ko Bezüglich des Offtopic in einem anderen Thema (Diskussion:Division_(Mathematik)#Reputable_Sekund.C3.A4rliteratur) hier mal die Erläuterung, was ein JIT-Compiler alles leistet. Zum einen läuft der JIT-Compiler im Gegensatz zu anderen Kompilern stets zur Laufzeit mit. Deswegen kann er zur Laufzeit nicht nur häufig genutzte Programmabschitte auf Geschwindigkeit optimieren, sondern auch auf geringere Speichernutzung. Wenn man so will, muss ein normales Programm nur noch vom Prozessor "interpretiert" werden, so wie es beim anfangs auch beim Java-Bytecode war. Der Vorteil ist, dass man zur Entwicklungszeit selber kaum noch groß auf Optimierungen achten muss, wobei man seine unheimlich komplizierten Programme eh kaum selber 100% optimal hinbekommen hat. Das macht die Arbeit mit Bytecodesprachen um vieles simpler und teilweise zieht auch das Argument nicht mehr, dass C++ unbedingt schneller sei als z.B. Java - Der ganze, für die Optimierung notwendige Gehirnschmalz steckt nun im JIT-Kompiler und der kann sicher inzwischen weit mehr, als manch ein einzelner Programmierer oder gar ein Mittelklasse-Programmierer-Team - von der zu toppenden Entwicklungszeit mal abgesehen. Zu streiten gibt es da eigentlich nur noch wenig. --217.81.67.42 22:31, 19. Okt. 2017 (CEST)

Die Funktionsweise von JIT-Compilern ist mir bestens bekannt.

Der Streitpunkt ist, ab wann die Bezeichnung "Laufzeit" wirklich angebracht ist. Das zu erörtern ist eher müßig und philosophisch und uninteressant, aber dennoch nicht nicht vorhanden. --Daniel5Ko (Diskussion) 22:48, 19. Okt. 2017 (CEST)

Hinweis

Lieber Daniel, ich hab ja oben versprochen, mich rauszuhalten. Aber da sich doch so vieles wiederholt (wieder kommt man an den Punkt „Dedekind-Unendlichkeit“ …), nur ein Hinweis an dich: „von hinten und vorn zu sprechen, statt von klein und groß“, da meinte ich gerade einmal eine partielle Einsicht von Wikilaser zu erkennen, denn damit wird angezeigt, dass man nicht von der Größe irgendwelcher Abstände und Größenverhältnissen sprechen kann und damit argumentieren könnte, dass die ja immer endlich sein müssten usw. usf. Wobei es ja tatsächlich auch neue Punkte zu geben scheint (zum Beispiel, dass man nicht von „allen natürlichen Zahlen“ reden könnte). Vllt. hilft ja auch ein Standardbeispiel für einen Induktionsbeweis mal als Beispiel? Grüße --Chricho ¹ ² ³ 21:09, 7. Nov. 2017 (CET)

Hallo Chricho, also ich würde es durchaus begrüßen, wenn du dich öfter nicht heraushalten würdest ;).

Ich finde eigentlich, im Allgemeinen könnte es schon hilfreich sein, im Zusammenhang mit beliebigen Ordnungen von hinten und vorn zu sprechen, nur ggü. Wikilaser fürchte ich, dass da auch nicht viel rumkommt. Aber, schauen wir mal... --Daniel5Ko (Diskussion) 21:31, 7. Nov. 2017 (CET)

Puh, jetzt musste ich mich ganz schön verstellen, um in hoffentlich halbwegs kohärent aristotelischer und hoffentlich nicht allzu post-fregesch, post-cantorsch verunreinigter Logik zu sprechen … mal sehen, wie das ankommt. --Chricho ¹ ² ³ 01:28, 26. Dez. 2017 (CET)

3. Meinung gefragt

Bitte um 3. Meinung: Division --77.118.196.125 00:37, 29. Nov. 2017 (CET)

Du wurdest auf der Seite Vandalismusmeldung gemeldet (2018-07-17T23:49:44+00:00)

Hallo Daniel5Ko, Du wurdest auf der o. g. Seite gemeldet. Weitere Details kannst du dem dortigen Abschnitt entnehmen. Wenn die Meldung erledigt ist, wird sie voraussichtlich hier archiviert werden.
Wenn du zukünftig nicht mehr von diesem Bot informiert werden möchtest, trage dich hier ein. – Xqbot (Diskussion) 01:49, 18. Jul. 2018 (CEST)

Hallo Daniel5ko, ich habe als Admin diese gegen Dich gestellte Vandalismusmeldung ohne Sanktionen geschlossen. Ich möchte dich aber deutlich darauf hinweisen, dass es ganz offensichtlich ausweislich der bisherigen diversen Diskussionsbeiträge keinen Konsens bzw. fast vollständige Ablehnung hinsichtlich der von Dir angestrebten Änderungen im Artikel Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2 bei Euklid gibt. Dann zu versuchen, diese Änderungen per Edit-War durchzusetzen, wie Du es versucht hast, geht gar nicht. Als Admin möchte ich Dich daher darum bitten, auf erneute Einfügungen dieser Art zu verzichten, wenn nicht zuvor ein weitgehender Konsens auf der Diskussionsseite erreicht wurde. Ein neuer Edit-War durch Dich würde nur zu einer temporären Sperre deines Accounts führen. Gruß, --Wdd. (Diskussion) 21:13, 18. Jul. 2018 (CEST)

Eigentlich geht's mit beim Revertieren eher darum, die Gegenseite dazu zu bewegen, sich Argumente einfallen zu lassen und sich sinnvoll an der Diskussion zu beteiligen, die vielleicht noch aussteht, nicht darum, etwas in den Artikel zu zwingen, eben in etwa Bold-revert-discuss-artig (grob).

Ich werd' das in Zukunft lassen, auch wenn ich denke, dass das etwas lähmend und undynamisch ist. --Daniel5Ko (Diskussion) 21:42, 18. Jul. 2018 (CEST)

starke vollständige Induktion

Hallo Daniel5Ko, mit Deiner Darstellung von starker Induktion bin ich einverstanden (bez. Name und weglassen von $n_{0}$. Aber so wie Du es formuliert hast, fehlt der Induktionsanfang.

"Die Aussage $\operatorname {A} (n)$ ist für alle $n$ gültig, wenn Folgendes für alle $n$ gezeigt wird:

1. Induktionsschritt: Die Aussage $\operatorname {A} (n)$ folgt aus $\operatorname {A} (n-1)$, $\operatorname {A} (n-2)$, ..., $\operatorname {A} (0)$"

--Joachim Mohr (Diskussion) 09:41, 1. Sep. 2018 (CEST)

Hallo Joachim Mohr,

es fehlt kein Anfang. Setzt du für $n$ die 0 ein steht da:

"Die Aussage $\operatorname {A} (0)$ folgt aus (der leeren Konjunktion)."

Es wäre also effektiv $A(0)$ ohne weitere Annahmen zu zeigen. Starke Induktion ist dasselbe wie wohlfundierte Induktion bzgl. der kleiner-als-Relation.

Übrigens (das ist jetzt nur bedingt zum Thema) kann man die übliche vollständige Induktion auch auf die Art formulieren, also als wohlfundierte Induktion bzgl. einer wohlfundierten Relation. Die Relation ist die Vorgängerrelation mit dem Graph $\{(n,n+1)\mid n\in \mathbb {N} \}$. Das Prinzip der vollständigen Induktion würde damit in Prosa lauten:

Um $\forall n.\ A(n)$ zu zeigen, reicht es aus, für alle $n$ zu zeigen, dass $A(n)$ unter der Annahme folgt, dass $A(m)$ für alle unmittelbaren Vorgänger $m$ von $n$ gilt.

Da die kleiner-als-Relation die transitive Hülle der Vorgängerrelation ist, haben wir damit ein Beispiel für den allgemein geltenden Satz, dass eine Relation genau dann wohlfundiert ist, wenn ihre transitive Hülle es ist.

Grüße, --Daniel5Ko (Diskussion) 22:14, 1. Sep. 2018 (CEST)

Wenn ich ...

" Die Aussage $\operatorname {A} (n)$ folgt aus $\operatorname {A} (n-1)$, $\operatorname {A} (n-2)$, ..., $\operatorname {A} (0)$"

... mal ausführlich für n=0, 1,2,... formuliere, heißt das

Die Aussage $\operatorname {A} (0)$ folgt aus nichts</math>"

Die Aussage $\operatorname {A} (1)$ folgt aus $\operatorname {A} (0)$"

Die Aussage $\operatorname {A} (2)$ folgt aus $\operatorname {A} (1)$ und $\operatorname {A} (0)$"

usw. Aha!?

Gruß --Joachim Mohr (Diskussion) 12:04, 2. Sep. 2018 (CEST)

Ja, so kann man das ungefähr visualisieren. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:13, 3. Sep. 2018 (CEST)

Bei $\textstyle \sum \limits _{k=1}^{0}k$ ist das Ergebnis das neutrale Element der Addition.

Wie ist dies bei Aussagen: "Für alle n∈{} folgt aus n=0 die Aussage n=n+1"? Ist das wahr oder falsch?

Was ist das neutrale Element von Aussagen? --Joachim Mohr (Diskussion) 09:37, 3. Sep. 2018 (CEST)

Bzgl. der Konjunktion ist die wahre Aussage das neutrale Element. "Für alle n∈{} ..." ist immer wahr, egal, was an Stelle der Pünktchen steht. --Daniel5Ko (Diskussion) 18:12, 3. Sep. 2018 (CEST)

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Ich will hier mal ein einfaches Beispiel anführen:

Die Folge f(n) sei definiert durch f(0)=1, f(1)=2 und f(n)=f(n-2)*f(n-1) (n>1).

Satz: Für alle n>=0 gibt es ein k>=0 so, dass f(n)=2^k.

@Daniel5ko Beweise bitte diesen Satz ohne Induktionsanfang f(0)=2^0 und f(1)=2^1!

--Joachim Mohr (Diskussion) 11:26, 4. Sep. 2018 (CEST)

Wir machen starke Induktion. Hinreichend ist also, zu zeigen: $\forall n\in \mathbb {N} .\ (\forall m<n.\ \exists k\in \mathbb {N} .\ f(m)=2^{k})\Rightarrow \exists k\in \mathbb {N} .\ f(n)=2^{k}$.

Sei $n\in \mathbb {N}$ beliebig und gelte IH: $\forall m<n.\ \exists k\in \mathbb {N} .\ f(m)=2^{k}$.

Zu zeigen: $\exists k\in \mathbb {N} .\ f(n)=2^{k}$. Wir betrachten 3 Fälle, die alle möglichen $n$ abdecken:

1. $n=0$. Damit ist $f(n)=1=2^{0}$ (IH ist in diesem Fall äquivalent zu $\top$ und damit nutzlos).
2. $n=1$. Damit ist $f(n)=2=2^{1}$ (IH ist hier zwar a priori nicht äquivalent zu $\top$, wird aber trotzdem nicht benutzt).
3. $n>1$. Damit ist $f(n)=f(n-2)\cdot f(n-1)$. Da $n-1$ und $n-2$ natürliche Zahlen kleiner als $n$ sind, haben wir nach der IH $i,j\in \mathbb {N}$ mit $f(n-2)=2^{i}$ und $f(n-1)=2^{j}$, also $f(n)=2^{i}\cdot 2^{j}=2^{i+j}.\qquad \square$

--Daniel5Ko (Diskussion) 12:39, 4. Sep. 2018 (CEST)

Also ich finde es folgendermaßen übersichtlicher:

Induktionsanfang: Es ist f(0)=1=2^0 und f(1)=2=2^1. Die Aussage ist also für 0 und 1 bewiesen.

Induktionsschritt: Für alle n>=2 gilt:Aus f(n-1)=2^k1 und f(n-2)=2^k2 für passende natürliche Zahlen k1 und k2 folgt die die Behauptung f(n)=2^k1*2^k2=2^(k1+k2) für die natürliche Zahl k1+k2.

Den Zweischritt Induktionsanfang und Induktionsschritt sehe ich auch bei Dir und: Meinen Beweis finde ich übersichtlicher.

Und deshalb würde ich schreiben:

Starke Induktion

Die Aussage $\operatorname {A} (n)$ ist für alle $n$ gültig, wenn Folgendes für alle $n\geq 0$ gezeigt wird:

Im Induktionsanfang werden für $n_{0}\geq 0$ die Aussagen $\operatorname {A} (0)$, $\operatorname {A} (1)$, ..., $\operatorname {A} (n_{0})$ hergeleitet.

Im Induktionsschritt wird die Aussage $\operatorname {A} (n)$ für $n>n_{0}$ aus $\operatorname {A} (n-1)$, $\operatorname {A} (n-2)$, ..., $\operatorname {A} (0)$ hergeleitet.

Man darf im Induktionsschritt zum Beweis von $\operatorname {A} (n)$ also voraussetzen, dass $\operatorname {A} (k)$ für alle Werte $k$ von $0$ bis $n-1$ gilt.

Dann sieht man auch besser den Zusammenhang mit der normalen Induktion.

Außerdem: nach Deiner Defionion folgt

A(0) aus der leeren Konjunktion.

A(1) folgt aus A(0), was bei der erwähnten FibonacciFolge und meiner Folge nicht der Fall sit.

--Joachim Mohr (Diskussion) 15:05, 4. Sep. 2018 (CEST)

Dass A(0) aus der leeren Konjunktion folgen soll, stimmt doch: A(0) soll eben einfach gelten, $\top \to X$ ist äquivalent zu $X$. Dass A(1) aus A(0) folgt, stimmt auch bei obigem Satz über deine Folge. Wir verwenden ja keine lineare Logik oder Relevanzlogik.

Die Formulierung des Prinzips mit Auftrennung in einen Anfang und einen Schritt lenkt nur vom eigentlichen Kern ab. Siehe [11] für eine schöne Darstellung von Oliver Deiser. Dass man oft eine Fallunterscheidung machen muss (aber natürlich längst nicht immer), tut eigentlich nichts zur Sache. In einem Beweis von $\forall n.\ A(n)$ durch starke Induktion muss eben **irgendwie** gezeigt werden, dass $\forall n.\ (\forall m<n.\ A(m))\to A(n)$. Wie man das macht, wird einfach nicht vorgeschrieben.

Bei deiner Formulierung kommt man außerdem nicht mal auf das eigentliche Prinzip, indem man einen geeigneten Wert für $n_{0}$ einsetzt. Desweiteren ist es komisch, dass der Induktionsanfang im Skopus des "indem für alle n gezeigt wird" liegt: n kommt da ja nicht vor. Dass im Induktionsanfang etwas "für $n_{0}\geq 0$" gezeigt werden soll, was eigentlich auch als Allquantifizerung über $n_{0}$ verstanden werden kann, ist auch nicht gut, denn damit wäre mit deinem Induktionsanfang schon alles erledigt.

--Daniel5Ko (Diskussion) 17:07, 4. Sep. 2018 (CEST)

Ich habe mir nun erlaubt bei der Starken Induktion die Klarstellung für A(0) von Oliver Deiser einzufügen. --Joachim Mohr (Diskussion) 15:38, 5. Sep. 2018 (CEST)

Okay. --Daniel5Ko (Diskussion) 18:06, 10. Sep. 2018 (CEST)

Bild zur Cantorschen Paarungsfkt

Hey, ich hab gesehen dass meine Graphik (und die ASCII-Kunst davor, die aber nicht von mir war) jetzt bei der Cantorsche Paarungsfunktion nicht mehr da sind. Da im Abschnitt eins drunter dann die diagonale Abzählung ebenfalls graphisch dargestellt wird, wäre es aber doch bestimmt gut, eine ähnlich aussehende Darstellung des N x N schonmal vorher zu zeigen? Als visuellem Lerner würde mir das definitiv helfen. Ich kann auch gern eine aussagekräftigere Graphik erstellen (mit Tupeln statt nur Quadraten oder sowas)! --Beeble123 (Diskussion) 20:20, 12. Dez. 2022 (CET)

Hallo Beeble123. Aufgrund des umgebendes Textes bin ich jedenfalls davon ausgegangen, dass die Grafik irgendwie illustrieren soll, warum es auf den ersten Blick nicht möglich zu sein scheint, das gestellte Problem zu lösen. Dazu ist sie m.E. nicht geeignet und vermutlich eher abträglich (nicht alle kommen zuallererst auf dieselbe nicht funktionierende Idee).

Mit anderem Text drumherum kann sie sicherlich dennoch eingesetzt werden. (Und der Text ist natürlich auch nicht heilig.) Bastele einfach mal 'ne Alternative. :) --Daniel5Ko (Diskussion) 02:35, 13. Dez. 2022 (CET)

Diskussion zur Definition der Linearen Unabhängigkeit

Hallo Daniel. Ich steige direkt in medias res.

• Zum Thema "Die Definition der linearen Unabhängigkeit einer Familie von Vektoren basiert oder basiert nicht auf der Definition der linearen Unabhängigkeit einer endlichen Menge von Vektoren". Du gibst eine Definition an, die ohne die explizite Definition "l. U. einer endlichen Menge" auskommt. Natürlich kann man den Begriff "l. U. einer endlichen Menge von Vektoren" in der Definition "l. U. einer Familie von Vektoren" gänzlich vermeiden, indem man genau die Definition des ersteren Begriffs in die Definition des letzteren Begriffs einsetzt (also durch "Substitution"); Dann steckt zwar nicht mehr der Begriff, aber immer noch das Konzept in der "ausführlichen" Definition drin, und da geht meines Erachtens auch kein Weg dran vorbei. Um meinen Punkt zu verdeutlichen, folgendes Beispiel: Der moderne Differenzierbarkeitsbegriff basiert auf dem Begriff des Grenzwerts, darüber herrscht denke ich Einigkeit innerhalb der Mathematikerzunft. Man kann ihn aber freilich auch (durch Substitution) definieren, ohne den Begriff "Grenzwert" symbolisch oder verbal zu verwenden: "Eine Funktion $f\colon I\to \mathbb {R}$ heißt in $x_{0}\in I$ differenzierbar, wenn es eine Zahl $a$ gibt, so dass gilt: $\forall \,\varepsilon >0\ \exists \,\delta >0\,\forall \,x\in I:|x-x_{0}|<\delta \,\Longrightarrow \,\left|{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}-a\right|<\varepsilon .$ Das ändert aber nichts daran, dass das Konzept des Grenzwerts in der Definition steckt. Wenn man den Begriff des Grenzwerts schon eingeführt und der Leser ihn verdaut hat, ist es deutlich ökonomischer, zu definieren: "Eine Funktion $f$ ist in $x_{0}$ differenzierbar, wenn der Grenzwert $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$existiert". Hierin liegt ja gerade ein entscheidender Vorteil von Begriffen: Man kann sie benutzen, um weitere Begriffe einzuführen, die sich auf die bereits eingeführten Begriffe stützen. Man kann das Spielchen natürlich noch weiter (und fast schon ins Absurde) treiben: Die "ausführliche" Definition basiert auf dem Begriff des Abstands, und auch diesen könnten wir in der Definition durch eine Fallunterscheidung ersetzen (Und wenn man schon mal dabei ist, warum nicht auch noch das Subtraktionssymbol ersetzen durch "Multiplikation des additiv Inversen"?) Dadurch stützt sich die Definition auf immer elementarere Begriffe (muss also immer weniger Begriffe voraussetzen), wird aber auch immer unleserlicher.

• Nun zu den Vorteilen, (erstmal) die l. U. für eine endliche Menge von Vektoren zu definieren (es wird ja ohnehin im Artikel gemacht, nur halt nachträglich). 1) Die Definition ist ganz nah dran an der Anschauung. (Du hast ja selbst gesagt, es sei besser, Konzepte anstatt Algorithmen zu vermitteln.) Was ist denn die ursprüngliche Idee? Man hat ein paar Pfeile im Raum und kann diese nicht so skalieren und aneinanderlegen, dass man in Summe den Nullvektor erzeugt. Und genau das formalisiert ist die heute allgegenwärtige Definition der l. U. einer endlichen Menge von Vektoren. 2) Direkte Überprüfbarkeit der l. U. einer endlichen Menge von Vektoren anhand der Definition: Man kann - mit Kenntnissen der Lösung von LGS - sofort anhand der Definition prüfen, ob eine endliche Menge von Vektoren l. u. ist. Bei $n$ Vektoren muss man dazu ein LGS mit $n$ Gleichungen in $k$ Unbekannten lösen. Wie ist es, wenn man anhand der von Dir vorgeschlagenen Definition prüft, ob $n$ Vektoren l. u. sind? Wenn man es wirklich anhand Deiner Definition macht und nicht auf Sätze der linearen Algebra zurückgreift, so müsste man sich erstmal alle wenigstens zweielementigen Teilmengen der $n$ Vektoren rausgreifen (das sind $2^{n}-n-1$ Mengen), und dann die entsprechende Prüfung machen.
• Was folgt jetzt daraus aus meiner Sicht für den Artikel? Der Begriff "l. U. einer endlichen Menge von Vektoren" muss ohnehin definiert werden, die von dir genannte Definition verstehen +99% der Leser hier nicht. Und wenn man es sowieso schon macht, dann kann (und sollte) man den entsprechenden Satz auch voranstellen, um zu vermeiden, dass im Satz "Eine Familie heißt l. U., wenn jede endliche Teilmenge l. U. ist" das Definiens für einen kurzen Zeitpunkt selbst undefiniert ist.

Ich freue mich auf Deine Antwort, gerne auf meiner Diskussionsseite (dann bekomme ich sie auch sofort mit) Mathze. --Mathze (Diskussion) 11:33, 25. Mär. 2023 (CET)

Ich werde nicht auf deiner Diskussionsseite antworten. Das wäre unbequem für Leute, die die Diskussion nachvollziehen wollen.

Mein wohl immer noch nicht verstandener Punkt ist: Natürlich ist es sinnvoll, die lineare Unabhängigkeit für beliebige Familien von Vektoren auf einen anderen Begriff zurückzuführen. Der beste Kandidat dafür ist aber m.E. nicht der der linearen Unabhängigkeit einer endlichen Familie von Vektoren, sondern der der Linearkombination.

Der erste Satz des Artikels, um den es geht, formuliert eigentlich schon genau das, und ich finde ihn gut. Auf meine Frage, was an dieser allgemein verwendeten Definition schlecht ist, hast du immer noch nicht geantwortet.

Dass "+99% der Leser das nicht verstehen", halte ich für eine haltlose Behauptung. Und selbst wenn das so ist, sollte man wahrscheinlich lieber etwas dagegen tun. Es kann ja nicht sein, dass extrem wichtige grundlegende Zusammenhänge auf dem "Verständlichkeits"-Altar geopfert werden. --Daniel5Ko (Diskussion) 04:14, 26. Mär. 2023 (CEST)

• Der Satz "+99% der Leser das nicht verstehen" war bildlich gemeint. Ich meinte, dass das die überwiegende Anzahl der Leser hier nicht versteht, zumindest nicht sofort. Weil sie es nie gelernt haben. Der Begriff "Familie von Vektoren" kommt in der Schule nicht vor und auch nicht in den allermeisten Anwendungswissenschaften. Man muss ihn erstmal recherchieren, dann verdauen.
• Ich tue von Berufs wegen jeden Tag etwas dafür, dass grundlegende mathematische Zusammenhänge der nachfolgenden Generation vermittelt werden. Hier wird aber übrigens gar nichts geopfert. Es geht ja immer noch nur darum, zwei Sätze umzudrehen. Noch nicht einmal an der Formulierung der einzelnen Sätze möchte ich etwas ändern.
• Man kann wahrscheinlich endlos darüber streiten, auf welchen Begriff die lineare Unabhängigkeit für beliebige Familien von Vektoren zurückgeführt werden sollte. Da spielen Geschmack und mathematishce Vorbidung eine Rolle (Bei letzterer denke ich, dass Du zu dem top 1 Promill gehörst). Aber das stand ja hier auch gar nicht zur Diskussion. Der Artikel definiert ja beides, l. U. einer beliebigen Familie und einer endlichen Menge. Es ging mir nur darum, die Reihenfolge der definierenden Sätze umzudrehen, nicht eine Definition zu schreiben, die komplett auf den Begriff "l. U. einer endlichen Famiie" verzichtet.
• Ich wäre mit dem ersten Satz des Artikels einverstanden, wenn dort stehen würde: "In der linearen Algebra wird eine endliche Menge von Vektoren eines Vektorraums linear unabhängig genannt, wenn sich der Nullvektor nur durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt, in der alle Koeffizienten der Kombination auf den Wert null gesetzt werden." Wenn man schon die Familie von Vektoren reinbringt, dann sollte es wenigstens fachlich korrekt sein: "In der linearen Algebra wird eine Familie von Vektoren linear unabhöngig genannt, wenn sich für jede endliche Teilmenge von Vektoren der Nullvektor....". Didaktisch ist es natürlich eine Katastrophe, die Familie von Vektoren direkt im ersten Satz unterzubringen. Der Laie muss dann erstmal nachschauen, was eine Familie von Vektoren ist. Ich hoffe, er hat nicht schon nach dem ersten Satz die Lust verloren, weiterzulesen. Auch dieser Abschnitt muss m. E. angepasst werden. Erstmal die Erklärung für eine endliche Menge von Vektoren. Dann der Hinweis, dass das Konzept in der Mathematik auf Familien von Vektoren verallgemeinert wird.

--Mathze (Diskussion) 18:03, 26. Mär. 2023 (CEST)

Linearkombinationen sind doch aber bereits so definiert, dass nur endlich viele Vektoren aus der gegebenen Familie/Menge linearkombiniert werden können. Daran ist auch nichts schwer zu verstehen, wenn man sich nur mal klar gemacht hat, dass Linearkombinationen einer Menge nichts anderes sind als jene Vektoren, die sich als Terme darstellen lassen, in denen die Operationen des Vektorraums und Elemente der Menge verwendet werden dürfen. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:13, 7. Jun. 2023 (CEST)

Ja, da hast Du Recht. Dass es sich um eine endliche Menge handelt, steckt schon in den Linearkombinationen drin. Insofern ist der Satz fachlich korrekt. Ich bleibe aber dabei, dass man es verständlicher schreiben könnte, mit mehr Anknüpfungspunkten an die Schul- und Ingenieursmathematik. Das gelingt meines Erachtens am Besten, wenn man zunächst sagt, was lineare Unabhängigkeit für endlich viele Vektoren bedeutet, und dann darauf hinweist, dass die Mathematiker in ihrem Verallgemeinerungsdrang das Konzept sinnvoll auf eine Familie von Vektoren übertragen haben und zwar durch .... . Beharren tue ich darauf nicht und auch grad keine Zeit, das schön zu schreiben. Was ich jedoch sehr gerne bald ändern würde, wäre die von mir angeregte Umstellung von zwei Sätzen im Abschnitt Definition. Ich sehe da keine negativen Aspekte, es wird keine Fachlichkeit rausgenommen, es wird ja nicht mal inhaltlich etwas verändert, sondern nur den mathematischen Laien in Punkto Verständlichkeit entgegengekommen. --Mathze (Diskussion) 08:03, 7. Jun. 2023 (CEST)

Ja, mach' ruhig. Aber m.E. kann man dann ja auch gleich 'was richtig gutes machen, und v.a. den seltsamen Hack entfernen. --Daniel5Ko (Diskussion) 10:03, 7. Jun. 2023 (CEST)

Okay, ich werde die Sätze umstellen. Welchen selsamen Hack meinst Du? --Mathze (Diskussion) 11:07, 7. Jun. 2023 (CEST)

Die Definition der linearen Unabhängigkeit von beliebigen Familien per "jede endliche Teilfamilie ist linear unabhängig". --Daniel5Ko (Diskussion) 11:19, 7. Jun. 2023 (CEST)

Hallo @Daniel5Ko, ich habe die von mir angeregte Änderung mittlerweile vorgenommen. Ich habe versucht, eng an der Standardliteratur zu bleiben und entsprechende Belege beigefügt. Du kannst ja mal schauen, ob aus Deiner Sicht so alles passt. Womit ich noch unzufrieden bin, ist dass die jetzige Definition eher die Interpretation der formalen Standarddefinition ist, wie sie sich mittlerweile in so gut wie jedem Fachbuch - und auch in der von mit zitierten Literatur - findet. Insofern sind die Literaturbelege keine "wirklichen" Quellenangaben. Sinnvoll fände ich eine rein formale Definition im Abschnitt "Definition" (ist das nicht das Wesen einer mathematischen Definition?) und einen zusätzlichen Abschnitt, der diese Definition motiviert bzw. die Idee hinter der Definition beschreibt. Wie immer bin ich an Deiner Einschätzung und Meinung interessiert. --Mathze (Diskussion) 18:58, 7. Jun. 2023 (CEST)

Hallo Mathze. Die Änderungen bzgl. des zugegebenermaßen nicht sehr ambitionierten Ziels sind m.E. in Ordnung. Ich finde auch gut, dass du "endliche Linearkombination" durch "Linearkombination" ersetzt hast.

Bezüglich "Motivation" etc. lasse ich mal ein wenig meine Gedanken schweifen. Nichts davon ist dazu gedacht, direkt wörtlich im Artikel zu landen. Im Endeffekt geht's bei dem Begriffstripel (linear unabhängig, Erzeugendensystem, Basis) ja um die Frage: In wie fern kann man eine Familie/Menge von Vektoren dazu verwenden, Vektoren "Koordinaten" zu geben? Sind die Koordinaten eindeutig? Gibt es für alle Vektoren Koordinaten? Etc. (Für das von dir wohl angedachte Zielpublikum ggf. mit so einem Zusatz wie: naja andere, vielleicht für Berechnungen günstigere Koordinaten, als jene bzgl. der Standardbasis von $V=\mathbb {R} ^{n}$.)

Was nun für beliebige Mengen $I$ (natürlich auch unendliche) und Vektorräume $V$ gilt, ist, dass Familien (also Funktionen) $F\colon I\to V$ eineindeutig linearen Abbildungen ${\hat {F}}\colon K^{(I)}\to V$ entsprechen.

${\hat {F}}$ ist dabei nichts anderes als die Auswertung einer formalen Linearkombination, in die einerseits $F$ als Familie von zur Verfügung stehenden Vektoren und andererseits ein Element von $K^{(I)}$ als Vektor von Koeffizienten eingehen.

Was dann nett ist (und man hat da dann zwei Tripel, die sich gegenseitig stützen, und nicht einfach eine zufällige Ansammlung von auswendig zu lernenden Worten bzw. unmotivierte Algorithmen):

• $F$ ist linear unabhängig gdw. ${\hat {F}}$ injektiv,
• $F$ ist ein Erzeugendensystem von $V$ gdw. ${\hat {F}}$ surjektiv,
• $F$ ist eine Basis von $V$ gdw. ${\hat {F}}$ bijektiv.

--Daniel5Ko (Diskussion) 20:59, 7. Jun. 2023 (CEST)

Zugegebenermaßen, das Ziel war nicht sehr ambitioniert, das stimmt, aber ich habe lange drum gekämpft :). Ich versuche kleine Schritte zu machen, wenn möglich Rücksprache zu halten, und am Ende einiger Wochen oder Monate steht dann hoffentlich ein guter Artikel. Meine Gedanken zur Motivation sind sehr geometrisch: Gegeben eine endliche Menge von Vektoren, lassen sich die Vektoren so strecken/stauchen und aneinanderlegen, dass man im Nullpunkt landet? Gelingt dies ohne dass man stumpf alle Vektoren auf Null schrumpft, so sind sind Vektoren l. a., ansonsten sind sie l. u. Auf diesem Gedanken aufbauend erhält man die Verneinung der formale Definition für Lineare Unabhängigkeit $\sum _{i}a_{i}{\vec {v}}_{i}={\vec {0}}\Rightarrow \forall i:a_{i}=0.$ --Mathze (Diskussion) 21:23, 7. Jun. 2023 (CEST)

Peter Aczel

Hallo Daniel5Ko, kannst Du nach einen belastbaren Beleg (außer Google Groups) für das Sterbedatum ergänzen? In der en:wp finde ich auch keinen. Danke und Gruß --dä onkäl us kölle (Diskussion) 14:54, 9. Aug. 2023 (CEST)

Hm, vielleicht kann man den entsprechenden Thread im Archiv der "Foundations of Math" Mailing-List nehmen. https://lists.ugent.be/wws/arc/fom/2023-08/msg00006.html --Daniel5Ko (Diskussion) 16:31, 9. Aug. 2023 (CEST)

Ich sehe gerade, bei Bill Lawvere fing es auch mit reddit- (referenzierte selbst einen categories-Mailinglist-Beitrag) und Twitter- ENen an, die immer noch drin sind; später kam TML Monthy hinzu (!). Daher nehme ich erstmal den fom-Beitrag. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:25, 10. Aug. 2023 (CEST)

Danke für Deine rasche Reaktion. Vielleiht kommt ja auch noch was nach. Gruß --dä onkäl us kölle (Diskussion) 13:07, 10. Aug. 2023 (CEST)

Impulse Tracker und Co.

Hallo Daniel5Ko, mir ist heute Morgen aufgefallen, dass du meinen Edit bezüglich Impulse Tracker signiert hast, dafür schon eimal ein Danke von mir. Aus reiner Neugierde habe ich mir dann deine Benutzerseite angesehen und festgestellt, dass du in Haskell denkst. Das hat meine Neugierde noch mehr geweckt, weshalb ich mir dann deine Diskussionsseite angesehen habe. Und die hat meine Vermutung noch mehr gestützt, dass du etwas von Informatik verstehen musst. Ich habe hier in der Wikipedia nämlich das Problem mit scheinbar Laien, die nicht verstehen wollen, dass Windows 95 ein Betriebssystem ist und nicht eine grafische Oberfläche für DOS. Außerdem weigern diese sich Aussagen des Microsoft Entwicklers Raymond Chen als Quellenbeleg zu akzeptieren, sie akzeptieren weder seine Artikel (siehe bspw. die Quellenbelege unten) noch folgendes Interview mit ihm The Minds Behind Windows: Raymond Chen, dass ich zum Anschauen sehr empfehlen kann. Falls du also mal Zeit und Lust hast, wäre es toll, wenn du es ihnen erklären könntest.

Hier sind die Diskussionen dazu:

• Diskussion:Microsoft Windows 95#Windows 95 IST ein Betriebssystem
• Diskussion:Microsoft Windows 95#Thema: Anstrengungen, um Kompatibilität zu bestehenden DOS und Windows 3.x Anwendungen zu erreichen

Und diese Quellenbelege von R. Chen für zwei andere Artikel wurden ebenfalls kassiert:

• https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Aktives_Fenster&diff=prev&oldid=243875555
• https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Jog_Dial&diff=prev&oldid=243875525

Ich habe es inzwischen fast aufgegeben und wollte schon akzeptieren, dass die Wikipedia eine Laienartikelsammlung von Laien für Laien ist und sich die Qualität der Wikipedia deswegen nicht mehr weiter steigern lässt, weil die Laien dies aufgrund ihrer eigenen Unwissenheit und fehlendem fachspezifischen Verständnis aktiv verhindern. --93.229.175.89 15:05, 1. Mai 2024 (CEST)