Diskussion:Funktion (Mathematik)

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Grundlegende Begriffe und deren Notation

Die Bedeutung von $f$ von $x$

Der Ausdruck $f$ von $x$, also $f(x)$, wird in verschiedenen Zusammenhängen unscharf genutzt. Ich habe im Studium noch die Sprechweise gelernt: Die Funktion $f$ mit dem Funktionsterm $f(x)=$ … Mittlerweile habe ich schon gelesen: Die Funktion $f(x)$ … Dieses wird auch auf der Artikelseite und anderen Seiten praktiziert. Die (alte) Sprechweise oben wird offenbar verkürzt zu: Die Funktion $f$ mit $f(x)$ = … bzw. zu: Die Funktion $f(x)$ = …. Jedoch kann die Verkürzung zu Missdeutungen des Ausdrucks $f(x)$ führen.

$f(x)$ als Funktionswert an der Stelle $x$ bzw. Funktionsterm

Der Ausdruck $f(x)$ war für mich bislang immer der Funktionswert an der Stelle $x$ bzw. der Ausdruck für den Funktionsterm, mit dessen Hilfe die Funktionswerte berechnet werden kann. Diese beiden Bedeutungen sehe ich noch als gleichwertig an und das lässt sich auch in der Literatur durchgehend belegen. Alles, was darüber hinaus geht, sehe ich als problematisch an und verwirrend.

Bei der Quadratfunktion $f$ ist der Funktionsterm $f(x)=x^{2}$. Dies lese ich im Sinne einer Definition, d. h. für den Funktionsterm $f(x)$ gilt: $f(x):=x^{2}$. $f(x)$ repräsentiert nur den Funktionsterm. Entsprechend ist $f(x)=x^{2}$ keine Gleichung, sondern eine Definition.

$f(x)$ im Zusammenhang des Begriffs "Funktionsgleichung"

Nun lese ich aber in letzter Zeit immer häufiger, z. B. $f(x)=x^{2}$ sei eine Funktionsgleichung. Der Begriff Funktionsgleichung ist jedoch in älteren Werken, z. B. im Taschenbuch der Mathematik (Bronstein, 25. Auflage) für die Gleichung $y=x^{2}$ vorgesehen. Diese Gleichung hat eine Lösungsmenge mit gewissen Wertepaaren $(x,y)$, die nach Einsetzen in die Gleichung wahre Aussagen liefern und derer grafische Darstellung den Graphen der Funktion $f$ ergibt. Nun könnte man einwenden, dass dieses kleinlich sei, da man ja die Funktionswerte einfach mit $y$ benennen könnte, also $y=f(x)$. So gesehen, wäre $f(x)=x^{2}$ eine "Funktionsgleichung". Jedoch sollte man dann konsequenterweise davon absehen, den Ausdruck $f(x)$ als Funktion zu bezeichnen, da ja damit Funktionswerte bezeichnet werden. Die Bezeichnung von $f(x)=x^{2}$ bleibt wiederum mehrdeutig: Wird hier ein Funktionsterm definiert oder ist eine "Funktionsgleichung" (mit einer gewissen Lösungsmenge) angegeben?

Vorschlag

Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, sollten Funktionen ausschließlich mit dem Funktionsnamen, z. B. $f$ und nicht mit dem Ausdruck $f(x)$ benannt werden. Wird eine verkürzte Ausdrucksweise gewünscht, sollte die folgende Formulierung verwendet werden: Die Betragsfunktion $f$ mit $f(x)=|x|$ und nicht: Die Betragsfunktion $f(x)=|x|$. Der Ausdruck $f(x)$ sollte dem Funktionswert an der Stelle $x$ bzw. dem Funktionsterm vorbehalten bleiben. Wird der Begriff Funktionsgleichung verwendet, ist die Schreibweise $y=f(x)$ vorzuziehen, um die Mehrdeutigkeit zum Funktionsterm zu vermeiden.

Euler und $f$ von $x$

Wie verwendet Euler den Ausdruck ursprünglich? Ich kann leider dazu nichts finden, außer dass Euler diesen Ausdruck eingeführt habe. --Mrepker (Diskussion) 20:56, 26. Jan. 2023 (CET)

+1. Die Funktion ist $f$ oder $f(\cdot )$. Dagegen sollte $f(x)$ in Definitonszusammenhängen, $f(x)=...$, $x\mapsto f(x)$, verwendet werden. --Sigma^2 (Diskussion) 10:41, 29. Nov. 2023 (CET)

Kann D die leere Menge sein?

Für den Definitionsbereich $D$ ist der Fall $D=\emptyset$ nicht ausgeschlossen. Ist das Absicht? Ist $f:\emptyset \to M$ ein sinnvolles mathematisches Objekt?--Sigma^2 (Diskussion) 10:47, 29. Nov. 2023 (CET)

Sinnvoll: auf jeden Fall. Besonders interessant: eher nicht. --Nomen4Omen (Diskussion) 11:15, 29. Nov. 2023 (CET)

Schreibweise von Exponenten

Exponenten schreibt man meines Wissens direkt ans Funktionszeichen, also $f(x)\cdot f(x)=f^{2}(x)$ und nicht $f(x)\cdot f(x)=f(x)^{2}$. Sollte man das vielleicht erwähnen? --Wassermaus (Diskussion) 02:37, 31. Dez. 2023 (CET)

Es gibt beide Schreibweisen, die je nach Kontext aber missverständlich sein können, insbesondere wird die Schreibweise direkt an der Funktion auch zur Kennzeichnung von Ableitungen ($f^{(n)}$), der inversen Funktion ($f^{-1}$) oder allgemeiner der Verkettung von Funktionen ($f^{n}$) verwendet. Insofern ist die zweite Schreibweise sicherer bzw. meidet Verwechselungen.--Kmhkmh (Diskussion) 04:43, 31. Dez. 2023 (CET)

Ah, ich verstehe. Das mit der Vermeidung von Missverständnissen geht natürlich nur, wenn man “(x)” auch schreibt. Der Physiker schreibt $E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}$ und fügt nicht unbedingt hinzu, dass v zeitabhängig ist, also v(t). Er schreibt auch sin²(x). — Wassermaus (Diskussion) 09:27, 31. Dez. 2023 (CET)

Ja, ohne das (x) sind Verwechselungen nicht vermeidbar bzw. die Bedeutung ist immer kontextabhängig (Notationstraditionen/konventionen des betroffen Fachgebiets, Bezug zu vorher definierten/eingeführten Verknüpfungsoperationen, etc.). Bei den trigonometrischen Funktionen gibt es ja zudem auch die nicht-funktionale Notation mit x, bei der man ohne die Einführung von Klammern die Potenzierung nur der Funktion zuordnen kann ($\sin x$statt $\sin(x)$, da geht dann nur $\sin ^{2}x$ oder $(\sin x)^{2}$).--Kmhkmh (Diskussion) 12:54, 31. Dez. 2023 (CET)

"Naiver" Funktionsbegriff?

Im Abschnitt "Begriffsgeschichte" finden sich folgende Sätze;

Am Beginn des Prozesses zur Entwicklung des Funktionsbegriffs stehen Descartes und Fermat, die mit Hilfe der von Vieta eingeführten Variablen die analytische Methode der Einführung von Funktionen entwickelten.[2] Funktionale Abhängigkeiten sollten durch Gleichungen wie zum Beispiel y = x^2 dargestellt werden. In der Schulmathematik wurde dieser naive Funktionsbegriff bis weit in die zweite Hälfte des 20. Jahrhunderts beibehalten.

Es stellt sich mir die Frage, was daran in diesem Kontext "naiv" sein soll. Der Satz klingt eher wie ein arrogantes Statement eines typischen Hochschulmathematikers, der so tut, als sei die Mathematik erst seit dem 19. Jahrhundert, als alles auf eine "saubere" Grundlage gestellt wurde, eine richtige Wissenschaft geworden. IMHO ist der Funktionsbegriff von Descartes, Euler etc. aber genau der, der auch heute noch relevant ist. Man kann jetzt noch viel mit Verallgemeinerungen, Abbildungen zwischen möglichst abstrakten Mengen etc. daherkommen - am Grundbegriff einer Funktion ändert das nichts. Ich erkläre es immer so, dass eine Funktion in der Regel eine Eingabe (bisweilen auch mehrere Eingaben) zu einer Ausgabe (oder ggf. mehreren) Ausgaben verarbeitet. Es gibt also einen Input und einen Output. Genauso wird es auch in der Informatik gehandhabt. Auch im allgemeinen Sprachgebrauch bedeutet "eine Funktion erfüllen", dass man etwas verarbeitet. Als Beispiel benutze ich oft die Funktion eines Fahrkartenautomaten. Die Eingabe besteht aus Geld und Information, wohin man fahren möchte, die Ausgabe aus dem Ticket und eventuell noch einer Kaufquittung.

--2A02:AA16:1104:D300:DC48:1083:F10F:5FB2 03:02, 23. Mär. 2024 (CET)

"Naiv" ist in der Mathematik nicht so abwertend wie im Alltag. Es gibt auch "Naive Mengenlehre", die ist alles andere als naiv im üblichen Sinn.

Was den Funktionsbegriff in dem zitierten Abschnitt vom heutigen unterscheidet, ist, dass vorausgesetzt wird, dass der Zusammenhang zwischen Input und Output durch eine Gleichung beschrieben wird. Das, was du beschreibst, ist viel allgemeiner. Wie Input und Output eines Computerprogramms zusammenhängen, kann viel komplizierter sein. Andererseits kann dem einfach eine Look-up-Tabelle zu Grunde liegen. Dann ist man gleich beim modernen Funktionsbegriff, wo eine Funktion einfach eine Menge von Paaren, die Input und Output enthalten, ist.

"Eine Funktion erfüllen" habe ich noch nie gehört. Gib mal ein Beispiel an. --Digamma (Diskussion) 13:24, 24. Mär. 2024 (CET)

'Multifunktion'?

Der Begriff ist mit dem Artikel 'Korrespondenz' verlinkt, in dem es heißt:"In der Mathematik ist der Begriff der Korrespondenz eine Präzisierung des in der älteren mathematischen Literatur häufiger anzutreffenden Begriffs der mehrwertigen Funktion oder Multifunktion." Warum wird es dann hier 'Multifunktion' genannt? Richtigerweise sind das ja keine Funktionen, da diese per Definition rechtseindeutig sind. --Felix Tritschler (Diskussion) 18:19, 15. Apr. 2024 (CEST)

Dass die Vokabel "Multifunktion" verwendet wird, heißt doch nicht, dass es sich um Funktionen handelt.

Problematischer ist eher, dass hier Multifunktionen von A nach B linkstotale Relationen von A nach B sein sollen, Korrespondenzen von A nach B aber nach dem dortigen Artikel einfach Funktionen von A nach ${\mathcal {P}}B$ sind, was beliebigen Relationen von A nach B entspricht. --Daniel5Ko (Diskussion) 23:01, 15. Apr. 2024 (CEST)

Sind Funktionen nicht linkstotal? --Digamma (Diskussion) 21:18, 21. Apr. 2024 (CEST)