Diskussion:Vektorwertige Funktion

Begriff / Quellenlage

Was ist mit Funktionen, die nach $\mathbb {C} ^{n}$ oder in einen anderen beliebigen Vektorraum abbilden? Werden diese nicht vektorwertige Funktion genannt? Einige Autoren von Analysisbüchern - wie zum Beispiel Konrad Königsberger - unterscheiden zwischen Funktionen und Abbildungen. Funktionen bilden nach $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ und Abbildungen nach $\mathbb {R} ^{n}$ oder $\mathbb {C} ^{n}$ ab.--Christian1985 (Disk) 11:07, 30. Mai 2015 (CEST)

Meines Erachtens ist eine Abbildung eine Relation, also nicht unbedingt eindeutig. Funktionen nach $\mathbb {C} ^{n}$ sind meiner Meinung nach auch vektorwertig, auch für n = ∞. Gruß Peter 11:16, 30. Mai 2015 (CEST)

In Relation (Mathematik)#Allgemeine Relationen u. a. Quellen (z. B. [1]) wird Funktion und Abbildung gleichgesetzt, dann entspricht der Relation wohl die Zuordnung. Vgl. „Zuordnung steht für: mathematisch eine eindeutige Zuordnung von Werten, siehe Funktion (Mathematik); mathematisch eine eventuell mehrdeutige Zuordnung von Werten, siehe Relation (Mathematik)“ --Peter 11:44, 30. Mai 2015 (CEST)

Vgl. Unendlichdimensionale Vektorr ̈aume Uni WÜ und Beschränktheit#Gleichmäßige Beschränktheit Peter 11:19, 30. Mai 2015 (CEST)

Also Wolfram mathworld hier sagt, dass jede Funktion deren Bildmenge ein endlichdimensionaler Vektorraum ist eine vector-valued function ist. Der Forster nennt bloß Funktionen nach $\mathbb {R} ^{n}$ vektorwertig. Die ersten 10 Vorlesungsskripte die Google mir ausspuckt behandeln auch alle bloß den $\mathbb {R} ^{n}$. Wenn man den Artikel auf endliche dimension umschreibt und zum Operator abgrenzt dann sollte das noch für den Laien verständlich sein. --NikelsenH (Diskussion) 11:34, 30. Mai 2015 (CEST)

Es geht nicht nur im Laienverständlichkeit, sondern auch darum das abzubilden, was die Literatur bietet. Ich vermute auch, dass endlichdimensionale Vektorräume als Bildmenge eine guter Kompromiss ist. Aber man wird möglicherweise nicht darum herum kommen zu sagen, dass unterschiedliche Autoren den Begriff unterschiedlich verwenden. Viele Autoren bezeichnen nur lineare Abbildungen zwischen meist unendlichdimensionalen Vektorräumen als Operatoren. Was ist im nicht linearen Fall? Da gibt es, soweit ich weiß, keine Einheitlichkeit.--Christian1985 (Disk) 11:51, 30. Mai 2015 (CEST)

Der engere und allgemeinere Begriff spiegelt sich auch in den Lemmata Vektor und Vektorraum wider. Nicht umsonst beginnen mathematische Arbeiten mit Definitionen, weil diese eben nicht standardisiert sind. „Im Rahmen dieser Arbeit bedeute/bezeichne …“ Das ist m. E. auch mit ein Grund, warum die Mathematik in der Wikipedia unterrepräsentiert ist, es fehlt ein allgemeingültiger Begriffs- bzw. Voraussetzungskanon. --Peter 11:53, 30. Mai 2015 (CEST)

Ja klar viele Begriffe haben je nach Autor abweichende Bedeutung. Die Aufgabe von Wikipedia ist es, das abzubilden.--Christian1985 (Disk) 19:47, 30. Mai 2015 (CEST)

Was mehr oder minder gut gelingt: „In mathematical analysis, smoothness has to do with how many derivatives of a function exist and are continuous.“ (Einleitungssatz von en:Smoothness – Unterstreichung von mir) --Peter 19:51, 30. Mai 2015 (CEST)

Ich hab mal mit en:Vector-valued function u. a. verlinkt. Dort steht „A vector-valued function, also referred to as a vector function, is a mathematical function of one or more variables whose range is a set of multidimensional vectors or infinite-dimensional vectors.“ (Unterstreichung von mir) it:Funzione vettoriale hingegen sagt „In matematica, una funzione vettoriale è una funzione di variabile reale che assume valori nel prodotto cartesiano $\mathbb {R} ^{n}$.“ Peter 11:55, 30. Mai 2015 (CEST)

Also wolfram math world sagt operator= abbildung zwischen Funktionenräumen, encyclopedia of mathematics sagt operator=abbildung zwischen Vektorräumen. Meine Funktionalanalysisbücher (dirk werner: Funktionalanalysis und Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis) geben keinen Aufschluss, da sie direkt lineare Operatoren definieren. Irgendwie wird das nur konfuser...--NikelsenH (Diskussion) 12:02, 30. Mai 2015 (CEST)

In den alten Auflagen des Buchs Nichtlineare Gleichungen und Abbildungsgrade werden die Objekte die nicht linear zwischen normierten Vektorräumen abbilden Operatoren genannt, vgl Operator (Mathematik). In den neueren englischen Auflagen des Buchs heißen sie maps. Ich denke, um hier keine Begriffsfindung zu betreiben, müssen wir noch in einige Bücher unterschiedlicher mathematischer Disziplinen reinschauen und festhalten, wer welche Klasse von Abbildungen wie nennt. Viele Grüße--Christian1985 (Disk) 12:52, 30. Mai 2015 (CEST)

Also ich habe mal einen Rundumschlag durch Springerlink Gemacht: In den Funktionalanalyssbücher, die den Begriff geführt haben ( 2 Bände von Kaballo, 1 Band Dobrowlski) meinen sie immer $\mathbb {R} ^{n}$ mit einmaliger ausnahme den $\mathbb {C} ^{n}$. Analysisbücher und Vektoranalysisbücher meinen einmal endlichdimensionale Bildmenge, einmal Auftrennng nach komplex-vektorwertig und reell-vektorwertig, ansonsten immer den $\mathbb {R} ^{n}$. Überprüft habe ich: Forster, Boyd (convex opt.), Wendland, Behrends, Pöschel, Amann und Jähnich. Die struktur des englischen Artikels ist auch etwas konfus, für die unendlichdimensionale vektorwertige funktion existiert auch ein extra-artikel, der ist unten mit aufgeführt als siehe auch. LG--NikelsenH (Diskussion) 19:42, 30. Mai 2015 (CEST)

Den Begriff der vektorwertigen Funktion gibt es auch in der linearen Algebra und in der Geometrie. In die Bücher der linearen Algebra habe ich nur sehr kurz reingeschaut. Dort war meist der $\mathbb {R} ^{n}$ als Zielmenge manchmal auch $\mathbb {R} ^{n}$ und $\mathbb {C} ^{n}$ als Zielmengen gemeint. Die lineare Algebra beschäftigt aber naturgemäß nur mit endlichdimensionalen Vektorräumen. Im Bereich der Geometrie habe ich beispielsweise das Buch "Abraham, R., Marsden, J. E. & Ratiu T. - Manifolds, Tensor Analysis and Applications" hier. In dem sind vektorwertige Funktionen solche die in einen beliebigen Banachraum abbilden. Der Begriff wird dort allerdings nicht expliziet definiert. Auch im Kontext des Bochner-Integrals würde ich diese Definition der vektorwertigen Funktion öfters erwarten. Habe dazu auch mal in das Buch Analysis 3 von Amann und anderen geschaut und sie dort auch als Funktion mit einem beliebigen Banachraum als Zielbereich gefunden. Ich werde meine Recherche noch fortsetzen. Viele Grüße --Christian1985 (Disk) 20:12, 30. Mai 2015 (CEST)

Im Buch Funktionalanalysis von Harro Heuser sind vektorwertige Funktionen solche, die in einen beliebigen normierten Vektorraum abbilden.--Christian1985 (Disk) 20:41, 30. Mai 2015 (CEST)

Im Buch Normed Algebras von Naimark werden vektorwertige Funktionen als Funktionen mit einem lokal konvexen Raum als Zielmenge definiert. Diese Beispiele zeigen für mich, dass es keinen Grund gibt sich in der Definition hier auf den $\mathbb {R} ^{n}$ zu beschränken. Klar ist aber auch, dass der $\mathbb {R} ^{n}$ der wichtigste Spezialfall ist. --Christian1985 (Disk) 22:15, 30. Mai 2015 (CEST)

Ich glaube, alles was man sagen kann, ist „Vektorwertige Funktionen sind vektorwertige Funktionen, das heißt Funktionen, deren Werte Vektoren sind.“ Alles andere kommt – wie so oft in der Mathematik – auf den Kontext an. --Peter 22:19, 30. Mai 2015 (CEST)

Es gibt auch (noch) kein Lemma diskrete Funktion: „Bei der Verarbeitung von Biosignalen kommt der Faltung diskreter Funktionen besondere Bedeutung zu.“ (Biosignalverarbeitung) --Peter 22:23, 30. Mai 2015 (CEST)

Ich glaube jetzt ist es gut. Gute Nacht Peter 22:31, 30. Mai 2015 (CEST)

Reelle Funktionen

Lemmata wie reelle Funktion fehlen wohl auch noch. Oder kann man da nicht mehr als nur einen Satz zu schreiben?--Christian1985 (Disk) 22:29, 30. Mai 2015 (CEST)

Das Lemma Reelle Funktion wurde in Portal Diskussion:Mathematik/Archiv/2012/4#Reelle Analysis schon einmal andiskutiert. Leider verwendet die Literatur den Begriff nicht einheitlich und versteht darunter wahlweise:

• Funktionen $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, also reellwertige Funktionen einer reellen Variablen
• Funktionen $\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$, also reellwertige Funktionen mehrerer reeller Variablen
• Funktionen $D\to \mathbb {R}$ mit $D$ als beliebiger Menge, also allgemeine reellwertige Funktionen

Ich persönlich finde eigentlich die engste Definition am natürlichsten, bei der „reelle Funktion“ eine Funktion bezeichnet, bei der Definitions- und Zielmenge reelle Zahlen sind. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 09:16, 31. Mai 2015 (CEST)

Ich würde das „leider“ nicht vorbehaltlos unterschreiben. Es ist nunmal in der „modernen“ Mathematik notwendig und daher üblich, dass bei jedem Lehrsatz sein Geltungsbereich genau angegeben wird. Es sollte nirgends lediglich stehen: „Für jede reelle Funktion gilt, dass …“, außer es wäre schon vorher festgelegt, welche Funktionen im Rahmen der Arbeit als „reell“ bezeichnet werden. Natürlich könnte man auch für jeden Aspekt einen eigenen genau festgelegten Ausdruck erfinden, das würde aber die Lesbarkeit mathematischer Texte nicht einfacher machen.

Vgl. „Je nach Teilgebiet der Mathematik gibt es unterschiedliche Präzisierungen dieser Beschreibung.“ (Kurve (Mathematik), wohin vom vorliegenden Artikel verlinkt wird), „Oft wird auch die 0 (Null) zu den natürlichen Zahlen gerechnet …“ (Natürliche Zahl), was für mich (als Österreicher) eigentlich selbstverständlich war. „Eine Distribution ist eine stetige und lineare Abbildung von einem Testfunktionenraum in die reellen oder komplexen Zahlen.“ (Distribution (Mathematik) – Unterstreichungen von mir) --Peter 09:31, 31. Mai 2015 (CEST)

Na, man wird doch mal den bedauernswerten Zustand der Welt beklagen dürfen (die Österreicher machen das doch auch gerne :-) ). Die Verwendung einheitlicher Begriffe verkürzt die Darstellung schon erheblich. Stell dir mal vor, der Begriff Vektorraum wäre nicht einheitlich definiert, dann müsste man immer dazuschreiben welche Axiome jetzt gerade gelten und welche nicht. Schlimm genug, dass die Mathematiker sich noch nicht darauf geeinigt haben, ob ein Ring jetzt ein Einselement hat oder nicht, sodass man das immer dazu schreiben muss. Ich persönlich finde die Bezeichnung „reellwertige Funktionen einer reellen Variablen“, die in einigen Analysis-Büchern verwendet wird, unnötig sperrig. Ich befürchte, ich muss selber mal eins schreiben ;-). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 09:57, 31. Mai 2015 (CEST)