Wirtinger-Kalkül

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
(Weitergeleitet von Dolbeault-Operator)
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Wilhelm Wirtinger

Bei dem Wirtinger-Kalkül, und seiner Verallgemeinerung durch die Dolbeault-Operatoren, handelt es sich um einen mathematischen Kalkül aus der Funktionentheorie. Der Wirtinger-Kalkül ist nach dem Mathematiker Wilhelm Wirtinger und die Dolbeault-Operatoren sind nach Pierre Dolbeault benannt. Mit Hilfe dieser Objekte kann die Darstellung komplexer Ableitungen übersichtlicher gestaltet werden. Außerdem finden die Dolbeault-Operatoren Anwendung in der Theorie der quasikonformen Abbildungen.

Wirtinger-Kalkül[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine komplexe Zahl wird durch in zwei reelle Zahlen zerlegt. Sei ein Gebiet und eine (reell) differenzierbare Funktion. Dann existieren die partiellen Ableitungen

und

.

Im nächsten Abschnitt werden nun die Wirtinger-Ableitungen eingeführt, welche ebenfalls partielle Differentialoperatoren sind. Jedoch sind diese einfacher zu berechnen, da die komplexwertige Funktion nicht in Real- und Imaginärteil zerlegt werden muss. Statt der Koordinaten und verwendet man und .

Motivation und Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Hilfe der partiellen Ableitungen schreibt sich das (totale) Differential von als

.

Aus und ergibt sich

und .

Für die Differentiale erhält man daraus

und .

Einsetzen in das totale Differential und Umsortieren liefert

.

Um (formal) die Beziehung

zu erhalten, setzt man

und

.

Dies sind die Wirtinger-Ableitungen.

Für schreibt man auch kurz , für schreibt man . Der Operator heißt Cauchy-Riemann-Operator.

Holomorphe Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Wirtinger-Kalkül findet insbesondere in der Funktionentheorie Anwendung, da für holomorphe Funktionen die Notation sich auf ein Minimum reduziert. Außerdem ist dieser Kalkül sehr stabil, wie Eigenschaften 3 und 4 im nächsten Abschnitt zeigen.

Eine reell differenzierbare Funktion ist genau dann eine holomorphe Funktion, wenn gilt. In diesem Fall ist die Ableitung von . Dies gilt, da die Gleichung eine sehr kurze Darstellung der Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen ist. Aus diesem Grund trägt der Operator den Namen Cauchy-Riemann-Operator.

Gilt hingegen für eine reell differenzierbare Funktion die Gleichung so nennt man diese Funktion antiholomorph und das reelle Differential kann mit Hilfe von Eigenschaft 1 aus berechnet werden.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beziehung zur partiellen Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gelten die Gleichungen

und

.

Linearität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Operatoren und sind -linear, das heißt für und reell differenzierbare Funktionen gilt

und

.

Komplexe Konjugation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für jede reell differenzierbare Funktion gilt

und

.

Kettenregel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Wirtinger-Ableitungen gilt die Kettenregel

und

.

Hauptsymbol[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Hauptsymbol von ist und das Hauptsymbol von ist . Beide Differentialoperatoren sind also elliptisch.

Assoziierter Laplace- und Dirac-Operator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit den Wirtinger-Ableitungen kann man den Laplace-Operator durch

darstellen. Daraus folgt insbesondere, dass der Operator

ein Dirac-Operator ist.

Fundamentallösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Fundamentallösung des Cauchy-Riemann-Operators ist , das heißt die durch die Funktion erzeugte Distribution löst die Gleichung , wobei die Delta-Distribution ist. Eine Herleitung ist im Artikel Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen zu finden.

Dolbeault-Operator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Hilfe des Wirtinger-Kalküls kann man auch mehrdimensionale Abbildungen untersuchen. Wie oben werden Elemente von zerlegt in . Sei nun eine offene Teilmenge und eine (reell) differenzierbare Abbildung. Dazu definiert man die dem Wirtinger-Kalkül ähnlichen partiellen Differentialoperatoren

und

auf . Mit Hilfe dieser partiellen Differentialoperatoren kann man den Dolbeault-Operator und den Dolbeault-Quer-Operator durch

und

definieren. Diese können als mehrdimensionale Wirtinger-Ableitungen verstanden werden und werden deshalb genauso notiert. Außerdem haben die Dolbeault-Operatoren ähnliche Eigenschaften wie die Wirtinger-Ableitungen. Insbesondere gilt auch, dass genau dann holomorph ist, wenn gilt und die reelle Ableitung wird durch

dargestellt. Im holomorphen Fall gilt , da ja gilt.

Dolbeault-Operatoren auf Mannigfaltigkeiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Komplexe Differentialform

Der Dolbeault-Operator und der Dolbeault-Quer-Operator lassen sich auch auf komplexen Mannigfaltigkeiten definieren, jedoch muss dafür erst der Kalkül der komplexen Differentialformen definiert werden. Mit Hilfe des Dolbeault-Quer-Operators kann man analog wie im vorigen Abschnitt holomorphe Differentialformen definieren. Eine der wichtigsten Anwendungen dieser Operatoren ist in der Hodge-Theorie insbesondere in der Dolbeault-Kohomologie, welche das komplexe Analogon zur De-Rham-Kohomologie ist, zu finden.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]