Komplexe Differentialform

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Eine komplexe Differentialform ist ein mathematisches Objekt aus der komplexen Geometrie. Eine komplexe Differentialform ist eine Entsprechung der (reellen) Differentialformen auf komplexen Mannigfaltigkeiten. Genauso wie im reellen Fall bilden auch die komplexen Differentialform eine graduierte Algebra. Eine komplexe Differentialform vom Grad (oder kurz k-Form) kann auf eindeutige Art und Weise in zwei Differentialformen zerlegt werden, die dann den Grad beziehungsweise mit haben. Um diese Zerlegung zu betonen, spricht man auch von (p,q)-Formen. Bei dieser kurzen Sprechweise wird auch klar, dass es sich um komplexe Differentialformen handelt, denn reelle Formen besitzen keine solche Zerlegung. Eine wichtige Rolle spielt der Kalkül der komplexen Differentialformen in der Hodge-Theorie.

Komplexe Differentialformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine komplexe Mannigfaltigkeit der (komplexen) Dimension . Wähle

als eine lokale Basis des komplexifizierten Kotangentialraums. Die Kovektoren haben die lokale Darstellung

Die Räume in denen nur Basisvektoren der Form vorkommen werden verbal als (1,0)-Formen und formelmäßig mit bezeichnet. Analog dazu ist der Raum der (0,1)-Formen, also der Kovektoren, welche nur Basisvektoren der Form haben. Diese beiden Räume sind stabil, das heißt unter holomorphen Koordinatenwechseln werden diese Räume in sich selbst abgebildet. Aus diesem Grund sind die Räume und komplexe Vektorbündel über .

Mit Hilfe des äußeren Produktes von komplexen Differentialformen, welches genauso wie für reelle Differentialformen definiert ist, kann man nun die Räume der -Formen durch

definieren. Weiter definiert man noch den Raum als die direkte Summe

der -Formen mit . Dies ist isomorph zur direkten Summe der Räume der reellen Differentialformen. Außerdem ist für eine Projektion

definiert, welche jeder komplexen Differentialform vom Grad ihre -Zerlegung zuordnet.

Eine -Form hat also in lokalen Koordinaten die eindeutige Darstellung

Da diese Darstellung doch sehr lang ist, ist es üblich die Kurzschreibweise

zu vereinbaren.

Dolbeault-Operatoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die äußere Ableitung

was gleichbedeutend ist mit

kann in aufgespalten werden. Die Dolbeault-Operatoren

und

sind definiert durch

In lokalen Koordinaten bedeutet dies

und

Dabei sind und auf den rechten Seiten der Gleichung die normalen Dolbeault-Operatoren.

Holomorphe Differentialformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Erfüllt eine Differentialform die Gleichung , so spricht man von einer holomorphen Differentialform. In lokalen Koordinaten kann man diese Formen durch

darstellen, wobei holomorphe Funktionen sind. Der Vektorraum der holomorphen -Formen auf wird mit notiert.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Für diese Operatoren gilt eine Leibniz-Regel. Seien und , dann gilt
und
  • Aus der Identität
folgt , und , denn alle drei Terme sind von unterschiedlichem Grad. Die Operatoren und eignen sich also für eine Kohomologietheorie. Diese trägt den Namen Dolbeault-Kohomologie.
  • Sei eine Kählermannigfaltigkeit, also eine komplexe Mannigfaltigkeit mit einer verträglichen Riemann'schen Metrik , so kann man den adjungierten Dolbeault-Quer-Operator bezüglich dieser Metrik bilden. Der Operator ist dann ein verallgemeinerter Laplace-Operator. Anwendung findet dieser Operator in der (komplexen) Hodge-Theorie.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]