Hodge-Zerlegung

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Die Hodge-Zerlegung beziehungsweise der Satz von Hodge ist eine zentrale Aussage der Hodge-Theorie. Diese Theorie verbindet die mathematischen Teilgebiete Analysis, Differentialgeometrie und algebraischen Topologie. Benannt sind die Hodge-Zerlegung und die Hodge-Theorie nach dem Mathematiker William Vallance Douglas Hodge, welcher diese in den 1930er-Jahren als Erweiterung zur De-Rham-Kohomologie entwickelte.

Elliptischer Komplex[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit werden glatte Schnitte in einem Vektorbündel bezeichnet. Sei eine orientierte Riemann'sche Mannigfaltigkeit und eine Folge von Vektorbündeln. Ein elliptischer Komplex ist eine Sequenz partieller Differentialoperatoren erster Ordnung

so dass die folgenden Eigenschaften gelten.

  • Die Folge ist ein Kokettenkomplex, das heißt, es gilt für alle und
  • für jedes die Sequenz der Hauptsymbole
ist exakt. Dabei bezeichnet die Bündelprojektion.

Die Räume können beispielsweise als die Räume der Differentialformen verstanden werden.

Satz von Hodge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei nun eine kompakte, orientierte Riemann'sche Mannigfaltigkeit und die i-te Kohomologiegruppe des elliptischen Komplexes . Außerdem definiere einen (Laplace)-Operator

durch

Dies ist ein elliptischer Operator. Nun gilt:

  • Die -te Kohomologiegruppe ist für alle isomorph zum Kern von , das heißt
  • Die Dimension der -ten Kohomologiegruppe ist für alle endlich
Dabei bezeichnet den Kern und das Bild eines Operators.

Beispiel: De-Rham-Kohomologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der De-Rham-Komplex

ist ein elliptischer Komplex. Die Räume sind wieder die Räume der Differentialformen i-ten Grades und ist die äußere Ableitung. Die dazugehörige Sequenz der Hauptsymbole ist der Koszul-Komplex. Der Operator ist der Hodge-Laplace-Operator. Den Kern dieses Operators nennt man den Raum der harmonischen Differentialformen, da dieser ja analog zum Raum der harmonischen Funktionen definiert ist. Nach dem Satz von Hodge existiert nun ein Isomorphismus zwischen der i-ten De-Rham-Kohomologiegruppe und dem Raum der harmonischen Differentialformen vom Grad .

Außerdem sind

wohldefinierte Zahlen, da die De-Rham-Kohomologiegruppen endliche Dimension haben. Diese Zahlen heißen Betti-Zahlen. Der Hodge-Stern-Operator induziert auch einen Isomorphismus zwischen den Räumen und . Dies ist die Poincaré-Dualität und für die Betti-Zahlen gilt

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds. 2nd edition. World Scientific, Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270853-3.