Fundamentallösung

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Eine Fundamentallösung ist ein mathematisches Objekt aus der Distributionentheorie. Sie sind Lösungen einer bestimmten Klasse von inhomogenen partiellen Differentialgleichungen. Mit ihrer Hilfe und dem Faltungstheorem können spezielle Lösungen ähnlicher Differentialgleichungen berechnet werden. Nach dem Satz von Malgrange-Ehrenpreis existiert zu jedem linearen partiellen Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten eine Fundamentallösung.

Der Erstbeschreiber der Distributionentheorie Laurent Schwartz definierte auch als erster den Begriff der Fundamentallösung. Sie kann als Weiterentwicklung des älteren Begriffs der Greenschen Function verstanden werden. Diese Funktionen sind besondere Lösungen von Randwertproblemen, die ebenfalls mit Hilfe der Faltung in spezielle Lösungen entsprechender inhomogener Randwertprobleme transformiert werden können.

Definition[Bearbeiten]

Sei L ein linearer Differentialoperator mit konstanten komplexen Koeffizienten. Dann heißt die Distribution  G \in \mathcal{D}'(\R^n) Fundamentallösung von L, falls sie eine distributionelle Lösung der Gleichung

 
L G = \delta

ist, wobei mit \delta die Dirac'sche Delta-Distribution gemeint ist.

Lösen von inhomogenen Differentialgleichungen[Bearbeiten]

Falls für einen linearen Differentialoperator L eine Fundamentallösung G bekannt ist, so erhält man eine Lösung u(x) der Gleichung


L u(x) = f(x)

für alle x \in \R^n durch Faltung der Fundamentallösung G mit der rechten Seite f


u(x) = (G * f)(x) = \int_{\R^n} G(x - y) f(y) dy
.

Methode zur Bestimmung der Fundamentallösung[Bearbeiten]

Um mithilfe der Fundamentallösung eine inhomogene Lösung eines Anfangswert- oder Randwertproblems zu bestimmen, muss die Fundamentallösung selbst bestimmt werden. Dies kann, falls der Differentialoperator konstante Koeffizienten hat, mit Hilfe der Fourier-Transformation

\hat{f}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R^n} f(t) e^{-\mathrm{i} t \omega} \,\mathrm{d} t

beziehungsweise ihrer Rücktransformation erreicht werden. Es gilt nämlich

\begin{align}
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R^n} \hat{f}(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega{t} } \mathrm{d} \omega 
= f(t) &= L y(t) \\
&= L \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R^n} \hat{y}(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega{t} } \mathrm{d} \omega\\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R^n} L(-\mathrm{i} \omega) \hat{y}(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega{t} } \mathrm{d} \omega\,,
\end{align}

wobei L(\omega) das Symbol von L ist. Zusammen mit der Transferfunktion Y(-\mathrm{i} \omega ) := \frac{1}{L(- \mathrm{i} \omega )} gilt

\hat{y} = Y(- \mathrm{i} \omega ) \hat{f} ,

fast überall. Da zudem noch \hat{y} = (2\pi)^{\frac{1}{2}}\hat{G} \hat{f} gilt, folgt

\hat{G}(\omega ) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot Y(- \mathrm{i} \omega )

beziehungsweise

G(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{\R^n} Y(- \mathrm{i} \omega ) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega{t} } \mathrm{d} \omega .

Beispiele[Bearbeiten]

G(x) :=
\left\{
\begin{array}{rl}
-\frac {1} {2 \pi} \ln {|x|}\ ,&n = 2\\ 
\frac {1} {(n-2)\,\omega_n} \frac {1} {|x|^{n-2}}\ ,&n > 2\,,\\
\end{array}
\right.
wobei  \omega_n den Flächeninhalt der Oberfläche der n-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.[1]

Theorie[Bearbeiten]

Für viele Differentialgleichungen ist eine Fundamentallösung bekannt, etwa die Poisson-Gleichung, die Wärmeleitungsgleichung, die Wellengleichung und die Helmholtz-Gleichung.

Allgemein gilt der Satz von Malgrange-Ehrenpreis, wonach jede partielle Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten eine Fundamentallösung besitzt.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256).

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. Reprinted with corrections. American Mathematical Society, Providence RI 2008, ISBN 978-0-8218-0772-9, S. 22.